庞加莱对数学的认识和观点

庞加莱对数学的认识和观点

[英] 杰里米·戈瑞(Jeremy Gray)

1引言

所有的好数学家都有一套内在标准来指引其自身的研究，并以此帮助他们评估他人的研究。大部分数学家愿意在其学生和周围追随者面前畅谈自己的偏爱和想优先从事的课题。只有一少部分数学家会在公开场合对未来工作做出自己的建议——这方面众所周知的例子就是希尔伯特于1900年，在ICM巴黎大会上所做的题为数学问题的著名演讲（Hilbert（1901））。但是，极少有人能详细说明什么将使某些思想变得重要，怎么将使某些方法变得富有成效。在这些极少数人中，庞加莱无疑是最典型的。本文将对庞加莱在当时的时代背景之下的观点进行审查，重点是他的到底为什么做科学的观点，科学和数学的关系，以及如何做数学的观点。[1]一部全面的庞加莱科学传记将由斯普林格出版社2012年出版，见（Gray（2012））。

当然，数学家在这方面的沉默事出有因。此类建议和忠告最好应该基于个体情况，针对整体而言未必准确。好问题是困难的，不可能屈从于一般性，另一方面，一般性却是数学家的研究所追求的。还有，定义和定理是无生气的碎片，可是它们处于优美的风景或故事中，这构成了研究之动力。对于故事的进展，至少在某些领袖人物看来，他们有责任使其清晰并给予引导。希尔伯特的著名问题就是要把关注引导到他所认为的焦点问题上来，其中的任何进步就不仅只是一个新结果了。这些问题涉及当时数学各领域的尖端方向，要想探索原因给出解答不仅需要巨大投入，以及对已有思想的极好驾驭。除此之外，人们完全可以设想还需要深邃的数学洞察力。不过，通常认为洞察力和创造力是不可能由别人教会的。

庞加莱的情况完全不同于希尔伯特。在1900年的时期，希尔伯特在哥廷根大学有克莱因（Felix Klein）的支持，并有一群充满活力的年青有为朋友在周围。他们可以一起散步，交谈，在讨论班上提出各种建议。而庞加莱按法国传统是一位孤立的人物。他是巴黎大学的数理天文和天体力学教授。从1885年到1895年，几乎每年开设一门不同分支的物理讲座。因此，严格说他不是一位官方数学家。他是国际舞台上法国物理的发言人，实验者和理论家之间争论的判断权威，谈论自然和科学的公众人物。当然，他是一位伟大的数学家，从1990年到1912年他58岁去世，在此期间出版了3卷数学和科学方面的随笔，销量极好，还有大量原著。我们可以比对他在这些随笔中的观点，看看至少和他的实际研究是否相一致。结论将是他确实是那样做的。

庞加莱的争论涉及三个方面：到底为什么做数学和科学；科学和数学的关系；以及如何做数学。当时法兰西第三共和国（1870～1940）的政党分为右派（通常有天主教背景）和左派（通常是无宗教的实证主义者，如庞加莱自己）。实证主义可以追溯到1850年代的奥古斯特·孔德（Auguste Comte），这种哲学派别怀疑先验论的宗教信仰，崇尚理性和科学。

但是，科学被认为应该是不带感情色彩的事实本身，是公平和正义的化身。这让科学家在争取金钱，实验条件和名誉地位面前处于弱势。情况在普法战争（the Franco-Prussian War ，1870–1871）法国失败之后有所改观。普法战争是法国的一场大灾难，让法国公民，政治

家，科学界对德国充满不信任，担心德国在各方面超越法国。在第一次世界大战前的美好时代（the Belle Epoque），特别是19世纪末的年代，法国经济繁荣，工业突飞猛进。但是，德国也一样，甚至某些方面发展得更好。

2 庞加莱谈做科学研究的原因

那么为什么做科学？当时和现在一样，一种突出的观点认为人生的重要事情是赚钱。反对这种观点，庞加莱争辩道“追求实际的人只是要求我们提供赚钱方法，······这不值得回答；相反，应该问问他们积累巨大财富有什么用？为了有时间获得财富，我们是否必须忽视艺术和科学，而恰恰只有它们才能使我们得到精神享受。”（Poincare，(1897, 271) ， (1898, 247)）。对于实业家和学者之间隔阂的这种回答语气和方式，其实背后是有原因的。当时庞加莱思想上有一个巨大敌人，罗马天主教会，典型人物有他以前的学生勒鲁瓦（Edouard le Roy），杜亥姆（ Pierre Duhem），1907年之后，还有坚定反对改革的教皇十世（Pope Pius X）。

为了说明这一点，我们必须讨论一下庞加莱的科学哲学观，特别是他的所谓几何约定论。他的信仰已经远远超越同时代的简单的实证主义。正是他的约定主义使他成为公众人物，他的观点首次出现在关于物理空间的本质的极广泛的辩论中：它是欧氏还是非欧的？非欧几何在1860年代后期传入法国，有赫姆霍兹（Helmholtz）的流行本，贝特拉米（Beltrami）论文的翻译本，以及罗巴切夫斯基（Lobachevskii）和波约（Janos Bolyai）的原著。在1881年，庞加莱开始发表他的自守函数论文，显示出非欧几何在复变函数论中的重要性，这是新几何的首次重要应用。[2]见庞加莱全集卷1和卷2中的相关论文。最终，受过教育的公众也对空

间问题在理论层面而非实际层面有了兴趣。如果空间不是欧氏的，理论上就应该是另外的；因此，严格说来欧氏几何可能是错的在当时成为一个焦点问题。到1890年，庞加莱在法国已经非常著名，因为他在三体问题和太阳系稳定性方面的成果获得了瑞典国王奥斯卡二世（Oscar II）颁发的头奖（见他的 (1890b)）。因此，他最有发言权。然而他的回答令人深感意外：这个问题是不可判定的。

在他的 (1895)，他承认有两种几何，欧氏和非欧都是自洽的；因此我们的欧氏人类没有办法说服非欧的外星生命与我们一致，反之也一样他们也不可能说服我们。不存在相关经验和实验使其中一方放弃他们的理论。为了解释这一点，他要求思考一个假设性试验。假设正方形的四条边是光线，其角度经过测量后发现，四个角之和小于2?。这个结果可以有两种解释：空间非欧而光线是直的；或空间是欧氏的但光线非直。除非根据简单性做出一个约定，否则没法从两种解释中做出一种选择。他说为了方便，我们宁可选择欧氏空间。[3]庞加莱关于欧氏和非欧几何的转换建立了两种几何的相容性，见他的出版物（1891）。

庞加莱的意思是在上述选择中没有逻辑证据可以依赖，只有人类的主观意识在起作用。因为我们熟知欧氏几何，所以根据它的简单性，我们选择欧氏空间认知世界；换句话说，在我们所具有的各种不同感知信息中，我们采用硬连接方式建构了欧氏空间，但是这个真实世界也可能是其它方式的，我们未来也许需要以不同方式演变。

庞加莱在其它科学领域也谈到他的约定论，但是它们不同于上述几何约定论。1904年，庞加莱在圣路易斯（St Louis）的系列讲座中（见他的(1905c)，(1905a)，(1906)），把经典力学和经典物理学的六大基本原理（牛顿原理——作用与反作用原理，迈尔原理——能量守恒原理，卡诺原理——能量衰退原理，拉瓦锡原理——质量守恒原理，相对性原理，还有最小作用原理）全部归结为由约定形成的。庞加莱认为这些原理并不是经验的直接归纳，而只能以经验事实为指导，通过约定（精神的自由活动）来创造。基本原理的虚构特征是非常明显的。举例来说，怎么可能在一个孤立系统中只有两个物体在作用和反作用，而完全忽略它们与宇宙其余部分的相互作用力呢？显然要在逻辑上从经验推出力学的基本原理的任何企图，都是要失败的。另一方面，由这些基本原理所建构起来的理论体系必须具有两个基本特征：前后逻辑自洽；在相关领域具有强大的预测功能。这样才称得上是卓越的理论。庞加莱主张把这些基本原理，或基本法则归结为约定就是让它们类似公理一样，无容置疑并发挥作用。

他在这方面遭遇到（特别是教会的）反对。他以前的一个学生勒鲁瓦出于亲教会的目的，把他的约定论推向极端做出歪曲性解读。按照勒鲁瓦的观点我们所相信的几乎所有事实，只要不是直接感知的事实都是约定，这样就没有真假可言。所有科学断言贴上如此标签后，科学和宗教信仰之间就没有冲突的理由存在了。如此一来，就为所谓生命基石的宗教信仰大大的敞开了大门。

1900年，在ICP巴黎大会的演讲中，庞加莱有些不谨慎地宣称“断言‘地球在旋转’没有意义，因为它不能被试验验证······换句话说，两个命题‘地球在旋转’和‘为了方便假设地球在旋转’是一回事。”[4]见庞加莱（1900），也可参见《科学与假设》La science et l'hypothese133, 90.这立即和1851年已经公开展示过的福柯钟摆（Foucaults pendulum）一起成为公众热点议题。就在这次大会上，勒鲁瓦把他的激进约定论也推向了极限，声称科学没有事实完全是随意的发明，只有在实用背景下在有必要。勒鲁瓦举例说原子，日月食现象，地球的旋转都是这类发明。为了确信大家不会仅仅把他的观点当作学术事件，他明确说道：地球旋转只是发明并非真理事实，因此天主教会谴责伽利略没有错；相反那些批评教会敌对科学的反教会人士及新教徒自己才是有病的。

在他的文选第一卷（La science etl'hypothese）的引言中，庞加莱回击了勒鲁瓦的观点，他认为该观点是极端怀疑论的和反对知识的。庞加莱指出（1901a, b），在勒鲁瓦看来科学和数学中的假设使它们成为非本质的狂想。庞加莱回答道，基于狂想的体系肯定是无力量的，而科学却有所获。因此科学可以提供真实的知识，这种知识是对事物之间关系的解读。书籍就是要呈现怎样才能做到这些。数学知识富有成效，并非通常所认为的它的演绎性，其实是由于它的归纳性。但是数学作用于自然时，愈来愈多的需要做出各种选择：物理连续体结构的引入；几何空间的选择；力学基本原理的选择，等等。自然本身不需要做出这些选择，但是我们的科学确实需要。

在他的文选第二卷（Sur la valeur objective de la science）中，庞加莱继续写了一篇和第二卷书名相同的文章来批评勒鲁瓦反对知识的观点（1902b）。他指责勒鲁瓦表面上是教条的唯名论者，骨子里却是极度献身宗教的现实主义者。勒鲁瓦把科学简化为他的行动指南，但他所说的科学知识却根本不是知识。庞加莱继续道，科学法则不能随意改变，因为它们要用于预测。而能够正确预测正是科学值得信赖的缘由。

庞加莱把事实区分为“未加工的事实”(the crude fact)和“科学的事实”(the scientific fact)。他举例说，天变暗了和日食发生在九时。那么前者是未加工的事实，后者则是科学的事实。庞加莱认为，未加工的事实和科学事实之间的界限既不能严格地，也不能精确地划定。他以日蚀为例说明这个问题：1)某人说：天变暗了。2)天文学家说：日食发生在九时。3)天文学家又说：日食发生在根据牛顿定律制定的表格中所推算的时间内。4)伽利略最后说：日食是地球绕太阳旋转的结果。可是，未加工的事实和科学事实之间的界限到底在那里呢?人们也许会说，它在第1)和第2)之间。可是，2)和3)之间存在着较大的间隔，而3)和4)之间的间隔更大。况且以上说法还可以再细分。但是，两种事实之间毕竟有着相对的差别。庞加莱认为（§3），两种事实陈述的差别正如同一个未加工的事实用法语陈述和用德语陈述二者的差别一样，科学的事实无非是把未加工的事实翻译成另一种语言。每一个科学事实都是由许多未加工的事实形成的。科学家不能凭空创造科学的事实，只能用未加工的事实制作科学的事实。但是在勒鲁瓦那里，科学事实被贴上发明的标签，与未加工事实是截然分开的，这是错误的。

庞加莱承认对于科学法则或科学原理而言，科学家其中扮演着更有创造性的角色。而且，关于科学原理的本质的任何不一致都可以求助于约定来解决：原理无真假，它是约定的，且方便的（§4）。唯名论的失败在于不明白科学就是以这种方式发展的。例如，如果天文学家观察到某一行星的卫星的运动不符合牛顿法则，他们肯定会假设某种其它的力也在作用于该卫星。这种试验性断言可以接受分析和修正，从而使科学不会仅仅只有一些原理而已。科学不同于唯名论。

庞加莱认为科学是客观的，因为人们可以互相交流。在（§4）中，他返回到他的欧氏与非欧氏的假设性对抗中，争辩道，如果非欧生命类与人类有类似感知并承认相同逻辑的话，他们就可能把他们的语言翻译成我们的。这种翻译是可能的，因为每一种语言都含有一些共同的不变的东西，这就是法则。它们是未加工的事实之间的关系，只是不同语言的表述不同而已。在（§6）中，他进一步为思想的交流而辩护，总结道“没有交流，便没有客观性”（Nodiscourse, no objectivity）。

我们的感知往往是不同的，甚至是完全主观的，但是共同协议可以淘汰这些不同。因此科学仅仅是这些感知之间关系的表述，只要约定的作用一旦确定，科学就是客观的对这些关系所形成的系统的反映。正是这些抽象出来的关系的客观性支持着我们相信外在事实的实在性。但是，庞加莱强调，科学并不等同于事实本身，只是所感知事实之间关系的解读。他甚至对事实的真正本质持有一种不可知论观点。在他的（La valeur de la science267, 347–348）中，

说道“即使上帝知道事物的真实状态，也没有语言表述它；即使有人告诉我们，我们也不可能理解它。”

当庞加莱1905年在La valeur de la science中再版这篇文章时，他又添加了一段文字‘La rotation de la terre’，来解释他以前的不谨慎的言辞，以防止他的话被用于恢复托勒密天文体系和为伽利略蒙冤而辩护。他说他并没有讲过地球在旋转和平行公设一样是同类的断言。相反，他讲过‘地球在旋转’和‘为了方便假设地球在旋转’是一回事。这类似于说‘外部世界存在’和‘为了方便假设外部世界存在’是一回事。深层的原因是由于在当时的运动学背景下无法解释为什么地球在旋转。只有后来的动力学理论才能解释这个问题，以及行星的视运动，福柯钟摆，甚至地球绕太阳的公转。等等。最后，庞加莱总结道（§7）：

真理——伽利略为其而蒙冤，仍然是真理，但是对它的认知不同过去，要更敏锐，更深刻，更丰富得多。

3 庞加莱谈科学和数学的关系

上述评论显示一个重要事实，对于庞加莱来说科学是一个理论体系而非仅仅是事实的堆积。在他的（1897）中，在表明追求金钱并非人生唯一目的后，他立即指出“不可能仅仅为了应用才做科学；真理被绑定一起才会富饶强盛。”没有理论就不可能进步。庞加莱并不怀疑地球绕轴旋转。他在致出版商卡米尔（CamilleFlammarion）的公开信中（La Terre tourne-t-elle?1904），写道：另一种荒谬的解释是遥远的星球在绕地球超光速运行。但他的回复并不是针对勒鲁瓦的这种荒谬言论，而是分析了做出科学论断时到底会涉及到什么。

为什么庞加莱的这方面文章仍然值得一读并非他所讨论的那些科学发现，它们已经不再新奇甚至有些已经过时了，主要是他对如何做科学的关注：理论的作用以及理论到底是什么。在对数学的认识上也存在着同样的问题，不论是理论的抽象，还是其应用形式。

庞加莱提出两个问题：到底为什么科学是知识，以及它是什么样的知识。他对第一个问题的观点可以用他的几何约定论来阐释，他的一个强烈信念是如果没有辨明知识是怎样获得的，就不可能做出知识断言。在我们的时空观问题上，他设想由于某种进化过程，我们的大脑容易适应欧氏群变换的作用，使我们能理解刚体运动概念。通过运动的刚体我们强制形成一种空间度量体制，这是不同于他的同时代人的，庞加莱不相信这种度量体制一定是空间的本质属性，而是我们主观强加于空间的。我们恰巧强加了空间的欧氏度量是因为它对我们来说最方便。但是这就暗含了空间可能是不同的，或者通过某种不同的进化过程，利用恰当的非欧变换群的作用导出某种新度量，我们也可以强加给空间这种新度量。

在他去世前，这种哲学观使庞加莱相信闵科夫斯基时空观可以更方便地替代伽利略时空观，这种选择今天已经不合时宜（见他的（1912））。这明确说明庞加莱所持有的是一种生物认识论（biologised epistemology）。

这就意味着庞加莱关于知识论是一个相对主义者。库斯（Martin Kusch）在他的怀疑论和知识一书中这样描述相对主义（Kusch (2009, 19)），“那些使用不同认识体系和认识标准的人可以达成‘无错误的不一致’，而不管该问题是否合乎某一方的信仰。这种情形下的无错误的不一致是可能的，因为1）信仰只能在认识体系之内被证明合理；2）一直存在着许多完全不同的认识体系；3）不可能通过理性争论证明哪一种认识体系一定优越于其它认识体系······。”庞加莱在几何空间是欧氏或非欧的问题上明显是相对主义者。还有一次在狭义

相对论中选取伽利略或洛伦兹群时他也是相对主义者。这些不一致的关键是存在两种相异的认识体系。但是两种认识体系都有效；因为它们提供的知识是我们认识世界的可靠信息。

另一方面，和勒鲁瓦的争论趋于平静并不意味问题已经彻底解决。在庞加莱看来，我们依赖着专家的证据；并且我们共享着自然，科学，数学语言这样的大家庭来互相交流，这之所以有效是因为还共享着一套约定，而且我们知道当我们的判断发生矛盾或交流失败时我们该怎么办。正如他所说（1902b）（La valeur de la science pp. 292, 345），“没有交流，便没有客观性”。庞加莱把他的信任建立在有效交流上，这是可能的，因为科学和数学所提供的是知识。他并不认为和其他数学家与物理学家比起来自己拥有进入知识王国的优先权。他并不认为自己对事物的本质具有深邃的洞察力，或者具有特别的精神状态。在他对心理学家的演讲中（1908b），他反对将精神状态作为真理的媒介物，因为它具有欺骗性，常常使人迷惑。

潜意识会提供运算的出发点，但是运算本身必须是有意识的，而非随机的操作。

要特别留心潜意识所呈现的那些思想，伴随着一种必然的冲动，即使后来经过理性分析，它们没有什么价值。

他不愿意谈论永远是确定的事实，因为他深刻意识到由于一些简单的错误，每一代科学家都会抛弃一些前代的发现。这就是为什么他没有把他的信念建立在事实的本质而是建立在事实之间的关系上，从而就像他所做的一样，大多数数学理论都会允许做出许多认为解释。

在他的Electricite et optique(1890a)一书的前言中，涉及到评论汤姆森（Thomson）和泰特（Tait）的名著（A Treatise on Natural Philosophy(1879)）时，他让自己和麦克斯韦（Maxwell）具有相同的观点。麦克斯韦也认为不可能给出电动力学的不言自明的模型。[5]Nature vol. 20, 见(1890, 776–785).

. . . . . .研究无论多么复杂的对象，对于其中的科学原理，我们都应该专注于那些我们能够观察到的和会导致变化的元素，忽略那些观察不到的和不变的元素。

在普通的钟楼内，每一条钟绳穿过楼板一个孔通往敲钟人的房间。假设每一条钟绳不仅作用于一个钟，它能导致机器的许多模块的运动，而且机器每一模块的运动不仅取决于一条绳的运动，而是几条绳。进一步假设，整个机器是无声的，敲钟人啥也不知道，只能看见头顶上楼板的那些孔。

在这些假设下，下面那些人的科学责任是什么？他们可以随意控制绳子，但没有别的可控制。他们可以任意方向和任意速度拉拽绳子，他们可以立即停止所有绳子估算其动量，也

可以感受每条绳子的拉拽情况。如果他们不厌其烦想确定把绳子拉到不同的给定方位时，他们必须做多少功，为此，他们就必须计算在已知坐标下系统的势能。如果他们摸清了每条绳子本身的拉拽情况以及其中任意两条绳子的拉拽情况，他们便可以按照坐标和速度表示动能了。

当给定的力作用于其上或作用于所有其它绳子时，这些数据足以确定每一条绳子的运动。这就是敲钟人所有可能知道的。如果机器有更大的自由度而不是只有绳子，表示自由度的坐标便可忽略，那时它就没啥用处了。

庞加莱的这个观点得到了强化，通过他对同时代的电子和光学理论的体验。他注意到物理学家，像洛伦兹那样，可以毫无困难通过解释消除理论和实验之间的明显矛盾。但是这对庞加莱来说还不够充分：“我们所缺乏的正是必要的解释。”

返回1897年在国际数学家大会上，庞加莱争论道数学和物理不可分割（文章发表在(1902a)）。“物理学家不能放弃数学的第一个原因是：它是他能表述的仅有语言”，而非只是物理公式的提供者。庞加莱宣称数学物理的目的就是“要揭示事物所隐含的和谐”——亦即事实之间的和谐关系，其中‘事实’他指的是公认的实验结果和数学定理。理论可以改进甚至抛弃，但是构成理论的关系是可以幸存的。

表示旧理论的方程仍然是真的，他们所捕获的关系仍维持着其真实性。至于关系所涉及到的对象仅仅是我们用来替代实际对象的图像的名称而已，那些实际对象隐藏在自然界之中我们永远无法知道。我们唯一所能获得的只是这些实际对象的真实关系，. . .. . .当理论相互矛盾时，很可能是我们所提供的图像产生了矛盾。

庞加莱大脑中的图像（images）就是互相碰撞的原子和库仑流体，一旦过时，“这不是啊！它们又以电子的名称重新出现了。”这是庞加莱1900年在国际物理学大会所言（1902a）。

庞加莱在物理学投入最深的是电学，磁学，和光学，这是当时最重要且变化最快的领域，他非常清楚，电的真实本质并未被充分了解。但是他相信麦克斯韦方程组是有效的；他赞成康德的信念事物的真实本质（著名的自在之物，Ding an sich）我们是永远无法知道的，但是他经常表达的更坚固的信念是，为了防止科学成为一堆不可信的断言，需要提高人们从理论上把握各种关系的能力，通过这些关系科学才会有效。

庞加莱认为，牛顿和哈密顿力学中的约定所起作用就是构成了一些基础性的法则。只有接受

了它们才能学习整个力学。如此一来物理学的约定论，甚至几何约定论就类似于维特根斯坦（Wittgenstein）所说的语言游戏。不接受这些法则的人就不可能成为真正的力学工作者，他（她）所做的根本就不是力学。而接受了这些法则的人就可以拥有建立其上的丰富理论，出乎意外的观察结果不可能挑战这些法则本身，只会导致一些特别的解释。

但是大量意外的观测结果将会导致对法则的修改。这正是庞加莱在去圣路易斯大会的旅途上使他踌躇满志的原因。如果物质自然衰退，这是射线活动暗示的新结果；如果质量是速度的函数甚至本质上完全是电磁性质的；如果以太也如此使得作用和反作用不相等和对立的话。那么，传统力学将没有任何东西可保留下来。庞加莱已经做好准备来预期他所称的原理物理学的终结，但是他也提出一些谨慎的忠告。当时已经50岁了，他愿意对自己匆匆忙忙着迷于新思想深感遗憾，部分原因是他想给旧思想更多点时间看看它们能否吸收新结果。但是他也期待着新思想仅仅适合他的约定主义哲学。将会有一些基本假设出现，但是一旦证明其最简单和最有效，它们也可变成为一种新理论的新法则；另外，仍然不可能有办法了解事物的本质，了解到的仅仅是那些根本看不见的事物之间的关系。

4 庞加莱对数学的认识和观点

庞加莱关于数学和科学的最深的哲学信念（陈述在他的(1897)和他的(1909a)中）是：对数学和物理不可能做出有效，清晰的区分，因为两者是那么紧密地渗透着。如果可以做出区分的话，科学的有效性标准将会成为实用方面的和社会学方面的，而数学的有效性标准将会成为其内部的自洽了。庞加莱最关心的是理解力的训练和提高：定理怎样使数学家和物理学家知道到底应该寻找什么，以及怎样找到它。

但是，如果只有物理学以及一般的科学才经常被视为是对未知的探索，人们势必会把数学发现当作事后之见，仅仅是呈现它们的逻辑一致性以及它们与已知现象相符合的途径。这一点是无人怀疑的，庞加莱自己就说过“没有严格性，便没有了一切”（Lavenir des mathematiques, (1908a)）。但是另一方面，也无人怀疑确实有些数学发现令人深感高雅。当然庞加莱也不怀疑这一点，他认可这种高雅的依据值得我们随后讨论。需要指出的是，这种事后之见的危害之处是把所有的数学发现降低到逻辑严密性的层面，而无视其原创性角色。庞加莱关于怎样做数学的观点是非同一般的，从所建构的精神领域方面来讲既是创造性的又是严格受约束于主题的本质的。

再一次，我们又发现了庞加莱思想中的二分法（dichotomy）。他的兴趣是为什么至少某些数学可以看成知识，但他的特别关注点是到底应该怎样看待数学。在1897年苏黎世举行的第一届国际数学家大会上，他演讲道：

数学思想中唯一自然的对象是整数，然而客观世界却把连续统强加于我们身上，无疑我们能够发明它，但是我们是被迫发明的。没有它就不会有无穷小分析，所有的数学科学将会减少到算术或群论之中。

庞加莱相信循环递推是人类大脑的一个基本属性，足以解释整数的知识。因此他对于那些按照康托尔和罗素的方法想用逻辑解释整数的企图，还有策梅洛想公理化集合论并把整数建立在集合论的基础上的企图深感不满。除了蔑视，认为逻辑学家什么也没做，其中对策梅洛的反对尤为突出。

在他的(1909)，庞加莱回应了策梅洛在集合论公理化系统方面的第一次尝试。他注意到建立任何形式的一个公理系统的基本事情是它的无矛盾性,像从前希尔伯特通过诉求于各种算法为他的各种几何公理所做的工作一样；但是策梅洛的问题是他的公理打算是最基本的,所以没有东西可以让他诉求。那么唯一的希望是公理必须自洽,但庞加莱发现它们却不是这样的。他注意到，策梅洛使用Menge这个词来确定某一类型集合的方式，而这种类型我们是可以推理的。对于庞加莱这些都可以建立直谓定义，亦即不借助于某对象所属的总体的性质，而直接对该对象进行刻画，通过定义所指定的性质来确定一个给定元素是否属于该集合，因此每个成员都有自己的成员资格。而对于策梅洛，集合是可以有非直谓定义的，即借助于一个总体来定义一个概念，而这概念本身又属于这一总体。庞加莱觉得策梅洛没有足够仔细:

“即使他小心地关闭了他的羊圈,但是并不确定羊圈还有没有狼”。似乎对庞加莱来说，只有直谓定义才可以明确确定集合的元素，但是这样会过分严格限制集合的大小。特别是，他拒绝了良序公理,其理由是没有集合的序数会大于第一不可数集合。这是庞加莱对集合论的第二个反对理由:它的爱好者太容易说非常大的集合。因为这是受他们的方法的影响，他把它当作证据说明他们的集合概念并不是自洽的,因此拒绝了它。

我在此处解释一下庞加莱在1908年说过的关于集合论的一段话,这段话经常被误解(1908 a,939)。他指出数学家已经提出：

某些悖论和明显的矛盾,这将使埃利亚的芝诺和麦加拉学派心怀喜悦。然后每个人会以自己的方式开始寻找补救措施。对我而言——我想我不是独自一人这样想的，重要的事情不过是在引入这类概念（entities）时用有限数目的单词做个限制性的定义罢了。不论采取什么补救措施，我们都可以期待，在快乐的医生面前又多了一个很好的由疾病引起的案例。

但是他没有说过“后世将以集合论（Mengenlehre）作为一种疾病,并会从中复苏过来”，这将意味着庞加莱强烈反对研究集合论。就像我们所看到的,他的看法比较有趣,虽然并不那么丰富多彩。[6]关于 E.T. Bell如何炮制出这个特殊错误的相关情况见 (Gray (1991)) .

其中关于连续统的言论更有趣些。它不仅说明庞加莱关于物理空间的性质是一个不可知论者，而且它也见证了庞加莱是如何把数学和物理学紧密联系在一起。它还说明他强烈觉得几乎所有数学建立在连续性的概念之上。数学是物理学家的唯一语言,而连续统这个源自物理的概念是几乎所有数学的关键点。他很清楚连续统是一个我们人为的建筑，并发现存在Bois-Reymonds替代。如果经典连续统不再是必不可少的，有一个有效替代出现，庞加莱就不会为连续统争论了。

这就使我们明白了庞加莱关于做数学的方法的核心信念，是为了争取正确理解相关概念，这种理解可以用它能够使数学家做什么来鉴别。

和庞加莱的懒惰的大众印象相反——确实有几篇他所发表的论文可以支持这一点——他并没有蔑视严格性。如上所述，他只是认为它是证明中的一个枯燥的部分，虽然严格性也很重要。但他批评某些严格的证明，包括某些自己的，因为它们太长，变得几乎不可思议的太长了。他认为，就像许多其他数学家一样，计算应保持在不能再少的最低限度，而不要盲目。另外有些证明本质上是错误的，诸如那些在位势理论中的证明，因为它们不能模拟实际的过程。他认为类似狄利克雷原理那样或多或少的直观证明对于数学家没有价值，但是它们是满足物理学家的一个合适的方式，因为它们抓住了表面现象的机制。然而，数学家能够接受的解的存在性的那些更严格的参数，会依赖于它们的收敛性，通常却收敛太慢，相对有效的数值方法来说实际得到的近似方法也太复杂，见(庞加莱(1890 c)。确实，只有严谨是不够的，他认为，虽然希尔伯特揭示了几何推理的形式化特征，在庞加莱看来，即使把算术和分析也同样形式化了，数学也不可能被减少成一个空洞的形式而没有毁损它。“公理的起源将仍然需要被调查,然而它们会走向约定论”(1905 b)。

单纯的严格证明所缺乏的是对最重要的元素的理解。用他在1908年ICM大会上的演讲所说的话来解释(in Lavenir)，“一个冗长的计算有了一个引人注目的结果并不令人满意，直到我们明白至少为什么这个结果的性能特点可以被预测。因为它不是秩序本身，只有意想不到的秩序才有价值，对数学的机械追求没有什么意义:机器可以控制赤裸裸的事实,但事实的灵魂将永远逃避它”。

庞加莱始终关心的是如何把问题继续做下去。他说，孤立的事实并不能吸引他，但是一组事实维系在一起经过类推是很有用的，因为它可以给我们带来法则的存在。他引用了恩斯特·马赫的以下观点:“事实的重要性在于它所产生的回馈——那就是，通过对它的一定思维能使我们经济地得到结果（而不必进一步观察其它事实）”。一个好的证明的优雅性会反射出一种潜在的和谐，而和谐接着又引入秩序和统一，“使我们能够对整体及其部分获得一个清晰的理解。这也正是哪些因素导致它产生一个较大的回报”。庞加莱主要欣赏的数学的审美反应以其效果为象征。这不是任何用途的心理感受，正如他给法国心理学家做的著名演讲中所说(1909 b)，“潜意识会提供运算的出发点，但是运算本身必须是有意识的，而非随机的操作。要特别留心潜意识所呈现的那些思想，伴随着一种必然的冲动，即使后来经过理性分析，它们没有什么价值。”

在超越他所看到的初等数论的安全性和连续性假说的巨大创造力之外,庞加莱认为类比是数学家的最好的单一希望。因此他说，数论是困难的，因为没有什么可以上诉到连续性，从而数论与代数相比较应遵循众多的相似性。它们可以被部分地统一，庞加莱一直感觉通过变换的使用这种统一是有希望的。他最早的数论论文吸纳了对他最有影响力的埃尔米特教授（CharlesHermite）的群变换兴趣，在群中已经呈现了一个无限的三元二次型（x?y?z）自身映射，并使用这类群的性质来解释分类的形式。[7]这就是庞加莱为什么非常熟悉这个群的原因，1881年当他在海岸悬崖边散步时，他突然顿悟到这些变换（波浪）就可以当做非欧几何圆盘的等距变换。

这些一般的想法可以由许多庞加莱的原始发现来描述，我举一个鲜为人知的例子，说明数论是他的终身兴趣，而且通过理解问题的方式也能呈现庞加莱经常所考虑的是什么。它出现在他的关于福克斯函数和数论的论文上(1887)。论文中他的目的是概括椭圆模函数，并用该方法来解释为什么它会存在。

他开始就观察到在群Γ=SL(2,Z)之下模函数J(z)是不变化的。由z?zn给出的变换S 不在这个群中，但是J(z) 和J(zn)之间的关系受约束于这个著名的模方程。因此庞加莱引入了

222两个群G1和G2的想法，如果有一个G1和G2的有限指数的子群H，那么这两个群便是可通约的。然后他认为,群SL(2,Z)和S-1SL(2,Z)S是可通约的，所以在J(z)和J(zn)之间有一个方程——模方程。

然后,他寻找可通约的福克斯群，并观察到有三个有趣的矩阵群具有到自身的一个给定的三元形式的映射，它们以矩阵具有实数,或有理数,或整数系数为特征。他依次表示这些群为 ΓR; ΓQ; ΓZ

而且他呈现了每一个群都产生一个相应的福克斯群。在整数系数的情况下，庞加莱称相应的福克斯群，为主群GZ。现在，为了获得他所称的广义模方程，庞加莱取一个ΓQ，以及S??Q含有非整数的有理系数。相应的福克斯群对ΓQ不间断，但是S可导致一个福克斯变换s?GZ，且GZ和s?1GZs是可通约的，所以一个主群的福克斯函数从代数上相关于他的变换S。

此处强调一下，同埃尔米特有一个有趣的差异，埃尔米特发现一个预先存在的现象即模方程，并探讨了它的含意。他坚定认为数学，类似于植物学的做法:在每种情况下，任务是发现和研究有趣的新对象。然而,庞加莱却通过群论分析去寻找一种普遍化，它正是模方程存在的原因。[8] 当然，庞加莱所识别的普遍化包含着一个复杂的过程，其中福克斯函数的级数相对威尔斯特拉斯函数就难于驾驭得多：相关的收敛定理很难建立，而且非平凡级数可以收敛到零函数（这是庞加莱未能刻画其特性的一个棘手情况）。

5 结论

令人感到非常突出的是，庞加莱强烈主张数学和科学不可分割，认为两者都在提供实在的知识。“数学”，在庞加莱看来，“具有三重目的：它必须为自然研究提供工具；它应该具有哲学目的，和美学目的。它必须帮助哲学家来深化我们的数量及时空观”。其中美学目的是现实的和实用的，他对类比的挚爱为他引导出一种特别的数学风格。这已经超越了呈现事物是什么，而在解释为什么事物是这样；一段好的证明本身，对于庞加莱也不过是这种数学风格的新的有效体验。庞加莱对于各种具体的群少有兴趣，他一生关心的是将这些不同的群置于一个有效整体，并再分类和再解释。[9]高度的一般性是庞加莱所有数学著作的显著特点。当然，在应用物理中，他始终很注重问题细节。庞加莱不同于希尔伯特，他的重点不像希尔伯特的一些著作那样关心数学的形式上的公理化方法，把数学问题化约成形式逻辑问题而与公式的内容无关；庞加莱关注的是人类自身对数学的理解能力。他认为这种能力是一种有组织的动态的思想体系，并依据能否做出数学发现来评判。没有严肃的数学哲学可以忽视发现的角色，如果没有了发现，就没有了数学。正如他所说（1899），“甚至对于下一代的领导型数学家来说也需要直觉，因为人类正是用逻辑来证明，而用直觉在发现”（in Oeuvres 11.1, 132）。庞加莱关于数学证明的观点几乎无关逻辑严密性，他认为严密是必要但不充分的条件，他关注的是证明的措施和功能。他说（in L'avenir），“数学严密性不是一切，但是没有了它，一切都不复存在”。对于庞加莱，数学证明的意义在于通过类比(by analogy)，其一般性思想所具有的更广泛的应用。

庞加莱的科学哲学观源自于马赫（Ernst Mach，1838～1916）的经验批判主义哲学，它是实证主义的二代，强调所谓思维经济原则。这在哲学史上比在科学史上具有更大影响。（对数学的）理解能力可以按思维经济术语来解释，而与心理学无关。无疑，新的理解力可以带来情感上兴奋；无疑，数学家对事物的理解和认知会处于既深刻又困惑的双重状态，肯定有一种美学元素引导数学家选择这样或那样的课题去研究。但是，其中的关键要素在庞加莱看来，是一般化的能力，为了解释事实为什么是如此这样，数学家就必须引进相关的新事实并给予证明。这个方面的数学实践已经超越了数学逻辑和证明理论的范畴，但这并不意味着不可以从哲学方面去探讨。实验，在庞加莱看来就是怎样去理解他已经知道的，并且做出有效的应用。还有，庞加莱怎样决定哪些部分需要证明，以及怎样思考数学事实的来源会经常导致其他部分怎样被证明，或怎样明晰一些关键点，以使现有的数学方法和概念可以有效延伸。他的那些严密的学术著作需要现代逻辑等工具才能明白；不过，他的数学和科学方面的这些随笔性文章也构成了他的创造性生命的一部分。因此，这些随笔也是他的——以及所有富有创造力的数学家和科学家的——数学和科学实践的一部分。 啊啊

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