自考线性代数（经管类）重点考点

线性代数（经管类）考点逐个击破

第一章 行列式

（一）行列式的定义

行列式是指一个由若干个数排列成同样的行数与列数后所得到的一个式子，它实质上表示把这些数按一定的规则进行运算，其结果为一个确定的数.

1．二阶行列式

由4个数aij(i,j?1,2)得到下列式子：

a11a12a21a22称为一个二阶行列式，其运算规则为

a11a12a21a22?a11a22?a12a21

2．三阶行列式

a11a12a13由9个数aij(i,j?1,2,3)得到下列式子：a21a22a23

a31a32a33称为一个三阶行列式，它如何进行运算呢？教材上有类似于二阶行列式的所谓对角线法，我们采用递归法，为此先要定义行列式中元素的余子式及代数余子式的概念.

3．余子式及代数余子式

a11a12a13设有三阶行列式 D3?a21a22a23

a31a32a33对任何一个元素aij，我们划去它所在的第i行及第j列，剩下的元素按原先次序组成一个二阶行列式，称它为元素aij的余子式，记成Mij

例如 M11?a22a23a32a33i?j，M21?a12a13a32a33，M31?a12a13a22a23

再记 Aij?(?1)Mij ，称Aij为元素aij的代数余子式.

例如 A11?M11，A21??M21，A31?M31 那么 ，三阶行列式D3定义为

a11a12a13D3?a21a22a23?a11A11?a21A21?a31A31a31a32a33简写成D3?

我们把它称为D3按第一列的展开式，经常

?ai?13i1Ai1??(?1)i?1ai1Mi1

i?13 4．n阶行列式

一阶行列式 D1?a11?a11

a11a12?a1nn阶行列式 Dn?a21a22?a2n???an1an2?ann?a11A11?a21A21???an1An1

其中Aij(i,j?1,2,?,n)为元素aij的代数余子式.

5．特殊行列式

a11上三角行列式

a12?a1na22?a2n???00?ann?00?a11a22?ann ?a11a22?ann

0?0a11a21?an1a110?0下三角行列式

a22????an2?ann0?00a22?0对角行列式

????ann?a11a22?ann

（二）行列式的性质

性质1 行列式和它的转置行列式相等，即D?DT

性质2 用数k乘行列式D中某一行（列）的所有元素所得到的行列式等于kD，也就是说，行列式可以按行和列提出公因数.

性质3 互换行列式的任意两行（列），行列式的值改变符号.

推论1 如果行列式中有某两行（列）相同，则此行列式的值等于零.

推论2 如果行列式中某两行（列）的对应元素成比例，则此行列式的值等于零. 性质4 行列式可以按行（列）拆开.

性质5 把行列式D的某一行（列）的所有元素都乘以同一个数以后加到另一行（列）的对应元素上去，所得的行列式仍为D.

定理1（行列式展开定理）

n阶行列式D?aijn等于它的任意一行（列）的各元素与其对应的代数余子式的乘积的和，即

D?ai1Ai1?ai2Ai2???ainAin(i?1,2,?,n)

或D?a1jA1j?a2jA2j???anjAnj(j?1,2,?,n)

前一式称为D按第i行的展开式，后一式称为D按第j列的展开式.

本定理说明，行列式可以按其任意一行或按其任意一列展开来求出它的值.

定理2 n阶行列式D?aij的任意一行（列）各元素与另一行（列）对应元素的代数余子式的乘积之和等于零.

n即ai1Ak1?ai2Ak2???ainAkn?0(i?k)

或a1jA1s?a2jA2s???anjAns?0(j?s)

（三）行列式的计算

行列式的计算主要采用以下两种基本方法：

（1）利用行列式性质，把原行列式化为上三角（或下三角）行列式再求值，此时要注意的是，在互换两行或

两列时，必须在新的行列式的前面乘上（－1），在按行或按列提取公因子k时，必须在新的行列式前面乘上k.

（2）把原行列式按选定的某一行或某一列展开，把行列式的阶数降低，再求出它的值，通常是利用性质在某

一行或某一列中产生很多个“0”元素，再按这一行或这一列展开：

2141 例1 计算行列式 D4?3?12152327025

解：观察到第二列第四行的元素为0，而且第二列第一行的元素是a12?1，利用这个元素可以把这一列其它两个

非零元素化为0，然后按第二列展开.

2141D4?3?12170255312　　列2?5?1列1021412行?1?1行506270250按第二行展开312375?81562按第二列展开?1?50725

52323行?(?2)?1行10?507375abbb 例2 计算行列式 D4?babbbbabbbba

解：方法1 这个行列式的元素含有文字，在计算它的值时，切忌用文字作字母，因为文字可能取0值.要注意观

察其特点，这个行列式的特点是它的每一行元素之和均为a?3b（我们把它称为行和相同行列式），我们可以先把后三列都加到第一列上去，提出第一列的公因子a?3b，再将后三行都减去第一行：

abbbbabbbbabbbba?a?3bbbba?3babba?3bbaba?3bbba1b00b00b00a?b00?(a?3b)1bbb1abb1bab1bba

　　　?(a?3b)a?b0a?b?(a?3b)(a?b)3

方法2 观察到这个行列式每一行元素中有多个b，我们采用“加边法”来计算，即是构造一个与D4 有相同值

的五阶行列式：

abbbD4?babbbbabbbba1bbbb0abbb?0babb0bbab0bbba1行（??1）?2，3，4，行51??1?1?1b000bb0b00

?1a?b000a?b0a?b00a?b这样得到一个“箭形”行列式，如果a?b，则原行列式的值为零，故不妨假设a?b，即a?b?0，把后四列的

1倍加到第一列上，可以把第一列的（－1）化为零. a?b4b1?bbbba?b0a?b0004b??4??00a?b00??1??(a?b)?(a?3b)(a?b)

?a?b?000a?b00000a?b1例3 三阶范德蒙德行列式 V3?x11x221x3?(x2?x1)(x3?x1)(x3?x2)

2x1x2x32（四）克拉默法则

定理1（克拉默法则）设含有n个方程的n元线性方程组为

?a11x1?a12x2???a1nxn?b1,?ax?ax???ax?b,?2112222nn2 ??????????????an1x1?an2x2???annxn?bn如果其系数行列式D?aijn?0，则方程组必有唯一解：xj?DjD,j?1,2,?,n

其中Dj是把D中第j列换成常数项b1,b2,?,bn后得到的行列式. 把这个法则应用于齐次线性方程组，则有

定理2 设有含n个方程的n元齐次线性方程组

?a11x1?a12x2???a1nxn?0,?ax?ax???ax?0,?2112222nn ??????????????an1x1?an2x2???annxn?0如果其系数行列式D?0，则该方程组只有零解：x1?x2???xn?0

换句话说，若齐次线性方程组有非零解，则必有D?0，在教材第二章中，将要证明，n个方程的n元齐次线性

方程组有非零解的充分必要条件是系数行列式等于零.

第二章 矩阵

（一）矩阵的定义

1．矩阵的概念

由m?n个数aij(i?1,2,?,m;j?1,2,?,n)排成的一个m行n列的数表

?a11a12?a1n????a21a22?a2n? A????????a??m1am2?amn?称为一个m行n列矩阵或m?n矩阵

当m?n时，称A?aij??n?n为n阶矩阵或n阶方阵

元素全为零的矩阵称为零矩阵，用Om?n或O表示

2．3个常用的特殊方阵：

?a110?0???0a?0??22①n阶对角矩阵是指形如 A???的矩阵 ?????00?a?nn???10?0????01?0?②n阶单位方阵是指形如 En??的矩阵

??????00?1???

?a11a12?a1n??a110?0??????0a22?a2n??a21a22?0?③n阶三角矩阵是指形如 ?的矩阵 ,????????????00?a??aa?a?n2nn?nn??n1? 3．矩阵与行列式的差异

矩阵仅是一个数表，而n阶行列式的最后结果为一个数，因而矩阵与行列式是两个完全不同的概念，只有一阶方阵是一个数，而且行列式记号“*”与矩阵记号“?*?”也不同，不能用错.

（二）矩阵的运算

1．矩阵的同型与相等

设有矩阵A?(aij)m?n，B?(bij)k??，若m?k，n??，则说A与B是同型矩阵.若A与B同型,且对应元素相等，即aij?bij，则称矩阵A与B相等，记为A?B

因而只有当两个矩阵从型号到元素全一样的矩阵，才能说相等.

2．矩阵的加、减法

设A?(aij)m?n，B?(bij)m?n是两个同型矩阵则规定

A?B?(aij?bij)m?n A?B?(aij?bij)m?n

注意：只有A与B为同型矩阵，它们才可以相加或相减.

由于矩阵的相加体现为元素的相加，因而与普通数的加法运算有相同的运算律.

3．数乘运算

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