《概率论与数理统计》分章复习题

1 第一章 随机事件与概率

一、 选择题

1、以A 表示甲种产品畅销，乙种产品滞销，则A 为( ).

(A) 甲种产品滞销，乙种产品畅销 (B) 甲、乙产品均畅销

(C) 甲种产品滞销 (D) 甲产品滞销或乙产品畅销

2、设A 、B 、C 为三个事件，则A 、B 、C 中至少有一个发生的事件可以表示为( ).

(A)ABC (B) A B C ?? (C) A B C ?? (D) ABC

3、已知事件B A ,满足A B =Ω(其中Ω是样本空间),则下列式( )是错的. (A) B A = （B ） Φ=B A (C) B A ? （D ） A B ?

4、设A 、B 、C 为三个事件，则A 、B 、C 中至少有一个不发生的事件可以表示为( ).

(A)ABC （B ）ABC (C) A B C ?? （D ） ABC

5、假设事件,A B 满足(|)1P B A =，则( ).

(A) A 是必然事件 (B) (|)0P B A = (C)A B ? (D)A B ?

6、设()0P AB =, 则有( ).

(A) A 和B 不相容 (B) A 和B 独立 (C) P(A)=0或P(B)=0 (D) P(A-B)=P(A)

7、设A 和B 是任意两个概率不为零的互不相容事件，则下列结论中肯定正确的是（ ）.

（A ）A 与B 不相容 （B ）A 与B 相容

（C ）()()()P AB P A P B = （D ）()()P A B P A -=

8、设A B ?，则下面正确的等式是( ). (A) )(1)(A P AB P -= (B) )()()(A P B P A B P -=-

(C) )()|(B P A B P = (D) )()|(A P B A P =

9、事件,A B 为对立事件，则下列式子不成立的是( ).

(A)()0P AB = （B ）()0P AB = (C)()1P A B ?= （D ） ()1P A B ?=

10、对于任意两个事件,A B ，下列式子成立的是( ).

(A) ()()()P A B P A P B -=- （B ） ()()()()P A B P A P B P AB -=-+

2 (C) ()()()P A B P A P AB -=- （D ） ()()()P A B P A P AB -=+

11、设事件B A ,满足1)(=B A P ， 则有（ ）.

（A ）A 是必然事件 （B ）B 是必然事件

（C ）A B φ?=(空集) （D ）)()(B P A P ≥

12、设,A B 为两随机事件，且B A ?，则下列式子正确的是（ ）.

（A ）()()P A B P A ?=; （B ）()P(A);P AB =

（C ）(|A)P(B);P B = （D ）(A)P B -=()P(A)P B -

13、设,A B 为任意两个事件，0)(,>?B P B A ，则下式成立的为（ ）.

（A ）B)|()(A P A P < （B ）B)|()(A P A P ≤

（C ）B)|()(A P A P > （D ）B)|()(A P A P ≥

14、设A 和B 相互独立，()0.6P A =，()0.4P B =，则()P A B =（ ）

（A ）0.4 （B ）0.6 （C ）0.24 （D ）0.5

15、设 (),(),(),P A c P B b P A B a ==?= 则 ()P AB 为 ( ).

(A) a b - （B ） c b - (C) (1)a b - （D ） b a -

16、设A ,B 互不相容，且()0,()0P A P B >>,则必有（ ）. (A) 0)(>A B P （B ）)()(A P B A P = (C) )()()(B P A P AB P = （D ） 0)(=B A P

17、设,A B 相互独立，且()0.82P A B ?=,()0.3P B =，则()P A =（ ）。

(A) 0.16 （B ）0.36 (C) 0.4 （D ）0.6

18、已知()0.5P A =，()0.4P B =，()0.6P A B ?=，则()P A B =（ ）。

(A) 0.2 （B ）0.45 (C) 0.6 （D ）0.75

19、已知,()0.2,()0.3A B P A P B ?==，则()P BA =( ).

(A) 0.3 （B ）0.2 (C) 0.1 （D ）0.4

20、已知 ()0.4,()0.6,(|)0.5,P A P B P B A === 则 ()P A B ?=( ).

3 (A) 0.9 （B ） 0.8 (C) 0.7 （D ） 0.6

21、掷一枚钱币，反复掷 4 次，则恰有 1 次反面出现的概率是 ( ).

(A) 1/2 （B ） 1/4 (C) 1/6 （D ） 1/8

22、一学生毫无准备地参加一项测验,其中有5道是非题,他随机地选择 ”是” 和 ”非” 作答,则该生至少答对一题的概率为( ). (A)321 （B ） 325 (C) 32

31 （D ）51 23、掷一枚质地均匀的骰子，设A 为“出现奇数点”，B 为“出现1点”，则A)|P(B =( ).

(A) 1/6 （B ） 1/4 (C) 1/3 （D ） 1/2

24、一袋中有6个黑球，4个白球. 有放回地从中随机抽取3个球，则3个球同色的概率是

( ).

(A) 0.216 （B ）0.064 (C) 0.28 （D ）0.16

25、随机扔二颗骰子，已知点数之和为８，则二颗骰子的点数都是奇数的概率为（ ）.

（A ） 52 （B ）12 （C ）121 （D ） 3

1 26、随机扔二颗骰子，已知点数之和为８，则二颗骰子的点数都是偶数的概率为（ ）。 （A ）

35 （B ）12 （C ）121 （D ） 31 27、掷一枚质地均匀的骰子，设A 为“出现偶数点”，B 为“出现两点”，则

)(A B P =( ).

(A) 1/6 （B ） 1/4 (C) 1/3 （D ） 1/2

28、设甲乙两人独立射击同一目标，他们击中目标的概率分别为 0.9和0.8，则目标被击中的概率是（ ）.

(A) 0.9 （B ） 0.98 (C) 0.72 （D ） 0.8

29、袋中有6个乒乓球，其中2个黄的，4个白的，现从中任取2球(不放回抽样)，则取得2只白球的概率是（ ）.

(A) 1/5 （B ） 2/5 (C)3/5 （D ）4/5

30、10箱产品中有8箱次品率为0.1,2箱次品率为0.2,从这批产品中任取一件为次品的概率是（ ）.

(A) 0.3 （B ） 0.12 (C) 0.15 （D ） 0.28

31、袋中有50个乒乓球，其中20个黄的，30个白的，现在两个人不放回地依次从袋中随机各取一球,则第二人在第一次就取到黄球的概率是 （ ）

（A ）1/5 （B ）2/5 （C ）3/5 （D ）4/5

32、一部六卷选集，按任意顺序放到书架上，则第三卷和第四卷分别在两端的概率是 ( ).

4 (A) 1/10 （B ） 1/12 (C) 1/1

5 （D ） 1/18

33、甲袋中有4只红球，6只白球；乙袋中有6只红球，10只白球.现从两袋中各取1球，则2球颜色相同的概率是( ). (A) 640 (B) 1540 (C) 1940 (D) 2140

34、设在10个同一型号的元件中有7个一等品，从这些元件中不放回地连续取2次，每次取1个元件.若第1次取得一等品时，第2次取得一等品的概率是( ). (A) 710 (B) 610 (C) 69 (D) 79

35、在编号为1,2,

,n 的n 张赠券中采用不放回方式抽签，则在第k 次(1)k n ≤≤抽到1号赠券的概率是( ). (A) 1n k + (B) 11n k -+ (C) 1n (D) 11

n k ++ 36、某人花钱买了C B A 、、三种不同的奖券各一张.已知各种奖券中奖是相互独立的,中奖的概率分别为,02.0)(,01.0)(,03.0)(===C P B P A P 如果只要有一种奖券中奖此人就一定赚钱,则此人赚钱的概率约为 ( )

(A) 0.05 （B ） 0.06 (C) 0.07 （D ） 0.08

37、设N 件产品中有n 件是合格品，从这N 件产品中任取2件，问其中有一件为不合格品，另一件为合格品的概率是（ ）。 (A)121

n N n --- （B ）()(1)n N n N N -- (C)

2()n N n N - （D ）12()n N n -- 二、 填空题

1、设A ,B 是两个事件，则A ,B 中必有一个发生应表示为 .

2、设,A B 为两相互独立的事件，()0.6,()0.4P A B P A ?==，则()P B =_______.

3、已知111(),(|),(|)432

P A P B A P A B ===，则()P A B ?=_______. 4、已知8.0)()()(321===A P A P A P ，且321,,A A A 相互独立,则=??)(321A A A P ____.

5、随机事件B A ,相互独立，且()2.0)(==B P A P ，则A 、B 都不发生的概率为_______.

5 6、已知5.0)(=A P ,6.0)(=B P 及3

2)(=

B A P ,则=)(B A P ． 7、 设两个相互独立的事件B A ,都不发生的概率为91，A 发生B 不发生的概率与B 发生A 不发生的概率相等，则()A P ．

8、已知5.0)(=A P ,6.0)(=B P 及8.0)(=A B P ,则=)(B A P _________ .

9、已知 ()0.8,()0.5,P A P A B =-= 则 ()P AB =________________.

10、设,A B 互不相容，且(),()P A p P B q ==；则()P AB =_______.

11、设事件,A B 及A B ?的概率分别为0.4,0.3,0.5，则()P AB =______.

12、已知事件B A ,互不相容，且()()6.0,3.0==B A P A P ，则()B P ＝ ．

13、设事件B A ,相互独立，()()2.0,4.0==B P A P ，则()

=?B A P ________． 14、已知,A B 两个事件满足()()P AB P AB =，且()P A p =，则()P B =_______.

15、袋中有红、黄、白球各一个,每次任取一个,有放回的抽三次,则颜色全不同的概率为

__________.

16、 一道单项选择题同时列出5个答案，一个考生可能真正理解而选对答案，也可能乱猜

一个。假设他知道正确答案的概率为13，乱猜对答案的概率为15

。如果已知他选对了，则他确实知道正确答案的概率为 ．

17、设在一次试验中，A 发生的概率为p ，现进行5次独立试验，则A 至少发生一次的概

率为 .

18、同时抛掷四颗均匀的骰子，则四颗骰子点数全不相同的概率为 .

19、有两只口袋，甲带中装有3只白球，2只黑球，乙袋中装有2只白球，5只黑球，任选

一袋，并从中任取1只球，此球为黑球的概率为______.

20、三台机器相互独立运转，设第一、二、三台机器不发生故障的概率依次为0.9,0.8,0.7，

则这三台机器中至少有一台发生故障的概率_______.

21、某人射击的命中率为4.0，独立射击10次，则至少击中1次的概率为_______.

6 22、甲、乙两人独立地对同一目标射击一次，其命中率分别为 0.8 和 0.5，现已知目标被命中，则它是甲射中的概率为________________.

23、甲,乙,丙三人独立射击,中靶的概率分别为

21,32和43,他们同时开枪并有两发中靶,则是甲脱靶的概率为_________.

24、一批电子元件共有100个，次品率为0.05. 连续两次不放回地从中任取一个，则第二

次才取到正品的概率为 .

25、某人射击的命中率为3.0，独立射击10次，则至多击中2次的概率为 。

26、 袋中有红、黄、白球各一个，每次任取一个，有放回地取两次，则两次取到的球颜色不相同的概率为 。

27、袋中有红、黄、白球各一个，每次任取一个，有放回地取三次，则三次取到的球全为红球的概率为 .

28、一袋中共有6个黑球和3个白球．今从中依次无放回地抽取两次，则第2次抽取出的是白球的概率为 .

29、将数字1,2,3,4,5写在5张卡片上，任取3张排成3位数，则它是奇数的概率为______.

30、一盒产品中有a 只正品，b 只次品，不放回地任取两次，第二次取到正品的概率为 _______.

31、一盒产品中有a 只正品, b 只次品，有放回地任取两次，第二次取到正品的概率为 _______.

32、一批产品共有10件正品和2件次品，任意抽取两次，每次抽一件，抽出后不放回，则第二次抽出的是次品的概率为_______.

33、袋中有10个球，其中6个是红球，现不放回地从中任取3球，则所取的球中有2个是红球的概率为_________．

34、设袋中装有3只白球、5只红球，在袋中取球两次，每次取1只，作不放回抽样，则取到2只都是红球的概率为____________。

三、 解答题

1、设两两相互独立的三事件,,A B C 满足条件：,()()()ABC P A P B P C =?==，且已知9()16

P A B C ??=，求()P A . 2、设事件A 与B 相互独立，两事件中只有A 发生及只有B 发生的概率都是

14，试求()P A

P B.

及()

3、一口袋中有4个红球及6个白球。每次从这袋中任取一球，取后放回，设每次取球时各个球被取到的概率相同。求：（1）前两次均取得红球的概率；（2）第n次才取得红球的概率；

4、甲,乙两人投篮,投中的概率分别为0.6和0.7,今各投3次.求二人投中的次数相等的概率.

5、假设每个人在一周七天中每天等可能出生, 现对一个三人学习小组考虑生日问题:

(1) 求三个人中恰有二人的生日在星期天的概率；

(2) 求三个人中至多有一人的生日在星期天的概率；

(3) 求三个人的生日不都在星期天的概率.

6、一袋内有10个大小相同的球，其中6个白球，4个黑球.现从中任取2球，求 (1)取出的2球恰好是1黑1白球的概率；(2)取出的2球中至少有1个黑球的概率.

7、一袋内有10个大小相同的球，其中6个白球，4个黑球.现从中任取2球，求 (1)取出的2球恰好是1黑1白球的概率；(2)取出的2球中至少有1个白球的概率.

8、设袋中装有5只白球、3只红球，在袋中取球两次，每次取1只，试就下列两种情况求2

只都是红球的概率。(1) 作不放回抽取；（2）作有放回抽取。

9、袋中有 12 个乒乓球，其中 9 只是没有用过的新球，第一次比赛时任取 3 只使用，用

毕放回. 第二次比赛时也任取 3 只球，求此 3 只球都没有用过的概率.

10、甲、乙、丙3位同学同时独立参加《概率论与数理统计》考试，不及格的概率分别为0.4,0.3,0.5.

（1）求恰有两位同学不及格的概率；

（2）如果已经知道这3位同学中有2位不及格，求其中一位是同学乙的概率.

11、已知一批产品中96 %是合格品，检查产品时，一合格品被误认为是次品的概率是0.02；一次品被误认为是合格品的概率是0.05. 求在被检查后认为是合格品的产品确实是合格品的概率.

12、设在一群男、女人数相等的人群中，已知6%的男人和0.2%的女人患有色盲。今从该

人群中随机选择一人，试问：（1）此人患有色盲的概率是多少？（2）如果此人患有色盲，那么他是男性的概率是多少？

7

8 13、某车间生产了同样规格的6箱产品，其中有3箱，2箱和1箱分别是由甲、乙、丙3个车床生产的，且3个车床的次品率依次为

111,,101520，现从这6箱中任选一箱，再从选出的一箱中任取一件，试计算：

(1)取得的一件是次品的概率；(2)若已知取得的一件是次品，试求所取得的产品是由丙车床生产的概率.

14、某车间生产了同样规格的10箱产品，其中有5箱、3箱和2箱分别是甲、乙、丙3个车床生产的，且3个车床的次品率依次为11,1015和120

，现从这10箱中任选一箱，再从选出的一箱中任取一件，若已知取得的此件产品是次品，是求该次品是由乙床生产的概率。

15、某仓库有同样规格的产品12箱,其中甲厂生产6箱产品,乙厂生产4箱产品,丙厂生产2箱产品.三个厂次品率依次为,18

1,141,101现从12箱中任取一箱,再从取得的一箱中任意取出一件产品,求取得的一件产品是正品的概率？

16、仓库中有十箱同样规格的产品，已知其中有五箱、三箱、二箱依次为甲、乙、丙厂生产的，且甲厂、乙厂、丙厂生产的这种产品的次品率依次为1/10,1/15,1/20.从这十箱产品中任取一件产品，求取得正品的概率.

17、某厂有甲、乙、丙三个车间生产同一种产品，产量分别占总产量的20%，30%，50%，次品率依次为0.01，0.015，0.02，现将三个车间生产的产品混合在一起，求随机取一个产品为次品的概率为多少？

18、设有来自三个地区的各10名，15名和25名考生的报名表，其中女生的报名表分别为3份，7份和5份.现随机地取一个地区的报名表，从中任意抽取一份.(1)求抽到的一份是女生表的概率；(2)已知抽到的一份是女生表，求该女生表来自第一个地区的概率.

19、有朋友自远方来，他坐火车、坐船、坐汽车、坐飞机来的概率分别是0.3,0.2,0.1,0.4.若坐火车来迟到的概率是14；坐船来迟到的概率是13；坐汽车来迟到的概率是112；坐飞机来，则不会迟到.实际上他迟到了，推测他坐火车来的可能性的大小？

四、 综合题

1、已知111(),(),(),432

P A P B A P A B ===求()P A B ?

9 2、假设()0P A >,试证()(|)1()

P B P B A P A ≥-. 3、已知事件,,A B C 相互独立，证明：A B ?与C 相互独立.

4、设,A B 是任意二事件，其中0()1P B <<，

证明：(|)(|)P A B P A B =是A 与B 独立的 充分必要条件.

5、证明：()()()2()P AB AB P A P B P AB ?=+-.

6、设事件A 与B 相互独立，试证：（1）A 和B 相互独立；（2）A 与B 相互独立。

7、设事件A ,B 相互独立且()0.4P A =,()0.3P B =,求()P A B ?.

8、设事件A ,B 相互独立且()0.4P A =,()0.6P B =,求()P A B ?.

9、设有n 个人，每个人都等可能地被分到N 个房间中的任意一间去住（N n ≤），试求下列事件的概率：

（1）A=“指定的n 个房间各有一个人住”；（2）B=“恰好有n 个房间各住一个人”.

10、 假设某山城今天下雨的概率是

13，不下雨的概率是23；天气预报准确的概率是34，不准确的概率是14

；王先生每天都听天气预报，若天气预报有雨，王先生带伞的概率是1，若天气预报没有雨，王先生带伞的概率是12

；(1)求某天天气预报下雨的概率？(2)王先生某天带伞外出的概率？(3)某天邻居看到王先生带伞外出，求预报天气下雨的概率？

第二章 随机变量及其分布

一、选择题

1、设每次试验成功的概率为)10(<

（A ）r n r r n p p C ----)

1(11 （B ）r n r r n p p C --)1( （C ）1111)1(+-----r n r r n p p C （D ）r n r p p --)1(

10 2、设离散随机变量X 的分布函数为)(x F ，且11+-<

（A ）)(1k k x X x P ≤≤- （B ）)()(11-+-k k x F x F

（C ）11()k k P x X x -+≤< （D ）)()(1--k k x F x F

3、常数b =( )时，(1,2,)(1)

i b p i i i ==+ 为离散型随机变量的概率分布律. (A) 2 (B) 1 (C) 12

(D) 3 4、离散型随机变量X 的概率分布为k A k X P λ==)(( ,2,1=k )的充要条件是( ).

（A ）1)1(-+=A λ且0>A （B ）λ-=1A 且10<<λ

（C ）11-=-λA 且1<λ （D ）0>A 且10<<λ

5、设随机变量X 在区间(2,5)上服从均匀分布.现对X 进行三次独立观测，则至少有两次观测值大于3的概率为( ). (A) 2027 (B) 2730 (C) 25 (D) 23

6、若函数cos ,()0,

x x D f x ∈?=??其它 是随机变量X 的概率密度，则区间D 为 （ ） （A ）π[0,]2 （B ）π

π[,]2 （C ）π[0,] （D ）37ππ[,]24

7、下列函数为随机变量的密度函数的为( )

(A) ???∈=其他,0],0[,cos )(πx x x f (B) ?????<=其他,

02,21)(x x f (C) ?????<≥=--0,

00,21)(222)(x x e x f x σμπσ (D) ???<≥=-0,00,)(x x e x f x 8、下列函数中，可以作为随机变量分布函数的是（ ）

（A ）21()1F x x =+ （B ）31()arctan 42F x x π

=+ （C ）0,0(),01x F x x x x

≤??=?>?+? (D) 2()arctan 1F x x π=+

11 9、设随机变量X 的概率密度为()f x ，则()f x 一定满足（ ）。

（A ）()01f x ≤≤ （B ）()()x P X x f t dt -∞>=

? （C ） ()1xf x dx +∞

-∞=? （D ）()()x P X x f t dt -∞<=?

10、设随机变量X 的密度函数为()f x ，且()()f x f x -=，()F x 为X 的分布函数，则对

任意实数a ，（ ）成立

(A) 0()1()a

F a f x dx -=-?， (B) ()()F a F a -=， (C) 0

1()()2a F a f x dx -=-?， (D) ()2()1F a F a -=- 11、设随机变量X 具有对称的概率密度，即()()f x f x =-，又设()F x 为X 的分布函数，

则对任意0,{||}a P x a >>=( ).

A.2[1()]F a -

B.2()1F a -

C.2()F a -

D. 12()F a -

12、设连续型随机变量X 的分布函数为()F x ，密度函数为()f x ，而且X 与X -有相同的

分布函数，则（ ）

（A ）()()F x F x =- （B ）()()F x F x =--

（C ）()()f x f x =- （D ）()()f x f x =--

13、连续型随机变量 X 的概率密度为 ,01,()2,12,0,x x f x x x ≤≤??=-<≤???

其他. 则随机变量 X 落在区

间 (0.8,1.6) 内的概率为 ( ).

A. 4/5

B. 3/5

C. 2/5

D. 1/5

14、设随机变量 X 的概率密度为 45,()0,

x x f x ?=??0<<1,其他. 其中 a 为介于 (0,1) 之间的实数，使 ()()P X a P X a >=<, 则 a =( ).

12 15、设随机变量01~(,)X N , ()x Φ是X 的分布函数，且{}(0,1),P X x α>=∈则x =

( ).

(A) 1()α-Φ (B) 1(1)2α-Φ-

(C) 1(1)α-Φ- (D) 1()2

α

-Φ 16、设随机变量)1,0(~N X ，对给定的)10(<<αα，数αz 满足αα=>)(z X P . 若

α=<)(c X P ，则=c ( ).

（A ）2αz （B ）21α-z （C ）2

1α-z （D ）α-1z

17、设随机变量()4,1~N X ，则下列变量必服从(0,1)N 分布的是 （ ）

（A ）14X - （B ）13X - （C ）12

X - (D) 21X + 18、设随机变量 ()2~1,3X N , ()10.8413Φ=, 则事件 {}24X -≤≤ 的概率为

( ).

A. 0.6826

B. 0.8413

C. 0.5413

D. 0.3413

19、设随机变量),2(~2σN X ，且{24}0.3P X <<=，则{0}P X <=( ).

A.0.8

B.0.2

C.0.5

D.0.4

20、设()

,2~2,σN X 且6.0)40(=<

21、设随机变量X 服从正态分布),(2σμN ,则随着σ的增大,概率}|{|σμ<-X P ( ).

(A) 单调增大 (B) 单调减小 (C) 保持不变 (D) 增减不定 22、2~(,4),X N μ2~(,5),Y N μ}5{},4{21+≥=-≤=μμY P p X P p ，则（ ）.

A.对任意实数21,p p =μ

B.对任意实数21,p p <μ

C. 对任意实数μ，都有21p p >

D.只对μ的个别值，才有21p p =

23、设X 的分布函数为()x F ，则121-=

X Y 的分布函数()y G 为（ ） （A ）??

? ??-121y F （B ）()12-y F （C ）)22(+y F （D ）()12-y F

13 24、设随机变量X 的概率密度为21()(1)

x x ?π=+，则2Y X =的概率密度为( ). (A) 21(14)y π+ (B) 21(1)y π+ (C) 1arctan y π (D) 22(4)y π+ 二、填空题 1、设离散型随机变量X 的分布律为{},1,2,,.a P X i i N N === 则a =_______.

2、设离散型随机变量X 的分布律为{},0,1,2,

!i

P X i a i i λ===，则a =_______. 3、已知随机变量X 只能取1,0,1,2-四个数值，其相应的概率依次为1352,,,24816c c c c ，则c =_______.

4、已知某随机变量X 的分布律为(),0,1,,10k P X k k C ===，则C = .

5、随机变量X 的概率分布为c

c c P X 839102--，则=c ． 6、设随机变量,),(~p n b X 且已知(1)(2)2(3)P X P X P X =====，则p = ．

7、设某批电子元件的正品律为45，次品率为15

.现对这批元件进行测试，只要测得一个正品就停止测试工作，则测试次数的分布律是_______.

8、某射手每次射击击中目标的概率为 0.7， 他连续射击，直至第 i 次击中目标为止. 设

X 是直至击中时的射击次数，则 ()P X i ==________________, 1,2,.i =

9、某射手每次射击命中目标的概率为0.4，现连续向一个目标射击，直至首次命中目标为止，则射击次数X 的分布律()P X k == 。

10、设离散型随机变量 X 分布律为

(其中 a 为大于零的常数)

则(0.5 2.5)P X <<=________. 11、设随机变量X 服从泊松分布，且{1}{2},P X P X ===则{4}P X ==______.

12、设一批产品共有N 个，其中有M 个次品.对这批产品进行不放回抽样，连续抽取n 次.

设被抽查的n 个产品中的次品数为X .则{}P X i ==_______，0,1,2,,.i n =

14 13、设离散型随机变量X 的分布律为

则{ 1.5}P X ≤=_______.

14、设随机变量,),2(~p b X ,),3(~p b Y ，若5{1}9

P X ≥=，则{1}P Y ≥=_______. 15、设随机变量X 服从[2,3]-上的均匀分布，则随机变量X 的概率密度函数=)(x f 。

16、设随机变量X 的概率密度函数为?????<<=其他

,040,8)(x x x f ，则=>)3(X P _______.

17、连续型随机变量X 的概率密度为3,()0,

x e f x λ-?=?≤?x>0，x 0 则{0.1}P X ≤=_______. 18、设随机变量X 的概率密度为2

(),1A f x x x =-∞<<+∞+，则A ＝ ． 19、已知函数,0()0,

0x Axe x f x x -?>=?≤?是某随机变量X 的概率密度，则A 的值为 . 20、设随机变量X 的概率密度函数为||(),x f x Ae x -=-∞<<∞，则系数A =_______.

21、已知函数sin ,0()20,

A x x f x π?≤

22、设随机变量X 的概率密度函数为?????<<=其他

,040,8)(x x x f ，则=>)3(X P _______.

23、随机变量X 的概率密度()???≤≤=其它,

020,3x ax x f ，则=a ． 24、已知,0()0,0x Ae x f x x -?>=?≤?

是某随机变量X 的概率密度函数，则A 的值为 .

15 25、已知函21,03()2,3x x e x F x A e -?

其它是某随机变量X 的分布函数，则A = .

26、设随机变量X 的分布函数为 20,0(),01,1,1x F x Ax x x ≤??=<≤??>?

则A =________.

27、随机变量X 的分布函数???>-=-，其它，0

0 1)(x e x F x ，则()=>3X P 。 28、设随机变量X 的概率密度函数为||1(),2

x f x e x -=

-∞<<∞，则X 的分布函数()F x =_______. 29、设随机变量X 的概率密度为3113,()22220,

x x f x ?-≤

密度为 .

30、设随机变量X 具有分布函数?????<≥+=0

,00,1)(x x x x x F 　　　　 ，则)4(>X P =___________ .

31、设随机变量X 服从)2,2(-上的均匀分布，则随机变量2

X Y =的概率密度函数=)(y f Y .

32、设连续随机变量的密度函数为)(x f ，则随机变量X

e Y 3=的概率密度函数为________. 33、设随机变量X 服从正态分布()3,2-N ， 则概率密度函数为___ ___.

34、设随机变量,)9,1(~N X ,则若1()2

P X k <=，k = . 35、设随机变量()2~1,2X N ，6915.0)5.0(=Φ,则事件}20{<≤X 的概率为 ．

36、设随机变量),2(~2σN X ，若3.0}40{=<

三、解答题

1、一箱中装有6个产品,其中有2个是二等品,现从中随机地取出3个,试求取出二等品个数

16 X 的分布律.

3、某型号器件的寿命X （以小时计）具有概率密度21000,1000()0,

x f x x ?>?=???其它。现有一大

批此种器件（设各器件损坏与否相互独立），任取3只，问其中至少有一只寿命大于3000小时的概率是多少？

4、设随机变量K 服从(0,5)上的均匀分布，求方程24420x Kx K +++=有实根的概率.

5、设随机变量X 服从正态分布()01,N ，求随机变量函数2

X Y =的密度函数。 6、设某种药品的有效期间X 以天计，其概率密度为20000,0(),0,0x f x x ?>?=??≤?

3(x+100)

求：(1)X 的分布函数；(2)至少有200天有效期的概率.

7、设随机变量X 的概率密度函数为,01()0,

Ax x f x <

?其他,求(1)确定常数A ；(2)X 的分布函数. 8、设随机变量X 的分布函数为0,()arcsin ,1,x a x F x A B a x a a x a ?≤-??=+-<

求：(1)确定常数A 和B ；（2）X 的概率密度函数.

9、设随机变量X 的分布函数为0,0

(),(1),0x x F x A x e x -

(1)确定常数A ；(2) X 的概率密度函数.

10、设随机变量X 的分布函数为 ()??

???≥<≤<=1,110,0,02x x x x x F ，求：（1）概率()7.03.0<

（2）X 的概率密度函数()x f X 。

11、 设随机变量X 的概率密度为 ???>=-其他

,00,)(x e x f x . 求2Y X =的概率密度.

17 12、设随机变量X 服从均匀分布[0,1]U ，求（1）2ln Y X =-的概率密度；（2）X Y e = 的概率密度.

13、设随机变量X 的概率密度为21(),()(1)

X f x x x π=-∞<<∞+，求随机变

量1Y = 的概率密度()Y f y ．

14、设随机变量X 的密度函数为1(31),02()8 0 ,

x x f x ?+<

试求：（1）X 的分布函数)(x F ；（2）2Y X =的密度函数.

15、设随机变量X 的概率密度为?????<<=其它，

，01023)(x x x f ，试求随机变量X Y 21-=的概率密度．

四、 综合题

1、设,),(~2σμN X 试证明X Y μ

σ-=服从标准正态分布(0,1)N .

2、随机变量X 服从区间[1，6]上的均匀分布，求二次方程012=++Xt t 有实根的概率.

3、设随机变量X 的概率密度函数为?

??<<+=其他，,0,10,)1()(x x k x f k 已知对X 独立重复观测3次，事件}21{≤=X A 至少发生一次的概率为

6437。 求常数k 。

4、设随机变量X 的概率密度为2,()0,x f x ?=??0

其他

令Y 表示对X 的3次独立重复观测中事件1{}2X ≤发生的次数，求{

}2=Y P 。 5、设连续型随机变量X 的分布函数为20,0(),01,1,1x F x Ax x x

求(1)常数A ；（2）X 落在1

(,2)3

内的概率；(3)求概率密度()f x .

18 6、设连续型随机变量X 的分布函数为01()arcsin 1111x F x A B x x x ≤-??=+-<

，

试求（1）常数,A B ；（2）X 的概率密度；（3）31Y X =-的概率密度。

7、设随机变量X 服从参数为3的指数分布，即其概率密度函数为：

???≤>=-0003)(3x x e x f x

X ，试求 22X Y = 的概率密度函数.

8、设随机变量X 的概率密度为???>=-其他

,00,)(x e x f x . 求2Y X =的概率密度。

9、设随机变量X 服从标准正态分布(0,1)N ，求X Y e =的概率密度.

第三章 多维随机变量及其分布

一、选择题

1、设{1}{1}P X P Y =-==-{1}{1}P X P Y ====12

=

，两个随机变量X ，Y 是相互独立且同分布,则下列各式中成立的是（ ） (A ）1{}2

P X Y ==

(B) {}1P X Y == (C) 1{0}4P X Y +== (D) 1{1}4

P XY == 2、设),(~2σμN X ，b aX Y -=，其中a 、b 为常数，且0≠a ，则~Y ( ). （A ） ),

(222b a b a N +-σμ （B ）),(222b a b a N -+σμ （C ） ),(22σμa b a N + （D ）),(22σμa b a N -

3、设随机变量,X Y 相互独立，01~(,)X N ,11~(,)Y N ，则( ).

（A ）2/1)0(=≤+Y X P （B ）2/1)1(=≤+Y X P

（C ）2/1)0(=≤-Y X P （D ）2/1)1(=≤-Y X P

4、设(),13~,-N X (),12~,N Y Y X ,相互独立，令72+-=Y X Z ,则~Z （ ）

A. (0,5)N

B. (0,3)N

C. (0,46)N

D. (0,54)N

5、设随机变量X 与Y 相互独立，且),,(~),,(~2

22211σμσμN Y N X 则Z X Y =+仍

19 具有正态分布，且有( ).

A.),(~2

2211σσμ+N Z B.),(~2121σσμμ+N Z

C.),(~222121σσμμ+N Z

D.),(~222121σσμμ++N Z

6、设二维随机变量(,)X Y 的联合概率密度为 (),01,02(,)0,a x y x y f x y +<<<

，则常数a = （ ） (A) 13 (B) 3 (C) 2 (D) 12

7、设二维连续型随机向量(,)X Y 的联合概率密度为(34)12,0,0(,)0,x y e x y f x y -+?>>=??

，其他 则{01,02}P x Y <≤<≤=( ).

(A) 68(1)(1)e e ---- (B) 38

(1)e e ---

(C) 38(1)(1)e e ---- (D) 83(1)e e --- 8、设()Y X ,的联合概率密度函数为26,01,01(,)0x y x y f x y ?≤≤≤≤=??

其他, 则下列中错误的是( )。

(A){0}1P X ≥= (B){0}1P X ≤= (C)Y X ,相互独立

(D) 随机点()Y X ,落在{(,)01,01}D x y x y =≤≤≤≤的概率为1

9、设二维随机变量(,)X Y 服从G 上的均匀分布，G 的区域由曲线2

x y =与x y =所围，则(,)X Y 的联合概率密度函数为( ). (A) ???∈=他其,0),(,6),(G y x y x f (B) ?

??∈=他其,0),(,6/1),(G y x y x f (C) ???∈=他其,0),(,2),(G y x y x f (D) ???∈=他其,

0),(,2/1),(G y x y x f 10、设二维随机变量(,)X Y 在圆域G ：2236x y +≤服从均匀分布，则(,)X Y 的联合概率

密度函数为（ ）.

20 A. ???∈=他其,0),(,36),(G y x y x f π B. 1,(,)(,)360,

x y G f x y π?∈?=???其他 C. ???∈=他其,0),(,6),(G y x y x f π D. 1,(,)(,)60,

x y G f x y π?∈?=???其他 11、设随机变量 X 与 Y 相互独立，且 X Y 、 的分布函数分别为 ()()X Y F x F y 、, 令 max(,)Z X Y =，则 Z 的分布函数 ()Z F z =( ).

A. ()()X Y F z F z

B. 1()()X Y F z F z -

C. (1())(1())X Y F z F z --

D. 1(1())(1())X Y F z F z ---

二、填空题

1、设,X Y 为相互独立的随机变量，5{0}{0}8

P X P Y ≥=≥=,则{max(,)0}P X Y ≥= . 2、随机变量,X Y 相互独立且服从同一分布，3/)1()()(+====k k Y P k X P ，

1,0=k ，则()P X Y ==.

3、若随机变量X 与Y 独立且都服从标准正态分布(0,1)N ，则X Y +_________ (写出具体分布).

4、设随机变量X 和Y 均服从,)1,0(N 分布，且X 与Y 相互独立，则(,)X Y 的联合概率密度函数为 .

5、X 与Y 相互独立且都服从泊松分布()πλ，则Y X +服从的泊松分布为_________.

6、Y X ,独立且服从相同分布()2,σμN ，则~32+-Y X ．

7、设二维随机变量(,)X Y 的联合概率密度函数为(2)0,02,(,)0,

x y x y e f x y -+≥≥?=??其他，则{1,2}P X Y <<= 。

8、设二维随机变量(,)X Y 的联合分布函数为

21 ()0,01333,(,)0,

x y x y x y F x y ---+≥≥?--+=??其他， 则二维随机变量(,)X Y 的联合概率密度为 .

三、解答题

1、设随机变量X 和Y 独立同分布，且X 的分布律为：

()()121,233

P X P X ==== 求Y X Z +=的分布律.

2、设有5个产品，其中3件正品，2件次品，采用有放回的方式从中任意抽取两件，每次任取一件，并分别以X 和Y 表示第一次和第二次取到的次品数，求(,)X Y 的联合分布律.

3、甲、乙两个独立地各进行两次射击，假设甲的命中率为0.2，乙的命中率为0.5，以X 和Y 分别表示甲和乙的命中次数，试求X 和Y 的联合概率分布.

4、袋中有2只白球，3只黑球，现进行无放回摸球，且定义随机变量X 和Y ：

1,0,X ?=??第一次摸出白球，第一次摸出黑球1,0,Y ?=??第二次摸出白球第二次摸出黑球

；

求：(1)随机变量(,)X Y 的联合概率分布；(2)X 与Y 的边缘分布.

5、某射手每次打靶能命中的概率为23

，若连续独立射击5次，记前三次中靶数为X ，后两次中靶数为Y ,求（1）(,)X Y 的分布律；（2）关于X 和Y 的边缘分布律

6、设二维随机变量(,)X Y 的联合概率密度为()0,0,(,)0,

x y x y Ae f x y -+>>?=??其他，求（1）

A 的值；（2）{2,1}P X Y <<。 7、设二维随机变量(,)X Y 的联合概率密度为 ()0,0,(,)0,

x y x y Ae f x y -+>>?=??其他

求（1）A 的值；（2）{1,2}P X Y <<

8、设二维随机变量()Y X ,的联合概率密度为 ??

???<<<<--=其他042,20),6(81),(y x y x y x f ，求}4{≤+Y X P .

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