吴正宪数学视频学习模块一文字资料

一．《课标》中“数的认识”有何变化

数的概念是学生认识和理解数学的开始，理解数的意义伴随着学生学习数学的整个过程，从自然数逐步扩展到有理数、实数，学生将不断增加对数的理解和运用。在小学阶段数的认识包括整数的认识、分数、小数和百分数的认识、负数的认识、数的整除性相关的内容、数的简单应用等。在教材的安排中，整数的认识中分为10以内认识、20以内的认识、100以内的认识、万以内的认识、大数的认识等；分数和小数的

认识都为两个阶段，第一阶段是分数和小数的初步认识，第二阶段是分数和小数的意义。整体来说新课标中对数的认识的要求变化不大，主要有以下几点，在教学中我们要加以注意。

在数的认识中要关注数的意义、数的表示、数与数的关系、数的应用。其中我们要特别关注数的意义，也就是数的概念的建立。在教学中如何建立数的概念是教学的重点，面对数的认识这一重要内容，我们又该怎样帮助学生建立清晰的数概念，理解数的意义呢？

二．在建立数概念中要注意的问题

（一）在整数的认识中要注意的问题

建立正确的数的概念是认数教学的任务，也是学生学习数学的起点。理解数的意义一般有两个角度，一是从数的组成去理解，通过组成理解数的大小和多少，加强对数的感知。二是联系生活实际来体会，通过在具体的现实的情境中，理解数在生活实际中的意义，使抽象的数和具体的量有机的结合，进一步理解数的意义。在实际教学中我们要把这两种方式有机地结合起来，这样更有利于学生体会数的意义，建立数的概念。在整数数概念的建立过程中要注意以下几点：

1. 依托多种形式建立整数数概念

（1）在具体情境中理解数的意义

学生对数并不陌生，在入学之前，学生已对具体的数有了比较丰富

的感知，他们会读、会写，会说一些具体的数。我们在教学中就要关注从现实情景抽象出数的过程，例如从具体的2匹马，2棵树，2头牛，2个人，抽象为2这个数。这时用一个数字也是一个特殊的符号来表示数量，已经把具体的单位和这个数量的具体含义去掉，抽象为数“2”。

反过来，2可以表示任何具有2这样数量特征的事物，例如2只铅笔，2个人、2只小动物……，随着教学的深入，还要引导学生认识到数的丰富的含义，比如计数的数、数量的数、度量的数和计算的数。

（2）用操作帮助学生具体感知

自然数的认识的教学的重点在于使学生从数量抽象到数，抽象离不开直观的支撑和操作，例如：计数器、小棒、图形等等，让学生亲自的数一数、摆一摆、圈一圈、画一画，学生数的过程也是一一对应的过程，同时感受具体的数量。

（3）多种模型的表征

在数的认识过程中，我们要注意运用多种模型帮助学生理解数的意义，建立数的概念。比如说：计数器、数位桶，方格图、数位顺序表等，这

样逐渐建立起抽象的数和现实中的数量之间的关系，并且能够知道这个大小和现实中的多少之间的关系，这也是数感很重要的本质问题。例如，一位老师在教学《万以内的数的认识》时，就运用方块模型帮助学生建立一万的概念，理解数的意义。

通过方块模型的演示，让学生体会10个一是十，10个十是一百，10个一百是一千，10个一千是一万……，通过几何图形的点、线、面、体，使学生在头脑中建立以一、十、百、千的映像，同时建立十个千就是一个万，在学生的头脑中建立一个清晰的模型满十进一，对于学生理解基数单位和位置制是有很大好处的。

2. 把握核心概念，重视数位和位置值的理解

为了表示更大的数，数位概念的建立是十分重要的。数位的含意是不同位置上的数字表示不同大小的数，没有数位的规定就没有办法表示更大的数。认识个、十、百、千、万等不同的数位，理解不同数位上的数字表示不同大小的数，是理解整数概念所必须的。学生必须清楚地了解，同样一个数字“3”，在个位上表示3个一；在十位上表示30，即3个十；在百位上表示300，即3个百。第一学段完成整数万级的认识，第二学段认识万以上的数，进而整理十进制计数法。我国的计数单位是每四位一级，万以内数的个位、十位、百位、千位为个级，学生理解各级上的每个数字的意义，这是理解多位数各个数位上的数字意义的前提条件。我国计数单位是四位一级，在国际上普遍使用的是三位一级，在学习时可以让学生了解。在历史上，曾经出现过以2、3、4为原始的数基，比较多的是以5、20、60为数基，即五进制、二十进制、六十进制。当然，最多的是以10为数基，即现在世界各国通用的十进制，即重要的“满十进一”的方法。

在古代文明中，世界各国大多数都是采用的十进制，例如中国、古罗马。但十进位计数法，离十进位值制还有关键的一步“位值制“”要走。所谓“位值制”，是指相同的计数符号由于所处的位置的不同而可以表示大小不同的数目。有了位值制，就可以用有限的数字表示出无限的自然数，这是记数历史上的一个创造，一个奇迹。因此马克思在他的《数学手稿》一书中称十进位值制计数法为“最妙的发明之一”。

（1）重视10的概念的建立

一个十和几个一是十几，这就是位值制的基础，这样十个数字就可以表示出生活中无限多的物。教学中建立好概念非常重要。在教学“10的认识”时，要让学生亲自感受到由9再加1变成10的过程，可以数、摆、捆、拨、说等，让学生感受10个一是一个十。建立10的概念，在认识11-20各数的认识中仍然要关注10的概念的建立，体会满十进一的过程。

（2）重视数计数单位：

为帮助学生了解十进制计数法和位置制。要重视通过数计数单位逐步建立新的计数单位，10个一是一个十，10个十是一百，10 个百是一千，10 个千是一万，10个万是十万，10个十万是一百万，10 个百万是一千万，在一个单位、一个单位地数的活动中，学生充分体会每数满10个单位就产生一个新的计数单位，感受了两个相邻计数单位间的进率是十。

（3）重视数位顺序表的使用

随着认识的数越来越大教师应不断扩充完善数位顺序表。从认识20以内的数起就让学生了解个位和十位，认识百以内数时补充认识百位，在认识万以内数的时候第一次出现了数位顺序表，在认识整数的最后一个单元里学生将认识万级和亿级的数以及比亿更大的数。数位顺序表可以分两次扩展，先扩展到万级，把十万’ 百万’ 千万这三个计数单位，引上初步把这些数位分成个级和万级，再扩展到亿级，数位顺序表有助于学生了解十进制计数法，理解数的意义并掌握读数、写数的方法。

3. 关注对大数的感受

在第一、二学段都提出感受大数意义和对大数进行估计的要求。第一学段是要求在生活情境中感受大数的意义，第二学段情境的范围有所扩大，要求在现实情境中感受大数的意义。其本质是相同，都是希望通过具体的情境对大数加以感受，增加学生的数感。感受大数与情境的具体内容有关，1200张纸大约有多厚？你的1200步大约有多长？1200名学生站成做广播操的队形需要多大的场地？这些具体的情境学生可以

通过实际操作和观察感受。有时还要加入想象的成份。1200名学生需要多大场地，许多学校可能没有这么多人，学生就需要了解自己的学校有多少人，占多大地方，再想象1200人会占多大地方。

这个抽象过程在小学一年级开始认识数时就强调，直到认识较大的数。学生逐渐认识数的抽象表示，逐步建立数概念。

（二）在建立分数概念中要注意的问题

教师们在数的认识的教学中普遍认为分数的认识是数认识教学中的一个难点。分数起源于分，当平均分出现不是整数结果的时候，逐渐有了分数的概念。后来，在土地测量、产品分配等过程中,常常得到不是整数的结果，便产生了分数。分数的产生经历了一个漫长的过程，分数的真正来源在于自然数除法的推广。

1. 加强对分数的丰富意义的理解

首先老师要加强对分数的深刻的认识。作为老师我们要了解分数的多重多元性，才能引导学生对分数意义的深刻认识。

结合国内外已有研究成果和自己的研究实践，我们认为对分数意义的理解应关注以下两个主线和四个层面

两个主线

即“比的线索”和“数的线索”。“比”指的是一部分与另一部分之间的关系；“数指的是以有理数形式出现的分数，此时的分数表现的是一个结果。

分数意义理解的四个层面

“比率”是指部分与整体的关系和部分与部分的关系。其中部分与整体的关系更多地体现在真分数的含义中。例如一个圆平均分成4份，

每一份是整体的。又例如，一个长方形面积是整个长方形的，整体图形的面积应该是多少？显然，整体图形的面积应该是这样的三份。这

里的和所反映的就是取的份数与整体份数之间的关系。而部分与部

分之间的关系更多地表现为是一种“记号”。例如小红有5个苹果，小

丽有3个苹果，小红的苹果是小丽的倍。对比率维度的理解，可以帮助学生完成对分数的基本性质以及通分、约分等相关知识的正确认识。

“度量”指的是可以将分数理解为分数单位的累积。例如里面有

3个，就是用分数作为单位度量3次的结果。著名数学家华罗庚曾

经说过：“数起源于数，量起源于量。”对度量维度的研究，可以大大丰富学生对分数的认识。度量维度的体验也可以直接作用于分数加（减）法的学习中。

“运作”主要指的是将对分数的认识转化为一个运算的过程。例如，

想知道6张纸的是多少张纸，学生将理解为整体6张纸的，即将6张纸这个整体平均分成3份，取其中的2份，列出算式就是6÷3

×2，也就是6×。

“商”这个维度主要是指分数转化为除法之后运算的结果，它使学生对于分数的认识由“过程”凝聚到“对象”，即分数也是一个数，也可以和其他数一样进行运算。

以上这四个维度没有先后之分，主次之别，它们对学生多角度认识分数都发挥着重要的作用。它们相辅相成，共同承担着学生对于分数内涵丰富性认识的建构。

2．利用多种模型帮助学生理解分数的意义

在小学阶段教材中往往以学生熟悉的日常事物与活动为模型，建立分数的概念，例如把一个月饼平均分为两份，其中的一份是个，把一

张纸平均分成四份，其中的一份是，这仅仅是从“面积模型”的角度来理解分数，学生理解分数可以借助于多种“模型”。

（1）分数的面积模型：用面积的“部分—整体”表示分数

儿童最早是通过“部分—整体”来认识分数，因此在教材中分数概念的引入是通过“平均分”某个“正方形”或者“圆”取其中的一份或几份（涂上“阴影”）认识分数的，这些直观模型即为分数的“面积模型”。

（2）分数的集合模型：用集合的“子集—全集”来表示分数

这是“部分—整体”的另外一种形式，与分数的面积模型联系密切，但学生在理解上难度更大，关键是“单位1”不再真正是“1个整体”

了，而是把几个物体看作“1个整体”，作为一个“单位”，所取的“一份”也不是“一个”，可能是“几个”作为“一份”，例如，把4个桃

子看作“单位1”平均分成2份，每份2个占整体的。分数的集合模型需要学生有更高程度的抽象能力，其核心是把“多个”看作“整体1”。

（3）分数的“数线模型”：数线上的点表示分数

3. 把握好每一阶段完成的任务

在小学阶段，对于分数意义的学习，教材一般“显性”地分为两个阶段：第一学段分数的初步认识和第二学段分数的意义。但实际上，基于对于分数意义内涵丰富性的理解，我们逐步认识到，对于分数意义的学习，决不是一两次的教学所能全部承载和实现的，需要通过系列设计，逐步渗透、多维度建立，将教材中的“显性”和“隐性”结合起来。

第一阶段：认识平均分；

第二阶段：在分数的初步认识教学中，帮助学生初步建立部分与整体关系的认识，感受分数。

第三阶段：在分数意义和分数基本性质的教学中，重点使学生发展对于分数理解的比率、度量的维度。

第四阶段：在分数与除法关系的教学中，重点使学生发展对于分数运作的理解。

第五阶段：在分数的运算及解决问题的教学中，鼓励学生综合运用对于分数意义理解的多个维度。

必须指出的是，这五个阶段不是相对孤立的，更不是线性排列的，不能僵化地理解为到了某一阶段就必须或者只能达成对某维度的学习，其他维度将不再涉及。这四个阶段在完成对分数意义丰富认识方面各有侧重，相互渗透，相互补充，共同帮助学生实现对分数意义理解的不断发展和整体建构。

总之分数的认识是一个循序渐进的过程，需要系统的进行教学设计，才能使学生真正理解熟练运用。

（三）在建立小数数概念中要注意的问题

在分数初步认识学习的基础上，教材安排了小数的初步认识。小

数的出现标志着十进制计数法从整数（自然数）扩展到了分数，使分数与整数在形式上获得了统一。由此可见小数和整数、分数有着密切的联系。

1. 利用知识迁移建立小数概念

分数的学习对小数的学习特别是小数意义的理解有直接显著的影响，后者的学习对前者也有促进作用，例如8分米是十分之八米是学生已

有的知识，只要通过提问，引起学生的回忆和思考，还可以写成0.8米，也就是同一对象的两种不同形式，使小数和分数建立起直接的联系。使学生进一步体会到：十分之几和一位小数，百分之几和两位小数之间

的关系。

再如把正方形平均分表示其中的若干份以及用数轴表示数，过去曾经是认识整数、分数时常用的模型。而现在又拓展到了小数，比如把一个正方形平均分成10份100份，其中的若干份既可以用分数表示，也可以用小数表示，这样学生理解的小数意义，建立了小数的模型，培养关于小数的数感。

2. 沟通整数、小数、分数之间的关系

（1）沟通整数和小数的关系。整数与小数的计数方法是一致的，相邻两个计数单位间的进率都是10，小数的计数方法是整数计数方法的扩展，教学中要设计相应的教学环节将整数的计数方法迁移到小数，为学生在计数的经验和方法上建立联系，不仅如此，还要利用这些活动帮助学生整理认数系统，把原来认识的整数数位表扩充到小数。

（2）沟通分数和小数的关系。小数和分数上的沟通，主要是意义上的沟通，使学生理解小数是十进分数。

（3）沟通分数、整数、小数之间的关系。

关于小数和整数、分数有着密切的联系，在整数学习的基础上，学习了小数，小数的表征形式与整数相似，数位顺序表得到补充，都是十进制。如果以个位为基础，向右扩展就是十位、百位、千位；如果向左扩展就是十分之一位（十分位），百分之一位（百分位）等。换句话说：以个位为对称轴，两边的数位呈现了对称的关系，只是小数部分在位前增加了“分”；这样“每相邻的两个计数单位之间的进率都是10”得到了全面的概括；小数是十进分数。从这个意义上说，对小数的理解比对分数的理解更容易一些。

整数可以数，一个一个地数，一十一十地数，一百一百地数，小数可以数：0.1、0.2、0.3、0.4、0.5、0.6、0.7…分数可以数：、、、、、、、……

以此类推。这列数是按照一个单位进行数数的，无论是整数、小数、分数他们的数都是计数单位的累加。

3. 把握好小数认识的两个阶段的教学

我们知道关于小数的初步认识可以从学生熟悉的计量单位：元、角、分和米制系统（米、分米、厘米）来帮助学生学习。并不涉及到小数的计数单位和数位；到了第二学段学习小数的意义时，才抽象出小数的计数单位和数位，以及完善数位顺序表……两个学段的重点不同，呈现的方式和学习的方式也应当有区别。要根据学生的实际选择合适的学习方法，帮助学生理解小数的意义。

三．建立数的概念的教学的具体建议

（一）在数认识中体现数感。数感的建立是非常重要的，教师要设计多种活动培养学生的数感。

（二）整体把握内容之间的联系。两个学段相关内容的整体把握和递进与衔接。

（三）鼓励学生进行数学交流关注数的应用。关于数的认识包括从数的意义、数的表示、数和数之间的关系、数的应用；其中数的应用不仅仅是一条主线，而且渗透在整个学习中。教学中要提供机会鼓励学生运用数来表示日常生活中的一些事物，并进行交流。

问题二：如何处理运算教学中的算理与算法的关系

一. 《课标》对“数的运算”有什么新要求

新课程标准中明确指出，在数学课程中，应当注重发展学生的运算

能力。运算能力主要是指能够根据法则和运算律正确地进行运算的能力。培养运算能力有助于学生理解运算的算理，寻求合理简洁的运算途径解决问题。同时在《课标解读》中也强调“应当淡化对运算的熟练程度的要求，选择正确的计算方法，准确地得到运算结果，比运算的熟练程度更重要。应当重视学生是否理解了运算的道理，是否能准确地得出运算的结果，而不是单纯地看运算的速度。”这一目标的提出就要求我们教师在数的运算教学中，不能仅仅关注于学生运算技能的掌握，更要注重学生理解算理、掌握算法的学习过程，也就是在教学中要注重将算理与算法有机的结合在一起，从而发展学生的运算能力。

学习数的运算的过程就是发展逻辑思维能力的过程，数的运算的概念、性质、法则、公式之间都有内在联系，存在着严密的逻辑性。每个概念、性质、法则、公式的引入与建立，都要经过抽象、概括、判断、推理的思维过程。学生学习、理解和掌握“数的运算”内容时都要经过从具体到抽象、从感性到理性的过程，学生把这些应用到实际中去，还要经过由一般到特殊的演绎过程。因此，数的运算的学习有利于发展学生的思维能力。这就需要教师在教学的过程中不仅仅关注结果、关注方法更要关注得到结果、得到方法的思维过程，这个思维过程就是学生理解算理、掌握算法的过程。小学生仍然以直观形象思维为主，而算理、算法又十分抽象，因此如何结合学生的思维特点处理好运算教学中算理与算法的关系，往往就是教学的难点所在。我们可以结合学生的年龄特点借助生动有趣的童话情境、借助直观模型、借助学生已有的认知基础和生活经验，处理好运算教学中算理与算法的关系。

二．如何处理运算教学中算理与算法的关系

（一）借助生动有趣的童话情境，处理好运算教学中算理与算法的关系。

小学生，尤其是低年级的学生，他们更多的是以形象思维为主，因

此创设生动有趣的童话情境，不仅能够很好地调动他们的学习积极性，更能够借助童话情境帮助他们理解算例、掌握算法。

北京小学魏来红老师在教学《20以内进位加法》一课中，就是为学生创设了学生喜爱的小动物上车的童话情境（PPT）。首先魏老师通过

让学生在第一站帮助9个小动物上车，来复习十加几的口算（算对了你帮助的小动物就能上车），学生的积极性一下子就被调动了起来，为他们能够运用学过的知识帮助小动物而感到高兴。接下来再通过第二站帮助5个小动物上车，复习连加，并通过追问“有什么好方法能让我们算

得又对又快？”使学生感受到先凑“十”再算“十加几”简便快捷，为理解“进位加”的算理做好了孕伏。5个小动物上车后，与在第一站上车的9个小动物合起来，这时车上一共有多少个小动物？从而引出了

9+5=？这一进位加法。如何计算9+5=？学生结合生动、形象、具体的现实情境，很快就想到把5分成1和4，1和9组成10，10加4等于14。就这样学生在轻松、愉悦的童话情境中，顺利的理解和掌握了进位加的算理与算法。

通过这节课，我们看到，魏老师正是能够很好的结合学生的年龄和心理需求以及他们的思维特点，创设了学生感兴趣、喜爱的童话情境，使枯燥的数学变得生动有趣，使抽象的算理变得直观形象，使学生在明理中顺利、自然的掌握了算法。

（二）借助直观模型，处理好运算教学中算理与算法的关系。

北京西城区皇城根小学史冬梅老师上的《两位数乘法》，在这节课中史老师结合三年级学生的思维特点，借助直观模型也较好地处理了算理与算法的关系。（播放史老师教学视频，约1分钟11:08——12:00）。史老师在这节课上没有将会写“竖式”作为最终的教学目标，而是在学生已经能够初步掌握竖式计算方法的基础上，引导学生探寻方法背后的道理。并提供给学生直观的点子图作为研究素材。在接下来的研究中，学生们呈现了丰富多彩的成果。（通过ppt展示课堂中学生生成的各种方法，简要解释），虽然学生们的分法不完全相同，但“先分后合”的思路是一致的，这一点恰恰就是乘法竖式运算的基本思路。在这之后，史老师再次将分点子图与竖式中的四句口诀进行了对应。（播放史老师教学视频，约3分钟，29:04——32:01），从这个片段可以看出老师在引导学生一步步深入地理解竖式计算中每一个细节背后的道理，“分点子图”不仅给学生创造了积累活动经验的宝贵机会，同时又使学生能够借助直观模型，较好的理解了两位数乘法算法背后的道理。

在我们以往的教学中，不少老师或者不重视引导学生探索计算的过程，或者当学生刚刚探索出方法后，就立即引导学生学习竖式，在学生对竖式运算的每个环节没有真正理解的情况下就开始追求计算方法。这就很可能造成学生在没有真正理解道理的情况下，只能靠记忆法则来习得方法和技能。这显然对学生的发展是不利的，史老师这节课恰恰是为学生真正地、扎扎实实地经历理解的过程提供了鲜活而典型的案例。在我们的教学中教师要舍得拿出时间让学生有机会经历，有机会感受，有机会理解，有机会创造。新的课程标准中也明确提出了学生活动经验的目标，它背后深远的意义还需要广大教师在自己的实践中开动脑筋，深入挖掘，潜心感悟。

（三）借助学生已有的认知基础和生活经验，处理好运算教学中算理与算法的关系。

北京小学于萍老师曾经上过《小数加减法》，在这节课中于老师就是借助学生已有的认知基础和生活经验，帮助学生理解小数加减法的算理。于老师让学生自主进行编题，其中就有一名学生编出了一道

0.8+3.74=，这种类型将要揭示的“小数点对齐”是本节课的重点所在，也是小数加减法总结算法的重要时机。但为了让学生有机会调动已有的整数加减法的认知经验，经历判断、推理、抽象的思维过程，于老师就让每个学生自己试做，并说明自己这样做的道理。

于萍老师是这样问的

师：你们以前做过很多很多加减法题，无一例外的都是把末位的两个数字对齐，可这道题为什么不末位对齐呢？

生：整数的末位是个位，末位对齐也就是个位对齐了。而小数的末位不一定是相同的，所以不能末位对齐。

师：你们虽然没把末位对齐，但把谁对齐了？

生：把小数点对齐，也就是相同数位对齐。

师：你看得很深、很准，这样做肯定有这样做的道理。可为什么一定要小数点对齐、要相同数位对齐呢？

生1：如果不对齐算出来就错了。

生2：如果不把小数点对齐，而把末位对齐的话，十分位的8就和百分位的4对齐了，相加之后肯定就不对了。

生3：我举个例子说吧，比如买两样东西，一个是0.8元，另一个3.74元，如果把末位的8和4相加，就是用8角加4分，那肯定不对了。

师：我们研究同一个问题时可以从不同角度研究，比如，可以讲道理，也可以举例子。刚才这道题，就有同学想到了用我们都熟悉的“元角分”举例子来解释，简单的事说明了深奥的道理，你真棒。看来只有相同计数单位的个数才能够相加减。

小结：原来看似和整数加减法不太一样的“小数点对齐”其实和“末位对齐”一样，都是为了确保“相同数位对齐”，而相同数位对齐背后的道理就是“相同计数单位的个数直接相加减”。你们不仅找到了方法，还理解了方法背后的数学道理，真了不起。

小数加减法在小学“数与代数”的学习领域中占有什么位置？如何把握它与整数加减法的关系？在这节课中又该如何呈现知识的本质，抓住核心概念进行教学？于萍老师的教学实践回答了上面的问题。教师在引导学生探究小数加减法计算方法的过程中，始终抓住了本节课知识的“魂”实施教学，她没有满足学生能正确地计算出结果，而是步步深入引导学生逼近数学本质的理解。引发学生对小数加减计算道理的深刻理解，即：小数加减法与整数加减法的本质意义是一致的，即相同的计数单位相加减。像这样，将“讲理”与“明法”有机的结合，让学生在理解算理的基础上总结算法，有助于学生更深入地理解数学核心概念，才能够更好地实现“培养学生根据法则和运算律正确地进行运算的能力。”的目标。

三. 对“数的运算”教学的建议

（一）处理好算理直观与算法抽象的关系。

（二）处理好算法多样化与算法优化的关系。

（三）处理好技能训练与思维训练的关系。

（四）注重计算与日常生活以及解决问题的联系。

问题三如何落实新课标对估算的要求

一．《课标》对“估算”有什么新要求

课标修订版中加强了对“估计”以及“选择适当的单位”进行简单估算。如何理解“选择适当的单位”进行简单估算呢？

例如：学校组织987名学生去公园游玩。如果公园的门票每张8元，带8000元钱够不够？

解决此题的适当方法是把987人看成1000人，所以适当的单位是“1000人”。结合具体情境，选择适当的单位是第一学段估算的核心。

在对大数进行估计的时候，选择合适的单位也很重要。教室到学校体育馆有多远，就应当选用米作单位。而从家到学校有多远，就要选择千米作单位。太阳到地球的距离就要用光年作单位。

第一学段的估算强调在具体的情境中选择合适的单位，刚才的例子是选择了1000人作单位。一般来说，估计教室的长度时，通常以“米”

为单位；估计书本的长度时，通常以“厘米”为单位。也可以用身边熟悉的物体的长度为单位，如步长、臂长等。教学中，要让学生结合实际熟悉一些常见的计量单位真正了解其长短，大小和轻重等，并在头脑中建立起相应的表象。

二．如何把握估算教学的内容及其要求

（一）为什么教

●估算在日常生活中有着广泛的应用。

●有利于人们事先把握运算结果的范围，是发展学生数感的重要方面。

●为判断计算器、口算和笔算结果是否合理提供了依据。

●在具体情境中估算，有利于学生提高判断、选择的能力。

●估算有利于培养学生做事的计划性。

●估算对学生后续的数学学习有重要作用。

（二）教什么

关于“教什么”要依据新课标中的要求，展开教学。至少教学要涉及“估算方法”、“估算策略”，关于方法，老师们积累了不少经验。

①凑整的方法。如凑成一个整十整百的数。

②取一个中间数。比如32、37、30 和39这四个数求和，这些数

都很接近35，有的比35多一点，有的比35少一点，就取一个中间数35，直接用35×4，就大约地计算出了这几个数相加的结果。

③用特殊的数据特点进行估数。如126×8，就可以想到125×8，125

的8倍，就得到1000。

④寻找区间。也就是说叫寻找它的范围，也叫做去尾进一，去尾就

是只看首位，那么只看首位的时候，估得的结果就是它的至少是多少；

进一就是首位加一，假如说278，我们就看成了300，首位加一，这样就是它最多可能是多少，这样得到一个范围，就是寻找它的区间范围。

⑤大小协调。两个数，一个数往大了估，一个数往小了估，或者一个数估一个数不估。

⑥先估后调。

⑦利用乘法口诀凑数。这种方法一般用于除法的估算，一般用除数乘一个整十数、整百数或整百整十数，如果乘积最接近被除数，则这个数就是除法估算的商。如358÷6，用除数6乘整十数60，其积360最接近被除数358，那么整十数60即是所求的商。

（三）怎么教？

估算教学，不是单纯的教给学生记住一种估算的方法，而是通过我们的课堂教学，使

学生逐步地去理解估算的意义和价值，发展学生估算的意识。在这个过程当中，应当多增加一些学生的体验，不断地丰富学生这方面的经验，并逐步加以积累。

教学建议：

1. 整体把握估算教学，把估算意识的培养作为重要的教学目标

所谓整体把握估算教学，就是要把握自己所教估算教学部分的知识结构与地位，要知道自己所教学的估算知识部分在整个小学阶段处于什么位置?对今后的估算学习能起到什么作用?要在自己所教的一段达到

什么样的目标?这样一来在教学中就会做到游刃有余，心中有数。

学习估算的开始阶段，对学生来说可能有一定的难度，或许会影响一点教学进度或计算速度，这时老师不能为了赶进度而着急，应该给学生充分理解的空间和时间。要知道开头的“慢”正是为了不久之后的“快”和“好”。

在教学中首先要考虑估算的教学目标，如果把目标仅仅定位在就教会凑整估算，或是见到“大约”就要估算，做一些机械的训练，可能就会给学生形成一种错误的定势。而估算教学中，首要重要的如何培养学生近似的意识，这是我们数学教学本身应该关注的问题，应该作为重要的教学目标来进行实施。

引导学生在问题情境的对比中，选择估算或精确计算，不断地积累这方面的经验。作为数学教师，要想办法搜集或者捕捉一些好的素材，在具体的问题情境当中让学生去感受，什么样的问题解决需要近似值，就是需要估算，哪些问题解决一定要算出精确值，比如“全家吃饭”饭费大约200元，就是估算。没有必要精确地计算。但作为饭店的收银员就需要精确计算，估算显然不行。

2. 要选好题目，提出好问题，让学生体会估算的意义和价值。

作为教师，在教学设计当中，首先要选好题目，提出有估算价值的问题。比如，三位数除以两位数，你估一估这道题，它的商是几位数？这个问题就有价值。另外，只有选好题目、提出好问题学生才能自觉体会到估算的价值，学生有了对估算价值的体验后，他的估算意识才能不断增强。

另外，鼓励学生利用估算来验证计算结果，养成好习惯。估算教学，要结合具体的问题情境让学生体会到估算的意义和价值，结合学生的实际，尤其是已有的知识水平和生活经验提出合适的问题，才能使得学生

对估算的意义有深刻的体会，尤为重要的是，给学生充分的交流时间和空间，通过学生的交流让学生解释估算的过程。

另外：现在学生们有时用计算器计算，有时学生用精确笔算，结果对不对，特别是积的位数、商的位数，准确不准确，可以先用估算的方法，来确定一下它大致的取值范围，这样可以帮助学生来验证计算的结果。估算意识的培养，应该从点点滴滴做起，使学生逐步地养成一种习惯，形成这种良好的习惯以后，学生会自觉地进行估算。

3. 鼓励方法多样化，重视交流、解释过程，让学生进行合理估算。

由于学生对于相关数学知识和技能的掌握情况及思维方式、水平不同，在估算中方法会多种多样。教师要积极鼓励学生估算方法多样化，应让学生充分交流，表达自己的想法，了解他人的算法，使学生体会到解决同一个问题可以有不同的方法，促进学生进行比较和优化。

估算结果是多样的，要关注估算结果是否合情合理。在估算教学中让学生交流估算方

法尤其重要，只要切合估算的目的或解决问题的需要就是好方法。因此不同的情境会选择不同的估算方法。

教师教学中要强化估算意识并结合教学内容作好估算示范。这种示范并不是包办，而是给予适当的引导，让学生在科学的范围内进行估算，同时对好的方法加以强调，进行合理的估算。

4. 做好对估算的有效评价

（1）对估算意识的评价

首先看一个案例，摘自TIMSS的测试：

保罗用$5去购买牛奶、面包和鸡蛋。当他到达商店时，发现这三种食品的价格如下图所示：

在下列哪种情况下使用估算比精确计算有意义？

A.当保罗试图确认$5是否够用时；

B.当销售员将每种食品的价钱输入收银机时；

C.当保罗被告知应付多少钱时；

D.当销售员数保罗所付的费用时。

这个题目设计的比较巧妙，它通过一个具体问题，考察学生能否在具体情境下对是否需要计算估算进行判断，也就是考察学生是否具备了一定的估算意识。对我们的最大启发是，估算意识也是可以考察的，希望老师们以后再进行估算评价时，也要重视对估算意识的考察。

（2）对估算策略的评价

估算有时是根据实际问题来进行估算，有时是脱离实际问题的情境，纯算式的进行估算。

●根据实际问题，选择合理的估算策略，结果合理即为正确

学生只要能够解决实际问题，这个估算就应该是合理的，这是针对解决实际问题来说的。老师们需要认识到，估算结果并不是与实际情况

越接近就越好，只要合理即为正确。什么是合理，只要估算的结果，能够有效地解决问题就是合理。

●纯试题的估算，只要结果落在一定的区间内，即为正确；但要根据不同年

龄的学生的认知实际，给予针对性的评价

有一些题目，脱离了实际问题情境，属于纯算式的估算，在这种情况下，不能简单地把估算结果是否与精确值最接近作为唯一的标准，只要能够落在区间内，就视为是合理的。这个区间，也就是它的取值范围。

同时，不同年龄的学生，要有不同的评价标准。如低年级学生刚刚接触估算，它的估算结果落在一个范围比较大的区间内，我们觉得就可以。高年级的学生已经有了一定的估算经验，就要引导他不断地进行再反思，再调整。举个例子来说：78×365积大约是多少，刚开始学习的时候，学生可能这样估70×300，或者80×300，或者80×400，这样我们都可以视为是合理的。有了一定的计算技能以后，老师要引导学生不断地去进行反思，还可以估成80×350，这时候的范围就比原来要小多了。

●数学中比较重视估算结果是否落在了合适的数量级中

数量级也就是十、百、千，万……，换句话说就可以用10的多少次方表示。如上面提出的TIMSS测试题中有一道题的备选答案很有意思，“史密斯家每星期的用水量是6000升，他家每年的用水量大约是多少升？”让学生从下面的答案进行选择。

A.30000

B.240000

C.300000

D.2400000

E.3000000

这正是在考察学生对数量级的了解。一年52个星期，52×6000，比三十万大，所以结果为C。

关于评价估算策略的问题，我们认为学生们估算的策略不同，只要是合理的，我们就

应当鼓励他们大胆地尝试，鼓励他们积极解释自己的观点，交流自己的看法。在这个过程当中，肯定会有很多有价值的东西在课堂中涌现出来，老师要小心翼翼地去呵护住学生们的这份探究的精神，不要轻易地用一两句话就否定一种方法。教师不要急于给予评判，给孩子一种宽松的氛围，让孩子不断地学会调整，不断地学会反思，提升孩子这种判断的能力。

问题四：如何依托现实情境，帮助学生理解常见的量

一. 《课标》中对“常见的量”的要求是什么

在小学阶段“常见的量”基本在第一学段出现，主要有货币单位、时间单位和重量单位。《课标》中这一部分内容并没有太大的变化。而在以往的教学中，一些教师对于《课标》中“理解常见的量”的具体要求，落实得还不够到位。对这一部分内容的教学，有的教师仅仅停留在让学生能够认识这些常见的量，并能够进行单位间的简单换算。那么针

对这一问题，我们在课堂教学中应如何准确的落实“理解常见的量”这一具体目标呢？

二. 如何帮助学生理解常见的量

（一）依托现实生活情境，帮助学生理解常见的量。

数学课程标准中提倡让学生在生活情境中感受数学。北京市宣武师范附属第一小学耿爽老师上的《克和千克》和北京小学走读部朱洁老师上的《认识时间》，她们都能够依托现实生活情境，帮助学生理解常见的量。

在《克和千克》一课中耿老师注重依托现实生活情境，从学生熟悉的生活情境引入学习（PPT展示，从超市中买回的各种商品及生活中常见的与克和千克有关的情境），揭示本节课的学习内容，这样的引入能较好的激发学生兴趣，同时给孩子发现数学问题的机会，也让学生感受到“克和千克”与日常生活的密切联系。

在《认识时间》一课中，朱老师将认识时间与生活情境相结合（PPT 展示），这样就能够调动学生已有的、熟悉的生活经验，帮助他们认识钟表，理解常见的时间单位。

（二）依托现实活动情境，帮助学生理解常见的量。

实践是最好的老师，只有学生们亲身经历了才会印象更深。因此除了依托现实的生活情境，我们还可以依托现实的活动情境，帮助学生理解常见的量，建立正确的质量观念、时间观念等。

例如：“克和千克”的学习对于学生来说有一定困难，学生虽然在生活中接触过质量问题，感知过轻和重，也曾经在商品标识上看见过千克、克，但多数学生都不知道它们是质量单位，不知道它们之间的进率，对于1克或1千克到底有多重，更是知之甚少。并且人们对质量的感受力并不强，同一物品掂与提、左手与右手、每人的承受力等，感受结果不同。同时物体的体积与物体的质量不一定是统一的，这些都给学生认识质量单位造成了困难。宣武师范附属第一小学的耿老师，在教学《克和千克》一课中，就为学生准备了大量的可操作的物品，为学生留出探究的空间，使学生能够通过掂一掂、称一称等活动，在感受1千克和1克的过程中，认识克和千克，同时帮助学生建立正确的质量观念。

再如：时间单位的认识对于学生来说是很抽象的概念，没有可视可触的形状与颜色，看不见、摸不着，让他们来掌握抽象的时间概念难度很大。所以发展孩子的时间感必须与日常生活的具体事件联系起来，使之有可以感知的具体内容。在《认识时间》一课中，通过让学生体验1分钟能干什么？（拍球能拍多少下，跳绳能跳多少下，写字能写多少个），使学生体会、感受、理解1分钟有多长，帮助学生建立时间观念。

三. 有关“常见的量”的教学建议

（一）争取家长的配合与支持，提前为学生学习“常见的量”积累生活经验。

由于“常见的量”这一部分内容对于第一学段的学生来说比较抽象，因此生活经验是否充足，将会影响到学生对这部分知识的学习。如果学生平时在生活中能经常接触到相关知识，他就能在这一方面学得很好，

例如：学生平时有经常跟随家长购物的经验，学习人民币的相关知识就

会轻松很多。反之，生活经验的缺失会使学生不易理解，造成学习上的

困难。

（二）运用多种教学策略，将“常见的量”与现实生活有机结合。

教学中应注重运用多种教学策略，使“常见的量”的学习更贴近学生。要注重为学生提供多种学习素材，充分利用好学具，调动学生多种

感官参与学习，为学生提供动手实践、自主探索、观察与思考、发现、表达的机会，激发学生的参与意识和积极性，让学生学会在实际中运用

所学知识解决实际问题。

问题框架：

1. 如何在方程教学中帮助学生经历从算术思维向代数思维过渡？

2. 如何在正反比例教学中体现函数思想？

3. 如何处理好“问题解决”教学中生活情境具体和数量关系抽象的关

系？

4. 如何在教学中凸显问题解决策略？

具体内容：

“数与代数”部分是义务教育阶段数学课程的重要内容。这部分的内容包括数的概念、数的运算、数量的估计；字母表示数，代数式及

其运算；方程、方程组、不等式，函数等。

数的概念是学生认识和理解数学的开始，从自然数逐步扩展到有理数、实数，学生将不断增加对数的理解和运用。数的运算伴随着数的形

成与发展不断丰富，从最基本的自然数的四则运算，扩展到有理数的运

算。伴随着字母的引入，代数式和方程的出现，是数及其运算的进一步

抽象。本专题中，我们和您交流的内容主要涉及后面两部分,下面我们结

合新课标，聚焦几个老师们的问题，进行深入的交流。

一、在方程教学中帮助学生经历从算数思维向代数思维过渡

1.方程教学的目标

对式与方程这部分内容，课标有如下具体要求：

1．在具体情境中能用字母表示数。

2．结合简单的实际情境，了解等量关系，并能用字母表示。

3. 能用方程表示简单情境中的等量关系（如3x+2＝5，2x-x＝3），了

解方程的作用。

4．了解等式的性质，能用等式的性质解简单的方程。

在每个学生数学学习的历程中，“字母”的出现都是一次认识上的飞跃。在“字母表示数”以及“方程”教学中，要肩负着帮助学生从

算数思维向代数思维进行过渡。学习“字母表示数”的过程是帮助学生

建立数感与符号意识的重要过程，是学习和认识数学的一次飞跃，同时

也是学生今后继续学习代数式、整式、分式和根式等一系列概念及相关

运算的重要基础，具有非常重要的意义，需要引起高度重视，并贯穿于

学习数与代数的始终。

在小学的第二学段中就安排了“式与方程”的内容，就是要引导学生在具体情境中会用字母表示数；结合简单的实际情境，了解等量关系，并能用字母表示。从第一学段过渡到第二学段，随着学生年龄的增长，思维水平和理解能力也在逐渐提高。这一时期的学生正处在由具体形象思维向抽象逻辑思维过渡阶段。在第一学段的基础上，第二学段不仅扩大了数的认识和运算的范围，同时在较为抽象的水平上初步认识代数知识和渗透函数思想。

简易方程的引入的价值在于为学生提供用代数方法解决问题的途径。小学阶段解决问题的基本方式是算术方法。基本的数量关系模型一是求和的关系（部分+部分=整体），二是求积的关系（每份数×份数=总量）。具体的表现为加、减、乘、除的意义。算术方法解决问题基本上是根据加减乘除四则运算的含义，分析问题中的数量关系，列出一个算式。这个算式的基本特征是将已知的数量构成的算术式使其结果等于所求的数量。如，

例如：小明原来有一些铅笔，爸爸和妈妈又分别给他买10枝新铅笔，这时他一共有38枝铅笔，原来小明有几只铅笔？

用算术的方法，列的算式是38-10×2=，而用方程来解这样的题，可以先用字母x表示原来铅笔的数量。按照数量关系，可以列出方程：X+10×2=38

后者是直接用部分+部分=总体的思路，X在这里和其他的数一起在解题过程中运用。而前者是求和逆运算，是已经和与一个部分，求另一个部分。在解决较为复杂的问题时，方程与算术的方法有着明显的区别。

对于解方程，《标准》明确“用等式的性质解简单的方程”。等式的性质反映了方程的本质，将未知数和已知数同等看待。这正是代数思维与算术思维的基本区别。

开始从算术方法到代数方法可能显得比较繁琐，特别是对于简单的数量关系算术的方法操作起来容易一些。但在解简单方程时还是应当用等式性质，一方面体现代数的方法的本质，另一方面也是与第三学段学习方程的思路一致。

2．从算术思维向代数思维过渡，是学生认知发展的飞跃。

【片段1】赵震——《用字母表示数》

赵老师通过“神奇的魔盒”，让学生充分经历输入数与输出数的游戏，发现规律、验证规律、总结规律、概括规律，从“图形(△→□)”到“字母”、从无关系的字母（a→b）到揭示规律的字母（a→a+10），产生简明表达规律的内需——“用字母表示数”，真正理解字母表示数的价值！

【片段2】赵震——《用字母表示数》

对，我也听过赵老师这节课，唱儿歌——《数青蛙》：

一只青蛙一张嘴，两只眼睛四条腿。

两只青蛙两张嘴，四只眼睛八条腿。

三只青蛙三张嘴，六只眼睛十二条腿。

……

让学生边拍手边有节奏地哼唱着！与此同时课件不断显示更多的青蛙，直到多得数不清。这时赵老师问：还能唱吗？学生感到有困难了，于是教师发给学生每人一个小条，试着写一写。学生在练习纸上写出如下的答案：

生1：无数只青蛙无数张嘴，无数只眼睛无数条腿。

生2：a只青蛙b张嘴，c只眼睛d条腿。

生3：a只青蛙a张嘴，b只眼睛c条腿。

生4：a只青蛙a张嘴，aa只眼睛aaaa条腿。

生5：a只青蛙a张嘴，2a只眼睛4a条腿。

通过倾听学生的发言与交流，展现了学生不同的结论及不同的思维层次：

生1还没有走到“用字母表示数”这步，还停留在用语言来描述数量及关系；

生2虽然走到“用字母表示数”这步，但没有表示出数量关系；

生3走近了“用字母表示数”，有了一定的数量关系，但是不全面；

“生4走近了“用字母表示数”，明白数量关系，但是表示不准确，有待教师的引导；

生5真正走进了“用字母表示数”，既用字母表示出了数，又准确地表示出了数量之间的关系。

赵老师在课堂上，通过这样一个学生喜欢的、生动的“说儿歌”活动，让学生在数的过程中感受到“数”的具体，并由此产生寻求更简洁、更概括的表示方法的心理需求。这为“字母表示数”的引出奠定了积极而充分的情感基础。这个过程既是新知识的学习过程，更是学生由原有的算术思维水平不断向代数思维水平迈进的过程。孩子们在儿歌一句句的诵读中，完成了思维水平的提升，完成了从数的具体到字母抽象的过渡。从数字运算到字母运算。在此过程中，教师要紧紧把握好符号意识。

由此可见绝大多数学生在认识上的过渡不是自然而然、简简单单就能完成的，需要教师精心地设计活动，让每个学生都有机会经历、有机会感悟，才可能慢慢地完成从算术思维向代数思维的过渡。

的确，小学生在相当长的时间里是以算术思维为主的，但伴随着学习的不断深入，从算式思维过渡到代数思维是每一个学生必须面对的一次飞跃。这个飞跃对于大多数学生而言都会存在不同程度的困难，都将是一次挑战。这个过渡是个过程，而且这个过程的长短对不同的学生而言也会存在差异，教师在教学中首先应重视对学生代数思维的培养。对不同的学生给予不同的关注和辅导，允许一部分学生在经历一段时间的学习和积累渐渐达到要求，完成过渡。与此同时，教师还应着眼于学生的发展，整体把握目标的达成。也就是说，“字母表示数”及“方程”相关内容的学习是在第二学段高年级出现的，但对学生代数思维的培养，需要提前做准备。在前面的很多教学内容中应该有意识地孕伏，让学生有机会在不同内容的学习中“找感觉”，积累经验，不断地为学生从算术到代数的重要飞跃打基础。

3．在低、中年级孕伏代数思维

这是北京小学杜雪飞老师执教的“找算式中的数朋友”，这是一节二年级“表内除法”单元中的练习课，源于对教材中的一道练习题。

在这节课上，教师设计了一系列根据结果填算式的活动。

学生从算术思维向代数思维过渡需要孕伏，为此各年段的教师都应该善于捕捉恰当的内容，善于寻找恰当的时机，选择恰当的方式，及时训练代数思维，让学生在活动中有所感，有所悟。本课内容的开发，便是抓住的是学生认知中的这个困难点，通过一系列活动使之变得形象，易于学生接受。

可以说，在相当长的时间里，对于很多学生而言“=”更像一个从左向右的单方向箭头（），因为算式总是先知道数据和符号，通过运算得出结果。今天这节练习课中，杜老师将为学生们创造“倒着想”想的机会，把“逆向”思考作为突破口，让“=”在孩子们的头脑中变成“双向”的。这是对等式左右两边“相等”关系的更深入的理解，同时也是孩子们迈向代数思维的重要启蒙。

的确，这是教师在低年级教学中为学生长远发展奠定基础的有益尝试。长期以来，在小学阶段教学简易方程，方程变形即解方程的主要依据是四则运算各部分间的关系。而新课程标准指导下的教材中更强调了“等式性质”的教学，这样设计的意义又是什么呢？

这是一个老师们普遍存在的问题。其实，如果仅以“解方程”为目标的话，也能用四则运算各部分关系及等式性质都是可以的，也就是都能够让学生顺利地找到方程的解，进而解决实际问题。但运用四则运算各部分关系的思路实际上是用算术思路求未知数。这样的教学利用了学生已有的知识，因而易于理解，但是却不易与中学的教学衔接，也不易于学生更好地代数思维的形成。根据《标准》的要求，从小学起就引入等式的基本性质，并以此为基础导出解方程的方法。不仅有利于加强中小学数学教学的衔接，而且有利于学生逻辑思维能力的发展，为今后学生更好地把握方程的实质奠定基础。总的来说，在小学阶段，只要达到能用方程表示简单情境中的等量关系（如3x+2＝5，2x-x＝3），了解方程的作用，了解等式的性质，能用等式的性质解简单的方程，并在这个过程中了解等量关系、方程、等式与方程的解等与方程有关的常识，以及解简单方程的方法。对于方程作为刻画现实情境中数量关系，沟通已知数和未知数的一种数学模型提供了一些素材，留下了初步的印象；进而通过解方程求得未知数的值，对实际问题作出合理解答，初步领会方程的意义。

在教学这部分内容时，教师首先要把握好这部分内容的定位，正确理解它的意义。不能仅仅把“方程”当做知识点，把“解方程”和“列方程解决问题”当做技能，仅仅达成知识目标，心中要装着学生在数学学习中的长远发展，以不同的形式、在不同的年段为学生代数思维的建立创造空间，以丰富而有层次的活动帮助学生顺利地完成认识上的飞跃。总之，教师的心中要装着“知识技能”、“数学思考”、“问题解决”和“情感态度”四维目标。

二、在正、反比例教学中体现函数思想

在六年级的教学内容中有正比例和反比例，这部分内容同样肩负了一次认识上飞跃的重要任务。学生将从大量对“常量”的认识经验中逐步过渡到认识“变量”，这是函数思想渗透的重要契机。

1．正、反比例教学的目标

在课标中，对这部分内容的要求是：

● 在实际情境中理解比及按比例分配的含义，并能解决简单的问题。

● 通过具体情境，认识成正比例的量和成反比例的量。

● 会根据给出的有正比例关系的数据在方格纸上画图，并会根据其中一个

量的值估计另一个量的值。

● 能找出生活中成正比例和成反比例关系量的实例，并进行交流。

从“数与代数”内容的发展来看，本质上可以从两个角度理解：第一，从数的扩充角度，从常量到变量；第二，从关系的角度，从数量关系到等量、不等、变化关系。

2.在教学中渗透函数思想

在有关正反比例的教学中，我们常说要渗透函数思想，但“函数”

并不是小学的学习内容，那么在小学学习正比例和反比例的价值是什么呢？

函数是一种具有普遍意义的数学模型，在分析和解决一些实际问题中有着广泛的应用。函数是“数与代数”的重要内容，也是义务教育阶段学生比较难理解和掌握的数学概念之一，本标准在三个学段中均安排了与函数关联的内容目标，希望学生能够逐渐加深对函数的理解。因此，教材对函数内容的编排应体现螺旋上升的原则，分阶段逐渐深化。

在第二学段中，引入正比例与反比例，它们是一类常用的数量关系，这部分内容的学习是函数思想在小学的体现。在现实中，有许多数量关系可以表示为成正比例的量和成反比例的量，其本质是两个量按一定的比例关系发生变化。

如果一个量增加（减少），另一个量按一定的比例增加（减少），两个量是成正比例的量，

如果一个量增加（减少），另一个量按一定的比例减少（增加），两个量是成反比例的量，如果分别用X和Y表示两个量，前者可以表示成Y=aX(a>0); 后者可以表示成Y=a/X，或XY=a(a>0)。

正比例和反比例的关系本质上是函数关系，小学阶段并不出现函数的概念，是让学生具体的感知两个量之间的关系。一是使学生对数量关系的认识和理解更丰富，二是为第三学段进一步学习正比例函数和反比例函数，以及学习一般的函数知识做准备。教学中应与实际情境紧密联系，用具体的学生可以理解的方式呈现这个内容，引导学生从数量之间关系的角度，两个量之间变化的规律理解和掌握这个内容。

3．图像在正、反比例教学中的价值

学生对“正反比例”的学习，就是从简单的数量关系过渡到对“变化关系”的认识和学习。与以往的教材和教学要求相比，在方格纸上画图是个新的要求，教材中也出现了“正比例”及“反比例”的图像，它

的价值是什么？教师该如何发挥好“图像”的作用，更好地体现和渗透函数思想呢？

我听过一节北京实验一小郭雯砚老师执教的《成正比例的量》，在这节课上郭老师就紧紧抓住了“图像”作为帮助学生认识和理解正比例的重要素材。

郭老师在学生根据表格、算式等熟悉的方式表示出正比例关系之后，引出了“图像”，把它作为新朋友非常隆重介绍给了学生。让学生通过初步的猜想和分析，对图像有初步的感知，为后面深入而细致的探究奠定了基础。

正比例教学是从常量数学到变量数学学习的启蒙阶段；图像教学能够直观地呈现两个变量之间的相依关系，使学生加深对正比例意义的理解。通过此课的教学，可以渗透函数思想，促进中小衔接，能够为学生今后的学习奠定基础。

因为学生有折线统计图的学习基础，描点连线是自然的迁移。因此，在课堂上让学生通过自主探究认识正比例图像是有认知基础的，但同时也会存在困难，例如，该不该从0开始画呢？这个学生在学习正比例图像是普遍存在的问题，这个问题对于学生理解正比例有怎样的意义呢？让我们带着这个问题看看当时课堂上的情况吧。

可以看出，课堂上虽然学生能画出图像，但他们大都是依据画折线统计图时的经验，这其实是错误的。在教学中，郭老师及时抓住了学生生成的问题，逐步进行深入的剖析，使学生明确这条直线是由无数个处在同一条直线上的点形成的。

从刚才的教学片段来看，学生在探究的过程中，虽然会描点连线，甚至能找到变化规律，但是并没能够顺利地有在图像、表格和规律之间建立有机的联系。对于数学的认识还是比较孤立，比较静止的，缺乏运动的观点和变量的意识。这正是函数的核心所在，是引导学生深入理解正比例关系的要害所在，也正是发挥“图像”作用的重要契机。课堂上，郭老师准确而巧妙地捕捉到了这一点，借助直观的课件，帮助学生进一步展开了分析，对图像的补充过程，恰恰是学生对正比例关系认识的完善过程。

函数有三种数学表示方法：表格、关系式和图像，这就是人们通常所说的函数的多重表示。多重表示的方法不仅可以加强概念的理解，也是解决问题的重要策略。图像对于理解变量之间的关系具有十分重要的意义，函数关系用图像来表示，以其直观性有着其他表示方式所不能替代的作用，它是“看见”两种量之间的关系和变化情况的途径之一。学生在现阶段学习正比例图像，是十分困难的，这是他们第一次接触函数图像。在学习的过程中，重在让学生认识图像，感受图像的作用、价值和美，为将来继续学习函数和图像做好心理准备。

看来在课堂上发挥好“图像”的作用，可以有效地帮助学生更加深入地理解概念，感受变化关系，悄然地就实现了对函数思想的感悟。我觉得这一点在郭老师设计的这节课后面的练习中仍有很好的体现。

这幅图像反应的是我们学校给住宿的同学买苹果的情况。给出数据和具体的情境。

给出数据后，你又能从图中发现哪些信息？（12千克苹果48元。）

你怎么看出来的？

生1：从横轴上找到12千克，向上找到直线上对应的点，再向左找到纵轴上的值。

生2：还能看出40元可以买10千克苹果。

生3：还有每千克苹果4元。

学校又买来一些香蕉，哪个更贵呢？

学生觉得两幅图像分开画不太容易观察，利用电脑把两个图像合在一起。

这时，学生都认为香蕉更贵，表示香蕉购买情况的这条直线更陡一些。

为什么直线越陡，价格就越贵呀？

生1：同样的数量，比如都是6千克，从横轴上6千克的位置向上看，香蕉的黄线在苹果的上面，说明香蕉的总价比苹果的多，所以香蕉更贵。

生2：同样的总价，比如都是40元，向右看可以买10千克香蕉或12千克苹果，买的苹果比香蕉多，所以香蕉比苹果贵。

如果还买了一些橙子，我们已经知道橙子的价格比苹果还贵，你觉得这条直线应该画在哪里？(画在香蕉的上面。)

由此可以看出，图像已经成为了学生分析变化关系，理解变化关系，呈现变化关系的重要工具了。的确，图像让抽象的变化关系变得直观，变得让学生有更容易有“感觉”了。

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