初二数学第二讲方程（组）与不等式（教案）

个性化教案 第02讲方程（组）与不等式 适用学科 适用区域 初中数学 全国-人教版 1.解二元一次方程组 2.根据实际问题列二元一次方程 3.根据实际问题列二元一次方程组 4.含字母系数的二元一次方程组 5.解三元一次方程组 6.三元一次方程组的应用 适用年级 初中二年级 课时时长（分钟） 120分钟 知识点 7.一元一次不等式的整数解 8.含字母系数的一元一次不等式 9.根据实际问题列一元一次不等式 10.解一元一次不等式组 11.一元一次不等式组的整数解 12.含字母系数的一元一次不等式组 13.根据实际问题列一元一次不等式组 1.了解二元一次方程（组）的有关概念；掌握代入消元法和加减消元法；能选择恰当的方法解二元一次方程组 2.会运用二元一次方程组解决简单的实际问题 教学目标 3.理解不等式的基本性质，会利用不等式的性质比较两个实数的大小 4.了解一元一次不等式（组）的解的意义，会在数轴上表示或判定其解集；会解一元一次不等式和由两个一元一次不等式组成的不等式组 1

个性化教案 5.能根据具体问题中的数量关系，列出一元一次不等式解决简单问题 1.掌握加减消元法和代入消元法解二元一次方程组，以及用二元一次方程教学重点 组解决实际问题。 2.掌握解不等式（组）的方法，学会列不等式（组）解决实际问题。 1.解含字母参数的二元一次方程组和一元一次不等式 2.求一元一次不等式（组）的整数解 教学难点 3.建立二元一次方程组和一元一次不等式这种数学模型，并应用它们解决实际问题 教学过程

一、复习预习

数学离不开相等和不等.从其意义来说，这是两个既统一又对立的概念，没有相等就无所谓不等，没有不等也无所谓相等.它们之间有着内在的、本质的、密切的联系，在某种条件下可以相互转化.方程探求相等关系，不等式是研究不等关系的重要手段，两者有不同的根基。方程以等式性质为基石，不等式以不等式的基本性质为起点。解方程、解不等式在去分母、去括号、移项、合并同类项这个几个过程是类似的，只是在系数化为1时，不等式两边同时除以同一个负数时不等号的方向改变。

二、知识讲解

1.二元一次方程（组）

（1）代入法解二元一次方程组的一般步骤：①“变”②“代③“解”④“回代”⑤“联” （2）加减消元法解二元一次方程组步骤： ①“乘”②“加减”③“解”④“回代”⑤“联” 2.二元一次方程组应用题

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（1）列二元一次方程组解应用题的一般步骤可概括为“审、找、列、解、答”五步，即： ①审：通过审题，把实际问题抽象成数学问题，分析已知数和未知数，用字母表示未知数； ②找：找出能够表示题意两个相等关系；

③列：根据这两个相等关系列出必需的代数式，从而列出方程组； ④解：解这个方程组，求出两个未知数的值；

⑤答：在对求出的方程的解做出是否合理判断的基础上，写出答案。 （2）列方程组解应用题的常见类型主要有：

①行程问题：包括追及问题和相遇问题，基本等量关系为：路程＝速度×时间； ②工程问题：一般分为两类，一类是一般的工程问题，一类是工作总量为1的工程问题； 基本等量关系为：工作量＝工作效率×工作时间；

③和差倍分问题：基本等量关系为：较大量＝较小量＋多余量，总量＝倍数×1倍量； ④航速问题：此类问题分为水中航行和风中航行两类，基本关系式为： 顺流（风）：航速＝静水（无风）中的速度＋水（风）速； 逆流（风）：航速＝静水（无风）中的速度－水（风）速； ⑤产品配套问题：加工总量成比例；

⑥增长率问题：原量×（1+增长率）=增长后的量，原量×（1+增长率）=减少后的量；

7浓度问题：溶液×浓度=溶质； ○

8利润问题：利润=售价-进价，利润率=[（售价-进价）÷进价]×100%； ○

9几何问题、年龄问题、盈亏问题、数字问题、方案设计问题等。 ○

3.一元一次不等式

（1）求解的一般步骤为：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤系数化为1. （2）一元一次不等式和一元一次方程的异同：

相同点：二者都是只含有一个未知数，未知数的最高次数都是1，左右两边都是整式； 不同点：一元一次不等式表示不等关系(用“＞”、“＜”、“≥”、“≤”连接)，一元一次方程表示相等关系(用“＝”连接)；运用不等式的性质对不等式进行变形时，要特别注意，在乘(除)同一个负数时数，要记住不等号的方向一定要改变。

（3）在用数轴表示不等式的解集时，要确定边界和方向：①边界：有等号的是实心圆圈，无等号的是空心圆圈；②方向：大向右，小向左。

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考点/易错点1

判定一个方程是二元一次方程必须同时满足三个条件：方程两边的代数式都是整式——整式方程；含有两个未知数——“二元”；含有未知数的项的最高次数为1——“一次”。 考点/易错点2

不等式的解集与不等式的解的区别:解集是能使不等式成立的未知数的取值范围，是所

有解的集合，而不等式的解是使不等式成立的未知数的值.解集包括解，所有的解组成解集。 考点/易错点3

解一元一次不等式的注意事项

变形名称 ①不含分母的项不能漏乘； 去分母 ②注意分数线有括号作用，去掉分母后，如分子是多项式，要加括号； ③不等式两边同乘以的数是个负数，不等号方向改变。 ①运用分配律去括号时，不要漏乘括号内的项； 去括号 ②如果括号前是“—”号，去括号时，括号内的各项要变号。 移项 合并同类项 移项变号 合并同类项只是将同类项的系数相加，字母及字母的指数不变。 ①分子、分母不能颠倒； 系数化1 ②不等号改不改变由系数a的正负性决定； ③计算顺序：先算数值后定符号。 注意事项 三、例题精析

【例题1】

?2x?y?5【题干】（2013?凉山州）已知方程组?，则x+y的值为（ ）

x?3y?5? A．﹣1 【答案】D．解：?0 B． 2 C． 3 D． ?2x?y?5①?x?3y?5②，②×2得，2x+6y=10③，③﹣①得，5y=5，解得y=1，

把y=1代入①得，2x+1=5，解得x=2，

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所以，方程组的解是??x?2，所以，x+y=2+1=3．

?y?1【解析】本题考查的是二元一次方程组的解法，方程组中未知数的系数较小时可用代入法，当未知数的系数相等或互为相反数时用加减消元法较简单．

?x?m?3x?4y?2k?3【变式1】已知二元一次方程组?的解为?，且m+n=2，求k的值．

2x?y?3k?4y?n???3m?4n?2k?3?m?k?2?【答案】由题意得?2m?n?3k?4，（2）+（3）得：?，代入（1）得：k=3．

?n??k?m?n?2?【解析】本题的实质是考查三元一次方程组的解法．需要对三元一次方程组的定义有一个深刻的理解．通过解方程组，了解把“三元”转化为“二元”、把“二元”转化为“一元”的消元的思想方法，从而进一步理解把“未知”转化为“已知”和把复杂问题转化为简单问题的思想方法．解三元一次方程组的关键是消元．解题之前先观察方程组中的方程的系数特点，认准易消的未知数，消去未知数，组成元该未知数的二元一次方程组．

【变式2】已知等式（3A﹣B）x+（2A+5B）=5x﹣8对于一切实数x都成立，则A，B的值为（ ）

?A?1 ?A．B??2??A?6 B． ?B??4??A?1 C． ?B?2??A?2 D． ?B?1?【答案】A．原式可化为（3A﹣B﹣5）x+（2A+5B+8）=0，由于对于一切实数x都成立，

?3A?B?5?0?A?1故?，解得?．

2A?5B?8?0B??2??【解析】根据条件“对于一切实数x都成立”，将原式转化为关于A、B的二元一次方程组解答，体现了转化思想的应用。

【例题2】

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?ax?2y?3【题干】方程组?的解适合y＞x＞0，则a的取值范围是（ ）

2x?y?1? A．﹣3＜a＜2 B． 2＜a＜5 C． 1＜a＜4 D． ﹣4＜a＜1 5?ax?2y?3①【答案】D．解：?，②×2得，4x﹣2y=2③，①+③得，（a+4）x=5，解得x=，

a+42x?y?1②?5?x??56?a?a?4， 把x=代入②得，y=，∴方程组的解是?a+4a?4?y?6?a?a?4?5?6?a＞③??a?4a?4∵y＞x＞0，∴?，解不等式③得，a＜1，解不等式④得，a＞﹣4，

5?＞0④?a?4?∴a的取值范围是﹣4＜a＜1．

【解析】先求出二元一次方程组的解然后列出关于a的一元一次不等式组是解题的关键。

?2x?y?5a【变式1】（2013?永春）已知关于x，y的方程组?的解满足x+y＞10，则a的取

x?2y?a?值范围是．

?2x?y?5a①【答案】a＞5。∵?，①+②得，3（x+y）=6a，解得x+y=2a，

?x?2y?a②∵x+y＞10，∴2a＞10，解得a＞5．

【解析】先把a当作已知条件求出x+y的值，再根据x+y＞10即可求出a的不等式．

?x?2y?3【变式2】关于x、y的方程组?，请你分析a、b取何值时，方程组解的情况．

?2x?ay?b?x?2y?3①6?b【答案】解：?，①×2﹣②得：y=。讨论：①当a≠﹣4，b≠6时有无穷解．②

2x?ay?b②4?a?当a=﹣4时无解．③a≠﹣4，b=6时有唯一解．

【解析】本题主要考查了二元一次方程组的解法和分式的性质，在解题时要注意分类讨论．

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【例题3】

?3?x?2??x?4①?【题干】（2013?自贡）解不等式组：?2x?1并写出它的所有的整数解．

＞x?1②??3?3?x?2??x?4①?【答案】解：?2x?1，解不等式①得，x≥1，解不等式②得，x＜4，

＞x?1②??3所以，不等式组的解集是1≤x＜4，所以，不等式组的所有整数解是1、2、3．

【解析】本题主要考查了一元一次不等式组解集的求法，其简便求法就是用口诀求解．求不等式组解集的口诀：都大取大，都小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）．

?xx?1?＞0??23【变式1】（2010?荆门）试确定实数a的取值范围，使不等式组?恰5a+44?x+＞?x?1??a?33?有两个整数解．

xx+12＞0，两边同乘以6得3x+2（x+1）＞0，解得x＞﹣， +2355a+44由x+＞(x+1)+a，两边同乘以3得3x+5a+4＞4（x+1）+3a，解得x＜2a，

332∴原不等式组的解集为﹣＜x＜2a．

5【答案】解：由

又∵原不等式组恰有2个整数解，即x=0，1；则2a较大值在1（不含1）到2（含2）之间， ∴1＜2a≤2，∴0.5＜a≤1．

【解析】此题考查的是一元一次不等式的解法，得出x的整数解，再根据x的取值范围求出a的值即可．

?3x?y?2a?5【变式2】若关于x，y的方程组?的解为正数，求a的取值范围．

x?2y?3a?3?【答案】解：??3x?y?2a?5①?x?2y?3a?3②，①×2得，6x﹣2y=4a﹣10③，②+③得，7x=7a﹣7，解得

x=a﹣1，把x=a﹣1代入①得，3（a﹣1）﹣y=2a﹣5，解得y=a+2，

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?x?a?1?a?1＞0③所以，方程组的解是?，∵方程组的解是正数，∴?，

y?a?2a?2＞0④??解不等式③得，a＞1，解不等式④得，a＞﹣2，所以，不等式组的解集是a＞1，

【解析】本题考查的是含参数的二元一次方程组的解法，一元一次不等式组的解法，此类题目，先准确求出方程组的解是解题的关键。

【例题4】

【题干】有收录机、钢笔和书包三种物品，若购买收录机3台，钢笔6支，书包2个共需302元，若购买收录机5台，钢笔11支，书包3个共需508元，则购买收录机、钢笔、书包各一个需要元．

【答案】96．解：设收录机、钢笔和书包三种物品的单价分别为x、y和z元，

?3x?6y?2z?302①根据题意得：?，②﹣①得：2x+5y+z=206③，①﹣③得：x+y+z=96，

5x?11y?3z?508②?∴购买收录机、钢笔、书包各一个需要96元．

【解析】本题考查不定方程及三元一次方程组的应用，将生活中的事件用数学思想进行求解．

【变式1】如果2x+3y-z=0，且x-2y+z=0，那么 ?A．1 7B． ? 15x的值为（） z1C． 2D． ﹣3 ?2x?3y?z＝0①xx1【答案】A．?，①×2+②×3得7x+z=0，即z=-7x，所以= ??。

x?2y?z＝0②z?7x7?【解析】由于两个方程含有三个未知数，为不定方程组，只能用一个未知数来表示另外两个未知数，然后化简

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x。 z 个性化教案

x2+y2+z2【变式2】已知3x﹣4y﹣z=0，2x+y﹣8z=0，求的值．

xy+yz+zx【答案】解：由3x﹣4y﹣z=0，2x+y﹣8z=0求得x=3z，y=2z，代入原式，原式=

9+4+114 =．

6+2+311【解析】本由已知条件列出方程组，用含z的式子把x，y表示出来，再代入代数式求值．

【例题5】

【题干】一个两位数，交换它的十位数字与个位数字所得的两位数是原来两位数的则这样的两位数有（ ） A．1个 B． 2个 C． 3个 D． 4个 7倍，4【答案】D．设原两位数的个位数为x，十位数为y（x，y为自然数），原两伴数为10y+x，新两位数为10x+y，根据题意得：10x+y=

7?10y?x?，化简得：x=2y，因为x，y为1﹣9内4的自然数，故12、24、36、48，共4个．

【解析】本题考查了二元一次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解，注意不要漏解．

【变式1】1．现用190张铁皮做盒子，每张铁皮做8个盒身或做22个盒底，而一个盒身与两个盒底配成一个盒子，设用x张铁皮做盒身，y张铁皮做盒底，则可列方程组为（ ）

?x?y?190 ?A．2?8x?22y??x?y?190 B． ?2?22y?8x??2y?x?190 C． ?8x?22y??2y?x?190 D． ?2?8x?22y?【答案】A．解：根据共有190张铁皮，得方程x+y=190；根据做的盒底数等于盒身数的2

?x?y?190倍时才能正好配套，得方程2×8x=22y．列方程组为?．

2?8x?22y?【解析】题中的等量关系：①共有190张铁皮；②盒底数=2×盒身数．

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【变式2】（2011?长春）在长为10m，宽为8m的矩形空地中，沿平行于矩形各边的方向分割出三个全等的小矩形花圃，其示意图如图所示．求小矩形花圃的长和宽．

?2x?y?10?x?4【答案】解：设小矩形的长为xm，宽为ym，由题意得：?，解得：?．

x?2y?8y?2??答：小矩形的长为4m，宽为2m．

【解析】由图形可看出：小矩形的2个长+一个宽=10m，小矩形的2个宽+一个长=8m，设出长和宽，列出方程组即可得答案．

【变式3】甲市到乙市航线长1200km，一架飞机从甲市顺风航行至乙市需2.5h，从乙市逆风航行至甲市需要3h，求飞机的速度与风速．

13??x?y??2.5?1200?x?420?【答案】解：设飞机的速度为xkm/h，风速为ykm/h．则?，解得? 1??x?y?3?1200y?60??3?答：飞机的速度为420km/h，风速为60km/h．

【解析】在做飞机飞行的问题时，通常要用到的等量关系为：（飞机的速度+风速）×顺风时间=顺风路程；（飞机的速度﹣风速）×逆风时间=逆风路程．

【变式4】（2013?西宁）青海新闻网讯：西宁市为加大向国家环境保护模范城市大步迈进的步伐，积极推进城市绿地、主题公园、休闲场地建设．园林局利用甲种花卉和乙种花卉搭配成A、B两种园艺造型摆放在夏都大道两侧．搭配数量如下表所示：

A种园艺造型（个） B种园艺造型（个） 甲种花卉（盆） 80盆 50盆 乙种花卉（盆） 40盆 90盆 10

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（1）若搭配一个A种园艺造型和一个B种园艺造型共需500元．若园林局搭配A种园艺造型32个，B种园艺造型18个共投入11800元．则A、B两种园艺造型的单价分别是多少元？ （2）若搭配A、B两种园艺造型共50个，某校学生课外小组承接了搭配方案的设计，其中甲种花卉不超过3490盆，乙种花卉不超过2950盆，问符合题意的搭配方案有几种？请你帮忙设计出来．

【答案】解：（1）设A种园艺造型单价为x元，B种园艺造型单价为y元，根据题意得：

?x?y?500?x?200，解此方程组得：?， ?32x?18y?11800y?300??答：A种园艺造型单价是200元，B种园艺造型单价是300元．

（2）设搭配A种园艺造型a个，搭配B种园艺造型（50﹣a）个，根据题意得：

?80a?50?50?a??3490，解此不等式组得：31≤a≤33， ???40a?9050?a?2950?∵a是整数，∴符合题意的搭配方案有3种，如下：

方案1 方案2 方案3 A种园艺造型（个） 31 32 33 B种园艺造型（个） 19 18 17 【解析】（1）先设A种园艺造型单价为x元，B种园艺造型单价为y元，根据搭配一个A种园艺造型和一个B种园艺造型共需500元，园林局搭配A种园艺造型32个，B种园艺造型18个共投入11800元，列出方程组，求出x，y的值即可；（2）设搭配A种园艺造型a个，搭配B种园艺造型（50﹣a）个，根据甲种花卉不超过3490盆，乙种花卉不超过2950盆，列出不等式组，求出a的取值范围，即可得出符合题意的搭配方案． 【例题6】

【题干】某城市出租车的收费标准是：起步价7元（即行驶距离不超过3千米都需付7元车费），超过3千米，每增加l千米，加收2.4元（不足1千米按1千米付费）．某人乘这种出租车从甲地到乙地共付车费19元，他乘出租车从甲地到乙地行驶的路程不超过多少千米？ 【答案】解：设他乘此出租车从甲地到乙地行驶的路程是x千米，依题意： 7+2.4（x﹣3）≤19，解得：x≤8．

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答：他乘此出租车从甲地到乙地行驶路程不超过8千米．

【解析】已知从甲地到乙地共需支付车费19元，从甲地到乙地经过的路程为x千米，首先去掉前3千米的费用，从而根据题意列出不等式，从而得出答案．

【变式1】列不等式组解应用题：一群女生住若干间宿舍，每间住4人，剩19人无房住；每间住6人，有一间宿舍住不满，可能有多少间宿舍，多少名学生？ 【答案】解：设有x间宿舍．0＜4x+19﹣6（x﹣1）＜6，9.5＜x＜12.5 ∴x可取10、11或12，∴学生数为59或63或67人．

答：有10间宿舍59名学生或11间宿舍，63名学生或12间宿舍，67名学生． 【解析】设宿舍数为未知数，根据最后一间宿舍住不满列式求出整数解即可．

【变式2】某次知识竞赛共有25道选择题，规定答对一道题得4分，答错或不答一道题扣1分．在这次竞赛中，小明被评为优秀（85分或85分以上）请问小明至少要答对几道题？小明可能答对了几道题？ 【答案】

解：设小明答对了x道题，则他答错或不答的共有（25﹣x）道题，由题意得

4x﹣（25﹣x）×1≥85，解得x≥22．

答：小明至少答对了22道题，他可能答对了22，23，24或25道题．

【解析】将答对题数所得的分数减去答错或不答所扣的分数，在由题意知小明答题所得的分数大于等于85分，列出不等式即可．

四、课堂运用 【基础】

?2x?m?1①1.（2012?雅安）由方程组?可得出x与y的关系是（ ）

y?3?m②? 2x+y=4 A．B． 2x﹣y=4 C． 2x+y=﹣4 D． 2x﹣y=﹣4 ?2x?m?1①【答案】A．解：?，把②代入①得2x+y﹣3=1，即2x+y=4．

y?3?m②?12

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【解析】把②中m的值代入①即可求出x与y的关系式．

?x?4?y?32.如果方程组?的解与方程组?的解相同，则a，b的值是（ ）

ax?by?5bx?ay?2???a?2 A． ?b?1??a?2 B． ?b??1??a??2 C． ?b?1??a??2 D． ?b??1??x?4【答案】B．解法一：由于两个方程组的解相同，所以这个相同的解是?，

y?3??x?4?4a?3b?5?a?2把?代入方程中其余两个方程得?，解得?．

?b??1?y?3?4b?3a?2解法二：把两个方程相加得7a+7b=7，∴a+b=1，只有答案B满足此条件。 【解析】此题考查了对同解方程组解的理解。

3.某次知识竞赛共有20道选择题，对于每一道题，答对了得10分，答错或不答扣3分，小明要想得分不少于70分，请问他至少要答对几道题（ ） 12 A．13 B． 10 C． 16 D． 【答案】C．解：设答对了x道题，则答错或不答的题为（20﹣x）道，依题意得： 10x﹣3（20﹣x）≥70，得x≥10，即至少要答对10道题．

【解析】关键描述语：其得分不少于70分，即答对题的总分减去不答或答错题的总分应大于等于70分，列出不等式求解即可．

4.已知不等式4x﹣a≤0的正整数解是1，2，则a的取值范围是．

a，因为正整数解是1，2，而只有当4a不等式的解集为x≤2，x≤2.1，x≤2.2等时，但x＜3时，其整数解才为1，2，则2≤＜3，

4【答案】8≤a＜12解：不等式4x﹣a≤0的解集是x≤即a的取值范围是8≤a＜12．

【解析】先求出不等式的解集，再根据整数解为1，2逆推a的取值范围．

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?2x?y?2a5.已知关于x，y的二元一次方程组?的解互为相反数，求x，y，a的值．

3x?2y?4?2a?①?2x?y?2a?【答案】解：由题意得，?3x?2y?4?2a②，①+②得，5x+3y=4④，④﹣③×3得，2x=4，

?x?y?0③?解得x=2，把x=2代入③得，2+y=0，y=﹣2，把x=2，y=﹣2代入①得，2×2﹣2=2a，a=1． 故a=1，x=2，y=﹣2．

【解析】先根据已知条件得出三元一次方程组，再解关于x、y、z的三元一次方程组．

?x?y?2?6.如果方程组?y?z?3，的解也是方程3x+my+2z=0的解，求m的值．

?z?x?1??x?y?2①?z?x?1?【答案】解：?y?z?3②，①+②，得x﹣z=5④，③④组成方程组?，

x?z?5??z?x?1③??x?3解得?，把x=3代入①，得y=1，

z??2??x?3?x?3??故原方程组的解是?y?1，把?y?1代入3x+my+2z=0，得9+m﹣4=0，解得m=﹣5．

?z??2?z??2??【解析】本题考查了解三元一次方程组，解题的关键是掌握消元思想．

?2x?y?2a7.已知关于x，y的方程组?的解满足x＞y，求a的取值范围．

x?3y?a?1?2?2x?y?2a①【答案】解：?，②×2﹣①得：7y=﹣2，y=﹣，

7?x?3y?a?1②把y=﹣

221121代入①得：2x﹣（﹣）=2a，解得：x=a﹣，x＞y，∴a﹣＞﹣，∴a＞﹣。 777777【解析】先用加减消元法消去未知数x，同时也消去了a从而求出y的值，把y的值代入方程即可求出x的值，然后把x、y的值代入不等式，即可求出a的取值范围。

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个性化教案

?x?y?1?8.解三元一次方程组：?x?y?z?26

?2x?y?z?18?①?x?y?1?【答案】解：已知方程组，?x?y?z?26②，将方程①+②得，2x+z=27④，将方程②+

?2x?y?z?18③?③得，3x+2z=44⑤，将④×3﹣⑤×2得z=7，将z值代入⑤得，x=10，把x=10代入①得，y=9．

?x?10?∴三元一次方程组的解为?y?9．

?z?7?【解析】此题考查三元一次方程解的定义和解法，解三元一次方程跟解二元一次方程组一样，首先要消元，然后再移项、系数化为1，来求解，同时也考查学生的计算能力．

?x?39.甲、乙两人同求方程ax﹣by=7的整数解，甲求出一组解为?，而乙把ax﹣by=7中的

y?4??x?17错看成1，求得一组解为?，试求a、b的值．

y?2?【答案】解：把x=3，y=4代入ax﹣by=7中，得3a﹣4b=7①，

?a?5把x=1，y=2代入ax﹣by=1中，得a﹣2b=1②，解由①②组成的方程组得，?．

b?2?【解析】此题考查了学生的分析能力，解题的关键是找到关于a、b的方程组．

10.有一个专项加工茶杯车间，一个工人每小时平均可以加工杯身12个，或者加工杯盖15个，车间共有90人，应怎样分配人力，才能使生产的杯身和杯盖正好配套？ 【答案】解：设加工杯身的人数为x人，加工杯盖的人数为y人，由题意，得：

?x?y?90?x?50，解得． ???12x?15y?y?40答：加工杯身的人数为50人，加工杯盖的人数为40人．

【解析】等量关系：加工杯身人数+加工杯盖人数=90，加工的杯身个数=加工的杯盖个数。

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个性化教案

【巩固】

1.与已知二元一次方程5x﹣y=2组成的方程组有无数多个解的方程是（ ） 10x+2y=4 A．B． 4x﹣y=7 C． 20x﹣4y=3 D． 15x﹣3y=6 【答案】D。解：15x﹣3y=6化简得：5x﹣y=2，则15x﹣3y=6与二元一次方程5x﹣y=2组成的方程组有无数多个解．

【解析】找出方程整理后与已知方程相同的方程即可．

2.某校组织部分师生到甲地考察，学校到甲地的全程票价为25元，对集体购票，客运公司有两种优惠方案供选择：方案1：所有师生按票价的88%购票；方案2：前20人购全票，从第21人开始，每人按票价的80%购票．你若是组织者，请你根据师生人数讨论选择哪种方案更省钱？

【答案】解：设师生人数为x人，则按方案1：收费为25×88%?x=22x； 按方案2收费为：25×20+25（x﹣20）80%=20x+100；

答：（1）由22x＜20x+100得x＜50，即当0<师生人数＜50人时，选择方案1更省钱； （2）由22x=20x+100得x=50，即当师生人数等于50人时，两种方案所需的费用一样多； （3）由22x＞20x+100得x＞50，即当师生人数＞50人时，选择方案2更省钱．

【解析】方案1的收费=师生人数×25×88%，方案2的收费=20×25+（师生人数﹣20）×25×80%，将两者的收费进行比较，从而可根据师生人数确定选择何种方案．

3.（2002?常州）一个三位数，它的十位上的数字是百位上数字的3倍，个位上数字是百位上数字的2倍，设这个三位数个位上的数字是x，十位上的数字为y，百位上的数字为z （1）用含x，y，z的代数式表示这个三位数；； （2）用含z的代数式表示这个三位数：； （3）写出所有满足题目条件的三位数：．

【答案】（1）x在个位上，直接用x表示；y在十位上，表示y个10，用10y表示；z在百位上，表示z个100，用100z表示，用含x，y，z的代数式表示这个三位数为100z+10y+x；

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个性化教案

（2）因为该数的十位上的数字是百位上数字的3倍，个位上数字是百位上数字的2倍，所以y=3z，x=2z，于是100z+10y+x=100z+10×3z+2z=132z；

（3）当z=1时，y=3z=3，x=2z=2，该数为132；当z=2时，y=3z=6，x=2z=4，该数为264；当z=3时，y=3z=9，x=2z=6，该数为396；当z＞3时，该数不存在．

【解析】此题首先要掌握数字的表示方法，每个数位上的数字乘以位数再相加，再讨论求解．

?4?x?1??2＞3x?4.（2010?资阳）关于x的不等式组?求a的取值范围． 6x?a有且只有三个整数解，

x?1＜?7?【答案】解不等式4（x﹣1）+2＞3x，得：x＞2，解不等式x﹣1＜∵此不等式组有且只有三个整数解，∴这三个整数解为3，4，5， ∴5＜7﹣a≤6，解得1≤a＜2．∴实数a的取值范围是1≤a＜2． 【解析】此题考查的是一元一次不等式的解法和特殊解．

5.商场购进菜种商品100件，每件按进价加价30元售出全部商品的65%，然后将售价下降10%，降价后每件仍可以获利18元，又售出全部商品的25% （1）试求出该商品的进价；

（2）为了确保这批商品的总利润不低于25%，剩余商品的售价应不低于多少元？

【答案】解：（1）设该商品的进价为x元，依题意得（x+30）（1﹣10%）﹣x=18，解得：x=90， （2）设剩余商品的售价应不低于y元，依题意得：65%×100×30为售出100件的65%所或利润，25%×100×18为售出25%所获利润，10%×100?（y﹣90）为剩余商品利润，故有65%×100×30+25%×100×18+10%×100?（y﹣90）≥100×90×25%，解得：y≥75 答：（1）该商品的进价为90元；（2）剩余商品的售价应不低于75元．

【解析】（1）通过理解题意可知本题的等量关系，即获利=销售额﹣成本，根据这个等量关系，可列出方程组，再求解．（2）剩余商品的售价应不低于多少元即剩余商品的售价大于或等于剩余商品的获利．

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6x?a，得：x＜7﹣a， 7 个性化教案

【拔高】

1.（2013?云南）某中学为了绿化校园，计划购买一批榕树和香樟树，经市场调查榕树的单价比香樟树少20元，购买3棵榕树和2棵香樟树共需340元． （1）请问榕树和香樟树的单价各多少？

（2）根据学校实际情况，需购买两种树苗共150棵，总费用不超过10840元，且购买香樟树的棵树不少于榕树的1.5倍，请你算算，该校本次购买榕树和香樟树共有哪几种方案． 【答案】解：（1）设榕树的单价为x元/棵，香樟树的单价是y元/棵，

?x?y?20?x?60根据题意得，?，解得?，

?3x?2y?340?y?80答：榕树和香樟树的单价分别是60元/棵，80元/棵； （2）设购买榕树a棵，则购买香樟树为（150﹣a）棵，

?60a?80?150?a??10840①根据题意得，?，

②?150?a?1.5a解不等式①得，a≥58，解不等式②得，a≤60，所以，不等式组的解集是58≤a≤60， ∵a只能取正整数，∴a=58、59、60，因此有3种购买方案： 方案一：购买榕树58棵，香樟树92棵， 方案二：购买榕树59棵，香樟树91棵， 方案三：购买榕树60棵，香樟树90棵．

【解析】（1）设榕树的单价为x元/棵，香樟树的单价是y元/棵，然后根据单价之间的关系和340元两个等量关系列出二元一次方程组，求解即可；（2）设购买榕树a棵，表示出香樟树为（150﹣a）棵，然后根据总费用和两种树的棵数关系列出不等式组，求出a的取值范围，在根据a是正整数确定出购买方案．

2.有三种物品，每件的价格分别是2元、4元和6元，现在用60元买这三种物品（三种物品均需买到），总数共买16件，而钱要恰好用完，则价格为6元的物品最多买几件？价格为2元的物品最少买几件？

【答案】解：设价格为2元的物品买x件，4元的买y件，6元的买z件，

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个性化教案

?x?y?z?16?y?14?2z则?，解得?，

2x?4y?6z?60x?2?z??由y＞0得，z＜7，而z为整数，z=1，2，3，4，5，6，对应地，

?x?3?x?8?x?7?x?6?x?5?x?4??????方程组的解分别为：?y?2，?y?4，?y?6，?y?8，?y?10，?y?12．

?z?1?z?6?z?5?z?4?z?3?z?2??????于是价格为6元的物品最多买6件，价格为2元的物品最少买3件．

【解析】解答此题的关键是列出方程组，用代入消元法或加减消元法求出方程组的解．

3.（2013?恩施州）某商店欲购进甲、乙两种商品，已知甲的进价是乙的进价的一半，进3件甲商品和1件乙商品恰好用200元．甲、乙两种商品的售价每件分别为80元、130元，该商店决定用不少于6710元且不超过6810元购进这两种商品共100件． （1）求这两种商品的进价．

（2）该商店有几种进货方案？哪种进货方案可获得最大利润，最大利润是多少？ 【答案】解：设甲商品的进价为x元，乙商品的进价为y元，由题意，得

1??x?40?x?y，解得：?． 2??y?80??3x?y?200答：商品的进价为40元，乙商品的进价为80元；

（2）设购进甲种商品m件，则购进乙种商品（100﹣m）件，由题意，得

?40m?80?100?m??671031，解得：29≤m≤32 ?44?40m?80?100?m??6810∵m为整数，∴m=30，31，32，故有三种进货方案： 方案1，甲种商品30件，乙商品70件， 方案2，甲种商品31件，乙商品69件， 方案3，甲种商品32件，乙商品68件，

设利润为W元，由题意，得W=40m+50（100﹣m）=﹣10m+5000 ∵k=﹣10＜0，∴W随m的增大而减小，∴m=30时，W最大=4700． 【解析】根据利润=售价﹣进价建立解析式求出结论．

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个性化教案

课程小结

1. 解二（三）元一次方程组与一元一次不等式（组） 2. 含字母系数的二元一次方程组与一元一次不等式（组） 3. 一元一次不等式（组）的整数解

4. 实际问题与方程（组）和一元一次不等式（组）

课后作业

【基础】

?2x?y?41.（2011?台湾）若二元一次联立方程式?的解为x=a，y=b，则a+b之值为何（ ）

x?2y?7? 1 A．3 B． 4 C． 6 D． ?2x?y?4①【答案】A．解：?，①﹣2×②得，5y=﹣10，y=﹣2，代入②中得，x+4=7，解

x?2y?7②?得x=3，∴a+b=3+（﹣2）=1。

【解析】将其中一个方程两边乘以一个数，使其与另一方程中x的系数互为相反数，再将两方程相加，消去一个未知数，达到降元的目的．

?5x?y?3?x?2y?52.已知方程组?和?有相同的解，则a，b的值为（ ）

ax?5y?45x?by?1???a?14 ?A．b?2??a?4 B． ??b??6?a??6 C． ??b?2?a?1 D． ?b?2??5x?y?3?x?1?ax?5y?4?a?10?4【答案】A．解：解方程组?，得?，代入方程组?，得到?，

y??2x?2y?55x?by?15?2b?1?????a?14解得?。

b?2?【解析】本题主要考查了方程组的解的定义，首先求出方程组的解是解决本题的关键．

20

个性化教案

?3x?7y?3①3.用加减消元法解方程组?的最佳策略是（ ）

9x?2y?23②? ②﹣①×3，消去x A．

C． ①×2+②×7，消去y

B． ①×9﹣②×3，消去x D． ①×2﹣②×7，消去y

【答案】A．解：∵②中x的系数为①中x系数的倍数，故把①进行变形先消去x较简单． ∴②﹣①×3，消去x较简单．

【解析】注意观察两方程的特点，寻找相应的未知数之间的关系，消去易通分的未知数即可．

4.（2006?河北）《九章算术》是我国东汉年间编订的一部数学经典著作，在它的“方程”一章里一次方程组是由算筹布置而成的．《九章算术》中的算筹图是竖排的，为看图方便，把它改为横排，如图（1）、（2），图中各行从左到右列出的算筹数分别表示未知数x，y的系数与

?3x?2y?19对应的常数项，把图（1）所示的算筹图中方程组形式表述出来，就是?类似地，

x?4y?23?图（2）所示的算筹图可表述为（ ）

?2x?y?11 ?A．4x?3y?27??2x?y?11 B． ?4x?3y?22??3x?2y?19 C． ?x?4y?23??2x?y?6 D． ?4x?3y?27?【答案】A．根据已知，第一个方程是2x+y=11；第二个方程是4x+3y=27，则方程组为

?2x?y?11． ?4x?3y?27?【解析】结合已知的方程组理解算筹表示的实际数字，发现：前两项是x、y的系数，后一项是方程右边的常数项，十位数用横线表示，个位数用竖线表示，满五用横线表示．

5.若不等式a≤x≤2有五个整数解，则a的取值范围是 ．

【答案】﹣3＜a≤﹣2。解：∵不等式a≤x≤2有五个整数解，∴﹣3＜a≤﹣2，

21

个性化教案

【解析】根据不等式的解集和不等式的整数解的个数得出﹣3＜a≤﹣2，即可得到答案．

6.解方程（组）

?x?y?z??1?2?3x?1??3?3y?（1）?5x?2y?z?6（2）?．

3x?1?2y??4x?3y?2z??5?①?x?y?z??1?【答案】（1）?5x?2y?z?6②，①+②得：6x+y=5，④，②×2+③得：14x+y=7⑤，

?4x?3y?2z??5③?117179，把x=代入④得：y=，把x=，y=代入①得：z=， 4424241?x??4?7?则原方程的解是：?y?；

2?9?z??4?⑤﹣④得：8x=2，x=

?2?3x?1??3?3y?6x?3y?5①7（2）?，原方程变形为：?，①×2﹣②×3得：3x=7，x=，

3?3x?1?2y?3x?2y?1②7?7?x?把x=代入①得：y=3，则原方程的解是；?3．

3??y?3【解析】此题考查了一元一次方程的解、二元一次方程组和三元一次方程组的解． 7.（2013?贵港）在校园文化建设中，某学校原计划按每班5幅订购了“名人字画”共90幅．由于新学期班数增加，决定从阅览室中取若干幅“名人字画”一起分发，如果每班分4幅，则剩下17幅；如果每班分5幅，则最后一班不足3幅，但不少于1幅． （1）该校原有的班数是多少个？ （2）新学期所增加的班数是多少个？ 【答案】解：（1）原有的班数为：

90=18个； 5（2）设增加后的班数为x，则“名人字画”有4x+17，

?4x?17?5?x?1?＜3由题意得，?，解得：19＜x≤21，∵x为正整数，∴x可取20，21，

??4x?17?5x?1?1?22

个性化教案

故新学期所增加的班数为2个或3个．

【解析】本题考查了一元一次方程的应用，难点在第二问，关键是设出未知数，表示出“名人字画”的数量，根据不等关系建立不等式组，难度一般．

8.某旅行团到内江观赏在甜城湖举行的“中美澳艺术滑水对抗赛”，安排住宿时发现，如果每间宿舍住3人，则有18人没有宿舍住；如果每间住6人，则有一间不空也不满．求该旅行团有多少人及安排住宿的房间有多少间？

?y?3x?18【答案】解：设有房间x间，旅行团有y人，由题意，得?，解得：6＜x＜8，

?6?x?1?＜y＜6x∵x为整数，∴x=7，∴有房间7件．∴旅行团有3×7+18=39人

【解析】设有房间x间，旅行团有y人，就有y=3x+18，由题意可以建立不等式组6（x﹣1）＜y＜6x，求出不等式组的解救可以得出结论．

9.某车间有工人56名，生产一种螺栓和螺母，每人每天平均能生产螺栓24个或螺母36个，应分配多少人生产螺栓，多少人生产螺母，才能使一个螺栓配2个螺母刚好配套？ 【答案】解：设应分配x人生产螺栓，y人生产螺母，才能使一个螺栓配2个螺母刚好配套，

?x?y?56?x?24根据题意，得?，解得?

36y?2?24xy?32??答：应分配24人生产螺栓，32人生产螺母．

【解析】此类题目的解决需仔细分析题意，利用方程组即可解决问题，但应注意配套问题中零件数目的关系．

?2?x?y?x?y1????10.（2013?黄冈）解方程组：?3412．

?3?x?y??2?2x?y?=3??5x?11y??1①【答案】解：方程组可化为?，由②得，x=5y﹣3③，

?x?5y?3②?③代入①得，5（5y﹣3）﹣11y=﹣1，解得y=1，把y=1代入③得，x=5﹣3=2，

23

个性化教案

?x?2所以，原方程组的解是?．

y?1?【解析】本题考查的是二元一次方程组的解法，方程组中未知数的系数较小时可用代入法，当未知数的系数相等或互为相反数时用加减消元法较简单． 【巩固】

?3x?y?11.已知关于x、y的方程组?无解，则m的值是（ ）

2x?my?2? A．m=﹣6 【答案】

B． m=﹣3 2C． m=﹣2 3m=6 D． ①?3x?y?1C．解：原方程组?，由①式得y=3x﹣1，代入②式得：2x+m

2x?my?2②?（3x﹣1）=2，x=

2+m2，∵原方程组无解，∴当2+3m=0时原方程组无解，m=﹣．

2+3m3【解析】由第一个方程可得到y=3x﹣1，把此式代入第二个方程求x的解，当分式分母为零时原方程无解，求m的值即可．

2.（2012?甘孜州）为了鼓励居民节约用水，某地规定用水收费标准如下：若每户每月的用水量不超过20方（1方=1米），水费为x元/方；若超过20方，不超过部分仍为x元/方，超过部分为y元/方．已知某用户四月份用水l5方，交水费30元，五月份用水30方，交水费70元．

（1）求x，y的值；

（2）若估计该用户六月份的水费支出不少于64元，但不超过91元．求该用户六月份的用水量W的取值范围．

【答案】解：（1）根据题意得：x=30÷15=2；y=（70﹣20×2）÷（30﹣20）=3；

（2）根据题意得：64≤20×2+3（W﹣20）≤91，解得：28≤W≤37，即该用户六月份的用水量W的取值范围为28≤W≤37．

【解析】（1）根据某用户四份用水15方，交水费30元，五月份用水30方，交水费70元，分别求出x和y的值即可；（2）根据该用户六月份的水费支出不少于64元，但不超过91元

24

3

个性化教案

列一元一次不等式组求解即可．

3.已知关于x，y的二元一次方程（a﹣3）x+（2a﹣5）y+6﹣a=0，当a每取一个值时就有一个方程，这些方程有一个公共解． （1）求出这个公共解；

（2）请说明，无论a取何值，这个公共解都是二元一次方程（a﹣3）x+（2a﹣5）y+6﹣a=0的解．

【答案】解：（1）原方程去括号整理得：（x+2y﹣1）a﹣3x﹣5y+6=0，由题意得：

?x?2y?1?0?x?7，解得； ??y??3?3x?5y?6?0??（2）∵把（a﹣3）x+（2a﹣5）y+6﹣a=0化为下面的形式：（x+2y﹣1）a﹣3x﹣5y+6=0，

?x?2y?1?0?x?7∴?，解得?

?y??3??3x?5y?6?0∴无论a取何值，这个公共解都是二元一次方程（a﹣3）x+（2a﹣5）y+6﹣a=0的解 【解析】（1）先把原方程去括号整理得出（x+2y﹣1）a﹣3x﹣5y+6=0，再由题意得出

?x?2y?1?0，解方程即可；（2）按照（1）的思路去做。 ??3x?5y?6?0?

4.（2010?双流县）双流县新城湿地公园工程指挥部计划在休闲地带铺设地砖1600m，由甲、乙两个工程队合作完成．如果甲工程队先单独做5天，余下工程由乙队单独完成需要2天；如果甲工程队先单独做2天，余下工程由乙队单独完成需要4天．那么甲、乙两个工程队哪一个工程队的工作效率高？高多少？

【答案】解：设甲队每天铺地砖xm，乙队每天铺地砖ym

2

2

2

?5x?2y?1600?x?200由题意得：?，解之得：?，∴y﹣x=100

2x?4y?1600y?300??答：乙队的工作效率高于甲队工作效率，高100m/天．

【解析】本题考查理解题意的能力，关键是设出甲，乙每天铺多少米，然后根据铺完1600米做为等量关系列方程求解．

25

2

个性化教案

?3x?y?5?2x?3y?4?05.已知关于x、y的方程组?与?有相同的解，求a、b的值．

4ax?5by??22ax?by?8?0???19x???3x?y?5?7， 【答案】解：据题意得?，解得??2x?3y?4?0?y?22?7?11014?76?a?b??22a?????719． 代入其他两个方程，可得方程组为?7，解得??19a?22b?8?0?b??21??711??7【解析】此题比较复杂，考查了学生对方程组有公共解定义的理解能力及应用能力． 【拔高】

1.（2011?郑州模拟）某工厂用如图1所示的长方形和正方形纸板，做成如图2所示的A种与B种两种长方体形状的无盖纸盒．现有正方形和长方形纸板共502张，其中正方形纸版比长方形纸板少138张．

（1）求长方形纸板和正方形纸板的张数；

（2）若要生产两种纸盒共100个，按两种纸盒的生产个数分，有哪几种生产方案？

【答案】解：（1）设长方形纸板有x张，正方形纸板有y张，

?x?y?502?x?320则根据题意可得?，解得?

x?y?138y?182??则长方形纸板有320张，正方形纸板有182张．

（2）设做A种纸盒a个，则B种纸盒需做（100﹣a）个．

?a?2?100?a??182由题意可得?，解这个不等式组，得18≤a≤20．

??4a?3100?a?320?26

个性化教案

又∵a是正整数，∴a=18，19，20．∴共有如下三种生产方案： 方案一：A种18个，B种82个； 方案二：A种19个，B种81个； 方案三：A种20个，B种80个．

【解析】考查二元一次方程组及一元一次不等式组的应用；根据使用材料的张数不能多于备选材料的张数得到关系式是解决本题的难点．

3.（2008?高淳）阅读下列材料，然后解答后面的问题：

?2x?3y?12我们知道二元一次方程组?的求解方法是消元法，即可将它化为一元一次方

3x?3y?6??2x?3y?12程来解，可求得方程组?有唯一解．

3x?3y?6?

我们也知道二元一次方程2x+3y=12的解有无数个，而在实际问题中我们往往只需要求

出其正整数解．

下面是求二元一次方程2x+3y=12的正整数解的过程：

由2x+3y=12得：y=

?x＞012?2x2则有0＜x＜6 ?4?x，∵x、y为正整数，∴?12?2x＞033?又y=4﹣

22x为正整数，则x为正整数，所以x为3的倍数。 33 又因为0＜x＜6，从而x=3，代入：y=4﹣

2?x?3 ×3=2，∴2x+3y=12的正整数解为?3y?2?问题：（1）若 2 A．6为正整数，则满足条件的x的值有几个．（ ） x?23 B． 4 C． 5 D． （2）九年级某班为了奖励学习进步的学生，花费35元购买了笔记本和钢笔两种奖品，其中笔记本的单价为3元/本，钢笔单价为5元/支，问有几种购买方案？

?2x?y?z?10（3）试求方程组?的正整数解．

3x?y?z?12?【答案】（1）C。∵

6为正整数，即可得出x﹣2＞0，且x﹣2=1，或2，或3或6， x?2∴满足条件的x的值有4个．

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（2）设购买了笔记本x本，钢笔y支，根据题意得出：3x+5y=35， 由题意可得：3x+5y=35，得y=

35-3x3=7﹣x， 55?x＞035?∵x，y为正整数，∴?，则有：0＜x＜， 37?x＞03?5?33x，为正整数，则x为正整数， 5535∴x为5的倍数，又∵0＜x＜，从而得出x=5或10，代入：y=4或1，

3又y=7﹣

∴有两种购买方案：①购买的笔记本5本，钢笔4支；②购买的笔记本10本，钢笔1支；

?x?2?x?4（3）两式相加消去z得5x+2y=22，由上题方法可得：?或?，

y?1y?6???x?2将?代入方程2x+y+z=10得出z=0（不合题意舍去）；

y?6??x?4?x?4?将?，代入方程2x+y+z=10得出z=1，∴原方程组的解集为：?y?1． ?y?1?z?1?【解析】此题主要考查了二元一次方程组的应用以及多元方程组的解法，正确利用已知正整

6为正整数，即可得出x﹣2＞0，进而求出符合要x?2335?3x求的答案；（2）根据3x+5y=35，得y==7﹣x，进而分析得出即可；（3）利用（2）

55数解这一条件是解题关键．（1）根据

中计算方法，得出x，y的取值，进而求出即可．

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错题总结

错题题号 课堂运用 错题比例 错题原因 错题知识点小结 课后作业

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