2007年高考数学试题及答案（山东理）

2007年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）

理科数学 第Ⅰ卷（共60分）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，选择一个符合题目要求的选项．

（1）若z?cos??isin?（i为虚数单位），则使z2??1的?值可能是（ ） A．

?6 B．

?4 C．

?3

??12D．

?2

（2）已知集合M???1，1?，N??x1? A．??1，?2x?1??4，x?Z?，则M?N?（ ）

?B．??1?

C．?0? D．??1，0?

（3）下列几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是（ ）

①正方形 ②圆锥

A．①② B．①③ C．①④

??1??③三棱台 D．②④

④正四棱锥

a（4）设a???1，1，，3?，则使函数y?x的定义域为R且为奇函数的所有a值为（ ）

2A．1，3

（5）函数y?sin(2x?A．?，1

B．?1，1

?6C．?1，3 D．?1，1，3 ?)?cos(2x?)的最小正周期和最大值分别为（ ）

3

B．?，2 C．2?，1 D．2?，2 f(x)?f(y)1?f(x)f(y)（6）给出下列三个等式：f(xy)?f(x)?f(y)，f(x?y)?f(x)f(y)， f(x?y)?下列函数中不满足其中任何一个等式的是（ ） A．f(x)?3

x，

B．f(x)?sinx

C．f(x)?log2x

D．f(x)?tanx

32（7）命题“对任意的x?R，x?x?1≤0”的否定是（ ）

32A．不存在x?R，x?x?1≤0

1

B．存在x?R，x3?x2?1≤0 C．存在x?R，x3?x2?1?0 D．对任意的x?R，x?x?1?0

（8）某班50名学生在一次百米测试中，成绩全部介于13秒与19秒之间，将测试结果按如下方式分成六组：第一组，成绩大于等于13秒且小于14秒；第二组，成绩大于等于14秒且小于0.18 15秒；……第六组，成绩大于等于18秒且小于等于19秒．右图是按上述分组方法得到的频率分布直方图．设成绩小于17秒的学生人数占全班总人数的百分比为x，成绩大于等于15

秒且小于17秒的学生人数为y，则从频率分布直方图中可分0.06 析出x和y分别为（ ） A．0.9，35

B．0.9，45

C．0.1，35 D．0.1，45

（9）下列各小题中，p是q的充要条件的是（ ） ①p：m??2或m?6；q：y?x2?mx?m?3有两个不同的零点． ②p:f(?x)f(x)0.04 0.02 32频率/组距 0.36 0.34 0 13 14 15 16 17 18 19

秒

开始 输入n ?1；q:y?f(x)是偶函数．

S?0，T?0 ③p:cos??cos?；q:tan??tan?．

④p:A?B?A；q:CUB?CUA． A．①②

B．②③

C．③④

D．①④

n<2 否 s?s?n（10）阅读右边的程序框图，若输入的n是100，则输出的变量

S和T的值依次是（ ）

n?n?1 输出S，T A．2500，2500 C．2500，2550

B．2550，2550 D．2550，2500`

T?T?n结束 （11）在直角△ABC中，CD是斜边AB上的高，则下列等式

n?n?1 不成立的是（ ） ????（A）AC????（C）AB2?????????????AC?AB （B） BC2?????????BA?BC

22?????????????AC?CD （D） CD????????????????(AC?AB)?(BA?BC)? ????2AB（12）位于坐标原点的一个质点P按下列规则移动：质点每次移动一个单位；移动的方向为向上或向右，并且向上、向右移动的概率都是

12，质点P移动五次后位于点(2，3)的概率是（ ）

2

（A）()5 （B） C52()5 （C）C53()3 （D） C52C53()5

22221111第Ⅱ卷（共90分）

二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．答案须填在题中横线上．

（13）设O是坐标原点，F是抛物线y2?2px(p?0)的焦点，A是抛物线上的一点，FA与x轴正向的

????夹角为60，则OA为 ．

??????x?2y≤10，??2x?y≥3，（14）设D是不等式组?表示的平面区域，则D中的点P(x，y)到直线x?y?10距离的最

?0≤x≤4，??y≥1大值是 ．

（15）与直线x?y?2?0和曲线x2?y2?12x?12y?54?0都相切的半径最小的圆的标准方程是 ．

（16）函数y?loga(x?3)?1(a?0，且a?1)的图象恒过定点A，若点A在直线mx?ny?1?0上，其中mn?0，则

1m?2n的最小值为 ．

三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． （17）设数列?an?满足a1?3a2?3a3?…?32n?1an?n3，a?N*．

（Ⅰ）求数列?an?的通项； （Ⅱ）设bn?

（18）设b和c分别是先后抛掷一枚骰子得到的点数，用随机变量?表示方程x?bx?c?0实根的个数（重根按一个计）．

（Ⅰ）求方程x?bx?c?0有实根的概率； （Ⅱ）求?的分布列和数学期望；

（Ⅲ）求在先后两次出现的点数中有5的条件下，方程x?bx?c?0有实根的概率．

3

222nan，求数列?bn?的前n项和Sn．

（19）如图，在直四棱柱ABCD?A1B1C1D1中，已知DC?DD1?2AD?2AB，AD?DC，AB∥DC． （Ⅰ）设E是DC的中点，求证：D1E∥平面A1BD； （Ⅱ）求二面角A1?BD?C1的余弦值．

A D

B

E

C

A1 D1

C1

B1

（20）如图，甲船以每小时302海里的速度向正北方航行，乙船按固定方向匀速直线航行，当甲船位于

A1处时，乙船位于甲船的北偏西105方向的B1处，此时两船相距20海里，当甲船航行20分钟到达A2处

?时，乙船航行到甲船的北偏西120?方向的B2处，此时两船相距102海里，问乙船每小时航行多少海里？

B2 北 120 ??A2

105 A

1B1 乙 甲

（21）已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，椭圆C上的点到焦点距离的最大值为3，最小值为1．

（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；

（Ⅱ）若直线l:y?kx?m与椭圆C相交于A，B两点（A，B不是左右顶点），且以AB为直径的圆过椭圆C的右顶点，求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标．

2（22）设函数f(x)?x?bln(x?1)，其中b?0．

（Ⅰ）当b?12时，判断函数f(x)在定义域上的单调性；

（Ⅱ）求函数f(x)的极值点；

?111??1??2?3都成立．

n?n?n（Ⅲ）证明对任意的正整数n，不等式ln?4

2007年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）

理科数学参考答案

一．选择题：

1.D【分析】：把

?2代入验证即得。

??12??4,x?Z????1,0?。

?2.B【分析】：求N??x?2x?13.D【分析】：从选项看只要判断正方体的三视图都相同就可以选出正确答案。 4.A【分析】：观察四种幂函数的图象并结合该函数的性质确定选项。 5.A【分析】：化成y?Asin(?x??)的形式进行判断即y?cos2x。

6.B【分析】：依据指、对数函数的性质可以发现A，C满足其中的一个等式，而D满足

f(x?y)?f(x)?f(y)1?f(x)f(y)，B不满足其中任何一个等式.

7.C【分析】：注意两点：1）全称命题变为特称命题；2）只对结论进行否定。 8 .A.【分析】：从频率分布直方图上可以看出x?0.9，y?35. 9.D.【分析】：（2）由

f(?x)f(x)但y?f(x)的定义域不一定关于原点对称；（3）?1可得f(?x)?f(x)，???

是tan??tan?的既不充分也不必要条件。

10.D.【试题分析】：依据框图可得S?100?98?96?...?2?2550，T?99?97?95?...?1?2500。

????2????????????????????????????11.C.【分析】： AC?AC?AB?AC?(AC?AB)?0?AC?BC?0，A是正确的，同理B也正确，

????2????对于D答案可变形为CD?AB2????2????2?AC?BC，通过等积变换判断为正确.

12.B.【分析】：质点在移动过程中向右移动2次向上移动3次，因此质点P 移动5次后位于点(2,3) 的概

率为P?C5()(1?221212)。

3二．填空题：

13．

212p【分析】：过A 作AD?x轴于D，令FD?m，则FA?2m，p?m?2m，m?p。

?OA?(p2?p)?(3p)?22212p.

14． 42.【分析】：画图确定可行域，从而确定(1,1)到直线直线x?y?10距离的最大为42.

5

8642-10-5510 15． (x?2)2?(y?2)2?2【分析】：曲线化为(x?6)2?(y?6)2?18，其圆心到直线x?y?2?0的距

6?6?22离为d??52.所求的最小圆的圆心在直线y?x上，其到直线的距离为2，圆心坐标为

(2,2).标准方程为(x?2)?(y?2)?2。

142212108642-10-5510-2 16． 8。【分析】：函数y?loga(x?3)?1(a?0,a?1)的图象恒过定点A(?2,?1)，

(?2)?m?(?1)?n?1?0，2m?n?1，m,n?0，

1m?2n?(1m?2n)?(2m?n)?4?nm?4mn?4?2nm?4mn?8.

三．解答题：

（17）解：（Ⅰ）?a1?3a2?3a3?…?3?当n≥2时，a1?3a2?3a3?…?32n?22n?1an?nan?1?3n?13， ① ． ②

13①-②得3n?1an?13，an?13n．在①中，令n?1，得a1?．?an?13n．

（Ⅱ）?bn?nan2n，?bn?n3．

?Sn?3?2?3?3?3?…?n3， ③ ?3Sn?3?2?3?3?3?…?n3234n?13n． ④

6

④-③得：?2Sn?n3n?1?(3?32?33?…?3n)．

n?1即2Sn?n3?3(1?3)1?3n，?Sn?(2n?1)34n?1?34．

（18）解：（Ⅰ）由题意知：设基本事件空间为?，记“方程x2?bx?c?0没有实根”为事件A，“方程

2“方程x2?bx?c?0有两个相异实数”为事件C，则x?bx?c?0有且仅有一个实根”为事件B，

2…，6，???(b，c)b，c?1，2，…，6?，A?(b，c)b?4c?0，b，c?1，，2??B?(b，c)b?4c?0，b，c?1，，2…，6，C?(b，c)b?4c?0，b，c?1，，2…，6，

?2??2?基本事件总数为6?6?36，

若使方程有实根，则??b2?4c?0，即b?2c。

当c?1时，b?2,3,4,5,6；当c?2时，b?3,4,5,6；当c?3时，b?4,5,6；当c?4时，b?4,5,6； 当c?5时，b?5,6；当c?6时，b?5,6。目标事件个数为5?4?3?3?2?2?19, 因此方程x2?bx?c?0有实根的概率为

1936.

C中的基本事件总数为17个．又因为B，CB中的基本事件总数为2个，?A中的基本事件总数为17个，

21719??是互斥事件，故所求概率P?P(B)?P(C)?． 363636171171，2，则P???0??（Ⅱ）由题意，?的可能取值为0，，P???1??，P???2??，

361836故?的分布列为：

? P 0 1736?1?118?2?1 2 ?1．

118 1736 所以?的数学期望E??0?17361736（Ⅲ）记“先后两次出现的点数有中5”为事件D，“方程x?bx?c?0有实数”为事件E，由上面分析得

P(D)?11362，P(D?E)?736，?P(ED)?P(D?E)P(D)?711．

（19） 解：: （Ⅰ）连结BE，则四边形DABE为正方形，?BE?AD?A1D1且BE∥AD∥A1D1，

?四边形A1D1EB为平行四边形．?D1E∥A1B．

7

又D1E?平面A1BD，A1B?平面A1BD，?D1E∥平面A1BD．

D1C1A1B1DECAB

(II) 以D为原点，DA,DC,DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，不妨设DA?1，?????????则D(0,0,0),A(1,0,0),B(1,1,0),C1(0,2,2),A1(1,0,2).?DA1?(1,0,2),DB?(1,1,0).DC?(0,2,2)。 ????????????设n?(x,y,z)为平面A1BD的一个法向量，由n?DA1,n?DB得

?x?2z?0?x?-2z,即,?n?(?2z,2z,z).令z?1,则n?(?2,2,1)。， ??x?y?0y?-x????????????????设m?(x1,y1,z1)为平面C1BD的一个法向量，由m?DC,m?DB得

?2y?2z?0?y?-z,即,?n?(z,?z,z).令z?1,则n?(1,?1,1)。 ???x?y?0?x?z??????m?n?33cos?m,n????????.由图知该二面角A1?BD?C1为锐角，

39?3mn所以所求二面角A1?BD?C1的余弦值为33.

2060（20）解：如图，连结A1B2，A2B2?102，A1A2??302?102，

?A1A2B2是等边三角形，?B1A1B2?105??60??45?，

北 120 B2 ?在?A1B2B1中，由余弦定理得

B1B2?A1B1?A1B2?2A1B1?A1B2cos45??20?(102)?2?20?102?22222A2

105 ?22，

?200A1

B1 乙 10220?60?302.

甲

B1B2?102.因此乙船的速度的大小为

8

答：乙船每小时航行302海里。

xa22（21）解：(I)由题意设椭圆的标准方程为

?yb222?1(a?b?0)，则

a?c?3,a?c?1，a?2,c?1,b?3， ?2x4?y23?1.

?y?kx?m? (II)设A(x1,y1),B(x2,y2)，由?x2y2得(3?4k2)x2?8mkx?4(m2?3)?0，

??1?3?4??64mk?16(3?4k)(m?3)?0，3?4k?m?0.

222222x1?x2??8mk3?4k2,x1?x2?4(m?3)3?4k222.

y1?y2?(kx1?m)?(kx2?m)?kx1x2?mk(x1?x2)?m?23(m?4k)3?4k222.

?以AB为直径的圆过椭圆的右顶点D(2,0),kAD?kBD??1， ?y1?y2??1，y1y2?x1x2?2(x1?x2)?4?0，

x1?2x2?2223(m?4k)3?4k2?4(m?3)3?4k22?16mk3?4k2?4?0，7m?16mk?4k?0，

2222解得m1??2k,m2??2k7，且满足3?4k?m?0.

当m??2k时，l:y?k(x?2)，直线过定点(2,0),与已知矛盾； 当m??2k7时，l:y?k(x?27)，直线过定点(227,0).

综上可知，直线l过定点，定点坐标为(,0).

7（22）解：（Ⅰ）由题意知，f(x)的定义域为(?1，??)，f?(x)?2x?bx?1?2x?2x?bx?12

2设g(x)?2x?2x?b，其图象的对称轴为x??11?1??(?1，??)，?g(x)max?g??????b． 22?2?当b?12时，g(x)max??12?b?0，即g(x)?2x?3x?b?0在(?1，??)上恒成立，

122??)时，f?(x)?0，?当b??当x?(?1，时，函数f(x)在定义域(?1，??)上单调递增．

9

（Ⅱ）(1)由（Ⅰ）得，当b?12时，函数f(x)无极值点．

2(2) b?122x?2x?12?2(x?1时，f?(x)?x?12x?1)2?0有两个相同的解x??12，

1??1?????时，f?(x)?0， ?x???1，??时，f?(x)?0，x???，2??2???b?12时，函数f(x)在(?1，??)上无极值点．

12(3)当b?时，f?(x)?0有两个不同解，x1?12?1?1?2b2，x2??1?1?2b2，

显然x1???x2。因为x?(?1，??)，令x1??1?1?2b2=-1解得b=0.

①当b?0时，x1??1?1?2b2??1，x2??1?1?2b2?0，即x1????,?1?，x2???1,???．

?b?0时，f?(x)，f(x)随x的变化情况如下表：

x f?(x) f(x) ??1,x2? ? x2 0 (x2，??) ? 极小值 ?1?1?2b2 由此表可知：b?0时，f(x)有惟一极小值点x2?12.

②当0?b?时，x1??1?1?2b2??1，?x1，x2?(?1??)，

此时，f?(x)，f(x)随x的变化情况如下表：

x f?(x) f(x) (?1，x1) x1 0 (x1，x2) ? x1 0 (x1，??) ? ? 极大值 极小值 1?2b2 由此表可知：0?b?12时，f(x)有一个极大值x1??1?和一个极小值点x2??1?1?2b2；

10

综上所述：b?0时，f(x)有惟一最小值点x??1?1?2b2；

0?b?12时，f(x)有一个极大值点x??1?1?2b2和一个极小值点x??1?1?2bx；

b≥12时，f(x)无极值点．

（Ⅲ）当b??1时，函数f(x)?x2?ln(x?1)，令函数h(x)?x3?f(x)?x3?x2?ln(x?1)，

1x?13x?(x?1)x?132则h?(x)?3x?2x?2?．

???时，f?(x)?0，所以函数h(x)在?0，???上单调递增，又h(0)?0． ?当x??0，?x?(0，??)时，恒有h(x)?h(0?)2332，0即x?x?ln(x?1)恒成立．故当x?(0，??)时，有

ln(x?1)?x?x．对任意正整数n取x?111?1??(0，??)，则有ln??1??2?3．所以结论成立． nn?n?n

11

综上所述：b?0时，f(x)有惟一最小值点x??1?1?2b2；

0?b?12时，f(x)有一个极大值点x??1?1?2b2和一个极小值点x??1?1?2bx；

b≥12时，f(x)无极值点．

（Ⅲ）当b??1时，函数f(x)?x2?ln(x?1)，令函数h(x)?x3?f(x)?x3?x2?ln(x?1)，

1x?13x?(x?1)x?132则h?(x)?3x?2x?2?．

???时，f?(x)?0，所以函数h(x)在?0，???上单调递增，又h(0)?0． ?当x??0，?x?(0，??)时，恒有h(x)?h(0?)2332，0即x?x?ln(x?1)恒成立．故当x?(0，??)时，有

ln(x?1)?x?x．对任意正整数n取x?111?1??(0，??)，则有ln??1??2?3．所以结论成立． nn?n?n

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