4.3单位圆与正弦函数、余弦函数的基本性质、4.4单位圆的对称性与

4.3单位圆与正弦函数、余弦函数的基本性质

4.4单位圆的对称性与诱导公式

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1．问题导航

(1)由于α与－α的终边关于x轴对称，故若β与α的终边关于x轴对称，则必有β＝－α，这样说对吗？

(2)角α与角β的所有三角函数值都相等，则α与β有什么关系？ (3)在应用诱导公式时，公式中的角α必须是锐角吗？ 2．例题导读

P20例3.通过本例学习，学会利用α与－α，α与α±π，α与π－α的正弦、余弦函数关系求三角函数值．

试一试：教材P20练习1T1你会吗？

P22例4.通过本例学习，学会利用诱导公式求三角函数值． 试一试：教材P23习题1－4A组T2你会吗？

P22例5.通过本例学习，学会利用诱导公式化简三角函数式． 试一试：教材P24习题1－4A组T8你会吗？ 1．根据单位圆理解正弦函数y＝sin x的性质

根据正弦函数y＝sin x的定义，我们不难从单位圆看出函数y＝sin x有以下性质： (1)定义域是R；

(2)最大值是1，最小值是－1，值域是[－1，1]；

(3)它是周期函数，其周期是2kπ(k∈Z，k≠0)，最小正周期为2π；

ππ3π(4)正弦函数y＝sin x在区间?0，?，?2kπ-，2kπ+?(k∈Z)上是增加的，在区间

2??22??

?2kπ+π，2kπ+3π?(k∈Z)上是减少的．

22??

2．特殊角的终边的对称关系

(1)π＋α的终边与角α的终边关于原点对称； (2)－α的终边与角α的终边关于x轴对称； (3)π－α的终边与角α的终边关于y轴对称． 3．诱导公式

(1)sin(α＋2kπ)＝sin_α，cos(α＋2kπ)＝cos α，.(1.8) (2)sin(－α)＝－sin_α，cos(－α)＝cos α.(1.9)

(3)sin(2π－α)＝－sin α，cos(2π－α)＝cos_α．(1.10) (4)sin(π－α)＝sin α，cos(π－α)＝－cos_α．(1.11) (5)sin(π＋α)＝－sin_α，cos(π＋α)＝－cos α.(1.12)

ππ

(6)sin?＋α?＝cos_α，cos?＋α?＝－sin α.(1.13)

?2??2?ππ

(7)sin?－α?＝cos α，cos?－α?＝sin_α．(1.14)

?2??2?

1．判断正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)由公式(1.9)知cos[－(α－β)]＝－cos(α－β)．( ) (2)在△ABC中，sin(A＋B)＝sin C．( )

π

(3)sin?α－?＝cos α.( )

2??

π

(4)若α为第二象限角，则sin?＋α?＝cos α.( )

?2?

ππ

(5)sin?－α?＝cos?＋α?.( )

?4??4?

解析：(1)错误．由公式(1.9)知cos[－(α－β)]＝cos(α－β)，故cos[－(α－β)]＝－cos(α－β)是不正确的．

(2)正确．因为A＋B＋C＝π，所以A＋B＝π－C， 所以sin(A＋B)＝sin(π－C)＝sin C.

ππ

(3)错误．因为sin?α－?＝－sin?－α?＝－cos α，

2???2?

π

所以sin?α－?＝cos α是错误的．

2??

(4)正确．诱导公式中的角α为任意角，在化简时先限定α为锐角．

πππ

(5)正确．因为－α＋＋α＝，所以成立．

442

答案：(1)× (2)√ (3)× (4)√ (5)√

π1

2．已知sin x＝，则cos?x－?＝( )

3?2?

122A. B. 3321C. D．－ 33

ππ

解析：选A.cos?x－?＝cos?－?－x??

?2???2??

π1＝cos?－x?＝sin x＝. 3?2?

π3πcos?＋α?·cos（2π－α）·sin?－α＋?2??2??

3．化简＝________．

3π??sin（－π－α）·sin

?2＋α?

π

－sin α·cos α·?－sin?－α＋??2????

解析：原式＝

sin α·（－cos α）

sin α·cos α·cos α＝＝－cos α.

－sin α·cos α答案：－cos α 对正弦、余弦函数诱导公式的理解

(1)利用诱导公式，可以将任意角的正弦、余弦函数问题转化为锐角的正弦、余弦函数问题．具体步骤是：首先将任意负角的三角函数利用公式转化为任意正角的三角函数，其次转化为0°～360°的三角函数，然后转化为锐角的三角函数，最后运用特殊角的三角函数值求值．步骤可简记为“负化正，大化小，化到锐角再求值”．如：

20π2π20π?2π

cos?－＝cos＝cos?6π＋?＝cos＝

333?3???ππ1

cos?π－?＝－cos＝－.

323??

(2)所有诱导公式可用口诀“奇变偶不变，符号看象限”来记忆，其中： ①“变”与“不变”是指互余的两个角的三角函数名改变．

π

②“奇”、“偶”是对k·±α中的整数k来讲的．

2

ππ

③“象限”指k·±α中，将α看作锐角时，k·±α所在象限，再根据“一全正，

22

二正弦，四余弦”的符号规律确定原函数值符号．

ππ

例如，将cos?＋α?写成cos?1·＋α?，则“cos”变为正弦函数符号“sin”，

?2??2?因为1是奇数，

πππ

又将α看作锐角时，＋α是第二象限角，cos?＋α?的符号为“－”，故有cos?＋α?＝

2?2??2?

－sin α.

给角求值

求下列各角的三角函数值： (1)cos(－1 290°)；(2)sin 1 230°；

29π5ππ19π?3π(3)cos；(4)sincos?－?＋sin?－cos. 4443??6??(链接教材P22例4)

[解] (1)cos(－1 290°)＝cos 1 290° ＝cos(210°＋3×360°)＝cos 210°

3＝cos(180°＋30°)＝－cos 30°＝－.

2

(2)sin 1 230°＝sin(150°＋3×360°)＝sin 150°

1

＝sin(180°－30°)＝sin 30°＝.

2

29π5π5π(3)cos＝cos?＋6π?＝cos 44?4?

ππ2

＝cos?π＋?＝－cos＝－.

424??

5ππ19π?3π(4)sincos?－?＋sin?－cos 443??6??

ππππ

＝sin?π＋?cos＋sin?－－6π?·cos?π－?

64?4???3??

ππππ

＝－sincos＋sin?－??－cos?

464??3??2332

＝－×＋?－?×?－?＝0.

22?2??2?方法归纳

求正弦、余弦函数值的一般步骤

1．(1)代数式sin 120°cos 210°的值为( )

33A．－ B.

4431C．－ D．

24(2)求下列各三角函数式的值：

31π－?. ①sin 1 320°；②cos??6?

解：(1)选A.由诱导公式可得，sin 120°cos 210°＝sin 60°×(－cos 30°)＝－3

－，故选A. 4

(2)①法一：sin 1 320°＝sin(3×360°＋240°)

3

＝sin 240°＝sin(180°＋60°)＝－sin 60°＝－.

2

法二：sin 1 320°＝sin(4×360°－120°)＝sin(－120°)

3

＝－sin(180°－60°)＝－sin 60°＝－.

2

31π31π－?＝cos②法一：cos? ?6?67πππ34π＋?＝cos?π＋?＝－cos＝－. ＝cos?6?6???62

31π5π－?＝cos?－6π＋? 法二：cos?6??6??ππ3π－?＝－cos＝－. ＝cos?6??62

给值求值

ππ3

(1)已知sin?－x?＝，则cos?x＋?＝( )

?3?5?6?

34A. B. 55

34C．－ D．－ 55

π5ππ1

(2)已知sin?x＋?＝，则sin?－x?＋cos2?－x?＝________．

?6?4?6??3?

(链接教材P23练习2 T3，P24习题1－4B组T1)

πππ

[解析] (1)由?－x?＋?x＋?＝，

?3??6?2

33×＝22

πππ

故x＋＝－?－x?，

62?3?π

有cos?x＋?

?6?ππ

＝cos?－?－x??

?2?3??π3＝sin?－x?＝.

?3?5

5π

π－x?＝π， (2)因为?x＋?＋?6???6?

5

π－x?＝ 所以sin??6?ππ1

sin?π－?x＋??＝sin?x＋?＝. ??6???6?4

πππ

又因为?x＋?＋?－x?＝，

?6??3?2πππ

所以cos?－x?＝cos?－?x＋??＝

?3??2?6??π1

sin?x＋?＝. ?6?4

5π115π－x?＋cos2?－x?＝＋＝. 所以sin??6??3?41616

5

[答案] (1)A (2)

16

5?． 若本例(1)中条件不变，求“cos??6π－x?”

5ππ

π－x?－?－x?＝， 解：因为??6??3?2ππ5

故π－x＝＋?－x?， 62?3?5

π－x? cos??6?ππ

＝cos?＋?－x??

?2?3??π3

＝－sin?－x?＝－.

5?3?

方法归纳

(1)解答这类给值求值的问题，首先应把所给的值进行化简，再结合被求值的式子的特点，观察所给值的式子与被求式的特点，找出它们之间的内在联系，特别是角之间的关系，恰当地选择诱导公式．

ππππππ

(2)常见的角之间的关系有?－α?＋?＋α?＝；?－α?＋?＋α?＝；A＋B＋C＝

?3??6?2?4??4?2

A＋B＋Cππ，＝(A，B，C是△ABC的三个内角)等．

22

5π3

2．(1)已知sin?＋α?＝，那么cos α＝( )

?2?5

23A．－ B．－ 5532C. D． 55

＋60°)

＝sin 60°cos 30°＋sin 30°cos 60°

3311＝×＋×＝1. 2222

[B.能力提升]

1．在△ABC中，若sin(A＋B－C)＝sin(A－B＋C)，则△ABC必是( ) A．等腰三角形 B．直角三角形

C．等腰或直角三角形 D．等腰直角三角形

解析：选C.因为sin(A＋B－C)＝sin (A－B＋C)，所以sin(π－2C)＝sin(π－2B)，

π

即sin 2C＝sin 2B，所以2C＝2B或2C＝π－2B，即C＝B或C＋B＝，所以△ABC

2

是等腰或直角三角形．

23π?2．设函数f(x)(x∈R)满足f(x＋π)＝f(x)＋sin x．当0≤x<π时，f(x)＝0，则f??6?＝( ) 13A. B． 22

1

C．0 D．－ 2

解析：选A.因为f(x＋π)＝f(x)＋sin x， 所以f(x＋2π)＝f(x＋π)－sin x.

所以f(x＋2π)＝f(x)＋sin x－sin x＝f(x)． 所以f(x)是以2π为周期的周期函数．

23π??ππ又f?＝f4π－?＝f?－?，

6??6??6??

πππf?－＋π?＝f?－?＋sin?－?， ?6??6??6?

5ππ1所以f??＝f?－?－.

?6??6?2

5π

因为当0≤x<π时，f(x)＝0，所以f??＝0，

?6?

23π??π?1所以f??6?＝f?－6?＝2.故选A.

π3π

3．若α是三角形的一个内角，且cos?－α?＝－cos，则α＝________．

6?2?

3π3

解析：因为cos?－α?＝－sin α＝－，

2?2?

3

所以sin α＝.

2

又因为α是三角形的一个内角，

π2π

所以α＝或.

33π2π答案：或 33

4．若函数f(x)＝asin(πx＋α)＋bcos(πx＋β)，其中a，b，α，β都是非零实数，且满足f(2 014)＝2，则f(2 015)＝________．

解析：因为f(2 014)＝asin(2 014π＋α)＋bcos(2 014π＋β)＝2， 所以f(2 015)＝asin(2 015π＋α)＋bcos(2 015π＋β) ＝asin [π＋(2 014π＋α)]＋bcos [π＋(2 014π＋β)] ＝－[asin(2 014π＋α)＋bcos(2 014π＋β)]＝－2.

答案：－2

3－α＋π?sin（α－3π）·cos（2π－α）·sin?2??

5．已知f(α)＝.

cos（－π－α）·sin（－π－α）

(1)化简f(α)；

31

α－π?＝，求f(α)的值； (2)若α为第四象限角且sin?2?5?

31

(3)若α＝－π，求f(α)．

3

（－sin α）·cos α·（－cos α）

解：(1)f(α)＝＝－cos α.

（－cos α）·sin α3π1α－2π?＝sin?α＋?＝cos α＝， (2)因为sin???52??

1

所以f(α)＝－cos α＝－.

5

3131－π?＝－cos?－π? (3)f??3??3?

5π51

－6×2π＋π?＝－cosπ＝－cos＝－. ＝－cos?3??332

kπ

6．(选做题)已知f(k)＝sin，k∈Z.

4

(1)求证：f(1)＋f(2)＋…＋f(8)＝f(9)＋f(10)＋…＋f(16)； (2)求f(1)＋f(2)＋…＋f(2 015)的值．

kπkπk＋8?

解：(1)证明：因为sin＝sin?2π＋?＝sin?44???4π?(k∈Z)， 所以f(k)＝f(k＋8)，

所以f(1)＋f(2)＋…＋f(8)＝f(9)＋f(10)＋…＋f(16)． (2)由(1)可知f(k)是以8为一个周期的周期函数， 而2 015＝251×8＋7，

所以f(1)＋f(2)＋…＋f(2 015)＝251[f(1)＋f(2)＋…＋f(8)]＋f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋f(5)＋f(6)＋f(7)．

又因为f(1)＋f(2)＋…＋f(8)

π2π8π

＝sin＋sin＋…＋sin＝0，

444所以f(1)＋f(2)＋…＋f(2 015)

＝f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋f(5)＋f(6)＋f(7)

π2π3π4π5π6π7π＝sin＋sin＋sin＋sin＋sin ＋sin ＋sin 4444444ππ3πππ3π＝sin ＋sin ＋sin ＋sin π－sin －sin －sin ＝sin π＝0.

424424

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