《复变函数》重点难点

重点难点

第一篇 复变函数论

本篇重点：解析函数、复变函数的积分与留数定理.

本篇特色：通过一典型环路积分，将各章节有机联系起来，使复变函数理论成为

一个系统的有机整体，并加强了各部分内容之间的相互联系.注重培养创新思维、计算机仿真和解决实际问题的能力.

.

第一章复数与复变函数

本章重点：复数的基本知识和复变函数区域的基本概念及其判断方法；

复变函数连续和极限的概念； 区域概念及其判断；

复变函数的极限和连续。

本章难点：涉及到计算机编程实践, 以培养读者的计算机仿真能力. 读者可以利用

Matlab ,Mathcad,Mathmatic 等数学工具软件直接进行复数及复变函数的基本运算, 详细参考第四篇：计算机仿真编程实践部分

本章知识点摘要：

1.复数的概念

定义形如x?iy的数为复数，记作z?x?iy.其中x、y分别称为复数z的实部、虚

??，部，记作

间一般不能比较大小.

2.复数的表示法

x?Rezy?Im?z?2，i称为虚数单位，它满足i??1.与实数不同，两个复数之

????OP矢量（或向量）表示；

O0,0Px,y（1）几何表示：对于复数z?x?iy可以用平面上起点在??，终点在??的

Px,y（2）代数表示：对于平面上的点??可用代数形式z?x?iy表示复数，这种表示法称为代数表示，也可称为直角坐标表示；

z?r?cos??isin??（3）三角表示：当z?x?iy?0时，复数可用三角函数形式表示.称为复数z的模；?=Argz?argz?2k?（k取整数）称为z的辐角.

当k?0时，对应于辐角的主值?0?argz，在本书中规定为?π?arg z?π；

3.复数的运算

（1）复数满足常规的四则运算规律.

z?rcos?1?isin?1?z2?r2?cos?2?isin?2?（2）若11?，，则

z1z2?rr?cos??1??2??isin??1??2??12??

z?0? ?2

z?r?cos??isin??（3）方根：设，则

????2kπ????2kπ??nn其中

关于复数的模和辐角有以下运算公式

z1z2?z1z2z?r?cos?

n?isinn?? k?0,1,2,?,n?1

r?z?x2?y2?z2?0? ；

Arg?z1z2??Argz1?Argz2

zz1?1z2z24.区域和平面曲线

本章我们给出了系统的有关区域和平面曲线的概念.

（1）区域：严格的定义是指同时满足下列两个条件的点集D：(i) 全由内点组成；(ii)具有连通性: 即点集中的任意两点都可以用一条折线连接起来，且折线上的点全都属于该点集；满足这两个条件的点集D称为区域.

连通的开集称为区域，区域与它的边界一起构成的点集称为闭区域.区域可分为有界区域和无界区域，区域还有单连通区域与复连通区域之分.

（2）简单曲线:没有重点的连续曲线,称为简单曲线.简单闭曲线: 如果简单曲线的两个端点重合，则称为简单闭曲线.

5.复变函数 极限与连续

fz?u?x,y??iv?x,y?u?u?x,y?v?v?x,y?函数??的极限等价于两个二元实函数和的

极限.

fz?u?x,y,?y??iv?x函数??在点z0?x0?iy0处的连续性等价于两个二元实函数

u?x,y?v?x,y?和在该点的连续性.

解题思路:

2例 研究什么原像通过映射w?z后变为相互垂直的直线u?a,v?b, (a,b?0).

【解】 由w?z?(x?iy)?x?y?i2xy，可以视为从xy平面到uv平面的映射，即为从z平面(原像)到w平面（像）的映射，易得

u?x?y,v?2xy

我们具体考察在w平面的像为相互垂直的直线,原像应该是什么？由题得到

u?x?y?a, v=2xy?b, (a,b?0)

22x?y?a,(a?0) 显然原像为双曲线，如图1.11(a)实线所示； 即有

即有 v=2xy?b, (b?0) 显然原像为双曲线，如图1.11(a)虚线所示.

22222222另外我们还可以进一步观察双曲线对应的变化关系.

特别地，当原像点在如图1.11(a)的双曲线右分支实线上时，由u?a且v?2xy，得到，

v?2yy2?a.因此双曲线的右分支的像可以表示为参数形式：

y v u?a?0 v?b?0 u?a, v?2yy2?a

(???y??)

很明显，当点(x,y)沿

0 （a） x 图1.11 0 (b) u 着右分支实线

向上运动时，它的像如图1.11(b)沿直线u?a向上运动.同样，双曲线左分支的像的参数形式

表示为

u?a, v??2yy?a (???y??) 当左分支上的点沿曲线向下运动时，它的像也沿直线u?a向上运动. 同样地可以分析：另一双曲线

22xy?b (b?0)

映像到直线v?b.变化趋势如图1.11(a),(b)虚线所示，读者可自行分析.

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第二章 解析函数

重点：复变函数导数的定义、求导法则及可微性概念； 解析函数的概念； 保角映射的概念； 常用的初等解析函数； 解析函数与调和函数的关系 难点：多值函数产生多值性的原因；

如何找出支点以及在什么样的区域内多值函数可以划分为单值的解析分支； 从几何意义上描述解析函数的特征. 特色：（Matlab，Mathcad，Mathmatic）编程计算简单的复数方程

本章知识点摘要：

1.复变函数的导数与微分

复变函数的导数定义在形式上和一元实函数的导数定义是类似的：

f?(z)?lim?z?0f(z??z)?f(z)?z

微分的定义和高等数学里面一元实函数的微分定义也相似，而且可导和可微是等价的，

df(z)?f?(z)dz.

2.解析函数的概念

解析函数是复变函数中一个十分重要的概念，它是用复变函数的可导性来定义的，若

f(z)在z0及其一个邻域内处处可导，则称f(z)在z0解析.函数在某一点可导，在这点未必

解析，而在某一点解析，在这点一定可导.函数在一个区域内的可导性和解析性是等价的.

3.柯西－黎曼条件方程

复函数的解析性除了要求其实部和虚部的可微性外，还要求其实部和虚部满足柯西－黎曼方程（即C-R方程）.

函数f(z)?u?iv在区域D内解析?u,v在D内可微，且满足C-R条件：.

4.关于解析函数的求导方法 (1) 利用导数的定义求导数

(2) 若已知导数存在，可以利用公式

f?(z)?ux?ivx?vy?iuy?ux?iuy?vy?ivxux?vy,vx??uy

求导.

5初等复变函数

初等复变函数的解析性：初等函数解析性的讨论是以指数函数的解析性为基础的，因此在研究初等解析函数的性质时，都可归结到指数函数来研究.

6解析函数与调和函数的关系

区域D内的解析函数f(z)?u(x,y)?iv(x,y)的实部和虚部都是D内的调和函数.要想使得f(z)?u?iv在区域D内解析，u和v还必须满足C-R条件. 因此若己知一调和函数，可由它构成某解析函数的实部（或虚部），并可相应地求出该解析函数的虚部（或实部），从而求出该解析函数. 平面稳定场求复势就是其典型应用，也是解析函数物理意义的体现. 解题思路

【解】若设

22x?y?c，求复势. 例 已知 等势线的方程为

uxx?2,uyy?2 ?u?u?0u?x2?y2xxyy，则

，故u不是调和函数.因而不

?u?0222??x?y,u?F(?)??能构建为复势的实部（或虚部）.若令 ，采用极坐标有，故

1??u1?2u?u?(?)?2?02????????把极坐标系中的拉普拉斯方程 简化为1??u(?)?0?????，即为

?u?C1,?u?C1ln??C2??

?v?u???C1,?v=C1??C3????根据极坐标C-R条件的得到 ，

?故复势为

f(z)?C1ln??C2?iC1??iC3?C1(ln??i?)?C2?iC3 ?C1lnz?C, (C?C2?iC3)22?n

我们可以总结出，当u,v具有(x?y)的函数形式时，一般采用极坐标运算较为方便.

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第三章 复变函数的积分

重点：复变函数积分的概念、性质及计算方法；

解析函数积分的基本定理??柯西积分定理； 推广得到的复合闭路定理，闭路变形定理；

由柯西积分定理推导出一个基本公式??柯西积分公式.

难点：理解分别以有界单连通域、有界复连通域、无界区域对柯西积分公式进行的证明；

理解复变函数积分理论既是解析函数的应用推广 特色：尝试计算机仿真计算积分的值。

本章知识点摘要

1．本章所涉及的典型实例类型总结

第一类典型实例：给出了不同于常规教材的重要典型实例，即计算环路积分|z|?2，它可以分别用复变函数论中的理论进行求解．由此读者能应用柯西积分定理、柯西积分公式、以及即将学习的级数展开法、留数定理以及留数和定理进行求解. 由此加强各章节之间的有机联系, 使读者充分理解各定理的区别和联系．

第二类典型实例：复变函数模的积分（如）的计算方法，取模后该积分与二元实函数的环路积分类似，故为高等数学中的环路实积分提供了新的计算方法．

第三类典型实例：若要使闭合环路积分中换元法仍然有效，则必须考虑积分变换后辐角的改变.

2．本章系统知识概述 1）．复变函数的积分

复变函数积分的概念是这一章的主要概念，它是定积分在复数域中的自然推广，和定积分在形式上也是相似的．只是把定积分的被积函数f(x)换成了复函数f(z)，积分区间[a,b]|z|?R??zndz?1?|z?a|?|dz|2换成了平面上的一条有向曲线C．复积分实际上是复平面上的线积分，它们的许多性质是相似的．

如果f(z)?u(x,y)?iv(x,y)，则

?Cf(z)dz??u(x,y)dx?v(x,y)dy?i?v(x,y)dx?u(x,y)dyCC

即复变函数的积分可以化为两个二元函数的曲线积分． 2）．柯西定理与柯西公式

（1）柯西定理 如果函数f(z)在单连通域D内处处解析，那么函数f(z)沿D内任意一条闭曲线C的积分值为零，即

??Cf(z)dz?0

f(z)dz推论 如果函数f(z)在单连通域D内处处解析，则积分?C与连结起点与终点的路

径C无关．

（2）牛顿—莱布尼兹公式 若f(z)在单连通域D内处处解析，G(z)为f(z)的一个原函数，那么

?z1z0f(z)dz?G(z)z1?G(z1)?G(z0)0z 其中

z0、z1为D中任意两点．

（3）复合闭路定理 设L为复连通域D内的一条简单闭曲线，C1,C2,?,Cn是在L内的简单闭曲线，且C1,C2,?,Cn中的每一个都在其余的外部，以C1,C2,?,Cn为边界的区域全含于D如果f(z)在内解析，那么有

??(i) ?f(z)dz?0n，其中?为由L以及Ck（k?1,2,?,n）所组成的复合闭路正方向．

Ckk?1(ii)，其中L及所有的Ck都取逆时针正方向．

（4）闭路变形原理 在区域D内的一个解析函数沿闭曲线的积分，不因闭曲线在D内作连续变形而改变积分的值，只要在变形过程中曲线不经过函数f(z)不解析的点． 3）.柯西积分公式的几个重要推论

（1）高阶导数公式 解析函数的导数仍为解析函数，它的n阶导数为:

L??f(z)dz????f(z)dzf(n)(z0)?n!f(z)dz(n?1,2,?)??2πiC(z?z0)n?1

其中C为f(z)的解析区域D内包含D；

（2）解析函数的平均值公式; (3) 柯西不等式; (4）刘维尔定理; （5）莫勒纳定理;

解题思路

z0在其内部的任意一条正向简单闭曲线，且内部全属于

?dz?0， L 不包含z0??Lz?z0????2πi， L包含z0的物理意义． 例 试根据复变函数环路积分讨论公式

【解】设在点z0有电量为4π?0的点电荷, 在复平面上形成二维静电场（向量场） ,我们知道

在点z处的场强为：

E?4π?0er(x?x0)ex?(y?y0)eyQe?e＝＝2r2r24π?0r4π?0rr(x?x0)2?(y?y0)2 其中er,ex,ey分别代表径向,x,y方向的单位矢量．

于是电场强度E的分量为：

Ex?我们注意到函数

x?x0y?y011???i＝Ex?iEyz?z0(x?x0)?i(y?y0)(x?x0)2?(y?y0)2(x?x0)2?(y?y0)2

易见向量场（电场E?Exex?Eyey）正好与这个函数的共轭相对应，因此

x?x0y?y0,E?y(x?x0)2?(y?y0)2(x?x0)2?(y?y0)2

??x?x0y?y0dz??id(x?iy)2222??Lz?z0??L??(x?x)?(y?y)(x?x)?(y?y)0000?????(Ex?iEy)d(x?iy)＝??(Exdx?Eydy)?i??(?Eydx?Exdy)LLLL???E?l0ds?i??E?n0dsL

上式中矢量l0,n0含义与复变函数环路积分物理意义中的含义相同。 【】

其物理意义7：由场论知电场是无旋的场，则电场强度E沿着L的环量

?E?lds＝0 ??E?nds＝2π； 另外，如果L包含z点，则通量 ??E?nds＝0. 如果L不包含z点，则通量 ?L00L00L0重点难点

第四章 解析函数的幂级数表示

重点：复级数的基本概念及其性质；

如何将解析函数展开成泰勒级数及罗朗级数； 解析函数的重要性质。

难点：理解一个函数的解析性与一个函数能否展为幂级数是等价的.

特色：尝试用计算机仿真编程方法(Matlab，Mathematic ，Mathcad)进行级数展开。

本章知识点摘要： 1.复数项级数 数列似.

??n?an?ibn(n?1,2,...)和级数n?1???n的收敛定义与实数域内数列和级数的收敛定义类

数列?n?an?ibn收敛的充要条件是实数列an和bn同时收敛. 级数

n????nn?1收敛的充要条件是实级数

?ann?1?和n?1?b?n同时收敛.

是级数n?1收敛的必要条件.

2.函数项级数 幂级数 函数项级数

lim?n?0???n?f(z)nn?0?中的各项如果是幂函数

fn(z)?cn(z?z0)n或

fn(z)?cnzn，那么就得到幂级

数n?0或n?0.

幂级数的收敛域为一圆域，其边界称为收敛圆. 在圆的内部幂级数绝对收敛；在圆的外

?cn(z?z0)n??czn?n部幂级数发散，在圆周上幂级数可能处处收敛，也可能处处发散，或在某些点收敛，在另一些点发散.

收敛圆的半径称为幂级数的收敛半径，求幂级数n?1有比值法或根值法

R?limn???cn(z?z0)n?或n?0?czn?n的收敛半径的公式

cn cn?1 R?lim或

11?n??n|c|?n

3.泰勒级数

形如n?0??定理 若函数

f(n)(z0)(z?z0)nn!的幂级数称为泰勒级数，若z0?0，则为麦克劳林级数.

z?z0?Rf(z)f(z)在圆域内解析，则在此圆域内，

?n?0可展开成泰勒级数

f(z)??f(n)(z0)(z?z0)nn!.

且展开式是唯一的.

但需要特别说明的是：

尽管上式右端的幂级数可能在收敛圆周上处处收敛，也可能处处发散，或在某些点收敛，在另一些点发散. 但幂级数的和函数在收敛圆周上至少有一个奇点. 4.罗朗级数

形如n????c(z?z)n0??n的级数称为罗朗级数，它是一个双边幂级数.

R?z?z0?R2定理 若函数f(z)在圆环域1内解析，则在此圆环域内，f(z)可展开成罗朗级数

f(z)?cn?n????c(z?z)n0??n，

其中

5.本章主要题型及解题方法

(1)讨论复数列的敛、散性

可通过讨论它的实部数列和虚部数列的敛、散性进行判断. (2)讨论复级数的敛散性

可通过讨论它的实部数列和虚部数列的敛、散性进行判断. 对于有些级数，若当n??时，通项不趋于零，则级数发散.

通过讨论的敛散性来获得n?1的敛散性. (3)求幂级数的收敛半径及在收敛域内的和函数 解题思路：

n?1

1f(z)dz ,(n?0,?1,?2,...)??z2πiL(z?z0)n?1，L为圆环域内绕0的任一正向简单闭曲线.

??n

?

???n1(z?1)(z?2)在平面上有两个奇点：z?1与z?2. z平面可以被分成例 函数

如下三个互不相交的f(z)的解析区域：(1)圆|z|?1；(2)圆环1?|z|?2；(3)圆环

f(z)?2?|z|???，试分别在此三个区域内求f(z)的展开式.

【解】 首先将f(z)分解成部分分式

11?z?2z?1

z?1|z|?1?2|z|?1(1) (1) 在圆域内，因为，故2，于是有

f(z)???1111?zk1??kf(z)?????z_?k???1?k?1?zk1?z21?zk?02k?022?k?0?2

为f(z)在圆域|z|?1内的泰勒展开式.

1z?1?11?|z|?2z2(2) (2) 在圆环域内，有，，故 ??11111?zk1?1zk1f(z)????????k??k?1???k?1??k21?zz1?12k?02zk?1zk?02k?1z2z

12?1?12?|z|???(3)在圆环域内，这时z，z，故

11111??2k1?f(z)???????k?k?21z1?z1?zk?0?zz?zz 1f(z)?(z?1)(z?2)还可以求它在奇点2的去心邻域0?|z?2|?1的罗另外，对函数

朗展开式

??111f(z)?????(?1)k(z?2)kz?2z?2?1z?2k?0

这是同一个函数在不同的圆环域中的罗朗展开式. 显然在不同的展开区域有不同的展

开式，这与罗朗展开式的唯一性并不矛盾.

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第五章 留数定理

重点：利用留数定理转化为留数计算问题.

难点：选好复变量积分的被积函数和积分围线；

确定积分区域和奇点。

特色：利用计算机仿真计算留数积分。 本章知识点摘要：

1．孤立奇点概念及其类型

0?z?z0??zz若函数f(z)在0处不解析，但在0的某一去心邻域内处处解析，则z0称为

f(z)的一个孤立奇点.

0孤立奇点0可按函数f(z)在解析邻域内的罗朗展开式中是否含有(z?z0)的负幂项及含有负幂项的多少分为三类．如果展开式中不含、或只含有限项、或含无穷多个

z0?z?z??(z?z0)的负幂项，则z0分别称为f(z)的可去奇点、极点、本性奇点. 孤立奇点类型的极限判别法： 1） 1） 若z?z0limf(z)?a（a为有限值），则

z0为f(z)的可去奇点；

2） 2） 若

z?z0limf(z)??lim(z?z)z，则0为f(z)的极点。进一步判断，若

z?z00mf(z)?b（b为

z有限值且不为0），则0为f(z)的m阶极点；

2．留数的定义、计算方法

留数定义：设

z0为函数f(z)的孤立奇点，那么f(z)在z0处的留数

Res[f(z),z0]?c?1?0?z?z??1?Cf(z)dz 2πi?0其中C为去心邻域内任意一条绕z的正向简单闭曲线.

有限远点留数的计算方法：

（1）用定义计算留数. 即求出罗朗展开式中负幂项(z?z0)的系数或计算积分

1?Cf(z)dz.这是求留数的基本方法. 2πi??1（2）若

z0为函数f(z)的可去奇点，则Res[f(z),z0]?0. zRes[f(z),z0]?lim(z?z0)f(z)z?z0（3）若0为f(z)的一阶极点，则 无限远点的留数计算方法

.

定理 若

3．留数定理、留数和定理及其应用

limf(z)?0z??11Resf(?)??Res[f()?2,0]zz，则

留数定理 设函数f(z)在区域D内除有限个孤立奇点

内包围诸奇点的一条正向简单闭曲线，则

z1,z2,?,zn外处处解析，C为D??Cf(z)dz?2πi?Res[f(z),zk]k?1n.

留数和定理 设函数f(z)在扩充复平面上除了zk(k?1,2,???,n),以及z??以外处处解

析，则

?Resf(z)?Resf(?)?0kk?1n计算三种类型的实变量积分： （i）?0（ii）

2?

R(cos?,sin?)d?；

?????P(x)dxQ(x)，分母比分子至少高两阶；

（iii）?????f(x)eaixdx,(a?0)，分式多项式x??limf(x)?0，即分母比分子至少高一阶.

解题思路： 例： 计算积分

【解】

?|z|?ntanπzdz（n为正整数）.

tanπz?sinπz1zk?k? (k?0,?1,?2,?)cosπz以2为一阶极点，故得

Res[tanπz]z?ksinπz(cosπz)?zk?k?12??于是由留数定理得

1π

?

|z|?ntanπzdz?2πi?Res[tanπz]z?2πi(zk?nk?2n)??4niπ

2：求

I??2π0cos2?d? (0?p?1)1?2pcos??p2的值.

i?【解】 令z?e，由于

cos2??12i?1(e?e?2i?)?(z2?z?2)22，因此

z2?z?2I???|z|?121dzz4?1??dz?|z|?12iz2(1?pz)(z?p)z?z?1iz1?2p??p22

4z?1f(z)?2iz2(1?pz)(z?p) 设

z?1在积分区域内函数f(z)有二个极点z?0,z?p，其中z?0为二阶极点，z?p为一阶极点，而

d2[zf(z)]z?0dz(z?pz2?p?p2z)?4z3?(1?z4)(1?2pz?p2)?limz?02i(z?pz2?p?p2z)2

21?p??22ip Res[f(z),0]?lim1?p4Res[f(z),p]?lim[(z?p)f(z)]?z?p2ip2(1?p2)

因此

I?2πi?Res[f(z),0]?Res[f(z),p]??1?p21?p4??2πi???222?2ip2ip(1?p)??2πp2?1?p2

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第六章 保角映射

重点：复习导数解析函数的几何意义，了解保角映射的概念；

掌握分式线性映射的保角性、保圆周性和保对称性；

熟练掌握利用分式线性映射求一些简单区域（半平面、圆、二圆弧所围区域、角形域）之间

的保角映射．

掌握幂函数、指数函数以及它们的复合函数所构成的映射； 掌握给定三对对应点决定分式线性映射的方法．

难点：学会利用复变函数（特别是解析函数）所构成的映射来实现复杂区域的简单化 特色：计算机仿真绘出等值线图形和其他曲线图形．

本章知识点摘要： 1．保角映射

保角映射：具有保角性且伸缩率不变性的映射． 定理 若函数w?)?0?f(z)在区域D内解析，且对任意的z0?D，有f(z0，则w?f(z)必是D

内的一个保角映射． 2．分式线性映射

（1）形如映射复合而成：

(i）w?kz?b ,(k?0)，这是一个旋转伸缩平移映射，也称为整式线性映射；

1w?z，称为倒数映射或反演映射． (ii）

由于他们在扩充的复平面上都是一一对应，且具有保角性、保圆周性与保对称性，因此，分式线性映射也具有保角性、保圆周性与保对称性．

（2）z平面和w平面上的三对点可唯一确定一个分式线性映射．即设z平面上的三个相异点z1,z2,z3对应于w平面上的三个相异点w1,w2,w3，则唯一确定一个分式线性映射：

w?w1w?w2?w3?w2z?z1z3?z2??w3?w1z?z2z3?z1w?az?b,(ad?bc?0)cz?d的映射统称为分式线性映射．它可以看成是由下列各

（3）三类典型的分式线性映射

(i）把上半平面映射成上半平面的映射为：且ad?bc?0.

w?

az?b cz?d，其中a,b,c,d都是实数，

z??z??（ii）把上半平面映射为单位圆内部的映射为

(iii）把单位圆内部映射成单位圆内部的映射为

z??w?ei? (0???1).1??z

3．几个初等函数所构成的映射

nw?ei? (Im(?)?0).

(1）幂函数w?z (n?2)这一映射的特点是：把以原点为顶点的角形域映射为角

形区域（包括半平面及全平面），其张角的大小变成了原来的n倍．

z(2）指数函数w?e这一映射的特点是：把水平的带形域0?Im(z)?a映射成角形域

0?argw?a（a?π时，此角形域为上半平面）．

把这两个函数构成的映射与分式线性映射联合起来可以进一步解决某些区域之间的变化问题．

4. 本章主要题型 （1）判别一个映射w?f(z)，z?D是否是保角映射． （2）已知映射及一个区域，求像区域． （3）已知两个区域，求映射． 以上（2），（3）题目较为灵活．故必须熟练掌握各种基本映射（整式线性映射、幂函数映射、指数函数映射等）的特点及一些基本区域之间的映射（或变换）．

例 求一个保角映射，将z平面上的弓形域面Im(w)?0．

z?i?2，Im(z)?0映射成w的上半平

y ? 3Z平面 ?平面 ?平面 w?f(z)? w平面 v z2 z1 x u 图 6.14

π【解】如图6.14，经计算交点为z1?3，z2??3，其中z2处圆弧的方向角为3．

可考虑先将z平面上的弓形域映射成?平面（注意图中未画出?平面）的角形域，再将角形域映射成w平面的上半平面．

设分式线性映射将z1?3映射成?平面上的点0. 而z2??3映射成?平面上的?， 于是该映射可写为

??z?3z?3 z?313??????iz?3将弓形域映射成22，所以映射当z?0时???1；当z?i时，

2arg??π3和arg??π为两边的角形域．角形域：即为?平面上的顶点在原点，且以射线（读

者可自行验证)

再对?施以旋转变换??e上的角形域．

32?πi32π?，它将?平面上的角形域顺时针旋转3而成为?平面

最后，再令w??，它将?平面上的角形域映射成w平面上的上半平面．

??复合映射

z?32?πi3z?3，??e3?，w??便得到

w??3?(e32?πi3?z?3?33?)?????z?3??

3?z?3?w????z?3?把z平面上的弓形域映射成w平面上的上半平面． 即映射

重点难点

第七章 傅里叶变换

重点：复数形式的傅里叶级数；

傅里叶变换的性质； 相关函数

难点：灵活运用傅里叶变换的性质进行傅里叶变换

特色：学习用Matlab提供的现成函数和直接积分的方法分别求解傅氏变换

本章知识点摘要： 1.傅里叶级数

（1）周期函数的傅里叶展开 若函数

f(x)以2l为周期的光滑或分段光滑函数，且定义域

为[?l,l]，则式

称为周期函数f(x)的傅里叶级数展开式，其中的展开系数称为傅里叶系数．

f(x)?a0??(akcosk?1?kπxkπx?bksin)ll

（2）复数形式的傅里叶级数

f(x)以2l为周期的函数，则在的傅里叶级数

f(x)?f(x)的连续点处可将它展开成复指数形式（即复数形式）

?kπxlk????Ckei ，

kπx?i1lCk??f(x)[el]dx2l?l其中.

2．傅里叶变换的定义

傅里叶变换 若 f(x)满足傅氏积分定理条件，称表达式

F?????????f(x)e?i?xdx

为f(x)的傅里叶变换式,记作 F(?)?F[f(x)]．

傅里叶逆变换 如果

1??F(?)ei?xd????2π

?1则上式为f(x)的傅里叶逆变换式，记为f(x)?F[F(?)]．

f?x??3．傅里叶变换的性质

性质1 线性定理 函数的线性组合的傅氏变换等于函数的傅氏变换的线性组合．即是说，如果?,?为任意常数，则对函数f1(x),f2(x)有

F??f1(x)??f2(x)???F[f1(x)]??F[f2(x)]性质2 对称定理

若已知 F(?)?F[f(x)]，则有

F[F(x)]?2?f(??)

这反映出傅氏变换具有一定程度的对称性，若采用第一种定义，则完全对称．

性质 3 位移定理 若已知 F(?)?F[f(x)]，则有

F[f(x?x0)]?e?i?x0F[f(x)] ?i?x?1 F[F(???0)]?ef(x)

0

性质4 坐标缩放定理 设a是不等于零的实常数，若F[f(x)]?F(?)，则有

F[f(ax)]?1?F()|a|a

性质5 卷积定理和频谱卷积定理

??（1）卷积概念：已知函数

的卷积，记作

f1(x)?f2(x)f1(x),f2(x) 则积分

12???f(x)f(x??)d?12称为函数f1(x)与f2(x)??，即有

f1(x)?f2(x)????f(x)f(x??)d?

(2)卷积定理

设 F[f1(x)]?F1(?),F[f1(x)]?F1(?)，则

F[f1(x)?f2(x)]?F1(?)?F2(?) 成立

这个定理说明了两个函数卷积的傅氏变换等于这两个函数傅氏变换的乘积． 性质6 乘积定理

设 F[f1(x)]?F1(?), F[f2(x)]?F2(?)则

??其中 f1(x),f2(x)为x的实函数，而F1(?), F2(?)代表对应函数的共轭． 4．相关函数 （1）互相关函数

对于两个不同的函数 f1(x)和f2(x)积分

??f1(x)f2(x)dx?1?1?F(?)F(?)d??F1(?)F2(?)d?122π???2π???

?称为两个函数

f1(t)????f1(x)f2?x???dxR12(?)和

f2(t)的互相关函数，用记号

R21????R12????

表示．

互相关函数满足性质：（2）自相关函数

当 f1(x)?f2(x)?f(x)时，积分

称为函数f(x)的自相关函数（简称相关函数），用记号R(?)表示，即为

?????f(x)f?x???dx??R(?)????f(x)f?x???dx易见，自相关函数是偶函数，即解题思路：

例 求三角脉冲函数

R(??)?R???

???2E(x?) -?x?0??22????2Ef(x)???(x?) 0?x? 22????0 |x|??2?

的傅氏变换及其傅氏积分表达式，其中E,??0.

本题的目的在于比较傅氏变换和傅氏积分表达式，及其综合应用． 【解】 根据傅氏变换的定义，且注意到三角脉冲函数是偶函数，所以

????F(?)?F[f(x)]??/2???f(x)e?i?xdx????f(x)cos(?x)dx?2?[?02E?/2(x?)cos?x]dx?2?????4E?[?xcos?xdx?0??/220?cos?xdx]2sin(24E1

这就是三角脉冲函数的傅氏变换．下面我们通过其傅氏变换来求三角脉冲函数的积分表达式．

根据傅氏逆变换的定义，并利用奇、偶函数的积分性质，可得

??(cos2??2?1)?8E??4??)f(x)?F?1[F(?)]?1??1??8Ei?x2??i?xF(?)ed??sin()ed?22π???2π?????4

4E =π????8E =π??02sin(????4)cos?x22sin(?????4d?)cos?x2?d?

重点难点

第八章 拉普拉斯变换

重点：了解怎样从傅里叶变换的定义出发，导出拉普拉斯变换的定义； 拉普拉斯变换的一些基本性质；

其逆变换的积分表达式――复反演积分公式； 像原函数的求法

难点：拉普拉斯变换的灵活应用

特色：试用计算机仿真求解其拉氏变换，并对结果进行反演变换，验证是否能变换为原函数．

本章知识点摘要： 1．拉氏变换的概念 (1)定义 设函数

某一区域内收敛，则将函数

f(t)当t?0时有定义，而且积分

???0f(t)e?ptdt（p是一个复参量）在p的

F(p)????0f(t)e?ptdt

称为

（2）一些常用的函数的拉氏变换

L?u(t)??1p ； 1ktL??e???p?k ；

f(t)的拉氏变换（像函数），记为F(p)?L[f(t)].

L?(t)?1 ?? ；

m!mL??t???pm?1 （m为正整数） ；

kpL?sinkt??2L?coskt??22p?k ； p?k2 .

2 .拉氏逆变换概念 若满足式：

F(p)????0f(t)e?ptdt，我们称

f(t)为F(p)的拉普拉斯逆变换，简称拉氏逆变换

?1（或称为原函数），记为 f(t)?F[F(p)]. 3.拉氏变换的性质 性质1 线性定理

若?,?为任意常数，且F1(p)?L[f1(t)],F2(p)?L[f2(t)]，则 L[?f1(t)??f2(t)]??L[f1(t)]??L[f2(t)] 性质2 延迟定理

若设?为非负实数，L[f(t)]?F(p)，又当t?0时，

?p??p? L[f(t??)]?eF(p)?eL[f(t)] 性质3 位移定理 若L[f(t)]?F(p)，则有

f(t)?0，则

L[eatf(t)]?F(p?a), (Re(p?a)?p0)性质

4 相似定理 设L[f(t)]?F(p)，对于大于零的常数c，则有

1pL[f(ct)]?F()cc

(n)性质5 微分定理 设L[f(t)]?F(p)，设f(t) (n?1,2,?)存在且分段连续，则

(n)nn?1n?2(n?2)(0)?f(n?1)(0) L[f(t)]?pL[f(t)]?pf(0)?pf?(0)???pf 性质6 像函数的微分定理

dnF(p)?L[(?t)nf(t)]n dp

4 拉普拉斯变换的反演

求拉普拉斯变换的反演即已知像函数求原函数（即为求反演积分）。按下述方法求得： （1） 有理分式反演法 若像函数是有理分式，只要把有理分式分解为分项分式之和，然后利用拉氏变换的基本公式，就能得到相应的原函数. （2） 查表法

许多函数的拉普拉斯变换都制成了表格，可直接从表中查找。 (3) 黎曼－梅林反演公式

Lf(t)??F(p) 若函数f(t)满足拉氏变换存在定理中的条件，? 如果t为f(t)的连续点，则

f(t)?

该式即为黎曼—梅林反演公式． 5．拉氏变换的应用

拉氏变换的应用非常广泛，本章主要讨论了拉氏变换求积分，以及求解线性常微分方程.的方法. 解题思路

1b?i?F(p)eptdp (p?b?i?, t?0)?b?i?2πi

p(p?1)3(p?1)2的拉氏逆变换. 例 求

p32【解】 p1??1和p2?1分别是(p?1)(p?1)的三阶和二阶极点，故用留数的计算

F(p)?方法得

pept1d2pepte?t2Res[,?1]?lim[]?(1?2t)3222p??1(p?1)(p?1)2!dp(p?1)16peptdpeptetRes[,1]?lim[]?(2t?1)p??1dp(p?1)3(p?1)3(p?1)216于是有

1?t[e(1?2t2)?et(2t?1)]16

当F(p)是有理函数时，还可以采用部分分式分解的方法把F(p)分解为若干个拉氏变换附

f(t)?表中的简单函数之和，逐个求得逆变换．

重点难点

第九章 数学建模---数学物理定解问题

重点：掌握掌握常用的定解条件分类及其求法；

三类典型数学物理方程； 定解问题的提法。

难点：掌握数学建模的基本思想；

本章知识点提要：

1．主要讨论的物理模型包括：

2（1）描述波动方程的建立（波动方程类型 utt?a?u?f ） 1). 弦的微小横振动 ； 2).均匀杆的纵振动；

（2）热传导方程的建立 （热传导方程类型 ut?a?u?f）

(3) 稳定场方程的建立 （泊松方程 ?u?f或拉普拉斯方程?u?0） 2 .定解条件包括初始条件和边界条件。

（1）初始条件：说明物理现象初始状态的条件； （2）边界条件: 说明边界上的约束状况的条件．

常见的线性边界条件分为三类：

第一类 u(x,y,z,xt),y|,z?0002f0(x0,y0,z,t);

?u第二类 ?n?f(x0,y,0z,t)0x0,y,z00，

nx,y,z000第三类 ．

除上述三类常见的边界条件外，还有自然边界条件，衔接条件，周期性条件等。 3定解问题的提法：初值问题 、 边值问题 、 混合问题。

4定解问题的主要解法概括如下：

000(u?Hu)?f(x,y,z,t)1.行波法：先求出满足定解问题的通解，再根据定解条件确定其特解.行波解是通解法中的一种特殊情形,行波法又称为达朗贝尔解法.

2.分离变量法：先求出满足一定条件（如边界条件）的特解，然后再用线性组合的办法（组合成级数或含参数的积分）构成通解，最后求出满足定解条件的解.

3.幂级数解法：就是在某个任选点的邻域上，把待求的解表示为系数待定的级数，代入方程以逐个确定系数．勒让德多项式、贝塞尔函数就是通过幂级数解法求得其解的. 4.格林函数法：又称为点源影响函数法，把产生某种现象或过程的分布干扰分解为一系列离散的点干扰的影响，再利用线性叠加原理把这些点干扰影响叠加起来，从而获得整个过程的分布干扰所产生的影响.

5.积分变换法：（包括傅里叶积分变换法和拉普拉斯积分变换法）把偏微分方程化为像空间上的常微分方程，然后求逆变换即得所求的解.

6.保角变换法：利用解析函数将边界形状复杂的区域变换到某些边界形状简单的区域，从而使后一区域上的拉普拉斯边值问题易于求解. 解题思路

设有一长为l的理想传输线，远端开路. 先把传输线充电到电位为0，短路，试写出其定解问题.

【解】 （1）泛定方程：由于理想传输线仍然满足波动方程（数学物理方程）类型.

vvtt?a2vxx?0

（2）边值条件：至于边界条件，远端开路，即意味着x?l端电流为零，即根据(9.1.13)公式得到

i|x?l?0，

?v?i?L?Ri?0?x?t ?v?i??L?t，代入条件i|x?l?0有 且注意到理想传输线G?R?0，故?x?i?i(l,t)vx|x?l??L|x?l??L?0?t?t

v|x?0?v(0,t)?0

v(x,0)?v0，且此时v（3）初始条件：而开始时传输线被充电到电位为0，故有初始条件

而近端短路，即意味着x?0端电压为零，即的电流

i|t?0?0，根据(9.1.14)公式，

?i?v?C?Gv?0?t ?x ?v1?i???C?x，因而有 且注意到理想传输线G?R?0，故 ?t?v1?i1?i(x,0)|t?0???|t?0????0?tC?xC?x 综上所述，故其定解问题为

?vtt?a2vxx?0 (0?x?l,t?0)??v|x?0?0,vx|x?l=0 (t?0) ?v|?v,v|=0 (0?x?l) ?t?00tt?0

重点难点

第十章 二阶线性偏微分方程的分类

重点：二阶线性偏微分方程的基本概念；

分类方法和偏微分方程的标准化.

难点：常系数的二阶线性偏微分方程的化简方法；

偏微分方程求解 。

本章知识点提要：

1本章主要描述了二阶线性偏微分方程的分类方法. 从理论上证明了，对于二阶线性偏微分方程

A(x,y)?2u?2u?2u?u?u?B(x,y)?C(x,y)?D(x,y)?E(x,y)?F(x,y)u?G(x,y)?x2?x?y?y2?x?y

2若设判别式为 ??B(x,y)?4A(x,y)C(x,y)，则二阶线性偏微分方程分为三类： 当 ??0时，方程称为双曲型; 当 ??0时，方程称为抛物型; 当 ??0时，方程称为椭圆型; 2二阶线性偏微分方程的标准化

通过自变量变换使得二阶线性偏微分方程转化为标准类型. 其变换对应于特征线方程：

该常微分方程的特征曲线族分别对应于（1）两个实函数族；（2）一个实函数族；（3）一对共轭复函数族．

（1）双曲型偏微分方程

2 因为双曲型方程对应的判别式??B?4AC?0，所以特征曲线是两族不同的实函数曲线，通过自变量变换，则原偏微分方程变为下列形式

?2u?D1(?,?)u??E1(?,?)u??F1(?,?)?G1(?,?)????

A(dy2dy)?B?C?0dxdx

称为双曲型偏微分方程的第一种标准形式.

（2）抛物型偏微分方程：判别式??0，特征曲线是一族实函数曲线．

通过自变量变换，则原偏微分方程变为

?2u?D2(?,?)u??E2(?,?)u??F2(?,?)u?G2(?,?)??2

上式称为抛物型偏微分方程的标准形式． （3）椭圆型偏微分方程

椭圆型偏微分方程的判别式??0，特征曲线是一组共轭复变函数族．通过自变量变换，则偏微分方程变为

?2u?2u??D3(?,?)u??E3(?,?)u??F3(?,?)u?G3(?,?)??2??2

称为椭圆型偏微分方程的标准形式．

3.二阶线性常系数偏微分方程的进一步化简

?u2?2u?2?h1*v?J1*(?,?)2 (1)双曲型 ???? ?2v?h2v?J2(?,?)2(2)抛物型 ?? ?2v?h3v?J3(?,?)????(3)椭圆型

解题思路

2u?auxx?0的通解． tt求方程

【解】此方程是双曲型的第二标准形，我们可将其化成第一标准形的形式，由特征方程求特征线．于是：

?dx?2???a?0?dt?

即

2dx??adt

???x?at???x?at 由复合函数求导法则 有?

ux?u??x?u??x?u??u?

uxx?u???u???u???u???u???2u???u?? ut?u??t?u??t?u?a?u?autt?a2?u???2u???u???

所以方程

utt?a2uxx可以化简为u???0，从而解得 u?f1????f2???，其中f1,f2为任意函数。原方程

的通解为

u?f1?x?at??f2?x?at?．

重点难点

第十一章 行波法与达朗贝尔公式

重点：二阶线性偏微分方程的行波解法；

达朗贝尔公式的应用 难点：理解定解问题适定性； 非齐次偏微分方程的求解

本章知识点提要： 1． 1． 求二阶线性偏微分方程的通解. 2． 2． 二阶线性偏微分方程的行波解法

(行波解法是通解法中的一种特殊的情形，行波法又称为特征线法). (1) 简单的含实系数的二阶线性偏微分方程的求解

(2) 更为一般的含实常系数的偏微分方程的求解

3 达朗贝尔公式

（1） 达朗贝尔公式 无界弦自由振动问题

?utt?a2uxx=0 ??u(x,0)??(x) (???x??) ?u(x,0)??(x) ?tauxx?buxy?cuyy?0

其解为

11x?atu(x,t)?[?(x?at)??(x?at)]??(?)d?22a?x?at

称解的这种表达式为达朗贝尔(D.Alembert)公式.

（2）达朗贝尔公式的物理意义

由任意初始扰动引起的自由振动弦总是以行波的形式向正、反两个方向传播出去，传播的速度恰好等于泛定方程中的常数a，这就是达朗贝尔公式的物理意义．

4．非齐次偏微分方程的求解

(i ) 纯强迫振动的解 由冲量原理法求解

根据冲量原理，对于纯强迫力f(x,t)所引起振动的定解问题：

2??utt?auxx?f(x,t), (???x???,t?0)???u(x,0) ut(x,0)?0

其解为

u(x,t)?1tx?a(t??)f(?,?)d?d?2a?0?x?a(t??)

(ii) 一般的强迫振动

2??utt?auxx?f(x,t),(???x??,t?0)???u(x,0)??(x), ut(x,0)??(x)

根据叠加原理得到其解为

11x?at1tx?a(t??)u(x,t)?[?(x?at)??(x?at)]??(?)d??f(?,?)d?d?22a?x?at2a?0?x?a(t??)

注： 这是求解无界区域强迫振动问题的一种比较简单的方法． 5 定解问题的适定性验证

对无界振动定解问题的达朗贝尔解进行解的适定性验证. 解题思路

例 求解半无界弦的强迫振动问题

【解】 前面我们介绍了冲量原理法求解强迫振动，下面我们以另一特征线法求解. 作特征变换??x?t,??x?t，则方程化为

?utt?uxx?tsinx, x?0, t?0???ux?0?Asin?t, t?0???u|t?0?0, utt?0?0, x?0

分别对?,?积分，并代入原变量，求得通解 由初值条件得

?2u1?????????sin????82

u?x,t??tsinx?f?x?t??g?x?t?, (x?0,t?0) （11.6.7）

f?x??g?x??0, x?0 （11.6.8）

sinx?f??x??g??x??0, x?0 （11.6.9）

由（11.6.9）式得

f?x??g?x???cosx?C, x?0 （11.6.10）

联立（11.6.8）式和（11.6.10）式解得

11f?x???cosx?C, x?022 （11.6.11） 11g?x??cosx?C, x?022 （11.6.12）

为了利用通解（11.6.7），还必须求出在x?0时f?x?的表达式．为此，利用边界条件，有 即

f??t??g?t??Asin?t,t?0

11f??x??Asin?x?g?x??Asin?x?cosx?C,x?022

11f?x???Asin?x?cosx?C, x?022 （11.6.13）

所以

把（11.6.11），（11.6.12），（11.6.13）代入通解（11.6.7），得所求定解问题的解为

?tsinx?sinxsint,x?tu?x,t????tsinx?Asin??x?t??sinxsint,x?t

重点难点

第十二章 分离变量法

重点：（1）掌握分离变量法的适用范围及解题步骤．

（2）掌握齐次一维波动方程与热传导方程在各类齐次边界条件下对应的本征值问题、本征值、本征函数系及形式解的结构（以第一、二类边界条件为主）．

（3）掌握圆域、圆环域、扇形域、部分圆环域及矩形区域上拉普拉斯方程边值问题的本征值问题、本征值、本征函数系及形式解结构 难点：理解分离变量法的基本思想；

学习用计算机仿真方法将结果以图形表示出来.

本章知识点摘要： 1. 分离变量理论

(1)定解问题实施变量分离的条件

对于常系数二阶偏微分方程，总是能实施变量分离的．但对于变系数的二阶偏微分方程则需要满足一定的条件，即必须找到适当的函数P(x,y)，才能实施变量分离．

边界条件可实施变量分离的条件:进行分离变量时，需适当根据边界情况选择直角坐标系（二、三维）、极坐标系（二维）、柱坐标系（三维）、球坐标系（三维）等． 2．分离变量解法:

分离变量法(傅里叶级数法)的实质即为将时间变量(在稳恒方程中为部分空间变量)视为参变量、将解展为空间变量（稳恒方程中为某一空间变量）的傅里叶级数，或者说将解按本征函数系展开，展示中每项为变量分离形式； 3. 直角坐标系中的分离变量法 常规的分离变量法步骤：

第一步：分离变量;

第二步：求解本征值（或称为固有值）问题; 第三步：求特解，并进一步叠加求出一般解;

第四步: 利用本征函数的正交归一性确定待定系数. 4. 二维极坐标系下拉普拉斯方程分离变量 5. 球坐标系下分离变量

与时间无关的拉普拉斯方程?u?0的变量分离分解为欧拉型方程:

d?2dR??r??l(l?1)R?0dr?dr?，

1???Y?1?2Y?l(l?1)Y?0?sin???22sin?????sin?????球函数方程: ．

6. 柱坐标系下的分离变量

(1).与时间无关的拉普拉斯方程在柱坐标系下的变量分离，对于方程

d2R1dR?m2??????2?R?0d?2?d????

下面区分??0，??0和??0三种情况． （i）??0．该方程是欧拉型方程

d2RdRx?x??x2?m2?R?02x???dx（ii）??0．对于方程，令，方程化为dx，叫作m阶

2贝塞尔方程．

d2RdRx?x??x2?m2?R?022dx（iii）??0．以???k代入，令x?k?，则方程化为dx,叫作虚宗量

2贝塞尔方程．

(2)．亥姆霍兹方程的变量分离

7．非齐次偏微分方程与非齐次边界条件

对于更一般的非齐次方程和非齐次边界条件的解法是首先通过变量代换将边界条件转化为齐次的，然后再对非齐次方程求解．目前已经介绍的方法有冲量法、特解法和傅里叶级数法. 但需注意稳定场问题，不能用冲量法，因为它与时间变化无关. 解题思路

例 求解三维静电场的边值问题：

【解】 设u?X(x)Y(y)Z(z)，将变量分离，并由边界条件（19.8.20），得：

?uxx?uyy?uzz?0,?0?x?a,0?y?b,0?z?c???u?0,y,z??u?a,y,z,??u?x,0,z??u?x,b,z??0?u?x,y,0??0,u?x,y,c????x,y??12.8.19(12.8.20) (12.8.21)

?X????X?0??X(0)?X(a)?0?Y????Y?0??Y(0)?Y(b)?0 Z???(???)Z?0 相应的本征值和本征函数系为

2??mπ???m?????a???X?sinmπxm?a 和 ?这里，m,n?1,2,3,?，且

2??nπ???n?????b???Y?sinnπyn?b ?Zmn?Amnevmnz?Bmne?vmnz

于是，得到满足泛定方程和边界条件的特解：

vmn??m??numn?Zmnsin把各特解叠加，得级数解：

??mπxnπysinab

u???Zmnsinm?1n?1再由边界条件（12.8.21），又得

mπxnπysinab

mπxnπysin?0abm?1n?1

??mπxnπy(Amnevmnc?Bmne?vmnc)sinsin??(x,y)??ab及 m?1n?1

kπxlπysinsinab，并在矩形0?x?a，0?y?b内积分，注把这两个式子的两端分别乘以

???Amn?Bmn?sin???mπx??nπy??sin??sin?ab?的正交性，比较两边的系数，可以得到： ?和?意到函数系??Amn?Bmn?0?vmnc?vmncAe?Be??mn mn?mn4abmπxnπy??(x,y)sinsindxdy??00abab

??这里，

?mn解出Amn和Bmn，代入级数解，得所求解为：

u(x,y,z)???m?1n?11mπxnπy?mnsh(?m??nz)sin()sin()ab ?m??nc重点难点

第十三章 幂级数解法 本征值问题

重点：二阶常微分方程的幂级数解法

难点：深入理解幂级数解法理论及其普适性；

认识复数的本征函数族并练习仿真其正交性。

本章知识点摘要:

ddy[(1?x2)]?l(l?1)y?0dx1．常点邻域上的幂级数解法：具体以l阶勒让德方程：dx的级数解法

进行了讨论，给出了勒让德方程的解．具体描述为: （1）当l不是整数时，勒让德方程在区间[?1,1]上无有界的解．

（2）当l?n为整数时，勒让德方程的通解为y(x)?c1Pn(x)?c2Qn(x)，其中Pn(x)称为第一类勒让德函数（即勒让德多项式），Qn(x)称为第二类勒让德函数.

d2ydyx?x?(x2??2)y?02dx2．奇点邻域的级数解法 ：?阶贝塞尔方程：dx 的通解综述： y?AJ?(x)?BJ??(x)??n?2（1）当，即不取整数时，通解可表示为

（2）不论?是否为整数，通解都可表示为y?AJ?(x)?BN?(x),其中A,B为任意常数，?为任意

实数．

x??2mJ?(x)??(?1)??2m,(??0)J?(x)2m!?(??m?1)m?0?其中称为阶第一类贝塞尔函数，定义为.

?m 定义第二类贝塞尔函数（又称为诺依曼函数）为

3. 施图姆－刘维尔本征值问题

N?(x)?cos(?π)J?(x)?J??(x)sin(?π)

ddy[k(x)]?q(x)y???(x)y?0 (a?x?b)dx（1）施图姆－刘维尔型方程: dx

（2）施图姆－刘维尔本征值问题的性质

（3）广义傅里叶级数 广义傅里叶系数

对于

f(x)??fnyn(x)n?1?，称右边的级数为广义傅里叶级数，系数fn(n?1,2,?)叫作

1bf(?)ym(?)?(?)d?2?aNm．

f(x)的广

义傅里叶系数．函数族yn(x),(n?1,2,?)叫作这级数展开的基．

广义傅里叶系数的计算公式：解题思路

例 将勒让德方程化成施－刘型方程 【解】由施－刘型方程的标准形式

fm?ddy[k(x)]?q(x)y???(x)y?0 (a?x?b)dxdx

2令?1?x?1， k(x)?1?x,q(x)?0,?(x)?1，即可将勒让德方程转化为施－刘型

方程.

ddy[(1?x2)]??y?0 (?1?x?1)dx dx

重点难点

第十四章 格林函数法

重点：理解格林函数的基本原理；

掌握各区域内格林函数的构建方法

难点：圆形区域第一边值问题的格林函数构建

本章知识点摘要 1. 格林公式

??? 第一格林公式：???? 第二格林公式：

?u?v?dS??????(u?v)dV????u?vdV?????u??vdVTTT

(u?v?u-v)?dS????(u?v-v?u)dVT?n?n

2. 泊松方程方程的格林函数法

（1）定解问题

泊松方程 ?u?f(r) (r?T) 边值条件

（2）格林函数的引入及其物理意义

[?u???u]???(r?)?n

（3）互易定理： G(r,r0)?G(r0,r)

（4）泊松方程的基本积分公式

T

3.无界空间的格林函数

u(r0)????G(r,r0)f(r)dV????[G(r,r0)??u(r)?G(r,r0)?u(r)]dS?n?n

二维轴对称情形的格林函数可选为：

G(r,r0)?11ln2π|r?r0| 14π|r?r0|

三维无界球对称情形的格林函数可选为： 4. 用电像法确定格林函数

电像法： 基于静电学的镜像原理来构建格林函数，故称这种构建方法为电像法（也称为镜像法）．

（1）上半平面区域第一边值问题的格林函数构建

格林函数为

(2)半空间内求解拉普拉斯方程的第一边值问题的格林函数构建

G(r,r0)?G(r,r0)?11111(x?x0)2?(y?y0)2ln?lnG(x,y|x0,y0)?ln[]2π|r?r0|2π|r?r1|即或4π(x?x0)2?(y?y0)2

G(r,r0)?11?4π|r?r0|4π|r?r1|即 格林函数为

11G(r,r0)??4π(x?x0)2?(y?y0)2?(z?z0)24π(x?x0)2?(y?y0)2?(z?z0)2

(3) 圆形区域第一边值问题的格林函数构建

G(?,?0)?111ln?ln2π|???0|2π1

解题思路

我们总结得出格林函数的求法如下：

1?2?02?a4?2??0a2cos(???)|??|G(?,?0)?ln{22}2?04πa[????2??cos(???)]00 即为

a2(1)在给定的区域D内，任取一固定点M0，在M0点处放上适当的正电荷；

(2) 以区域D划分空间为若干部分（有限个或无穷多），在这样的每一个部分内求出M0点关于围成区域D的所有边界的某种对称点或对称点关于边界的对称点：M1,M2,?,Mn.在这些

对称点上放上相应的点电荷.

(3)求这些点电荷M0,M1,M2,?，在区域D内任意一点M处产生的电位V0,V1,V2,?，其中

V0,V1,V2,?的正负取决于点M0,M1,M2,?所带电荷的正负．

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