2014年中考数学真题一元二次方程及其应用

2014年中考数学真题一元二次方程及其应用

一元二次方程及其应用

一、选择题

1. （ 2014 广东，第8题3分）关于x的一元二次方程x﹣3x+m=0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围为（ ） A．

考点： 根的判别式． 专题： 计算题．

分析： 先根据判别式的意义得到△=（﹣3）2﹣4m＞0，然后解不等式即可． 解答： 解：根据题意得△=（﹣3）2﹣4m＞0，

解得m＜． 故选B．

点评： 本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2﹣4ac：当△＞0，方

程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．

2. （ 2014 广西玉林市、防城港市，第9题3分）x1，x2是关于x的一元二次方程x2﹣mx+m﹣2=0的两个实数根，是否存在实数m使

+

=0成立？则正确的是结论是（ ）

B．

C．

D．

2

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3．(2014年天津市，第10题3分)要组织一次排球邀请赛，参赛的每个队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛．设比赛组织者应邀请x个队参赛，则x满足的关系式为（ ） A． x（x+1）=28

考点： 由实际问题抽象出一元二次方程．

分析： 关系式为：球队总数×每支球队需赛的场数÷2=4×7，把相关数值代入即可． 解答： 解：每支球队都需要与其他球队赛（x﹣1）场，但2队之间只有1场比赛， 所以可列方程为：x（x﹣1）=4×7． 故选B．

点评： 本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，解决本题的关键是得到比赛总场数的等量关系，注意2队之间的比赛只有1场，最后的总场数应除以2．

4．（2014年云南省，第5题3分）一元二次方程x2﹣x﹣2=0的解是（ ） A．

D．x1=﹣1，x2=2

考点： 解一元二次方程－因式分解法．

分析： 直接利用十字相乘法分解因式，进而得出方程的根

x1=1，x2=2

B．x1=1，x2=﹣2

C． x1=﹣1，x2=﹣2

B．x（x﹣1）=28

C．x（x+1）=28

D． x（x﹣1）=28

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解答： 解：x﹣x﹣2=0 （x﹣2）（x+1）=0， 解得：x1=﹣1，x2=2． 故选：D．

点评： 此题主要考查了十字相乘法分解因式解方程，正确分解因式是解题关键．

5．（2014 四川自贡，第5题4分）一元二次方程x2﹣4x+5=0的根的情况是（ ）

6.（2014·云南昆明，第3题3分）已知x1、x2是一元二次方程x 4x 1 0的两个根，则x1 x2等于（ ）

A. 4 B. 1 C. 1 D. 4 2

2

7.（2014·云南昆明，第6题3分）某果园2011年水果产量为100吨，2013年水果产量为144

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吨，求该果园水果产量的年平均增长率.设该果园水果产量的年平均增长率为x，则根据题意可列方程为（ ）

A. 144(1 x)2 100 B. 100(1 x)2 144 C. 144(1 x)2 100 D. 100(1 x)2 144

8．（2014 浙江宁波，第9题4分）已知命题“关于x的一元二次方程x2+bx+1=0，当b＜0时必有实数解”

，能说明这个命题是假命题的一个反例可以是（ ）

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9. （2014 益阳，第5题，4分）一元二次方程x﹣2x+m=0总有实数根，则m应满足的条件是（ ）

10．（2014 呼和浩特，第10题3分）已知函数y=

的图象在第一象限的一支曲线上有一

2

2

点A（a，c），点B（b，c+1）在该函数图象的另外一支上，则关于一元二次方程ax+bx+c=0的两根x1，x2判断正确的是（ ）

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11.（2014 菏泽，第6题3分）已知关于x的一元二次方程x2+ax+b=0有一个非零根﹣b，则a﹣b的值为（ ）

12．（2014年山东泰安，第13题3分）某种花卉每盆的盈利与每盆的株数有一定的关系，每盆植3株时，平均每株盈利4元；若每盆增加1株，平均每株盈利减少0.5元，要使每盆的盈利达到15元，每盆应多植多少株？设每盆多植x株，则可以列出的方程是（ ） A．（3+x）（4﹣0.5x）=15 C．（x+4）（3﹣0.5x）=15

B．（x+3）（4+0.5x）=15 D．（x+1）（4﹣0.5x）=15

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分析：根据已知假设每盆花苗增加x株，则每盆花苗有（x+3）株，得出平均单株盈利为（4﹣0.5x）元，由题意得（x+3）（4﹣0.5x）=15即可．

解：设每盆应该多植x株，由题意得（3+x）（4﹣0.5x）=15，故选A．

点评：此题考查了一元二次方程的应用，根据每盆花苗株数×平均单株盈利=总盈利得出方程是解题关键．

二.填空题

1. （ 2014 广西贺州，第16题3分）已知关于x的方程x+（1﹣m）x+的实数根，则m的最大整数值是 0 ．

考点：根的判别式． 专题：计算题．

2分析： 根据判别式的意义得到△=（1﹣m）﹣4×

2

=0有两个不相等

＞0，然后解不等式得到m的取值范围，

再在此范围内找出最大整数即可．

2解答： 解：根据题意得△=（1﹣m）﹣4×

＞0，

解得m＜，

所以m的最大整数值为0． 故答案为0．

点评：本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2﹣4ac：当△＞0，方

程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．

2．（2014 舟山，第11题4分）方程x2﹣3x=0的根为 ．

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3. （2014 扬州，第17题，3分）已知a，b是方程x2﹣x﹣3=0的两个根，则代数式2a3+b2+3a2﹣11a﹣b+5的值为 23 ．

4.（2014 呼和浩特，第15题3分）已知m，n是方程x2+2x﹣5=0的两个实数根，则m2﹣mn+3m+n= 8 ．

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5.（2014 德州，第16题4分）方程x+2kx+k﹣2k+1=0的两个实数根x1，x2满足x1+x2=4，则k的值为 1 ．

6．（2014 济宁，第13题3分）若一元二次方程ax2=b（ab＞0）的两个根分别是m+1与2m﹣4，则= 4 ．

2

2

2

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三.解答题

1. （ 2014 广西玉林市、防城港市，第24题9分）我市市区去年年底电动车拥有量是10万辆，为了缓解城区交通拥堵状况，今年年初，市交通部门要求我市到明年年底控制电动车拥有量不超过11.9万辆，估计每年报废的电动车数量是上一年年底电动车拥有量的10%，假定每年新增电动车数量相同，问：

（1）从今年年初起每年新增电动车数量最多是多少万辆？

（2）在（1）的结论下，今年年底到明年年底电动车拥有量的年增长率是多少？（结果精确到0.1%）

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2．（（2014 新疆，第19题10分）如图，要利用一面墙（墙长为25米）建羊圈，用100米的围栏围成总面积为400平方米的三个大小相同的矩形羊圈，求羊圈的边长AB，BC各为多少米？

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3.2014年广东汕尾，第22题9分）已知关于x的方程x+ax+a﹣2=0 （1）若该方程的一个根为1，求a的值及该方程的另一根； （2）求证：不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根．

分析：（1）将x=1代入方程x2+ax+a﹣2=0得到a的值，再根据根与系数的关系求出另一根； （2）写出根的判别式，配方后得到完全平方式，进行解答．

解：（1）将x=1代入方程x2+ax

+a﹣2=0得，1+a+a﹣2=0，解得，a=； 方程为x2+x﹣=0，即2x2+x﹣3=0，设另一根为x1，则1x1=﹣，x1=﹣． （2）∵△=a2﹣4（a﹣2）=a2﹣4a+8=a2﹣4a+4+4=（a﹣2）2+4≥0， ∴不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根．

点评：本题考查了根的判别式和根与系数的关系，要记牢公式，灵活运用．

4.（2014 毕节地区，第25题12分）某工厂生产的某种产品按质量分为10个档次，第1档次（最低档次）的产品一天能生产95件，每件利润6元．每提高一个档次，每件利润增加2元，但一天产量减少5件．

（1）若生产第x档次的产品一天的总利润为y元（其中x为正整数，且1≤x≤10），求出y关于x的函数关系式；

（2）若生产第x档次的产品一天的总利润为1120元，求该产品的质量档次．

2

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5.（2014 襄阳，第16题3分）若正数a是一元二次方程x2﹣5x+m=0的一个根，﹣a是一元二次方程x+5x﹣m=0的一个根，则a的值是 5 ．

6. （2014 湘潭，第26题）已知二次函数y=﹣x+bx+c的对称轴为x=2，且经过原点，直线AC解析式为y=kx+4， （1）求二次函数解析式；

2

2

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（2）若=，求k；

（3）若以BC为直径的圆经过原点，求k．

（第1题图）

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7. （2014 株洲，第21题，6分）已知关于x的一元二次方程（a+c）x2+2bx+（a﹣c）=0，其中a、b、c分别为△ABC三边的长．

（1）如果x=﹣1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由； （2）如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由； （3）如果△ABC是等边三角形，试求这个一元二次方程的根．

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8. （2014年江苏南京，第22题，8分）某养殖户每年的养殖成本包括固定成本和可变成本，其中固定成本每年均为4万元，可变成本逐年增长，已知该养殖户第1年的可变成本为2.6万元，设可变成本平均的每年增长的百分率为x．

（1）用含x的代数式表示第3年的可变成本为 2.6（1+x）2 万元．

（2）如果该养殖户第3年的养殖成本为7.146万元，求可变成本平均每年增长的百分率x．考点：列一元二次方程解实际问题的运用%]

分析：（1）根据增长率问题由第1年的可变成本为2.6万元就可以表示出第二年的可变成本为2.6（1+x），则第三年的可变成本为2.6（1+x）2，故得出答案； （2）根据养殖成本=固定成本+可变成本建立方程求出其解即可．

解答：（1）由题意，得第3年的可变成本为：2.6（1+x）2，故答案为：2.6（1+x）2； （2）由题意，得4+2.6（1+x）2=7.146，

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解得：x1=0.1，x2=﹣2.1（不合题意，舍去）． 答：可变成本平均每年增长的百分率为10%．

点评：本题考查了增长率的问题关系的运用，列一元二次方程解实际问题的运用，一元二次方程的解法的运用，解答时根据增长率问题的数量关系建立方程是关键． 9. （2014年江苏南京，第24题）已知二次函数y=x2﹣2mx+m2+3（m是常数）．

（1）求证：不论m为何值，该函数的图象与x轴没有公共点；

（2）把该函数的图象沿y轴向下平移多少个单位长度后，得到的函数的图象与x轴只有一个公共点？

考点：二次函数和x轴的交点问题，根的判别式，平移的性质，二次函数的图象与几何变换的应用

分析：（1）求出根的判别式，即可得出答案；

（2）先化成顶点式，根据顶点坐标和平移的性质得出即可．

（1）证明：∵△=（﹣2m）2﹣4×1×（m2+3）=4m2﹣4m2﹣12=﹣12＜0， ∴方程x2﹣2mx+m2+3=0没有实数解，

即不论m为何值，该函数的图象与x轴没有公共点； （2）解答：y=x﹣2mx+m+3=（x﹣m）+3，

把函数y=（x﹣m）2+3的图象延y轴向下平移3个单位长度后，得到函数y=（x﹣m）2的图象，它的 顶点坐标是（m，0），

因此，这个函数的图象与x轴只有一个公共点，

所以，把函数y=x2﹣2mx+m2+3的图象延y轴向下平移3个单位长度后，得到的函数的图象与x轴只有一个公共点．

点评：本题考查了二次函数和x轴的交点问题，根的判别式，平移的性质，二次函数的图象与几何变换的应用，主要考查学生的理解能力和计算能力，题目比较好，有一定的难度．

10. （2014 泰州，第17题，12分）（1）计算：﹣24﹣（2）解方程：2x2﹣4x﹣1=0．

+|1﹣4sin60°|+（π﹣）0；

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2

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11. （2014 扬州，第20题，8分）已知关于x的方程（k﹣1）x2﹣（k﹣1）x+=0有两个相等的实数根，求k的值．

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/9tyj.html