2012-01-10西城区初三数学试卷（北区）

北京市西城区2011—2012学年度第一学期期末试卷（北区）

九年级数学 2012.1

考1．本试卷共6页，共五道大题，25道小题，满分120分。考试时间120分钟。 生2．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。 须知 3．在答题卡上，选择题、作图题用2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答。 一、选择题（本题共32分，每小题4分）

下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的． ．．1．抛物线y?(x?1)2?1的顶点坐标为

A．(1,1) B．(1,?1) C．(?1,1) D．(?1,?1)

2．若相交两圆的半径分别为4和7，则它们的圆心距可能是 A．2 B．3 C． 6 D．11

3．在Rt△ABC中，∠ C＝90°，若BC＝1，AB=5，则tanA的值为

A．5251 B． C． D．2 552

4．如图，在⊙O中，直径AB⊥弦CD于E，连接BD，若∠D=30°， BD=2，则AE的长为

A．2 B．3 C．4 D．5

5．若正六边形的边长等于4，则它的面积等于

A．483 B．243 C．123 D．43

6．如图，以点D为位似中心，作△ABC的一个位似三 角形A1B1C1，A，B，C的对应点分别为A1，B1，C1， DA1与DA的比值为k，若两个三角形的顶点及点D 均在如图所示的格点上，则k的值和点C1的坐标分 别为

A．2，(2,8) B．4，(2,8) C．2，(2,4) D．2，(4,4)

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7．如图，抛物线y?ax2?bx?c与x轴交于点(?1,0)，对称轴为

x?1，则下列结论中正确的是

A．a?0

B．当x?1时，y随x的增大而增大 C．c?0

D．x?3是一元二次方程ax2?bx?c?0的一个根

8．如图，在平面直角坐标系xOy中，A(2,0)，B(0,2)，⊙C的圆 心为点C(?1,0)，半径为1．若D是⊙C上的一个动点，线段 DA与y轴交于点E，则△ABE面积的最大值是 A．2 B． C．2?

二、填空题（本题共16分，每小题4分）

9．如图，⊙O是△ABC的外接圆，若∠OCB＝40°，则∠A= °．

10．将抛物线y?x2先向下平移1个单位长度后，再向右平移1个 单位长度，所得抛物线的解析式是 ．

11．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，AB=4 ．以斜

边AB的中点D为旋转中心，把△ABC按逆时针方向旋转?角 （0????120?），当点A的对应点与点C重合时，B，C两点 的对应点分别记为E，F，EF与AB的交点为G，此时?等于 ° ，△DEG的面积为 ．

12．已知二次函数y??x2?x，（1）它的最大值为 ；（2）若存在实数m，n使得当

自变量x的取值范围是m≤x≤n时，函数值y的取值范围恰好是3m≤y≤3n，则

m= ，n= ．

8 322 D．2? 2212九年级期末 数学试卷（西城北区）第 2 页（共 6 页）

三、解答题（本题共30分，每小题5分） 13．计算：cos30??3tan60??2sin245?．

14．已知关于x的方程x2?2x?2k?3?0有两个不相等的实数根． （1）求k的取值范围；

（2）若k为符合条件的最大整数，求此时方程的根．

15．已知抛物线y?x2?4x?5.

（1）直接写出它与x轴、y轴的交点的坐标；

（2）用配方法将y?x2?4x?5化成y?a(x?h)2?k的形式．

16．已知：如图，在菱形ABCD中，E为BC边上一点，

∠AED=∠B．

（1）求证：△ABE∽△DEA；

（2）若AB=4，求AE?DE的值．

17．学校要围一个矩形花圃，花圃的一边利用足够长的墙，另

三边用总长为36米的篱笆恰好围成（如图所示）．设矩形 的一边AB的长为x米（要求AB＜AD），矩形ABCD 的面 积为S平方米．

（1）求S与x之间的函数关系式，并直接写出自变量x的取值范围； （2）要想使花圃的面积最大，AB边的长应为多少米？

18．如图，在Rt△ABC中，?C?90?，AB的垂直平分线与BC，AB的交点分别为D，E． 4 （1）若AD=10，sin?ADC?，求AC的长和tanB的值；

5 （2）若AD=1，?ADC=?，参考（1）的计算过程直接写 出tan

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?2的值（用sin?和cos?的值表示）．

四、解答题（本题共20分，每小题5分）

19．如图所示，在平面直角坐标系xOy中，正方形PABC的边长为1，将其沿x轴的正方向

连续滚动，即先以顶点A为旋转中心将正方形PABC顺时针旋转90°得到第二个正方形，再以顶点D为旋转中心将第二个正方形顺时针旋转90°得到第三个正方形，依此方法继续滚动下去得到第四个正方形，…，第n个正方形．设滚动过程中的点P的坐标为(x,y)．

（1）画出第三个和第四个正方形的位置，并直接写出第三个正方形中的点P的坐标； （2）画出点P(x,y)运动的曲线（0≤x≤4），并直接写出该曲线与x轴所围成区域的

面积．

20．已知函数y?x2?bx?c（x ≥ 0），满足当x =1时，y??1，

且当x = 0与x =4时的函数值相等．

（1）求函数y?x2?bx?c（x ≥ 0）的解析式并画出它的 图象（不要求列表）；

（2）若f(x)表示自变量x相对应的函数值，且

?x2?bx?c (x?0), 又已知关于x的方程 f(x)????2 (x?0),f(x)?x?k有三个不相等的实数根，请利用图象直接写出实数k的取值范围．

21．已知：如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，∠BAC的平分线与 ⊙O的交点为D，DE⊥AC，与AC的延长线交于点E． （1）求证：直线DE是⊙O的切线； （2）若OE与AD交于点F，cos?BAC?

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4DF，求的值． 5AF

22．阅读下列材料：

题目：已知实数a，x满足a＞2且x＞2，试判断ax与a?x的大小关系，并加以说明. 思路：可用“求差法”比较两个数的大小，先列出ax与a?x的差y?ax?(a?x)，再 说明y的符号即可.

现给出如下利用函数解决问题的方法：

简解：可将y的代数式整理成y?(a?1)x?a，要判断y的符号可借助函数y?(a?1)x?a的图象和性质解决.

参考以上解题思路解决以下问题：

已知a，b，c都是非负数，a＜5，且 a2?a?2b?2c?0，a?2b?2c?3?0． （1）分别用含a的代数式表示4b，4c； （2）说明a，b，c之间的大小关系．

五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分） 23．已知抛物线y?kx2?(k?2)x?2（其中k?0）．

（1）求该抛物线与x轴的交点坐标及顶点坐标(可以用含k的代数式表示)； （2）若记该抛物线的顶点坐标为P(m,n)，直接写出n的最小值； （3）将该抛物线先向右平移

11个单位长度，再向上平移个单位长度，随着k的变化，2k平移后的抛物线的顶点都在某个新函数的图象上，求这个新函数的解析式（不要

求写自变量的取值范围）．

24．已知：如图，正方形ABCD的边长为a，BM，DN分别平分正方形的两个外角，且满足 ?MAN?45?，连结MC，NC，MN．

（1）填空：与△ABM相似的三角形是△ ，BM?DN= ；（用含a的代

数式表示）

（2）求?MCN的度数；

（3）猜想线段BM，DN和MN之间的等量关系并

证明你的结论．

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25．已知：在如图1所示的平面直角坐标系xOy中，A，C两点的坐标分别为A(2,3)，

C(n,?3)（其中n＞0），点B在x轴的正半轴上．动点P从点O出发，在四边形OABC的边上依次沿O—A—B—C的顺序向点C移动，当点P与点C重合时停止运动．设点P移动的路径的长为l，△POC的面积为S，S与l的函数关系的图象如图2所示，其中四边形ODEF是等腰梯形．

（1）结合以上信息及图2填空：图2中的m= ； （2）求B，C两点的坐标及图2中OF的长；

（3）在图1中，当动点P恰为经过O，B两点的抛物线W的顶点时， ① 求此抛物线W的解析式； ② 若点Q在直线y??1上方的抛物线W上，坐标平面内另有一点R，满足以B，

P，Q，R四点为顶点的四边形是菱形，求点Q的坐标．

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25．已知：在如图1所示的平面直角坐标系xOy中，A，C两点的坐标分别为A(2,3)，

C(n,?3)（其中n＞0），点B在x轴的正半轴上．动点P从点O出发，在四边形OABC的边上依次沿O—A—B—C的顺序向点C移动，当点P与点C重合时停止运动．设点P移动的路径的长为l，△POC的面积为S，S与l的函数关系的图象如图2所示，其中四边形ODEF是等腰梯形．

（1）结合以上信息及图2填空：图2中的m= ； （2）求B，C两点的坐标及图2中OF的长；

（3）在图1中，当动点P恰为经过O，B两点的抛物线W的顶点时， ① 求此抛物线W的解析式； ② 若点Q在直线y??1上方的抛物线W上，坐标平面内另有一点R，满足以B，

P，Q，R四点为顶点的四边形是菱形，求点Q的坐标．

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