2011高考二轮复习文科数学专题八 1第一讲函数与方程思想

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专题八思想方法

第一讲函数与方程思想

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考点整合

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函数思想考纲点击对数学思想方法的考查是对数学知识在更高层次上的抽象和概括的考查，考查时必须要与数学知识相结合，通过对数学的考查，反应考生对数学思想的掌握程度.

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基础梳理一般地，函数思想就是构造函数从而利用函数的图象与性质解题，经常利用的性质是：单调性、奇偶性、周期性、最大值和最小值、图象变换等.在解题中，善于挖掘题目的隐含条件，构造出函数解析式和妙用函数的性质，是应用函数思想的关键，它广泛地应用于方程、不等式、数列等问题.

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整合训练 1.(1)(2009年广州模拟)方程m+ 1-x =x有解，则m的最大值为( ) A.1 B.0 C.-1 D.-2 (2)方程ax2+2x+1=0至少有一个负根的充要条件是 ( ) A.0<a≤1 B.a<1 C.a≤1 D.a<0或0<a≤1 答案：答案：(1)A (2)C

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方程思想考纲点击 1.方程的思想就是将所求的量(或与所求的量相关的量) 设成未知数，用它表示问题中的其他各量，根据题中的已知条件，列出方程(组),通过解方程或对方程进行研究，使问题得到解决. 2.方程的思想与函数的思想密切相关：方程f(x)=0的解就是函数y=f(x)的图象与x轴的交点的横坐标；函数y= f(x)也可以看作二元方程f(x)-y=0.通过方程进行研究，方程f(x)=a有解，当且仅当a属于函数f(x)的值域；函数与方程的这种相互转化关系十分重要.

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整合训练 2.(1)把长为12 cm的细铁丝截成两段，各自围成一个正三角形，那么这两个正三角形面积之和的最小值是 ( )3 3 A. 2 cm2 C.3 2 cm2 B.4 cm2 D.2 3 cm2

(2)对于满足0≤p≤4的所有实数p,使不等式x2+px> 4x+p-3成立的x的取值范围是________. 解析：解析：(1)设截成两段分别为x,y, 则x+y=12,即y=12-x(0<x<12), x y 两个正三角形的边长分别为 3,3,

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高考·二轮数学文科) 高考二轮·数学(文科) 二轮数学(3 x 3 y 3 3 2 2 ∴S= 4 3 2+ 4 3 2= 36 (x2+y2)= 36 [x +(12-x) ] 3 = 18 [(x-6)2+36]. ∴当 x=6 时，Smin=2 3.

(2)设f(p)=p(x-1)+x2-4x+3,f(p)为关于p的一次函数，要

使f(p)>0对p∈[0,4]恒成立，则 f(0)=x2-4x+3>0, 2 解得x>3或x<-1. f(4)=x -1>0.

答案：答案：(1)D

(2)x>3或x<-1

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函数与方程的思想在解题中的应用考纲点击对数学能力的考查，强调“以能力立意”,就是以数学知识为载体，从问题入手，把握学科的整体意义，用统一的数学观点组织材料，侧重体现对知识的理解和应用，尤其是综合和灵活的应用，以此来检测考生将知识迁移到不同情境中去的能力，从而检测出考生个体理性思维的广度和深度以及进一步学习的潜能.

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基础梳理 1.函数思想在解题中的应用主要表现在两个方面： (1)借助有关初等函数的性质，解有关求值、解(证)不等式、解方程以及讨论参数的取值范围等问题； (2)在研究问题中通过建立函数关系式或构造中间函数，把研究的问题化为讨论函数的有关性质，达到化难为易，化繁为简的目的. 2.方程思想在解题中的应用主要表现在四个方面： (1)解方程或解不等式； (2)带参变数的方程或不等式的讨论，常涉及一元二次方程的判别式、根与系数的关系、区间根、区间上恒成立等知识应用； (3)需要转化为方程的讨论，如曲线的位置关系等； (4)构造方程或不等式求解问题.

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整合训练1-ax 1 3.设 a 为非零实数，函数 y= (x∈R,且 x≠- a)的反函数是( 1+ax A.y= 1-ax 1 x∈R,且x≠-a 1+ax )

1+ax 1 x∈R,且x≠-a B.y= 1-ax 1+x C.y= (x∈R,且 x≠1) a(1-x) 1-x D.y= (x∈R,且 x≠-1) a(1+x)

答案：答案：D

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运用函数与方程思想解决字母或式子的求值或取值范围问题已知a,b,c∈R,a+b+c=0,a+bc-1=0,求a的取 R 值范围. 思路点拨：思路点拨：本题可以根据题设条件将b,c的和与积用a 表示，构造一元二次方程，然后利用一元二次方程有解，其判别式Δ≥0,再构建a的不等式求解.或根据题设条件将a 表示成c的函数转化为求函数的值域问题求解. 解析：解析：法一(方程思想):因为b+c=-a, bc=1-a. 所以b,c是方程x2+ax+1-a=0的两根，所以Δ=a2-4(1-a)≥0,即Δ=a2+4a-4≥0,

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解得{a|a≥-2+2 2或 a≤-2-2 2}. a+b+c=

0 法二(函数思想):由已知 , a+bc-1=0

得b+c-bc+1=0, 如果c=1,则b+1-b+1=0,即2=0, 不成立，因此c≠1,c+1 1+c 所以 b= ,a= -c. c-1 1-c c2+1 1+c 令 f(c)= -c= , 1-c 1-c -c2+2c+1 所以 f′(c)= . (1-c)2

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令f′(c)=0,则c=1± 2. 当c<1- 2时，f′(c)<0, 函数f(c)在区间(-∞,1- 2)上是减涵数；当1- 2<c<1时，f′(c)>0, 函数f(c)在区间(1- 2,1)上是增函数；当1<c<1+ 2时，f′(c)>0, 函数f(c)在区间(1,1+ 2)上是增函数，当c>1+ 2,f′(c)<0,函数f(c)在区间(1+ 2,+∞)上是减函数. c2+1 函数f(c)= 的图象如图所示. 1-c

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所以f(c)≥f(1- 2)=-2+2 2或 f(c)≤f(1+ 2)=-2-2 2, 所以a的范围是{a|a≥-2+2 2或a≤-2-2 2}. 方法三(函数思想):同法二， 1+c 2 可令f(c)= -c=-2+(1-c)+ , 1-c 1-c 当1-c>0时， f(c)≥-2+2 当1-c<0时， f(c)≤-2-2 2 (c-1) =-2-2 2. c-1 2 (1-c) =-2+2 2; 1-c

所以a的范围是{a|a≥-2+2 2或a≤-2-2 2}.

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跟踪训练 1.若a、b是正数，且满足ab=a+b+3,求ab的取值范围.解析：法一：(看成函数的值域) ∵ab=a+b+3,∴a≠1, a+3 a+3 ∴b= ,而b>0,∴ >0, a-1 a-1 即a>1或a<-3. a 1 a 3. 又a>0,∴a>1,故a-1>0. a+3 (a-1)2+5(a-1)+4 ∴ab=a· = a-1 a-1 =(a-1)+ 4 4 +5≥9.当且仅当a-1= , a-1 a-1 4 +5是关于a的单调增函数， a-1

即a=3时取等号. 又a>3时，(a-1)+

∴ab的取值范围是[9,+∞).

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法二：(看成不等式的解集) ∵a,b为正数，∴a+b≥2 ab, 又ab=a+b+3,∴ab≥2 ab+3. 即( ab)2-2 ab-3≥0, 解得 ab≥3或 ab≤-1(舍去), ∴ab≥9. 法三：若ab=t,则a+b=t-3, ∴a,b可看成方程x2-(t-3)x+t=0的两个正根.

=(t-3) -4t≥0 从而有 a+b=t-3>0 ab=t>0 t≤1或t≥9 即 t>3 t>0

解得t≥9,即ab≥9.

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运用函数与方程思想解决方程问题如果方程cos2x-sin x+a=0在 0,2 上有解，求a的取值范围. 思路点拨：思路点拨：可分离变量为a=-cos2x+sin x,转化为确定的相关函数的值域. 解析：解析：法一：把方程变形为a=-cos2x+sin x.π

x∈ 0,π . 设f(x)=-cos x+sin x 2 2

显