上海交大大学物理习题7

习题7

7-1．原长为0.5m的弹簧，上端固定，下端挂一质量为0.1kg的物体，当物体静止时，弹簧长为0.6m．现将物体上推，使弹簧缩回到原长，然后放手，以放手时开始计时，取竖直向下为正向，写出振动式。（g取9.8）

解：振动方程：x?Acos(?t??)，在本题中，kx?mg，所以k?9.8；

k9.8??98m0.1∴ 。

取竖直向下为x正向，弹簧伸长为0.1m时为物体的平衡位置，所以如果使弹簧的初状态为原长，那么：A=0.1m，

当t=0时，x=-A，那么就可以知道物体的初相位为π。

??（98t??）所以：x?0.1cos 即：x??0.1cos(98t)。

7-2．有一单摆，摆长l?1.0m，小球质量m?10g，t?0时，小球正好经过???0.06rad处，并以角速度??0.2rad/s向平衡位置运动。设小球的运动可看作简谐振动，试求：（1）角频率、频率、周期；（2）用余弦函数形式写出小球的振动式。（g取9.8）

解：振动方程：x?Acos(?t??)我们只要按照题意找到对应的各项就行了。 （1）角频率：

频率：周期：

??12?g?9.8?3.13rad/sl，

??g9.8??0.5Hzl2?，

l2???2sg9.8；

T?2?（3.13t??），∴???3.13Asin（3.13t??） （2）振动方程可表示为：??Acos?0(1，象限）2?sin????cos???0(3，象限）43.13At?0A，根据初始条件，时：

?200可解得：A?8.8?10m，??227??133??2.32，

（3.13t?2.32）m。 所以得到振动方程：??8.8?10cos7-3. 一竖直悬挂的弹簧下端挂一物体，最初用手将物体在处托住，然后放手，此系统便上下振动起来，已知物体最低位置是初始位置下方10.0cm处，求：（1）振动频率；（2）物体在初始位置下方8.0cm处的速度大小。 解：（1）由题知2A=10cm，所以A=0.05m，选弹簧原长下方0.05m处为平衡位置；

kg9.8k???196???196?14?2kx?mgmx5?10m0由0，知，∴ ，

?2k7?(Hz)m?振动频率：；

（2）物体在初始位置下方8.0cm处，对应着是x=0.03m的位置，所以：

??12?x34?sin???22A5，由cos??sin??1，有：5，

v4sin???v?A??0.56m/sA?，那么速度的大小为：5而。

7-4．一质点沿x轴作简谐振动，振幅为12cm，周期为2s。当t?0时，位移为6cm，且向x轴正方向运动。求：（1）振动表达式；（2）t?0.5s时，质点的位置、速度和加速度；（3）如果在某时刻质点位cos??第 1 页 共 7 页

于x??6cm，且向x轴负方向运动，求从该位置回到平衡位置所需要的时间。

2?????T解：（1）由题已知 A=0.12m，T=2 s ，∴

????3 又∵t=0时，x0?6cm，v0?0，由旋转矢量图，可知：故振动方程为：

（2）将t=0.5 s代入得：

x?0.12cos（?t??3）m；

x?0.12cos（?t?）?0.12cos?0.104m36，

??? v??0.12?sin（?t?）?0.12cos??0.188m/s36， ??a??0.12?2cos（?t?）??0.12?2cos??1.03m/s236，

方向指向坐标原点，即沿x轴负向；

（3）由题知，某时刻质点位于

且向x轴负方向运动，如图示，质点从P位置回到

?????t?????Q322?T， 平衡位置处需要走，建立比例式：5?t?s6。 有：

x??6cm??A2，

??3 P?A2xQ7-5．两质点作同方向、同频率的简谐振动，振幅相等。当质点1在 x1?A/2处，且向左运动时，另一个质点2在 x2??A/2 处，且向右运动。求这两个质点的位相差。 解：由旋转矢量图可知：

当质点1在 x1?A/2处，且向左运动时，

?相位为3，

而质点2在 x2??A/2 处，且向右运动，

4?相位为3。

所以它们的相位差为?。

7-6. 质量为m的密度计，放在密度为?的液体中。已知密度计圆管的直径为d。试证明，密度计推动后，在竖直方向的振动为简谐振动。并计算周期。

解：平衡位置：当F浮?G时，平衡点为C处。设此时进入水中的深度为a：?gSa?mg 可知浸入水中为a处为平衡位置。

以水面作为坐标原点O，以向上为x轴，质心的位置为x，分析受力：不管它处在什么位

置，其浸没水中的部分都可以用a?x来表示，所以力F??g(a?x)S??gaS???gSx，利用牛顿定律：

d2xF?m2dt， 再令：

??2?gSm??g?d24md2x??2x?02，可得：dt，可见它是一个简谐振动；

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T?周期为：

2???4?md?g。

??7-7．证明图示系统的振动为简谐振动。其频率为：

12?k1k2(k1?k2)m。

证明：两根弹簧的串联，由相互作用力相等，有：k1x1?k2x2，将串联弹簧等效于一根弹簧，仍有：k1x1?k2x2?kx，考虑到x1?x2?x，

kk111??k?12k1?k2 可得：kk1k2，所以：

k1k2(k1?k2)m。 代入频率计算式，可得：

7-8．当简谐振动的位移为振幅的一半时，其动能和势能各占总能量的多少？物体在什么位置时其动能和势能各占总能量的一半？

111EP?kx2Ek?mv2EP?kA2cos2(?t??)222解：由，，有：，

11Ek?m?2A2sin2(?t??)?kA2sin2(?t??)22，

Ax?2时，由x?Acos(?t??)， （1）当

??12?k1?m2?有：

cos(?t??)?13sin(?t??)?2，2，

Ek3EP1??∴E4，E4；

EP?Ek?1E222时，有：cos(?t??)?sin(?t??)

（2）当

cos(?t??)??∴

12x??A??0.707A2，2。

7-9．两个同方向的简谐振动曲线(如图所示)

（1）求合振动的振幅。

（2）求合振动的振动表达式。 解：通过旋转矢量图做最为简单。 由图可知，两个振动同频率，且

???1??2??A1初相：2，A2初相：2，

表明两者处于反相状态，

1，，2（反相????2??1??(2k?1)?，k?0，）

∵A1?A2，∴合成振动的振幅：A?A2?A1；

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合成振动的相位：合成振动的方程：

???2???2；

x?（A2?A1）cos（2??t?）T2。

?7-10．两个同方向，同频率的简谐振动，其合振动的振幅为20cm，与第一个振动的位相差为6。若第一个振动的振幅为103cm。则（1）第二个振动的振幅为多少？（2）两简谐振动的位相差为多少？

解：如图，可利用余弦定理：

222A?A?A?2A1Acos30?=0.01 m 21由图知

∴A２=0.1 m ，

sin?sin300?A2，有： 再利用正弦定理：AA??1??2A22。 ，∴

说明A１与A２间夹角为π/2，即两振动的位相差为π/2 。

7-11．一摆在空中作阻尼振动，某时刻振幅为A0?3cm，经过t1?10s后，振幅变为A1?1cm。问：由sin??振幅为A0时起，经多长时间其振幅减为A2?0.3cm？

??t??tx?Aecos(?t??)A?Ae000解：根据阻尼振动的特征，，知振幅：。

1e?10??3， ∵A0?3cm，当t1?10s时，A1?1cm，可得：

1??ln310上式两边取对数，得：；

1e??t2?10， 那么当振幅减为A2?0.3cm时，有：

10ln101010t2????21s?t?ln10ln3lg30.4771两边取对数，有：2，∴。

7-12．某弹簧振子在真空中自由振动的周期为T0，现将该弹簧振子浸入水中，由于水的阻尼作用，经

过每个周期振幅降为原来的90%，求： （1） 求振子在水中的振动周期T；

（2）如果开始时振幅A0?10厘米，阻尼振动从开始到振子静止求振子经过的路程为多少？

2π2ω0?β2ω0，A?A0e??t 解：（1） 有阻尼时：，而

??T0.9A?Ae00过一个周期，振幅降为原来的90%，有：，

T?2πT0?2πln0.9T?22???ω?β0T，代入可求得：，有：

ln0.92T2T2[?0?(?)]?4?2T?04?2?(ln0.9)2?1.00014T0T2? ?

（2）由题意可列出等比数列：4A0，4A0?0.9，(4A0?0.9)?0.9，

2S?4A(1?0.9?0.9?0则：

1?0.9n?0.9n?)?4A01?0.9(n??)

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∴

S?4A01?40A0?400cm0.1。

x?Acos(2?t?)4和y?Bcos?t的李萨如图形。 7-13．试画出

?解：∵?x?2?y，∴?x:?y?2:1

??x??y?4，可参考书上的图形。 又∵

7-14. 质点分别参与下列三组互相垂直的谐振动：

p????????x?4cos8?t?x?4cos8?t???????6?6???????????y?4cos8?t??y?4cos?8?t?5????????66???? ； ??（1） ；（2） ????x?4cos8?t????6?????y?4cos?8?t?2?????3?? 。试判别质点运动的轨迹。 ?（3）

解：质点参与的运动是频率相同，振幅相同的垂直运动的叠加。

对于x?Acos(?t??x)，y?4cos(?t??y)的叠加，可推得：

x2?y2?2xycos(?x??y)?A2sin2(?x??y)

?????x??y??x2?y2?2xycos?16sin26，6代入有：33， （1）将

22x?y?xy?12，轨迹为一般的椭圆； 则方程化为：

?5??y??222x?y?2xycos??16sin? 66（2）将，代入有：

22x?y?2xy?0，即x?y?0，轨迹为一直线； 则方程化为：

?x??2????y?x2?y2?2xycos?16sin26，3代入有：22 （3）将

222x?y?4则方程化为：，轨迹为圆心在原点，半径为4m的圆。

?x?7-15．在示波器的水平和垂直输入端分别加上余弦式交变电压，荧光屏上出现如图所示的李萨如图形。

4已知水平方向振动频率为2.7?10Hz，求垂直方向的振动频率。

解：从图中可见，李萨如图形在水平方向的切点 是2个，在竖直方向的切点是3个，所以： ?x:?y?3:2，

2?x2?y???2.7?104?1.8?104(Hz)。 33那么，

思考题

7-1．试说明下列运动是不是简谐振动：

（1）小球在地面上作完全弹性的上下跳动；

（2）小球在半径很大的光滑凹球面底部作小幅度的摆动。

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