材料力学习题

材料力学习题

第2章

2-1 试求出图示各杆件中Ⅰ—Ⅰ截面上的内力。

2-2图示矩形截面杆，横截面上正应力沿截面高度线性分布，截面顶力均为?max?100MPa，底边各点处的正应力均为零。杆件横截面上

量，并确定其大小（C点为截面形心）。

2-3 试指出图示各单元体表示哪种应力状态。

2-4 已知应力状态如图所示（应力单位为MPa），试用解析法计算图

边各点处的正应存在何种内力分

中指定截面的应

力。

2-5 试作应力圆来确定习题2-4图中指定截面的应力。

2-6已知应力状态如图所示（应力单位为MPa），试用解析法求：（1）主应力及主方向；（2）主切应力及主切平面；（3）最大切应力。

2-7 已知应力状态如习题2-6图所示，试作应力圆来确定：（1）主应力及主方（2）主切应力及主切平面；（3）最大切应力。

2-8已知构件内某点处的应力状态为两种应力状态的叠加结果，试求叠加后所应力状态的主应力、主切应力。

2-9图示双向拉应力状态，?x

向； 得

??y?? 。试证明任一斜截面上的正应力均

等

于?，而切应力为零。

2-10 已知K点处为二向应力状态，过K点两个截面上的应力如图所示（应力单位为MPa）。试分别用解析法与图解法确定该点的主应力。

2-11 一点处的应力状态在两种坐标系中的表示方法分别如图 a)和b)所示。试确定未知的应力分量?xy、?x?y?、?y?的大小与方向。

2-12 图示受力板件，试证明尖角A处各截面的正应力与切应力均为零。

2-13 已知应力状态如图所示（单位为MPa），试求其主应力及第一、第二、第三不变量I1、I2、I3。 2-14 已知应力状态如图所示（单位为MPa），试画三向应力圆，并求主应力、最大正应力与最大切应力。

第3章

3-1 已知某点的位移分量u= A ， v= Bx+Cy+Dz ， w= Ex2+Fy2+Gz2+Ixy+Jyz+Kzx。A、B、C、D、E、F、G、I、J、K均为常数，求该点处的应变分量。

3-2 已知某点处于平面应变状态，试证明?x常数）可作为该点的三个应变分量。

3-3 平面应力状态的点O处?x=6×10 mm/m，?y=4×

-4

?Axy2,?y?Bx2y,?xy?Ax2y?Bxy2（其中，A、B 为任意

10 mm/m，

-4

?xy=0；求:1)平面内以x?、y?方向的线应变；2)以x?与y?为两垂直线元的切应变；3）该平面内的最大切应变及其与x轴

的夹角。

3-4 平面应力状态一点处的?x= 0，?y= 0，?xy=-1×10rad。试求:1）

-8

平面内以最大切应变

x?、y?方向的线应变；2)以x?与y?为两垂直线元的切应变；3）该平面内的

及其与x轴的夹角。

3-5 用图解法解习题3-3。 3-6 用图解法解习题3-4。

3-7 某点处的?x=8×10 m/m ，?y=2×10 m/m，?xy=1×10 rad；分

-8

-8

-8

别用图解法

和解析法求该点xy面内的：1）与x轴夹角为45°方向的线应变和以45°方向为始边的直角的切应变；2）最大线应变的方向和线应变的值。

3-8 设在平面内一点周围任何方向上的线应变都相同，证明以此点为顶点的任意直角的切应变均为零。 3-9 试导出在xy平面上的正方形微元面，在纯剪状态下切应变?xy与对角线方之间的关系。

3-10 用电阻应变片测得某点在某平面内0°，45°和90°方向的线应变分别为10m/m，75×10-6m/m，130×10m/m，求该点在该平面内的最大和最小线应变，最

-6

-6

向的线应变

-130×

大和最小切

应变。

3-11 用应变花测出?1=280×10m/m，?2=-30×10m/m，

-6

-6

?4=110

×10m/m。

-6

求：1）?3的值；2）该平面内最大，最小线应变和最大切应变。

3-12 已知?1=-100×10m/m，?2=720×10m/m，?3=630×10×

-6

-6

-6

10-6m/m，求

该平面内的最大线应变。

3-13 已知?x=-360×10m/m，?y=0，?xy=150×10rad，求坐标

-6

-6

轴

x，y绕

z轴转过θ

=-30°时，新的应变分量?x?、?y?、?x?y?。

-6

-6

-6

3-14 已知?x=-64×10m/m，?y=360×10m/m，?xy=160×10rad，求坐标轴x，y绕z轴转过?应变分量?x?、?y?、?x?y?。

3-15 已知?1=480×10m/m，?2=-120×10m/m，?3=80×10 m/m，求?x。

-6

-6

-6

??25?时，新的

3-16 证明应变花的应变满足?1??2??3?3?c。?c为应变圆圆心的横坐标。

3-17 已知1）?x=-0.00012m/m，?y=0.00112m/m，?xy=0.00020rad；2)?x=0.00080m/m，?y=-0.00020m/m，

?xy=-0.00080rad，试求最大最小线应变及其方向。

3-18 在直角应变花的情况下，证明

?max?0???90?(?0???45?)2?(?45???90?)2???min222???0???90?tan2???45??0???90?3-19 图示等角应变花，证明

?max?0???60???120?2??(?0???60?)2?(?60???120?)2?(?120???0?)2?min33tan2???3(?60???120?)2?0???60???120?

第4章

习 题

4-1 图示硬铝试样，厚度? =2mm，试验段板宽b = 20mm，标距l =70mm。在轴向拉力F = 6kN的作用下，测得试验

段伸长? l =0.15mm，板宽缩短?b =0.014mm，试计算硬铝的弹性模量E与泊松比v。

习题4-1图

4-2 一板状拉伸试件如图所示。为了测定试件的应变，在试件的表面贴上纵向和横向电阻丝片。在测定过程中，每增

加3kN的拉力时，测得试件的纵向线应变 ?1=120×10-6 和横向线应变?2 = -38×10-6。求试件材料的弹性模量和泊松比。

4-3 一钢试件，其弹性模量E = 200Gpa，比例极限?p=200MPa，直径d=10mm。用标距为l 0=100mm放大倍数为500

的引伸仪测量变形，试问：当引伸仪上的读数为25mm时，试件的应变、应力及所受载荷各为多少？

习题4-2 图 习题4-3图

4-4 某电子秤的传感器为一空心圆筒形结构，如图所示。圆筒外径为

D=80mm，厚度? =9mm，材料的弹性模量E=210Gpa。设沿筒轴线作用重物后， 测得筒壁产生的轴向线应变 ? = -47.5×10-6，试求此重物的重量F。

4-5 某构件一点处于平面应力状态，该点最大切应变 ?max = 5×10-4，并

已知两互相垂直方向的正应力之和为27.5MPa。材料的弹性常数E=200GPa，

v =0.25。试计算主应力的大小。（提示：?n+?n+90?=?x+?y=?′+??） 习题4-4图

4-6 求图示单元体的体积应变? 、应变比能e和形状应变比能ef。设E =200Gpa，v =0.3。（图中应力单位为MPa）

4-7 下列图示的应力状态（图中应力的量纲为MPa）中，哪一应力状态只引起体积应变？哪一应力状态只引起形状应

变？哪一应力状态既引起体积应变又引起形状应变？

4-8 试证明对于一般应力状态，若应力应变关系保持线性，则应变比能

e?1212222[?x??y??z2?2v(?x?y??y?z??z?x)]?(?xy??yz??zx) 2E2G 4-9 刚性足够大的块体上有一个长方槽（见图），将一个

块置于槽中。铝的泊松比v =0.33，弹性模量E =70GPa，在钢块的顶面

力，其合力F = 6kN。试求钢块内任意一点的三个主应力。

1×1×1cm3的铝上作用均布压

4-10 试求图示正方形棱柱体在下列两种情况下的主应力。

（1）棱柱体自由受压；（2）棱柱体放在刚性方模内受压，均为已知。

弹性常数E，v

4-11 图示矩形板，承受正应力?x与?y作用，试求板厚的改变量

度? =10mm，宽度b =800mm，高度h =600mm，正应力?x =80MPa，?y 为铝，弹性模量E =70Gpa，泊松比v =0.33。

??。已知板件厚

= -40MPa，材料

4-12 已知微元体处于平面应力状态，?x = 100MPa，?y = 80MPa，? xy = 50MPa，E = 200Gpa，v =0.3。试求?30?。

习题4-10图 习题4-11图 习题4-12图

第5章

5–1 试求图示各杆1-1、2-2、3-3截面上的轴力。

5–2 一等直杆的横截面面积为A，材料的单位体积质量为?，受力如图所示。若F绘出杆的轴力图。

?10?gaA，试考虑杆的自重时

5–3 图示边长a=10mm的正方形截面杆，CD段的槽孔宽度d=4mm，试求杆的最大拉应力和最大压应力。已知F1=1kN，F2=3kN，F3=2kN。

5–4 桅杆起重机，起重杆AB为无缝钢管，横截面尺寸如图所示。钢丝绳CB的横截面面积为10mm2。试求起重杆AB和钢丝绳CB横截面上正应力。

5–5 图示杆所受轴向拉力F=10kN，杆的横截面面积A=100mm2。以?表示斜截面与横截面的夹角，试求

??0?、30?、45?、60?、90?时各斜截面上的正应力和切应力。

5-6 变截面杆所受外力如图所示。两段截面直径分别为d1=40mm、d2=20mm，已知此杆的τmax=40MPa。试求拉力F。 5-7 长为l、内径d=500mm、壁厚δ=5mm的薄壁圆筒，受压强p=2MPa的均匀内压力作用。试求圆筒过直径的纵向截面上的拉应力。

5–8 在图示结构中，钢拉杆BC的直径为10mm，试求此杆的应力。由BC连接的1和2两部分可视为刚体。 5–9 同一根杆，两端外力作用的方式不同，如图中a)、b)、c)所示。试问截面1-1、2 -2的应力分布情况是否相同?为什么?

5–10 等直杆所受的外力如图所示。杆的横截面面积A和材料的弹性模量E及l、F均已知，试求杆自由端B的位移。 5–11 长为l的变截面杆，如图所示。左右两端的直径分别为d1 、d2，杆只在两端作用着轴向拉力F，材料的弹性模量为E，试求杆的总伸长。

5–12 图示结构，AB为刚性杆，AC、BD杆材料相同E=200GPa，横截面面积皆为A=1cm2，力F=20kN，求AC 、BD杆的应力及力的作用点G的位移。

5–13 图示杆，全杆自重w=20kN，材料的弹性模量E=50GPa，已知杆的横截面面积A=1cm2，杆长l=2m，力F=20kN，计算在自重和载荷作用下杆的变形。

5–14 图示结构中，1、2两杆的直径分别为10mm和20mm，若

AB、BC两横杆皆为刚杆，试求1、2杆内的应力。

5–15 三角架如图所示。斜杆AB由两根80?80?7等边角钢组成，杆长l=2m，横杆AC由两根10号槽钢组成，材料

均为Q235钢，弹性模量E=200GPa，α=30o，力F=130kN。求节点A的位移。

5–16 打入粘土的木桩长l=12m，上端荷载F=420kN，设载荷全由摩擦力承担，且沿木桩单位长度的摩擦力f按抛物线f=Ky变化， K是常数。木桩的横截面面积A=640cm2，弹性模量E=10Gpa，试确定常数K，并求木桩的缩短量。

2

5–17 等直杆所受外力及几何尺寸如图所示。杆的横截面面积为A，两端固定。求杆的最大拉应力应力和最大压应力。

5–18 图示结构，AB为刚性横梁，1、2两杆材料相同，横截面面积皆为A=300mm2。载荷F=50kN，求1、2杆横截面的应力。

5–19 平行杆系1、2、3，悬吊着刚性横梁AB。在横梁上作用着载荷F，三杆的横截面面积A、长度l、弹性模量E均

相同。试求各杆横截面的应力。

5–20 图示桁架结构，杆1、2、3分别用铸铁、铜和钢制成，弹性模量分别为E1=160GPa、E2=100GPa、E3=200GPa，横截面面积A1= A2= A3=100mm2。载荷F=20kN。试求各杆横截面的应力。

5–21 图示结构，各杆的横截面面积、长度、弹性模量均相同，分别为A、l、E，在节点A处受铅垂方向载荷F作用。试求节点A的铅垂位移。

5–22 埋入合成树脂的玻璃纤维如图所示。求温度从–10oC升至30oC时在玻璃纤维中产生的拉应力。已知升温时玻璃纤维与合成树脂完全密接。玻璃纤维及合成树脂的横截面面积分别为A及50A，线膨胀系数分别为8×10–61/oC及20×10–61/oC，弹性模量分别为70GPa及4Ga。

5–23 图示结构中的三角形板可视为刚性板。1杆（长杆）材料为钢、2杆（短杆）材料为铜，两杆的横截面面积分别为A1= 10cm2，A2=20cm2，当F=200kN，温度升高20oC时，求1、2杆横截面的应力。（钢、铜材料的弹性模量与线膨胀系数分别为E1=200GPa ，?1=12.5×10–61/oC；E2=100 GPa ，?2=16×10–61/oC）。

5–24 一刚性梁放在三根混凝土支柱上如图所示。各支柱的横截面面积皆为400cm2，弹性模量皆为14GPa。未加载荷时，中间支柱与刚性梁之间有?=1.5mm的空隙。试求当载荷F=720kN时各支柱内的应力。

5–25 图示桁架结构，由于制造误差使BC杆比原设计短了?，试求装配后各杆的应力。已知各杆的弹性模量E、横截面面积A均相同。AB=AD=AE=l。

5–26 图中杆OAB可视为不计自重的刚体。AC与BD两杆材料、尺寸均相同，

A为横截面面积，E为弹性模量，

?为线膨胀系数，图中a及l均已知。试求当温度均匀升高?T?C时，杆AC和BD内的温度应力。

5–27 长为l、横截面面积为A的匀质等截面杆,两端分别受F1和F2作用(F1

5–28 平均直径为D的薄壁圆环，以匀角速度ω绕通过圆心且垂直于圆环平面的轴转动。若圆环材料的单位体积质量为ρ，弹性模量为E，试求圆环的动应力及平均直径D的改变量。

5–29 重W的钢球装在长为l的转臂的端部，以等角速度ω在光滑水平面上绕O旋转。若转臂的抗拉刚度为EA，试求转臂的总伸长（不计转臂的质量）。

第6章

6-1 作图示各杆的扭矩图。

6-2 如图，轴的转速为450rpm，最大切应力为45MPa ，试求轴传递的功率。

6-3 画出各杆横截面上的切应力分布图。

6-4 直径50mm的圆轴，扭矩2.15kN·m，求在距离横截面中心切应力，并求横截面上最大切应力。

6-5 实心轴和空心轴通过牙嵌式离合器连接在一起，已知 轴的转速n=100rpm，传递功率P=7.5KW，最大切应力为 40MPa，试选择实心轴直径d1和内外径之比为1/2的 空心轴外径D2。

6-6 用横截面ABE，CDF和包含轴线的纵向面ABCD从受扭圆轴（图a）中截出一部分如图b所示，根据切应力互等定理，纵向截面上的切应力τ将产生一个力偶矩，试问这个力偶矩与这一截出部分上的哪个力偶矩平衡？

′

10mm处的

6-7 直径50mm的钢圆轴，其横截面上的扭矩T=1.5KN·m，求横截面上的最大切应力。

6-8 圆轴的直径d= 50mm ，转速为120rpm ，若该轴横截面上的最大切应力等于60MPa ，问所传递的功率是多少kW? 6-9 圆轴的粗段外径为100mm ，内径为80mm ，细段直径为80mm ，在轮A处由电动机带动，输入功率P1=150kW，在轮B ，C处分别负载P2=75kW， P3=75kW ，已知轴的转速为300rpm。

1） 作扭矩图 ；

2） 求该空心轴及实心轴的最大切应力。

6-10 一直径为d=50mm的圆轴 ，其两端受力矩为1kN·m的外力偶作用而发生扭转 ，轴材料的切变模量G=8 ×104MPa.试求:1.横截面上ρA=d/4处的切应力和切应变;2. 最大切应力和和单位长度扭转角。

6-11 材料相同的一根空心圆轴和一根实心圆轴 .它们的横截面面积相同 ，扭矩相同，试分别比较这两根轴的最大切应力和单位长度扭转角。

6-12 一电机轴的直径d= 40mm ，转速n=1400rpm ，功率为30kW ，.切变模量G=8×104MPa 。试求此轴的最大切应力和单位长度扭转角。

6-13 空心圆轴的外径D=100mm ， 内径d=50mm ， 已知间距为L=2.7m的两横截面的相对扭转角Ф=1.8°，材料的切变模量G = 80GPa ，求:1.轴内最大切应力;2.当轴以n=80rpm的速度旋转时，轴传递的功率。

6-14 全长为L，两端面直径分别为d1，d2的圆锥形杆，其两端各受一矩为M的集中力偶作用，试求杆的总扭转角。

6-15 一根轴转速360rpm，传递功率150kW，切变模量80GPa，设计其直径，使切应力不超过50MPa，并且在2.5m长度内扭转角不超过3°。

6-16 图示矩形截面杆受M=3kN·m的一对外力偶作用，材料的切变模量G=80GPa。求:1.杆内最大切应力的大小，位置和方向;2.横截面短边中点的切应力;3.单位长度扭转角。

6-17 图示一个T形薄壁截面杆，长L=2m，在两端受扭转 力偶作用，杆的扭矩为T=0.2kN·m，材料的切变模量

G=8×104MPa求此杆在自由扭转时的最大切应力及扭转

角。

6-18 图示一等厚闭口薄壁杆，两端受扭转力偶作用，杆的最大切应力为60MPa.求:1.确定其扭转力偶矩;2.若在杆上沿母线切开一条缝，试问开口后扭转力偶矩是多少?

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