炎德英才大联考·师大附中届高三考试卷(一)理科数学

炎德英才大联考·师大附中届高三考试卷(一)理科数学

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2

- 3 - / 10

开始

S =1, n S =2k =k

k ≤是

否

S

结束 正视图 侧视图

俯视图

1 1

炎德英才大联考·湖南师大附中2015届高三月考试卷（一）

数 学（理科）

一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共5分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要

求的。）

1、已知集合M ={

}

2

20x x x -<，N ={}

x x a <，若M N ?，则实数a 的取值范围是（ ）A

A 、[)2,+∞

B 、()2,+∞

C 、(),0-∞

D 、(],0-∞ 2、下列四个命题：

1p ：?()0,x ∈+∞，1123x x

????

< ? ?????； 2p ：?()0,1x ∈，1123

log log x x >；

3p ：?()0,x ∈+∞，121log 2x

x ??

> ???； 4p ：?10,3x ??∈ ???，13

1log 2x

x ??< ???；

其中的真命题是（ ）D

A 、1p ，3p Ｂ、1p ，4p C 、2p ，3p D 、2p ，4p

3、在如右图所示的程序框图中输入10，结果会输出（ ）D A 、10 B 、11

C 、512

D 、1024

4、将函数()sin cos f x x x =+的图象向左平移?（0?>）个单位长度，

所得图象关于原点对称，则?的最小值为（ ）C

A 、4π-

B 、4π

C 、34π

D 、54

π

5、若实数,x y 满足条件21

1

y x y x ?≥-??≤+??，则3z x y =+的最大值为（ ）B

A 、9

B 、11

C 、12

D 、16

6、不全相等的五个数,,,,a b c m n 具有关系如下：,,a b c 成等比数列，,,a m b 和,,b n c 都成等差数列，则

a c m n

+的值为（ ）C

A 、2-

B 、0

C 、2

D 、不能确定

7、已知边长为1的正方形ABCD 位于第一象限，且顶点A 、D 分别在x 轴、y 轴的正半轴上（含原点）滑动，

则OB OC ?u u u r u u u r

的最大值是（ ）C

A 、1

B ．2

2 C 、2 D 、5

8、一个四面体的三视图如图所示，则该四面体的表面积为（ ）D

A 、34

B 、32

C 、3

D 、23

【解析】如图所示， 四面体为正四面体， 且棱长为2，

- 4 - / 10

X

y

O

1

l 1 l 2

-

l

于是其表面积为

()

23

42234S =??=表。

9、若曲线1C ：22

20x y x +-=与曲线2C ：()0y y mx m --=有4个不同的交点，则实数m 的取值范围是

（ ）B

A 、33,33??

- ?

???

B 、33,00,33????- ? ? ? ?????U

C 、33,33??-

???

? D 、33

,,33????-∞-+∞ ? ? ? ?????

U 【解析】曲线图象1C 为圆心在()1,0，半径为1的圆； 曲线2C ：0y =或y mx m =+，表示的是两条直线，其中一条为 x 轴，另一条为过定点()1,0-的动直线l 。

如图所示，过点()1,0-且与圆1C 相切的直线1l 的斜率为

13tan 303k ==

o ，直线2l 的斜率为23tan1503

k ==-o

； 要使x 轴和直线l 与圆共有4个不同的交点，必须且只需使直线l 在直线1l 与2l 之间且不与x 轴重合， 即有m ∈33,00,33????

- ? ? ? ?????

U 。

10、已知集合{}

23

0123333A x x a a a a ==+?+?+?，其中{}0,1,2i a ∈（0,1,2,3i =）且30a ≠，则A 中所

有元素之和等于（ ）D

A 、3240

B 、3120

C 、2997

D 、2889

【解析】由题意可知，012,,a a a 各有三种取法，3a 有两种取法（取1或2）， 由分步计数原理可得共有333254???=种方法。 当0a 取0，1，2时，12,a a 各有三种取法，3a 有两种取法，共有33218??=种方法，集合A 中含有0a 的所有数之和为()01218++?；

同理可得集合A 中含有1a 项的所有数的和为()30313218?+?+??；

集合A 中含有2a 项的所有数的和为()22230313218?+?+??；。

集合A 中含有3

a 项的所有数的和为()3

3

313227?+??；

由分类计数原理知集合A 中所有元素之和为

S =()01218++?+()30313218?+?+??+()22230313218?+?+??+()33313227?+??

=()18392727812889?+++?=。

题 号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答 案

A

D

D

C

B

C

C

D

B

D

二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分。把答案填在答题卡中对应题号后的横线上。）

11、在△ABC 中，15a =，10b =，60A ∠=o

，则cos B = ；

6

3

- 5 - / 10

B 2

B 1

A 1

A 2

A 2

x

y O

F 1 F 2

x

…

12、如右图，椭圆

22

11612

x y +=的长轴为12A A ，短轴为12B B ， 将坐标平面沿y 轴折成一个二面角，使点2A 在平面112B A B 上

的射影恰好是该椭圆的左焦点，则此二面角的大小为 ；3

π 13、若()()1

f x f x dx x +

=?，则()f x = ；

【解析】因为()1

f x dx ?为常数，不妨设为m ，则()f x x m =-，

其原函数()212F x x mx C =

-+（C 为常数）

，于是有12m m =-，即14m =，故()1

4

f x x =-。 14、在函数()()2

ln 1f x a x x =++（0x >）的图像上任取两个不同的点()11,P x y 、()22,Q x y ，总能使得

()()()12124f x f x x x -≥-，则实数a 的取值范围为 ；1,2??

+∞????

【解析】()()()12124f x f x x x -≥-()()

1212

4f x f x x x -?≥-，

注意到12,x x 的任意性，所以上式又可等价转化为()4f x ≥＇。

而()22a

f x x x

=

++＇，所以()4f x ≥＇222a x x ?≥-+， 又当0x >时，2

2

1122222x x x ?

?-+=--+ ??

?12≤，所以12a ≥。

15、两千多年前，古希腊毕达哥拉斯学派的数学家曾经在沙滩上研究数学问题，他们在沙滩上画点或用小石子来表示数，按照点或小石子能排列的形状对数进行分类，途中实心点的个数1,5,12,22，…，被称为五角形数，其中第1个五角形数记作11a =，第2个五角形数记作25a =，第3个五角形数记作312a =，第4个五角形数记作422a =，……。

若按此规律继续下去，则：

（1）5a = ；35 （2）若145n a =，则n = 。10

【解析】根据图形变化规律，可归纳得()23147322

n n n

a n -=++++-=L 。

三、解答题（本大题共6小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

16、（本小题满分12分）设()2sin 2cos 14

68f x x x π

ππ??=--+ ???。

（Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期；

（Ⅱ）若函数y =()f x 与()y g x =的图象关于直线1x =对称，求当40,3x ??

∈????

时，()y g x =的最大值。

【解析】（Ⅰ）依题设，()sin

cos

cos

sin

cos 4

6

4

64

f x x x x π

π

π

ππ

?

?

=-- ??

?

- 6 - / 10

33sin cos 2424x x ππ=

-3sin 4

3x π

π??=- ???， 故函数()f x 的最小正周期为284

T π

π

=

=。 …………………………6分

（Ⅱ）方法一：在()g x 的图象上任取一点()()

,x g x ，它关于直线1x =的对称点为()()

2,x g x -，

由题设条件，点()()

2,x g x -在函数()f x 的图象上，从而()()()23sin 24

3g x f x x π

π??=-=

--????

3sin 3cos 2434

3x x ππππ

π????=--=+ ???????，

当403x ≤≤时，23433x ππππ≤+≤，11cos 24

32x π

π??-≤+≤ ???，

从而()3cos 4

3g x x π

π??=+

???33,22??∈-????。

因此当0x =时，()max 3

2

g x =

。 ………………………………………………………12分 方法二：由于区间40,3??????关于直线1x =的对称区间为2,23??

????

，且函数()y g x =的图象与()y f x =的图象

关于直线1x =对称，

故在函数()y g x =在区间40,3??????上的最大值就等于()y f x =在2,23??

????

上的最大值。

由（Ⅰ）知()3sin 4

3f x x π

π??=- ???，当223x ≤≤时，6436x ππππ-≤-≤，

相应的11sin 2432x ππ??-

≤-≤ ???，于是333sin 2432x ππ??-≤-≤

???

。 故函数()y g x =在区间40,3??

????上的最大值为()max 3

2g x =。 …………………………12分

17、（本小题满分12分）某电视台你举行由选手报名参加的比赛类型的娱乐节目，选手进入正赛前需通过海选，参加海选的选手可以参加A 、B 、C 三个测试项目，只需通过一项测试即可停止测试，通过海选。若通过海选的人数超过预定正赛参赛人数，则优先考虑参加海选测试次数少的选手进入正赛。甲选手通过项目A 、B 、C 测试的概率分别为111

,,

532

，且通过各次测试的事件相互独立。

（Ⅰ）若甲选手先测试A 项目，再测试B 项目，后测试C 项目，求他通过海选的概率；若改变测试顺序，对他通过海选的概率是否有影响？说明理由。

（Ⅱ）若甲选手按某种顺序参加海选测试，第一项能通过的概率为1p ，第二项能通过的概率为2p ，第三项能通过的概率为3p ，设他通过海选时参加的测试次数为ξ，求ξ的分布列和期望（用1p 、2p 、3p 表示）；并说明甲选手按怎样的顺序测试更有利于他进入正赛。

【解析】（Ⅰ）依题意，甲选手不能通过海选的概率为111411153215

?

?????---= ???????????， 故甲选手能通过海选的概率为411

11515

-

=。 …………………………3分 若改变测试顺序对他通过海选的概率没有影响，

因为无论按什么顺序，其不能通过海选的概率均为111411153215

??????---

= ??????

??

??

?，

- 7 - / 10

A B

C D E

O

M x

y

z 故无论按什么顺序，他能通过海选的概率均为11

15

。 …………………………5分 （Ⅱ）依题设，可知ξ的所有可能取值为1,2,3。 且由题设，可得()11P p ξ==，()()1221P p p ξ==-，()()()123311P p p p ξ==--。

故ξ的分布列为

ξ 1 2 3

P

1p

()121p p - ()()12311p p p --

…………………………8分

()()()11212321311E p p p p p p ξ=+-+--。

分别计算当甲选手按C→B→A ，C→A→B ，B→A→C ，B→C→A ， A→B→C ，A→C→B 的顺序参加测试时的E ξ的值，得当甲选手按C→B→A 的顺序参加测试时，最小，因为参加测试的次数少的选手优先进入正赛，故该选手选择将自己的优势项目放在前面，即按C→B→A 的顺序参加测试，更有利于进入正赛。

…………………………12分 18、（本小题满分12分）如图，△ABC 的外接圆O e 的半径为5，CE 垂直于O e 所在平面，BD ∥CE ，CE =4，BC=6，且BD =1，101

cos 101

ADB ∠=

。 （Ⅰ）求证：平面AEC ⊥平面BCED ；

（Ⅱ）试问线段DE 上是否存在点M ，使得直线AM 与平面 ACE 所成的角的正弦值为221

21

？若存在，确定点M 的位置； 若不存在，请说明理由。

【解析】（Ⅰ）证明：∵BD ⊥平面ABC ，∴BD ⊥AB ，

又因为BD =1，101

cos 101

ADB ∠=，

故AD =101，AB =10=直径长； ……………………3分

∴AC ⊥BC ，又因为EC ⊥平面ABC ，所以EC ⊥BC 。 而AC EC C =I ，所以BC ⊥平面ACE ；

又BC ?平面BCED ，所以平面AEC ⊥平面BCED ； ……………………6分 （Ⅱ）方法一：（向量法）存在。如图，以C 为原点，直线CA 为x 轴， 直线CB 为y 轴，直线CE 为z 轴建立空间直角坐标系，

则依题设，可得点的坐标：()8,0,0A ，()0,6,0B ，()0,6,1D ，()0,0,4E ，

于是()8,6,1AD =-u u u r ，()0,6,3DE =-u u u r

，

若设()0,6,3DM DE λλλ==-u u u u r u u u r

（其中01λ<<），

则()8,66,13AM AD DM λλ=+=--+u u u u r u u u r u u u u r

，

由（1）易得平面ACE 的法向量为()0,6,0CB =u u u r

，

设直线 AM 与平面ACE 所成的角为θ，

则()()223636221

sin cos ,2164361136

AM CB AM CB AM CB λθλλ?-=<>==

=?+-++?u u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u u r u u u r ， 解之得1

3

λ=

。 ……………………10分 A

B

C

D E

O

M

- 8 - / 10

P C B

Q

M

y

所以，存在点M ，且13

DM DE =u u u u r u u u r 时，直线AM 与平面ACE 所成角的正弦值为221

21。……………12分

方法二：（几何法）

如图，作MN ⊥CE 于N ，连结AN ，则MN ⊥平面AEC ，

故直线AM 与平面ACE 所成的角为MAN ∠，且MN ⊥AN ，NC ⊥AC 。 设MN =2x ，由直线AM 与平面ACE 所成角的正弦值为

221

21

， 得21AM x =

，所以17AN x =。

另一方面，作DK ∥MN ∥BC ，得EN =x ，NC =4x -,

而AC=8，故Rt △ANC 中，由2

2

2

AN AC NC =+

得()2

2

17644x x =+-，∴2x =，所以4MN =，25EM =。

所以存在点M ，且25EM =时，直线AM 与平面ACE 所成角的正弦

值为

221

21

。 …………………………………………………………………12分 19、（本小题满分13分）等比数列{}n a 中的前三项1a 、2a 、3a 分别是数阵5436108201216?? ?

? ???

中第一、二、三行

中的某三个数，且三个数不在同一列。 （Ⅰ）求此数列{}n a 的通项公式；

（Ⅱ）若数列{}n b 满足：()31lg n

n n n b a a =--，求数列{}n b 的前n 项和n S 。 【解析】（Ⅰ）经检验，当15a =或4时，不可能得到符合题中要求的等比数列； 故有13a =，26a =，312a =，等比数列公比2q =，

所以1

32n n a -=?。 ………………………………………5分 （Ⅱ）由132n n a -=?得()()()1

31lg 921lg31lg 2n n

n n n n b a a n -=--=?--+-????，

所以(

)()()

()()2

1

9122

111lg 3lg 2n n n S -??=+++--+-++--??L L ()1231lg 2n

n ??--+-++-??

L

………………………………………9分

于是，当n 为偶数时，()129lg 2921lg 21222n n n n n

S -=?

-=---； 当n 为奇数时，()()12119lg 3lg 2lg 2921lg 2lg 31222n n n n n S n ---??

=?

+---=-++ ?-??

； 所以，()()()()921lg 2,21921lg 2lg 3,2

n

n n n n S n n ?--??

=?-?-++??为偶数为奇数。 ……………………13分

20、（本小题满分13分）已知圆C ：()()2

2

112x x -+-=经过椭圆Γ：22

221x y a b

+=（0a b >>）的右焦点

F 和上顶点B 。

（Ⅰ）求椭圆Γ的方程；

（Ⅱ）如图，过原点O 的射线l 与椭圆在第一象限的交点为Q ，与圆C 的交点为P ，M 为OP 的中点，求OM OQ

?u u u u r u u u r

的最大值。

【解析】（Ⅰ）在C ：中，令0y =，得()2,0F ，即2c =；

A

B

C

D E O

M N

- 9 - / 10 令0x =得()0,2B ，于是即有2b =；

由222a b c =+得2

8a =，所以椭圆方程为22

184x y +=。 …………………………4分

方法一：依题意，射线l 的斜率存在，设l ：y kx =（0x ≥，0k >），

并设()11,P x kx ，()22,Q x kx ， 由2218

4y kx x y =???+=??得()22128k x +=，所以222212x k =+； …………………………6分 由(

)()22112y kx x y =???-+-=??得()()221220k x k x +-+=，所以12221k x k +=+； 于是()2112212211,,2222212x kx k k OM OQ x kx x x k

++???=?==? ???+u u u u r u u u r 22212221

k k k ++=?+。（其中0k >）。 ………………9分 设()222121k k k k ?++=+（0k >），则()()()()()()

2222222121212121k k k k k k k ?-+--+-==++＇（0k >）； 令()0k ?=＇，得12k =

；令()0k ?>＇，得102k <<；令()0k ?<＇，得12

k >； 于是()k ?在10,2?? ???上单调递增，在1,2??+∞ ???上单调递减， 因此，当12k =时，()max 1322k ????== ???，相应地，OM OQ ?u u u u r u u u r 取到最大值23。 ………………13分 方法二：同方法一，得OM OQ ?u u u u r u u u r 21

2212k k

+=?+()2212221k k +=?+（0k >），

设1k t +=，则由0k >知1t >，且1k t =-，

于是OM OQ ?u u u u r u u u r 2

222243t t t =?-+212211342t t =???-?+ ???2122122333

t =???-+ ???23≤， 当且仅当123t =即32t =，时等号成立。此时相应的12k =。 综上所述，当12k =时，OM OQ ?u u u u r u u u r 取到最大值23。 ………………13分

21、（本小题满分13分）已知函数()221x f x e ax x =---（x R ∈）。

（Ⅰ）当0a =时，求()f x 的单调区间； （Ⅱ）求证：对任意实数0a <，有()21a a f x a

-+>。 【解析】（Ⅰ）当0a =时，()21x f x e x =--（x R ∈），()2x f x e =-＇

令()0f x =＇得ln 2x =；令()0f x >＇得ln 2x >；令()0f x <＇得ln 2x <；

所以函数()f x 在(),ln 2-∞上单调递减，在()ln 2,+∞上单调递增。 ………………5分

- 10 - / 10 （Ⅱ）由()221x f x e ax x =---（x R ∈）得()22x f x e ax =--＇，()''2x f x e a =-； 由于0a <，所以()''0f x >恒成立，即()22x f x e ax =--＇为R 上的单调递增函数； 而()01f =-＇0<，()1220f e a =-->＇，故存在唯一的()00,1x ∈，使得()00f x =＇。…………8分

并且当()0,x x ∈-∞时，()0f x <＇，当()0,x x ∈+∞时，()0f x >＇； 于是，()f x 在()0,x -∞上单调递减，在()0,x +∞上单调递增。

故()()02000min 21x f x f x e ax x ==---。 再由()00f x =＇得0022x e ax =+，将其代入前式可得()()200min 211f x ax a x =-+-+。…………10分

又令()0x ?=()()222000112111a a ax a x a x a a --??-+-+=--++ ??

?（()00,1x ∈）， 由于0a <，所以0a ->，对称轴11a x a

-=>，因此()0x ?在()0,1上单调递减，()()011x a ??>=-。 又()21110a a a a a -+--=->，所以()201a a x a ?-+>，即()min f x 21a a a

-+>。 故对任意实数0a <，有()21a a f x a

-+>。 ……………………………………………………13分

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/9sxl.html