2008-2009年第一学期线代B复习

08-09第1学期线代B复习

课内复习题:

P4：2（6）；P9：2；P11例1；P12例3；P14：1（5）；P17例2；P19：2， 5（1）（3）；P23：5。 P31例3；P36：3（4），4，11；P42：例7，2（2）， 6（1）；P48：4（2），5；P54例4；P57：5（3）；P61：6。

P70：1，2（4），3（4），5（2），6（1）；P76：2；P80：1（1）（2），4； P83：2（1），3（2）；P87：1；P94：1（1），4（2）。 P103：3，5（2），6； P107例5；P109：1（1），2；P113：2，5；P115例1；P117：1（2）。 P122：1。

浙江科技学院2007-2008学年第一学期《线性代数B》考试试卷A卷

一．填空题(每小题4分，共20分):

1. 4阶行列式中的项a34a12a43a21所带的符号为 . 2. 设A,B都是 5阶方阵， A?1???3?13. 矩阵A???1??11?31111?311??1?1???3?12,B?2,则BA? . 的行最简形是 .

4. 二次型f(x,y,z)?x2?2y2?3z2?4xy?8xz?10yz所对应的矩阵为 . 5. 若方阵A满足A2?3A?5E?O,则(A?4E)?1? . 二．选择题(每小题4分，共20分):

n1. n阶行列式

1?2的值为 （ ）．

n(n?1)n(n?1)（A） n! ； （B）?n! ； （C））(?1)2n! ； （D）.(?1)2n!

2. 设A是对称矩阵,B是反对称矩阵,则下面为反对称矩阵的是（ ）．

（A）AB2A； （B）ABA； （C）BAB； （D）BA2B 3. 设A是 5?6矩阵，则下列命题中正确的是（ ）．

（A）若R(A)?4，则A中5 阶子式都为0 ；

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（B）若R(A)?4，则A中4 阶子式都不为0； （C）若A中所有5 阶子式都为0，则R(A)?4； （D）若A中存在不为0的4阶子式，则R(A)?4

4. 设A是n阶可逆矩阵，B是n阶不可逆矩阵，则（ ）. （A）A+B是可逆矩阵； （B）A+B不是可逆矩阵；

（C）AB是可逆矩阵； （D）AB不是可逆矩阵

5. 若A，B是n阶正交矩阵，则（ ）.

（A）AB及A?B都是正交矩阵；（B）AB是正交矩阵, 而A?B不是正交矩阵； （C）AB不是正交矩阵, 而A?B是正交矩阵；（D）AB及A?B都不是正交矩阵 三．解答题(共54分)

246327443621427543. 72112,求(3A)?11.(8分)计算行列式10143422．（8分）设 A是3阶方阵,A??2A.

*3．（10

?x1?5x2?2x3?3x4?11,?分）求非齐次线性方程组??3x1?x2?4x3?2x4??5,的通解.

??x1?9x2?x4?17.??`0?分）已知A???3??1?1432??4??0,B??1???1?2????1?452??0,求三阶方阵??6??4. （8X,Y使

??X?Y?A,?3X?Y?B.

4??2?X?2???10??3???1??01??. ?1?5. （10

?1分）解矩阵方程???16．（10

?5?分） A??0?0?0310??1?3??，求一个正交阵P，使P?1AP??为对角阵.

四、证明题（6分）

设b1?a1?a2,b2?a2?a3,b3?a3?a1,若b1,b2,b3线性无关，则a1,a2,a3线性无关．

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2007-2008学年第一学期《线性代数B》考试试卷A卷参考答案

一、填空题(每题4分，共20分)

?1?03、??0??001000010?1???1??1??0?1、正（+）； 2、64；

?1?； 4、?2?4?2254??5?3??； 5、?123(A?7E) ．

二、选择题（每小题4分，共20分）

1、C； 2、B； 3、A； 4、D； 5、B 三、解答题（本题共48分）

c3?c22463274436211001001001、（8分）解： D??101434224610076896327116294100c3?100246327443621111???1001014342????

ri?r1(i?2,3)按第3列展开????10076896116294??21465600.

2、（8分）解：因A*?AA?1?12A?1，

?1*?2A?则（3A）13A?1?2?12A?1??23A?1?（?23）A3?1??1627.

?1????33、（10分）解：A???1??51?92?40?32?111???5?17????1?行变换?????0???0??01097?170010?1????2, ??0???

9?x??x3?1,?1?1?7????21?*得原方程组的同解方程组?x2?x3?2,，令x3?0，得特解?????0?7???0???x4?0.????；

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9?x??x3,?17?1?与导出组同解的方程组为?x2?x3,，令x3?7,得基础解系?1?(?9,1,7,0)T7??x4?0.??；

则解为

?1???9??????21*x???k?????k??,(k?R)

?0??7????0???0??????00841644??1??0??1????8???04???1??0??2???0????10??3?,C??1??0?411?4、（8分）解：X?(A?B)???444??0??411?Y?(3A?B)??8?44???4?15、（10分）解：令A????10021411??0, ??2??1??0. ?0??4??2?,B??2???11??, ?1?

则AXB?C?X?A?1CB?1,其中A?1???????01316?2??1??32?1?,B??1??1??6??2?1?, 故X??1???1??4??0?1??0???

??50?1?(??5)(??2)(??4)6、（10分）解：?E?A?00??3?1，

??3得A的特征值为?1?2,?2?4,?3?5；

??3?当?1?2时，2E?A??0?0???1?当?2?4时，4E?A??0?0?0?1?101?10??1???1?0????0?1??0??1???1?0????01??0100100??1??1?1?????1，?1??1?p1??1?????2?????0??0??0?；

0??0??0?1??????1,?2?1?p2?1； ?????2?1??1?0??????第 4 页

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?0?当?3?5时，5E?A??0?0?02?10??0???1?0????02??1000??1????1,?3?0?p3, ?????0?0?????0???1令P?(p1,p2,p3)???2?1??201212??1??0?，则??0??P

?2?为正交矩阵，且P?1AP????4??. ?5??四、（6分）证法一：易证两向量组a1?a2,a2?a3,a3?a1与 a1,a2,a3等价，则其秩相等，从而命题得证．

证法二.令k1a1?k2a2?k3a3?0,即

k1(b1?b2?b32)?k2(b1?b2?b32)?k3(?b1?b2?b32)?0,

亦(k1?k2?k3)b1?(?k1?k2?k3)b2?(k1?k2?k3)b3?0,因b1,b2,b3线性无关,则

?k?k?k?0???k1?k2?k3?0?k1?k2?k3?0,故a1,a2,a3线性无关. ??k1?k2?k3?0

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浙江科技学院2007-2008学年第2学期《线性代数B》考试试卷A卷

一. 填空题( 每小题4分, 共20分)

a2abb2acbc== . c21. 行列式abac?1?2. 设A??0?0?bc0201??*?10,则（A）==__________. ?3??TT3. 向量组a1??1,2,3,6?,a2??1,?1,2,4?, a3??0,3,1,2?,a4??1,T2,3,2?的一个极大无关组是_ _ . T4. 设3阶方阵A?E?3A?5E?A?6E?0,，则A? . 5．二次型 f(x,y,z)?x2?4y2?z2?4xy?2xz?4yz 所对应的矩阵是_ . 二．选择题(每小题4分，共20分)

a11a12a22a32a13a332a112a133a21?a313a22?a323a23?a33a11?a311. D?a21a31a23,D1?2a12． a12?a32?（ ）

a13?a33（A）6D (B) －6D (C) 2D (D) 3D 2．设A,B为n阶方阵，满足AB?O，则（ ）．

（A）A?0或B?0；（B）A?B?0；（C）A?B?O；（D）A?B?O． 3．n 维向量组?1,?2,...,?s线性无关的充要条件是（ ）． （A）s?n; （B）a1,a2,...,as都不是零向量; （C）a1,a2,...,as中任意两个向量都不成比例;

（D）a1,a2,?,as中任意一个向量都不能由其余s-1个向量线性表示. 4. 设A??aij?m?n,Ax?0是非齐次线性方程组Ax?b所对应的齐次线性方程组,

则下列结论中正确的是( ).

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（A）若Ax?0仅有零解，则Ax?b有唯一解； （B）若Ax?0仅有零解，则Ax?b有无穷多解； （C）若Ax?b有无穷多解，则Ax?0有非零解； （D）若Ax?b有无穷多解，则Ax?0仅有零解. 5. 若由AB?AC?B?C,则方阵A应满足( ).

（A）A?O; （B）A?0; （C）A?O; （D）A?0. 三．解答题(6小题，共54分)

166?170535635T1274313. 423T1.(8分) 计算行列式 3674672．(8分) 设 a???1,1,2?b,??1,0,?1?,求aTb,abT 及2a?3b. 3．(6分) 设 n阶方阵A满足A2?6A?7E?0,，求证A?8E可逆且求其逆．

?1?4. (8 分) 设A??2?1?21?1?2???123,求(A?3E)(A?9E). ?2??5. (10分) 利用初等变换解非齐次线性方程组（解用向量形式表示）.

?x1?x2?x3?x4?1,? ?x1?x2?x3?x4?0,??2x1?2x2?4x3?4x4??1.?1?6．(14分)设A??0?2?0302???10,求一正交矩阵P,使PAP??成对角矩阵. ?4??TT四. 证明题（6分）

设向量组?1??1,?3??2,?1,0,T3,2,0?,?2??7,1,6,T0,14,3?,

1?,?4??5,2?,求证该向量组线性相关．

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2007-2008学年第二学期《线性代数B》考试试卷A卷参考答案

一、填空题(每题4分，共20分)

???12、A???6?????1?5、?2?1?242160001301、0；

1??6??0； ??1??2? 3、?1，?2，?4或?1，?3，?4；

4、10；

1??2?1??

二、选择题（每小题4分，共20分）

1、 A； 2、A； 3、D； 4、C； 5、B 三、解答题（本题共54分）

r1?r（=2,3）iir3?r21031032?103131005351231、（8分）D????3671025351005r1?10,r3?1032

211036715153512r1?r31313??1015313??103671136715351???168?10.

52、（8分）aTb???1,1,?1???2?0??3, ????1???0001???5?????1，2a?3b?2，2a?3b? ???????2??7?abT??1????1?1,???2???0,??1??1??1??2?78.

3、（6分）证及解：由A2?6A?7E?O ?(A?8E)(A?2E)?23E?O， 故(A?8E)[?

123(A?2E)]?E， 故A?8E可逆, 且(A?8E)?1??123(A?2E).

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4、（10分）解：

(A?3E)?1?A2?9E?(A?3E)??1?A?3E??A?3E???2??A?3E?2??1?2?2?1?2??3??1??

?1???5、（10分）解：A（A，b）?1??2??1?1?21?1?4?1141??0??1????1?行变换?????0???0???1000100?101??2?1? ，?2?0???1?x?x?，12?11?2得原方程组的同解方程组?，令x2?x4?0，得特解?*?(,0,,0)T22?x?x?1，34??2?x1?x2，与导出组同解的方程组为?，

x?x，4?3；

令x2?1,x4?0及x2?0,x4?1,得基础解系?1?(1,1,0,0)T，?2?(0,0,1,1)T；

????ki?i??????1???1??0?2?????0?10?k1???k2??,(k1,k2?R)

?0??1?1?????0???1??2?????0??2则x????i?1*

??10?206、（14分）解：?E?A?0?2??30 ??(??3)(??5)，??4?A的特征值为?1?0,?2?3,?3?5；

??1?当?1?0时，0E?A??0??2??2?当?2?3时，3E?A??0??2?0?30000?2??1??0?0????0?4???2??1??0?0???0?1???0000102???2???2?1?????0，?1?0?p1?0； ?????5?????0??1??1?0??0????1,?2?1?p2； ????0?0????第 9 页

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?4?当?3?5时，5E?A??0??2?020??1?2???0??0??01???010?1???1??1?2?1????0； 0?,?3?0?p3?????5???2?0????2???????2??01?55?令???0P?(p1,p2,p3)??010?，则P

为正交矩阵， 且P?1AP???????12???0???55??四、（6分）证法一：

?1725??1725???令A?(??30?11???0312??1,?2,?3,4)???21406??行?变换???0011?，

???0312??????0000??? R（A）?3?4， ??1,?2,?3,?4线性相关. 证法二:. 令A?(?1,?2,?3,?4)，因A?0??1,?2,?3,?4线性相关.

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?3?? 5??

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