配套K12高中数学 3.2.2 函数模型的应用实例导学案 新人教A版必修1

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3.2.2函数模型的应用实例

班级:__________姓名:__________设计人__________日期__________

课前预习 · 预习案

【温馨寄语】

有人说：“人人都可以成为自己的幸运的建筑师。”愿你们在前行的道路上，用自己的双手建造幸运的大厦 【学习目标】

1．结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同增长的函数模型的意义

2．恰当运用函数的三类表示法(解析式、图象、表格)并借助信息技术解决一些实际问题. 【学习重点】

1．将实际问题转化为函数模型，比较常数函数、一次函数、指数函数、对数函数模型的增长差异，结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型增长的含义 2．集合的表示方法，即运用集合的列举法与描述法，正确表示一些简单的集合 【学习难点】

1． 运用数学模型分析解决实际问题 2． 对数函数应用题的基本类型和求解策略

知识拓展 · 探究案

【交流展示】

1．某市原来民用电价为0.52元/kW·h，换装分时电表后，峰时段(早上八点到晚上九点)的电价为0.55元/kW·h，谷时段(晚上九点到次日早上八点)的电价为0.35元/kW·h，对于一个平均每月用电量为200kW·h的家庭，要使节省的电费不少于原来电费的10%，则这个家庭每月在峰时段的平均用电量 A.至少为82kW·h

B.至少为118kW·h

C.至多为198kW·h

D.至多为118kW·h

2．一等腰三角形的周长是20，底边长 是关于腰长 的函数，它的解析式为 A.

C.

B.

D.

教案试题

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3．某产品按质量分为10个档次，生产第一档(即最低档次)的利润是每件8元.每提高一个档次，利润每件增加2元，但每提高一个档次，在相同的时间内，产量减少3件，如果在规定的时间内，最低档次的产品可生产60件，则在同样的时间内，生产哪一档次的产品的总利润最大？ A.10

B.9

C.8

D.7

4．某车间生产某种产品，固定成本为2万元，每生产一件产品，成本增加100元，已知总收益 (总收益指工厂出售产品的全部收入，它是成本与总利润的和，单位：元)是年产量

， ，

(单位：件)的函数，满足关系式： 求每

，

年生产多少产品时，总利润最大？此时总利润是多少元？

5．某单位职工工资经过六年翻了三番，则每年比上一年平均增长的百分率是 (下列数据仅供参考： ， ， ， ) A.38%

B.41%

C.44%

D.73%

6．某人2013年1月1日到银行存入一年期存款 元，若年利率为 ,按复利计算，到2016年1月1日，可取回款 元. A.

B.

C.

D.

7．如图，开始时桶1中有 升水， 分钟后剩余的水符合指数衰减曲线 ，那么桶2中水就是 ，假设过5分钟后桶1和桶2的水相等，则再过 分钟桶1中的水只有 升.

8．某海滨城市现有人口100万人，如果年平均自然增长率为1.2%.解答下面的问题： (1)写出该城市人口数 (万人)与年份 (年)的函数关系. (2)计算10年后该城市人口总数(精确到0.1万人).

教案试题

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(3) 计算大约多少年后该城市人口将达到120人(精确到1年).

9．某地为了抑制一种有害昆虫的繁殖，引入了一种以该昆虫为食物的特殊动物，已知该动物的繁殖数量 (只)与引入时间 (年)的关系为 ，若该动物在引入一年后的数量为100只，则第7年它们发展到 A.300只

B.400只

C.600只

D.700只

10．燕子每年秋天都要从北方飞向南方过冬，研究燕子的专家发现，两岁燕子的飞行速度可以表示为函数

，单位是m/s，其中 表示燕子的耗氧量.

(1)当燕子静止时的耗氧量是多少个单位？

(2)当一只两岁燕子的耗氧量是80个单位时，它的飞行速度是多少？ 11．今有一组数据，如表所示：

1 3 2 5 3 6.99 4 9.01 5 11 下列函数模型中，最接近地表示这组数据满足的规律的一个是 A.指数函数

B.反比例函数

C.一次函数

D.二次函数

12．某种计算机病毒是通过电子邮件进行传播的，下表是某公司前5天监测到的数据： 第 天 被感染的计算机数量 (台) 1 10 2 20 3 39 4 81 5 160 则下列函数模型中能较好地反映计算机在第 天被感染的数量 与 之间的关系的是 A. C. 【学习小结】

1．幂函数模型解析式的两种类型及求解方法 (1)已知函数解析式形式：用待定系数法求解.

B. D.

(2)解析式形式未知：审清题意，弄清常量，变量等各元素之间的关系，列出两个变量，之间的解析式，进而解决问题. 2．二次函数模型应用题的解法 教案试题

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(1)理解题意，设定变量，.

(2)建立二次函数关系，并注明定义域. (3)运用二次函数相差知识求解. (4)回归到应用问题中去，给出答案. 3．一次函数模型的特点和求解方法

(1)一次函数模型的突出特点是其图象是一条直线.

(2)解一次函数模型时，注意待定系数法的应用，主要步骤是：设元、列式、求解. 4．对一次函数解析式的三点说明

解析式：.

(1)一次项的系数.

(2)时，是的正比例函数，即为非零常数).

(3)时，直线必经过一、二象限；时，直线必经过原点；时，直线必经

过三、四象限.

5．数据拟合问题的三种求解策略

(1)直接法：若由题中条件能明显确定需要用的数学模型，或题中直接给出了需要用的数学模型，则可直接代入表中的数据，问题即可获解.

(2)列式比较法：若题所涉及的是最优化方案问题，则可根据表格中的数据先列式，然后进行比较.

(3)描点观察法：若根据题设条件不能直接确定需要用哪种数学模型，则可根据表中的数据在直角坐标系中进行描点，作出散点图，然后观察这些点的位置变化情况，确定所需要用的数学模型，问题即可顺利解决.

6．对数函数应用题的基本类型和求解策略

(1)基本类型：有关对数函数的应用题一般都会给出函数解析式，然后根据实际问题再求解.

教案试题

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(2)求解策略：首先根据实际情况求出函数解析式中的参数，或给出具体情境，从中提炼出数据，代入解析式求值，然后根据数值回答其实际意义. 7．指数型函数模型在生活中的应用

(1)在实际问题中，有关人口增长、银行利率、细胞分裂等增长率总理常可以用指数型函数模型表示，通常可以表示为形式.

(2)增长率问题多抽象为指数函数形式，当由指数函数形式来确定相差的量的值要求不严格时，可以通过图象近似求解.是数学常用的方法之一. 【当堂检测】

1．某商人购货，进价按原价 扣去25%，他希望对货物订一新价，以便按新价让利20%销售后可获得售价25%的纯利，则此商人经营这种货物的件数 与按新价让利总额 之间的函数关系是 .

2．已知镭经过100年，质量便比原来减少4.24%，设质量为1的镭经过 年后的剩留量为 ，则 的函数解析式为 .

3．某企业实行裁员增效.已知现有员工 人，每人每年可创纯收益(已扣工资等)1万元，据评估在生产条件不变的条件下，每裁员一人，则留岗员工每人每年可多创收0.01万，但每年需付给每位下岗工人0.4万元的生活费，并且企业正常运转所需人数不得少于现有员工的

(其中为基础数，为增长率，为时间)的

，设该企业裁员 人后年纯收益为 万元.

(1)写出 关于 的函数关系式，并指出 的取值范围.

(2) 当 时，问该企业应裁员多少人，才能获得最大的经济效益？(注：在保证能取得最大经济效益的情况下，能少裁员，应尽量少裁.)

4．某工厂今年1月，2月，3月生产某产品分别为1万件，1.2万件，1.3万件，为了预测以后每个月的产量，以这三个月的产量为依据，用一个函数模拟该产品的月产量 与月份数 的关系，模拟函数可选用二次函数或指数型函数 (其中 ， ， 为常数).已知4月份该产品的产量为1.37万件，请问选择以上哪个函数作为模型较好？并说明理由.

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