大学物理答案 1质点运动学习题思考题改

习 题

1-1. 已知质点位矢随时间变化的函数形式为

r?R(cosωti?sinωtj)

其中?为常量．求：（1）质点的轨道；(2)速度和速率。

解：1） 由r?R(cosωti?sinωtj)知

st x?Rcoωωt y?Rsin 消去t可得轨道方程 x2?y2?R2 2） v?dr??ωRsinωti?ωRcoωstj dt12ωt)2?(ωRcosωt)2] v?[(?ωRsin?ωR

1-2. 已知质点位矢随时间变化的函数形式为r?4t2i?(3?2t)j，式中r的单位为m，t的单位为s.求：（1）质点的轨道；（2）从t?0到t?1秒的位移；（3）t?0和t?1秒两时刻的速度。

解：1）由r?4t2i?(3?2t)j可知

x?4t2

y?3?2t

消去t得轨道方程为：x?(y?3)2

2）v?dr?8ti?2j dt1100Δr??vdt??(8ti?2j)dt?4i?2j

3） v(0)?2j v(1?)8i?2j

1-3. 已知质点位矢随时间变化的函数形式为r?t2i?2tj，式中r的单位为m，t的单位为s.求：（1）任一时刻的速度和加速度；（2）任一时刻的切向加速度和法向加速度。

dr?2ti?2j 解：1）v?dtdv?2i a?dt2）v?[(2t)2?4]12?2(t2?1)2 at?1dv?dt2tt?12

an?a2?at2?2 2t?1

1-4. 一升降机以加速度a上升，在上升过程中有一螺钉从天花板上松落，升降机的天花板与底板相距为d，求螺钉从天花板落到底板上所需的时间。

解：以地面为参照系，坐标如图，升降机与螺丝的运动方程分别为

1 y1?v0t?at2 （1） 图 1-4

21 y2?h?v0t?gt2 （2）

2 y1?y2

（3）

解之 t?2dg?a

1-5. 一质量为m的小球在高度h处以初速度v0水平抛出，求： （1）小球的运动方程；

（2）小球在落地之前的轨迹方程；

drdvdv（3）落地前瞬时小球的，，.

dtdtdt解：（1） x?v0t 式（1）

1y?h?gt2 式（2）

21 r(t)?v0ti?(h-gt2)j

2gx2（2）联立式（1）、式（2）得 y?h?22v0 （3）

dr?v0i-gtj 而 落地所用时间 t?dt

2h g 所以

drdv?v0i-2ghj ??gj dtdt22v0?(?gt)2 v?v2x?vy?g2ghg2tdv?? dt[v2?(gt)2]12(v2?2gh)1200

1-6. 路灯距地面的高度为h1，一身高为h2的人在路灯下以匀速v1沿直线行走。试证明人影的顶端作匀速运动，并求其速度v2.

证明：设人从O点开始行走，t时刻人影中足的坐标为x1 ，人影中头的坐标为x2，由几何关系可得 图 1-6

x2h?1 而 x1?v0t

x2?x1h2所以，人影中头的运动方程为

x2?h1x1h1t?v0

h1?h2h1?h2人影中头的速度 v2?dx2h1?v0 dth1?h21-7. 一质点沿直线运动，其运动方程为x?2?4t?2t2(m)，在 t从0秒到3秒的时间间隔内，则质点走过的路程为多少？

dx?4?4t 若v?0 解的 t?1s 解：v?dt ?x1?x1?x0?(2?4?2)?2?2m

?x3?x3?x1?(2?4?3?2?32)?(2?4?2)??8m ?x??x1??x2?10m

1-8. 一弹性球直落在一斜面上，下落高度h?20cm，斜面对水平的倾角

??30?，问它第二次碰到斜面的位置距原来的下落点多远(假设小球碰斜面前后速度数值相等，碰撞时人射角等于反射

角)。

图 1-8

解：小球落地时速度为v0?2gh 一 建立直角坐标系，以小球第一次落地点为坐标原点如图

vx0?v0cos600 x?v0cos600t? vy01gcos600t2 （1） 21 ?v0sin600 y?v0sin600t?gsin600t2 （2）

2第二次落地时 y?0 t?2v0 g22v0102所以 x?v0cos60t?gcos60t??0.8m

2g0

1-9. 地球的自转角速度最大增加到若干倍时，赤道上的物体仍能保持在地球上而不致离开地球?已知现在赤道上物体的向心加速度约为

3.4cm/s2，设赤道上重力加速度为9.80m/s2.

解：赤道上的物体仍能保持在地球必须满足 g?R?2

3.4?10?2 现在赤道上物体???

R

1-10. 已知子弹的轨迹为抛物线，初速为v0，并且v0与水平面的夹角为?.试分别求出抛物线顶点及落地点的曲率半径。

?9.8??17 ??3.4?10?2

解：在顶点处子弹的速度v?v0cos?，顶点处切向加速度为0。 因此有：g?v2??(v0cos?)2?2v0co2s? ??

g2v02v0 在落地点速度为v0 [理想] gco? s? ???gco?s

？1-11. 飞机以v0?100m/s的速度沿水平直线飞行，在离地面高

h?98m时，驾驶员要把物品投到前方某一地面目标上，问：投放物品时，驾驶员看目标的视线和竖直线应成什么角度?此时目标距飞机下方地点多远?

1解：设此时飞机距目标水平距离为x有：x?v0t h?gt2

2x联立方程解得：x?447m ??arctan?77.50？

h

1-12. 设将两物体A和B分别以初速vA和vB抛掷出去．vA与水平面的夹角为?；vB与水平面的夹角为?，试证明在任何时刻物体B相对物体A的速度是常矢量。

解：两个物体在任意时刻的速度为

将物体的速度进行分解：水平的速度变化

vA?v0co?si?(v0sin??gt)j vB?v0co?si?(v0sin?-gtj)

?vBA?vB-vA?(v0cos??v0cos?)i?(v0sin??v0sin?)j

与时间无关，故B相对物体A的速度是常矢量。

1-13. 一物体和探测气球从同一高度竖直向上运动，物体初速为

v0?49.0m/s，而气球以速度v?19.6m/s匀速上升，问气球中的观察者在第二秒末、第三秒末、第四秒末测得物体的速度各多少？

物体在任意时刻的速度表达式为 vy?v0?gt 故气球中的观察者测得物体的速度?v?vy?v 代入时间t可以得到第二秒末物体速度?v?9.8m

s第三秒末物体速度 ?v?0 第四秒末物体速度 ?v??9.8m

s

1-14. 质点沿x在轴向运动，加速度a??kv，k为常数．设从原点出发时速度为v0，求运动方程x?x(t).

v1tdv??kv ?dv???kdt v?v0e?kt 解：

v0v0dtxtdx?kt?v0e ?dx??v0e?ktdt

00dt x?v0(1?e?kt) k

？1-15. 跳水运动员自10m跳台自由下落，入水后因受水的阻碍而减速，设加速度a??kv2，k?0.4m?1.求运动员速度减为入水速度的10%时的入水深度。

解：取水面为坐标原点，竖直向下为x轴

跳水运动员入水速度 v0?2gh?14m

sdvdv?kv??v

dtdx2?v010v0x1 dv???kdx0vx?1ln10?5.76m k

11-16. 一飞行火箭的运动学方程为：x?ut?u(?t)ln(1?bt)，其中

bb是与燃料燃烧速率有关的量，u为燃气相对火箭的喷射速度。求：（1）火箭飞行速度与时间的关系；（2）火箭的加速度。

dx??uln(1?bt) 解：（1）v?dtdvub? （2）a? dt1?bt

hx?Rcos?t,y?Rsin?t,z??t,1-17. 质点的运动方程为：

2?式中R、h、?为正的常量。求：（1）质点运动的轨道方程；（2）质点的速度大小；（3）质点的加速度大小。

解：（1）轨道方程为 x2?y2?R2

z?h?t 这是一条空间螺旋线。 2?在Oxy平面上的投影为圆心在原点，半径为R的圆，螺

距为h

（2）vx?dx??R?sin?t dt

h2 v?v?v?v??R?2

4?2x2y2z2（3）ax??R?2cos?t ay??R?2sin?t az?0

22?ay?R?2 a?ax思考题

1-1. 质点作曲线运动，其瞬时速度为v，瞬时速率为v，平均速度为v，平均速率为v，则它们之间的下列四种关系中哪一种是正确的? （1）v?v,v?v；（2）v?v,v?v；（3）v?v,v?v；（4）v?v,v?v

答： （3）

1-2. 质点的x~t关系如图，图中a，b，c三条线表示三个速度不同的运动．问它们属于什么类型的运动?哪一个速度大？哪一个速度小？

答：va?vb?vc

1-3. 结合v~t图，说明平均加速度和瞬时加速度的几何意义。 答：平均加速度表示速度?v在?t时间内的平均变化率，它只能粗略地反映运动速度的变化程度和方向，而瞬时加速度能精确反映质点运动速度的变化及方向。

1-4. 运动物体的加速度随时间减小，而速度随时间增加，是可能的吗？

答：是可能的。加速度随时间减小，说明速度随时间的变化率减小。

1-5. 如图所示，

两船A和B相距

R，分别以速度vA和vB匀速直线行驶，它们会不会相碰?若不相碰，求

两船相靠最近的距离．图中?和?为已知。

答：方法一 如图，以A船为参考系，在该参考系中船A是静止的，而船B的速度v??vB?vA.

v?是船B相对于船A的速度,从船B作一条平行于v?方向的直线BC,它不与船A相交,这表明两船不会相碰.

由A作BC垂线AC,其长度rmin就是两船相靠最近的距离

rmin?Rsin?

作FD//AB,构成直角三角形DEF,故有

vsin??vAsin???B sin

v?在三角形BEF中,由余弦定理可得

22?vB?2vAvBcos?(??) v??vArmin?vBsin??vAsin?v?v?2vAvBcos(???)2A2BR

方法二：

两船在任一时刻t的位置矢量分别为 rA?(vAtco?s)i?(vBtsi?n)j rB?(R?vBtco?s)i?(vBtsi?n)j

r?rB-rA?[R?(vBcos??vAcos?)t]i?[(vBsin??vAsin?)t]j 任一时刻两船的距离为

r?[R?(vBcos??vAcos?)t]2?[(vBsin??vAsin?)t]2

令

dr(t)?0 dtt?vBcos??vAcos?R 22(vBcos??vAcos?)?(vBsin??vAsin?)vBsin??vAsin?v?v?2vAvBcos(???)2A2Brmin?R

1-6. 若质点限于在平面上运动，试指出符合下列条件的各应是什么样的运动？

drdrdvdvdada?0，?0；?0，?0；?0，?0 （2）（3）dtdtdtdtdtdt答: (1) 质点作圆周运动.

(2) 质点作匀速率曲线运动. (3) 质点作抛体运动.

（1）

1-7. 一质点作斜抛运动，用t1代表落地时，. （1）说明下面三个积分的意义：

t1xt1yt1?vdt,?vdt,?vdt.

000（2）用A和B代表抛出点和落地点位置，说明下面三个积分的意义：

BBB?dr,At10?dr,A?dr.

A 答: ?vxdt 表示物体落地时x方向的距离

t1?v0t1ydt 表示物体落地时y方向的距离

?vdt 表示物体在t1时间内走过的几何路程.

0

B?dr 抛出点到落地点的位移

AB?dr 抛出点到落地点位移的大小

AB?dr 抛出点到落地点位移的大小

A

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