材料力学(II)第二章 材料力学 孙训方

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材 料 力 学 Ⅱ 电 子 教 案

第二章 考虑材料塑性的极限分析

第二章 考虑材料塑性的极限分析§2-1 塑性材料简化的应力-应变曲线

§2-2 拉压杆系的极限荷载 §2-3 等直圆杆扭转时的极限扭矩§2-4 梁的极限弯矩 · 塑性铰

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第二章 考虑材料塑性的极限分析

§2-1 塑性材料简化的应力—应变曲线图a所示为低碳钢拉伸时

的应力—应变曲线，bc表示

be b s

卸载规律。工程中有时要考 虑材料塑性来计算构件的承 载能力，低碳钢等塑性材料

p

c

在应力超过比例极限后，应力和应变为非线性关系，使 分析极为复杂。为了简化计

o

p e(a)

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第二章 考虑材料塑性的极限分析

算，工程中把低碳钢等塑性材料的拉伸、压缩时的应力—应变关 系简化为图b所示的曲线。即认为材料屈服前服从胡克定律，屈 服后不考虑强化，拉伸和压缩时材料的屈服极限和弹性模量分别 相等。该曲线称为弹性─理想塑性模型，这种材料称为弹性─ 理

想塑性材料(通常简称为理想弹塑性材料)。同样，也可将塑性材料的 -g曲线简化为图c所示的曲线。

s s(b)3

b

s

gs(c)

g

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第二章 考虑材料塑性的极限分析

§2-2 拉压杆系的极限荷载图a所示的静定结构中，各杆的材料相同，其应力—应变关系 如图b所示。随着载荷增加，当其中任一杆横截面上的应力达到屈 服极限时，该结构成为几何可变的机构，丧失承载能力。可见静 定拉压杆系结构，考虑材料的塑性，也不能提高结构的承载能力。 超静定杆系结构见下例。B

C

s

A s

F(a)4

(b)

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第二章 考虑材料塑性的极限分析

例2-1 图a所示超静定杆系结构中，三杆的材料相同， - 关系如图b所示，弹性模量为E。三杆的横截面积均为A。试

分析当荷载F逐渐增加时三杆的应力和结点A位移的变化情况。

l

(a)5

(b)

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第二章 考虑材料塑性的极限分析

解： (1) 应力1. 当F 较小时，三杆均处于弹性工作状态，解此超静

定结构，得到三杆的轴力，除以其横截面面积后得三杆的应力分别为

1 2

A 1 2 cos 3

F cos2

(1)

F 3 A 1 2 cos3

(2)

F

可见

3 1 2

(c)6

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第二章 考虑材料塑性的极限分析

2. F增加到Fs时，3杆首先屈服，1、2杆仍处于弹性工作 状态。 Fs 称为屈服载荷。令 3= s,F =Fs。由(2)式得

Fs s A 1 2 cos3

(3)

由于FN3=σsA,使超静

定结构成为静定结构，荷载还可以继 续增加，由结点A的平衡方程，得1、2杆的轴力为

FN1 FN 2应力为7

Fs s A 2 cos (4)

Fs / A s 1 2 2 cos

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第二章 考虑材料塑性的极限分析

3. 继续增加荷载，3杆的应力保持 3= s不变，1、2杆

的应力增加，直到1、2杆也发生屈服( 1= 2= s),整个结构屈服，从而丧失承载能力。这种状态称为极限状态，相应的荷 载为极限荷载，用Fu表示。令FN1= FN2 = FN3 = s A,由结点A 的平衡方程得

Fu s A 1 2 cos 极限荷载和屈服荷载的比值为

(5)

Fu 1 2 cos Fs 1 2 cos3

当 =45°时，Fu/Fs=1.41,即考虑材料塑性将使结构的承载 能力提高1.41倍。8

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第二章 考虑材料塑性的极限分析

(2) A点的位移 1. F=Fs时， 3= s ,3杆屈服，1、2杆仍处于弹性工作 状态，由图d可得A点的位移为1

3

2

A l 2

l1

l3

s l3

s A l EA

(6)

A (d) 2. 继续增加荷载，3杆的应力 3= s保持不变，增加部 分的荷载将由1、2杆承担，使1、2杆的弹性变形不断增加， 直到1、2杆刚刚出现塑性变形，A点的位移为9

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第二章 考虑材料塑性的极限分析

u l1

cos

EA cos 2

s Al

(7)

b a

外力F和A点位移Δ之间的关系， 如图e所示。F<Fs时，结构的刚

度由三根杆组成， F≥Fs时，3杆屈服，结构的刚度由1, 2杆组 成，所以Oa和ab的斜率不同。 (e)

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第二章 考虑材料塑性的极限分析

由于一次超静定杆系结构中，存在一个多余约束的杆 (例如，例2-1中的3杆)当某一杆发生塑性变形时，结构成

为静定结构，还可以继续承载，直到结构中另外的杆发生塑性变形，使结构丧失承载能力，达到极限状态。

l

(a)11

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第二章 考虑材料塑性的极限分析

§2-3 等直圆杆扭转时的极限扭矩图a所示圆截面杆，其 -g 的关系如图b所示。本节讨 论等直圆杆极限扭矩及扭转残余应力问题。

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第二章 考虑材料塑性的极限分析

Ⅰ. 极限扭矩 (1) 由塑性材料制成的受扭

so

圆截面杆，一般把 max= s(图c)作为破坏条件，并以此建立强度条 件。边缘屈服时的扭矩称为屈服 扭矩，并用Ts表示，其值为π d3 Ts s 16 (1)

sd (c)

Ts

仅当 max= s时，圆杆不会发生明显的屈服变形，扭矩还可 以继续增加。13

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第二章 考虑材料塑性的极限分析

gso

(2) 若扭矩增加到某个值 时， T 圆杆进入弹塑性工作状

态，根据平面

gs(d)d

T

假设，其g 的变化规律如图d所示。根据图b所示的 ~g关系， 的分布规律如 图e所示，即靠近边缘处已进入塑性状

s

态，其余部分仍处于弹性状态。设弹 性区的直径为ds。取dA=2p d ,扭矩 为d /2 πd s3 T s 2 π 2 s d ds / 2 16 π s 4d 3 d s3 (2) 48

T

ds d (e)14

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第二章 考虑材料塑性的极限分析

π d s3 式中，右边第一项 16 s 为弹性区的扭矩，第二项 d 2 2 d 2 2 π s d 为塑性区的扭矩。 s

sTu(f)

单位长度的扭转角为

π ds3 s /16 2 s 4 Gπds / 32 Gds

s(3)

(3) 当扭矩增加到T=Tu时，横截面上各点的切应力均达 到 s(图f),圆杆进入完全塑性状态，即为极限状态， Tu称为 极限扭矩，其值为

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第二章 考虑材料塑性的极限分析

s s(f)

Tu

d /2

0

πd 3 s 2π 2 d s 12

(4)

Tu

由(1)式和(4)式可得

π 3 d s Tu 12 4 π 3 Ts d s 3 16

可见，Tu=4Ts/3。若采用极限状态为破坏条件，将使承载能 力提高4/3倍。16

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第二章 考虑材料塑性的极限分析

Ⅱ. 残余应力 扭矩达到Tu时，卸去全部荷载，即反向加Me=πd3τs/12,由于 卸载时， -g为线性关系(图a),所以， maxπ d 3 s / 12 4 ,切应 s 3 π d / 16 3

力的分布规律如图b所示，将它与极限状态的切应力(图c)叠加，得残余应力，其分布规律如图d所示。取dA=2p d ,其扭矩为4 s 3

s

+ Me=Tu(c)

=

s1 s 3

Me= Tu(b)17

Me= 0(d)

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第二章 考虑材料塑性的极限分析

T

3d / 8

0

d / 2 3d / 8 3d / 8 2 2 2 π d 0 s 2 π d 3d / 8 s 3d / 8 3 d /8

扭矩T=0,说明残余应力是自相平衡的。

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第二章 考虑材料塑性的极限分析

§2-4 梁的极限弯矩 · 塑性铰Ⅰ. 纯弯曲梁的极限弯矩

Me

Meh/2 h/2

s s(b)

b

b

(a)

图a所示矩形截面纯弯曲梁，其材料的 - 关系如图b所示。

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第二章 考虑材料塑性的极限分析

(1) 一般认为 max= s为梁的破坏条件，把上、下边缘屈服时的弯矩称为屈服弯矩，并用Ms表示图c,其值为bh2 Ms s 6 (1)

仅梁的上、下边缘处屈服，梁不会发生明显的屈服变形，弯 矩还可以继续增加。

s

s(c)20

Ms

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第二章 考虑材料塑性的极限分析

(2) 当弯矩增加到 M M 时，梁

进入弹塑性工作状态，根据平面假设， 分布规律如图d所示。按照图b所示的 - 关系， 的分布规律如图e所示。即梁的上、下边缘附近处为 塑性变形，其余部分仍为弹性变形。

s

s

M

M

s(d)21

s(e)

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/9rnj.html