2011届高考总复习天津101中学精品教学案：复数单元(教师版全套)1

数系的扩充与复数的引入

1、了解数系的扩充过程，体会实际需求与数学内部的矛盾（数的运算规则、方程理论）在

数系扩充过程中的作用.

2、理解复数的基本概念以及复数相等的充要条件

3、了解复数的代数表示法及其几何意义，能进行复数代数形式的四则运算，了解复数代数重视复数的概念和运算，注意复数问题实数化.

第1课时 复数的有关概念

1．复数：形如(a,b R)的数叫做复数，其中a , b分别叫它的．2．分类：设复数z a bi (a,b R)：

(1) 当＝0时，z为实数；(2) 当 0时，z为虚数；

(3) 当＝0, 且 0时，z为纯虚数.

3．复数相等：如果两个复数相等且.

4．共轭复数：当两个复数实部(当虚部不为零时，也可说成互为共轭虚数)．

5．若z＝a＋bi, (a, b R), 则 | z |＝； z z＝.6．复平面：建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面, x轴叫做虚轴．

7．复数z＝a＋bi(a, b R)与复平面上的点8．两个实数可以比较大小、但两个复数如果不全是实数，就.

m2 m 6

例1. m取何实数值时，复数z＝＋(m2 2m 15)i是实数？是纯虚数？

m 3m2 12m 15 0 m 5解：① z是实数

m 3 0

② z为纯虚数

m2 12m 15 0

m2 m 6 0 m 3或m 2 m 3 0

变式训练1：当m分别为何实数时，复数z=m2－1＋(m2＋3m＋2)i是（1）实数？（2）虚数？（3）纯虚数？（4）零？

解：（1）m=－1,m=－2；(2)m≠－1,m≠－2；（3）m=1；（4）m=－1．

例2. 已知x、y为共轭复数，且(x y)2 3xyi 4 6i，求x．

解：设x a bi,则y a bi(a,b R)代入由复数相等的概念可得a 1,b 1

z2 az b

变式训练2：已知复数z=1＋i，如果2=1－i,求实数a,b的值．

z z 1

由z=1＋i得

z2 az b(a b) (a 2)i

==（a＋2)－(a＋b)i

z2 z 1i

a 2 1 a 1从而 ，解得 ．

(a b) 1b 2

例3. 若方程x2 (m 2i)x (2 mi) 0至少有一个实根，试求实数m的值.解：设实根为xo，代入利用复数相等的概念可得xo＝ 2 m 22

变式训练3：若关于x 的方程x2＋(t2＋3t＋tx )i=0有纯虚数根，求实数t的值和该方程的根．解：t=－3,x1=0,x2=3i．提示：提示：设出方程的纯虚数根，分别令实部、虚部为0，将问题转化成解方程组．

例4. 复数z x yi (x,y R)满足|z| |z 2 2i|，试求3x 3y的最小值.设z x yi(x,y R)，则x y 2，

于是3x 32 x 29 6

变式训练4：已知复平面内的点A、B对应的复数分别是z1 sin2 i、z2 cos2 icos2 ，其中 (0,2 )，设AB对应的复数为z.(1) 求复数z；

(2) 若复数z对应的点P在直线y x上，求 的值.解：(1)

12

z z2 z1 1 2isin2

12

(2) 将P( 1, 2sin2 )代入y x可得sin

5 7 11 1

,,,.26666

1．要理解和掌握复数为实数、虚数、纯虚数、零时，对实部和虚部的约束条件.

2．设z＝a＋bi (a，b R)，利用复数相等和有关性质将复数问题实数化是解决复数问题的常用方法.

第2课时 复数的代数形式及其运算

1．复数的加、减、乘、除运算按以下法则进行：设z1 a bi,z2 c di (a,b,c,d R)，则(1) z1 z2＝(2) z1 z2＝(3)

z＝ (z2 z2

2．几个重要的结论：

⑴ |z1 z2|2 |z1 z2|2 2(|z1|2 |z2|2)

⑵ z z＝ ＝ .

⑶ 若z为虚数，则|z|2＝z2 填 或 3．运算律

⑴ zm zn＝.

⑵ (zm)n＝⑶ (z1 z2)n＝(m,n R).

例1．计算：(1 i)40 (1 i)40

1i

2 i

1 2i

解：提示：利用(1 i)2 2i,i2005 i 原式＝0

2

变式训练1：

（A

） 1 （B

）

11 （C

） （D

）1

2222

2

1 故选C； 解： 2例2. 若z2 z 1 0，求z2002 z2003 z2005 z2006 解：提示：利用z3 1,z4 z 原式＝z2002(1 z z3 z4) 2

变式训练2：已知复数z满足z2＋1＝0，则（z6＋i）（z6－i）＝ ▲ ．

解：2

例3. 已知a 4,a R，问是否存在复数z，使其满足z z 2iz 3 ai（a R），如果存在，求出z的值，如果不存在，说明理由

x2 y2 2y 3 解：提示：设z x yi(x,y R)利用复数相等的概念有

2x a

y2 2y

a 2 a2a2

i 3 0 0 |a| 4 z

224

变式训练3：若(a 2i)i b i，其中a,b R,i是虚数单位，则a＋b＝__________ 解：3

例4. 证明：在复数范围内，方程|z|2 (1 i)z (1 i)z 证明：原方程化简为

|z|2 (1 i)z (1 i)z 1 3.i设z x yi (x、y∈R，代入上述方程得x2 y2 2xi 2yi 1 3.i

22

x y 1 2x 2y 3

5 5i

（i为虚数单位）无解． 2 i

(1)(2)

将（2）代入（1），整理得8x2 12x 5 0. 16 0, 方程f(x)

无实数解，∴原方程在复数范围内无解.

变式训练4：已知复数z1满足(1＋i)z1＝－1＋5i，z2＝a－2－i，其中i为虚数单位，a∈R, 若

z1 z2<z1，求a的取值范围.

解：由题意得 z1＝

1 5i

＝2＋3i, 1 i

于是z1 z2=4 a

2i,z1=.

，得a2－8a＋7<0，1<a<7.

1．在复数代数形式的四则运算中，加减乘运算按多项式运算法则进行，除法则需分母实数化，必须准确熟练地掌握.

2．记住一些常用的结果，如i, 的有关性质等可简化运算步骤提高运算速度.

3．复数的代数运算与实数有密切联系但又有区别，在运算中要特别注意实数范围内的运算法则在复数范围内是否适用.

复数章节测试题

一、选择题

a 3i

1．若复数（a R，i为虚数单位）是纯虚数,则实数a的值为 （ ）

1 2i

A、-6 B、13 C.

3

D. 2

_a,bz，1 2i

2．定义运算 ad bc，则符合条件 0的复数z对应的点在（ ）

c,d i，1 i

A．第一象限； B．第二象限； C．第三象限； D．第四象限；

3．若复数 2 ai 2 i 是纯虚数（i是虚数单位），则实数a （ ） A.－4； B.4； C.－1； D.1； 4．复数

2 i31 2 i

=（ ）

A．－I B．I C． 22－i D．－22+i

6．若复数z满足(1 i)z 1 ai,且复数z在复平面上对应的点位于第二象限，则实数a的取值范围是（ ）

A．a 1 B． 1 a 1 C．a 1 D．a 1或a 1 7．已知复数z满足(1 i)z (1 i)，则z＝（ ）

2

(A) －1+ i (B) 1+i (C) 1－i (D) －1－i 8．若复数z1 a i,z2 1 i，且z1 z2为纯虚数，则实数a为 ( ) A．1 B．-1 C．1或-1 D．0

9．如果复数(1 ai)(2 i)的实部和虚部相等，则实数a等于（ ） （A） 1 （B）

2

11

（C） （D）1 32

10．若z是复数，且z 3 4i，则z的一个值为 （ ） A．1-2i B．1+2i C．2-i D．2+i

a i5

11．若复数z a 1 5i为纯虚数，其中a R,i为虚数单位，则=（ ）

1 ai

A． i B． i C． 1 D． 1

i

12．复数在复平面中所对应的点到原点的距离为（ ）

1 i12

A． B． C．1 D．2

22

二、填空题

13．设z a bi，a，b∈R，将一个骰子连续抛掷两次，第一次得到的点数为a，第二次得到的点数为b，则使复数z2为纯虚数的概率为 ．

1 i

14．设i为虚数单位，则

i

15．若复数z满足方程z i i 1，则

4

x y 5≥0

16．．已知实数x，y满足条件 x y≥0，z x yi（i为虚数单位），则|z 1 2i|的

x≤3

最小值是 ．

1

17．复数z=,则

2 i

18．虚数（x－2）+ yi其中x、y均为实数，当此虚数的模为1时，

y

的取值范围是（ ） x

A．[－

，] 33

B．[

3

0∪（0] 33

C．[－，] D．[－3，0∪（0，]

19．已知z 的模.

3a i

(a>0)，且复数 z(z i)的虚部减去它的实部所得的差等于，求复数

21 i

20．．复平面内，点Z1、Z2分别对应复数z1、z2，且z1

(其中a R)，若z1

32 (10 a2)i，z2 (2a 5)i，

a 51 a

z2可以与任意实数比较大小，求OZ1 OZ2的值（O为坐标原点）.

复数章节测试题答案

一、选择题

1． A 2．答案：A 3．答案：B 4．答案：B 6．答案：A 7．A 8．B 9．B 10．B 11．D 12．B

二、填空题 13．

1 6

14．2i 15．1 i 16．答案：17

2 2

(x 2)2 y2 1y

18． 答案：B ∵ , 设k =,

x y 0

则k为过圆（x－2）2 + y2 = 1上点及原点 的直线斜率，作图如下, k≤

1

3

, 3

又∵y≠0 ,∴k≠0.由对称性 选B．

【帮你归纳】本题考查复数的概念,以及转化与化归的数学思维能力，利用复数与解析几何、平面几何之间的关系求解.虚数一词又强调y≠0，这一易错点.

【误区警示】本题属于基础题，每步细心计算是求解本题的关键，否则将会遭遇“千里之堤，溃于蚁穴”之尴尬.

a 1a2 a

19．解： z(z i) i

22 a 2

33

3i | | 5 22

20．解：依题意z1

z2为实数，可得

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