【全效学习】2022届中考数学：专题提升(十四) 利用解直角三角形

专题提升(十四)利用解直角三角形测量物体高度

或宽度

【经典母题】

如图Z14－1，测得两楼之间的距离为32.6 m，从楼顶点

A观测点D的俯角为35°12′，点C的俯角为43°24′，

求这两幢楼的高度．(精确到0.1 m)

解：略．

【思想方法】利用解直角三角形测物高是常见的考题，

通过作垂线将实际问题转化为解直角三角形的问题，然后利用解直角三角形的知识来解决，这是解此类问题的常规思路．

【中考变形】

1．[2016·长沙]如图Z14－2，热气球的探测器显示，从热气球A处看一栋楼顶部B处的仰角为30°，看这栋楼底部C处的俯角为60°，热气球A处与楼的水平距离为120 m，则这栋楼的高度为

(A)

A．160 3 m

B．120 3 m

C．300 m

D．160 2 m

2．[2017·内江]如图Z14－3，某人为了测量小山顶上的塔ED的高，他在山下的点A处测得塔尖点

D的仰角为45°，再沿AC方向前进60 m到达

山脚点B，测得塔尖点D的仰角为60°，塔底

点E的仰角为30°，求塔ED的高度．

(结果保留根号)

【解析】先求出∠DBE＝30°，∠BDE＝30

°，图Z14－2

图Z14－3

图Z14－1

得出BE＝DE，设EC＝x，则BE＝2x，DE＝2x，DC＝3x，BC＝3x，再根据∠DAC＝45°，可得AC＝CD，列出方程求出x的值，即可求出塔ED的高度．解：由题意，得∠DBC＝60°，∠EBC＝30°，

∴∠DBE＝∠DBC－∠EBC＝60°－30°＝30°.

又∵∠BCD＝90°，∴∠BDC＝90°－∠DBC＝90°－60°＝30°.

∴∠DBE＝∠BDE.∴BE＝DE.

设EC＝x，则DE＝BE＝2EC＝2x，DC＝EC＋DE＝3x，

BC＝BE2－EC2＝3x.

∵∠DAC＝45°，∠DCA＝90°，AB＝60，

∴△ACD为等腰直角三角形，∴AC＝DC.

∴3x＋60＝3x，解得x＝30＋10 3.DE＝2x＝60＋20 3，

答：塔高约为(60＋20 3) m.

3．[2017·菏泽]如图Z14－4，某小区1号楼与11号楼隔河相望，李明家住在1号楼，他很想知道11号楼的高度，于是他做了一些测量，他先在B点测得C 点的仰角为60°，然后到42 m高的楼顶A处，测得C点的仰角为30°，请你帮李明计算11号楼的高度CD.

图Z14－4中考变形3答图

【解析】过点A作AE⊥CD于E，分别在Rt△BCD和Rt△ACE中，利用锐角三角函数用BD可以分别表示CE，CD的长，然后根据CD－CE＝AB，即可求得CD长．

解：如答图，过点A作AE⊥CD于E，

在Rt△BCD中，tan∠CBD＝CD BD，

∴CD＝BD·tan60°＝3BD，

在Rt △ACE 中，tan ∠CAE ＝CE BD ，

∴CE ＝BD ·tan30°＝33BD ，

∴AB ＝CD －CE ，即3BD －33BD ＝42，233BD ＝42，解得BD ＝21 3，

∴CD ＝BD ·tan60°＝ 3BD ＝63 m.

答：11号楼的高度CD 为63 m.

4．小红将笔记本电脑水平放置在桌子上，显示屏OB 与底板OA 所在水平线的夹角为120°时，感觉最舒适(如图Z14－5①)，侧面示意图为图②，使用时为了散热，她在底板下垫入散热架ACO ′后，电脑转到AO ′B ′位置(如图③)，侧面示意图为图④.已知OA ＝OB ＝24 cm ，O ′C ⊥OA 于点

C ，O ′C ＝12 cm.

图Z14－5

(1)求∠CAO ′的度数；

(2)显示屏的顶部B ′比原来升高了多少厘米？

(3)如图④，垫入散热架后，要使显示屏O ′B ′与水平线的夹角仍保持120°，则显示屏O ′B ′应绕点O ′按顺时针方向旋转多少度？

解：(1)∵O ′C ⊥AC ，O ′C ＝12 cm ，O ′A ＝OA ＝24 cm ，

∴sin ∠CAO ′＝O ′C O ′A ＝1224＝12

， ∴∠CAO ′＝30°，

(2)如答图，过点B 作BD ⊥AC ，交AC 的延长线于点D ，

∵∠BOD ＝180°－∠AOB ＝60°，

∴BD ＝24·sin60°＝123(cm)，

又∵B ′C ＝BO ＋O ′C ＝24＋12＝36(cm)，

∴B ′C －BD ＝(36

－123)cm ； 中考变形4答图

∴显示屏的顶部B ′比原来升高了(36－123)cm ；

(3)120°－90°＝30°，

∴显示屏O ′B ′应绕点O ′按顺时针方向旋转30°.

5．[2017·岳阳]某太阳能热水器的横截面示意图如图

Z14－6所示，已知真空热水管AB 与支架CD 所

在直线相交于点O ，且OB ＝OD .支架CD 与水平

线AE 垂直，∠BAC ＝∠CDE ＝30°，DE ＝80 cm ，

AC ＝165 cm.

(1)求支架CD 的长；

(2)求真空热水管AB 的长．(结果均保留根号)

解：(1)在Rt △CDE 中，∠CDE ＝30°，DE ＝80 cm ，∴cos30°＝CD 80 ＝32，

解得CD ＝40 3 cm ；

(2)在Rt △OAC 中，∠BAC ＝30°，AC ＝165 cm ，∴tan30°＝OC 165＝33，

解得OC ＝55 3 cm ，

∴OA ＝2OC ＝1103(cm)，OB ＝OD ＝OC －CD ＝553－403＝153(cm)，AB ＝OA －OB ＝1103－153＝953(cm)．

6．[2016·泸州]如图Z14－7，为了测量出楼房AC 的高度，从距离楼底C 处60 3 m 的点D (点D 与楼底C 在同一水平面上)出发，沿斜面坡比为i ＝1∶3的斜坡DB 前进30 m 到达点B ，在点B 处测得楼顶A 的仰角为53°，求楼房AC

的高度．(参考数据：sin53°≈0.8，cos53°≈0.6，tan53°≈4

3，结果保留根

号

)

图Z14－7

中考变形6答图 图Z14－6

解：如答图，过点B 作BN ⊥CD 于点N ，BM ⊥AC 于点M .

在Rt △BDN 中，BD ＝30 m ，BN ∶ND ＝1∶3，∴∠D ＝30°.

∴BN ＝15 m ，DN ＝15 3 m ，

∵∠C ＝∠CMB ＝∠CNB ＝90°，

∴四边形CMBN 是矩形，

∴CM ＝BN ＝15 m ，BM ＝CN ＝603－153＝453(m)，

在Rt △ABM 中，tan ∠ABM ＝AM BM ≈43，

∴AM ＝60 3 m ，

∴AC ＝AM ＋CM ＝()15＋603 m.

7．[2016·海南]如图Z14－8，在大楼AB 的正前方有一斜坡CD ，CD ＝4 m ，坡角∠DCE ＝30°，小红在斜坡下的点C 处测得楼顶B 的仰角为60°，在斜坡上的点D 处测得楼顶B 的仰角为45°，其中点A ，C ，E 在同一直线上．

(1)求斜坡CD 的高度DE ；

(2)求大楼AB 的高度．(结果保留根号)

图Z14－8 中考变形7答题 解：(1)在Rt △DCE 中，CD ＝4 m ，∠DCE ＝30°，∠DEC ＝90°， ∴DE ＝12CD ＝2(m)；

(2)如答图，过点D 作DF ⊥AB ，交AB 于点F .

∵∠BFD ＝90°，∠BDF ＝45°，

∴∠FBD ＝45°，即△BFD 为等腰直角三角形，

设BF ＝DF ＝x (m)，

∵∠DEC ＝∠EAF ＝∠AFD ＝90°，

∴四边形DEAF 为矩形，

∴AF ＝DE ＝2 m ，即AB ＝(x ＋2)m ，

在Rt △ABC 中，∠ABC ＝30°，

∴BC ＝AB cos30°＝x ＋232

＝2x ＋43

＝??????3（2x ＋4）3 m ， BD ＝2BF ＝2x m ，DC ＝4 m ，

∵∠DCE ＝30°，∠ACB ＝60°，

∴∠DCB ＝90°，

在Rt △BCD 中，根据勾股定理，得2x 2＝（2x ＋4）23＋16，解得x ＝4＋43或4－43(舍去)，

∴AB ＝(6＋43)m.

【中考预测】

某课桌生产厂家研究发现，倾斜12°～24°的桌面有利于学生保持躯体自然姿势．根据这一研究，厂家决定将水平桌面做成可调节角度的桌面．新桌面的设计图如图Z14－9①，AB 可绕点A 旋转，在点C 处安装一根可旋转的支撑臂CD ，AC ＝30 cm.

(1)如图②，当∠BAC ＝24°时，CD ⊥AB ，求支撑臂CD 的长；

(2)如图③，当∠BAC ＝12°时，求AD 的长．(结果保留根号，

参考数据：sin24°≈0.40，cos24°≈0.91，tan24°≈0.46，sin12°≈0.20)

图Z14－9

解：(1)∵∠BAC ＝24°，CD ⊥AB ，

∴sin24°＝ CD AC ，

∴CD ＝AC sin24°≈30×0.40＝12(cm)；

∴支撑臂CD 的长为12 cm ；

(2)如答图，过点C 作CE ⊥AB 于点E ，

当∠BAC ＝12°时，sin12°＝ EC AC ＝EC 30，

∴CE ≈30×0.20＝6，

∵CD ＝12，∴DE ＝6 3，

∴AE ＝302－62＝12 6 cm ，

∴AD 的长为(126＋63)cm 或(126－63)cm.

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/9rrl.html