选修2-1空间向量与立体几何教案

空间向量与立体几何

一、知识网络：

空间向量的加减运算 空间向量及其运算 空间向量的数乘运算 共线向量定理 共面向量定理 空间向量与立体几何 空间向量的数量积运算 空间向量基本定理 平行与垂直的条件 空间向量的坐标运算 立体几何中的向量方法 向量夹角与距离 直线的方向向量与平面的法向量 用空间向量证平行与垂直问题 求空间角 求空间距离

二．考纲要求：

（1）空间向量及其运算

① 经历向量及其运算由平面向空间推广的过程；

② 了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示；

③ 掌握空间向量的线性运算及其坐标表示；

④ 掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直。 （2）空间向量的应用

① 理解直线的方向向量与平面的法向量；

② 能用向量语言表述线线、线面、面面的垂直、平行关系；

③ 能用向量方法证明有关线、面位置关系的一些定理（包括三垂线定理）；

④ 能用向量方法解决线线、线面、面面的夹角的计算问题，体会向量方法在研究几何问题中的作用。

三、命题走向

本章内容主要涉及空间向量的坐标及运算、空间向量的应用。本章是立体几何的核心内容，高考对本章的考查形式为：以客观题形式考查空间向量的概念和运算，结合主观题借助空间向量求夹角和距离。

预测10年高考对本章内容的考查将侧重于向量的应用，尤其是求夹角、求距离，教材上淡化了利用空间关系找角、找距离这方面的讲解，加大了向量的应用，因此作为立体几何解答题，用向量法处

1

理角和距离将是主要方法，在复习时应加大这方面的训练力度。

第一课时 空间向量及其运算

一、复习目标：1．理解空间向量的概念；掌握空间向量的加法、减法和数乘； 2．了解空间向量的基本定理； 3．掌握空间向量的数量积的定义及其性质；理解空间向量的夹角的概念；掌握空间向量的数量积的概念、性质和运算律；了解空间向量的数量积的几何意义；能用向量的数量积判断向量的共线与垂直。

二、重难点：理解空间向量的概念；掌握空间向量的运算方法 三、教学方法：探析类比归纳，讲练结合 四、教学过程 （一）、谈最新考纲要求及新课标高考命题考查情况，促使积极参与。

学生阅读复资P128页，教师点评，增强目标和参与意识。

（二）、知识梳理，方法定位。（学生完成复资P128页填空题，教师准对问题讲评）。 1．空间向量的概念

向量：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量。如位移、速度、力等。 相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量。

表示方法：用有向线段表示，并且同向且等长的有向线段表示同一向量或相等的向量。

说明：①由相等向量的概念可知，一个向量在空间平移到任何位置，仍与原来的向量相等，用同向且等长的有向线段表示；②平面向量仅限于研究同一平面内的平移，而空间向量研究的是空间的平移。

2．向量运算和运算率

??OB?OA?AB?a?b B C ??BA?OA?OB?a?b ?OP??a(??R) ????加法交换率：a?b?b?a. ?b ?O a A ??????加法结合率：(a?b)?c?a?(b?c). ????数乘分配率：?(a?b)??a??b. 说明：①引导学生利用右图验证加法交换率，然后推广到首尾相接的若干向量之和；②向量加法的平行四边形法则在空间仍成立。

3．平行向量(共线向量)：如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量

????叫做共线向量或平行向量。a平行于b记作a∥b。

??a 注意：当我们说、b共线时，对应的有向线段所在直线可能是同一直线，也可能是平行直线；当

??我们说a、b平行时，也具有同样的意义。

???????共线向量定理：对空间任意两个向量a（a≠0）、b，a∥b的充要条件是存在实数?使b＝?a

??????（1）对于确定的?和a，b＝?a表示空间与a平行或共线，长度为 |?a|，当?>0时与a同向，

?当?<0时与a反向的所有向量。

?（3）若直线l∥a，A?l，P为l上任一点，O为空间任一点，下面根据上述定理来推导OP的表达式。

2

推论：如果 l为经过已知点A且平行于已知非零向量a的直线，那么对任一点O，点P在直线l上的充要条件是存在实数t，满足等式 OP?OA?ta ①

其中向量a叫做直线l的方向向量。

在l上取AB?a，则①式可化为 OP?(1?t)OA?tOB. ②

????1时，点P是线段AB的中点，则 OP?1(OA?OB). ③ 22①或②叫做空间直线的向量参数表示式，③是线段AB的中点公式。

注意：⑴表示式(﹡)、(﹡﹡)既是表示式①,②的基础，也是常用的直线参数方程的表示形式；⑵推论的用途：解决三点共线问题。⑶结合三角形法则记忆方程。

??4．向量与平面平行：如果表示向量a的有向线段所在直线与平面?平行或a在?平面内，我们就???说向量a平行于平面?，记作a∥?。注意：向量a∥?与直线a∥?的联系与区别。

共面向量：我们把平行于同一平面的向量叫做共面向量。

?????共面向量定理 如果两个向量a、b不共线，则向量p与向量a、b共面的充要条件是存在实数

当t????对x、y，使p?xa?yb.①

注：与共线向量定理一样，此定理包含性质和判定两个方面。

推论：空间一点P位于平面MAB内的充要条件是存在有序实数对x、y，使

MP?xMA?yMB,④

或对空间任一定点O，有OP?OM?xMA?yMB.⑤

在平面MAB内，点P对应的实数对（x, y）是唯一的。①式叫做平面MAB的向量表示式。 又∵MA?OA?OM,.MB?OB?OM,.代入⑤，整理得

OP?(1?x?y)OM?xOA?yOB. ⑥

由于对于空间任意一点P，只要满足等式④、⑤、⑥之一（它们只是形式不同的同一等式），点P就在平面MAB内；对于平面MAB内的任意一点P，都满足等式④、⑤、⑥，所以等式④、⑤、⑥都是由不共线的两个向量MA、MB（或不共线三点M、A、B）确定的空间平面的向量参数方程，也是M、A、B、P四点共面的充要条件。

???5．空间向量基本定理：如果三个向量a、b、c不共面，那么对空间任一向量，存在一个唯一的

????有序实数组x, y, z, 使p?xa?yb?zc.

???说明：⑴由上述定理知，如果三个向量a、b、c不共面，那么所有空间向量所组成的集合就是

???????????这个集合可看作由向量a、b、c生成的，所以我们把{a，b，c}p|p?xa?yb?zc,x、y、z?R，

???叫做空间的一个基底，a，b，c都叫做基向量；⑵空间任意三个不共面向量都可以作为空间向量的一

??个基底；⑶一个基底是指一个向量组，一个基向量是指基底中的某一个向量，二者是相关联的不同的

?概念；⑷由于0可视为与任意非零向量共线。与任意两个非零向量共面，所以，三个向量不共面就隐含

?着它们都不是0。

3

推论：设O、A、B、C是不共面的四点，则对空间任一点P，都存在唯一的有序实数组x、y、z，使OP?xOA?yOB?zOC.

????（1）夹角：已知两个非零向量a、b，在空间任取一点O，作OA?a，OB?b，则角∠AOB????叫做向量a与b的夹角，记作?a，b?

6．数量积

??????说明：⑴规定0≤?a，b?≤?,因而?a，b?=?b，a?；

???????⑵如果?a，b?=，则称a与b互相垂直，记作a⊥b；

2O ?aA

?a⑶在表示两个向量的夹角时，要使有向线段的起点（1）、（2）中的两个向量的夹角不同，

图（1）中∠AOB=?OA,OB?， 图（2）中∠AOB=???AO,OB?,

从而有??OA,OB?=?OA,?OB?=???OA,OB?.

B

（1） ?A a?a重合，注意图

O ?a?（2） aB （2）向量的模：表示向量的有向线段的长度叫做向量的长度或模。

????????（3）向量的数量积：abcos?a,b?叫做向量a、b的数量积，记作a?b。

??????即a?b=abcos?a,b?，

?向量AB在e方向上的正射影:

B ?e A A? B? l ????a?e?|AB|cos?a,e??A?B?

（4）性质与运算率

????????⑴a?e?cos?a,e?。 ⑴(?a)?b??(a?b) ????????⑵a⊥b?a?b=0 ⑵a?b=b?a

?2?????????⑶|a|?a?a. ⑶a?(b?c)?a?b?a?c

（三）．典例解析

题型1：空间向量的概念及性质

????例1、有以下命题：①如果向量a,b与任何向量不能构成空间向量的一组基底，那么a,b的关系是不共????????????线；②O,A,B,C为空间四点，且向量OA,OB,OC不构成空间的一个基底，那么点O,A,B,C一定共面；

????????③已知向量a,b,c是空间的一个基底，则向量a?b,a?b,c，也是空间的一个基底。其中正确的命题是

4

（ ）。 (A)①② (B)①③ (C)②③ (D)①②③

????解析：对于①“如果向量a,b与任何向量不能构成空间向量的一组基底，那么a,b的关系一定共线”；

所以①错误。②③正确。 题型2：空间向量的基本运算

例2、如图：在平行六面体ABCD?A1B1C1D1中，MD1A1DMB1C1为

A1C1与

???????????????B1D1的交点。若AB?a，AD?b，AA1?c，则

BM相等的向量是（ ）

A下列向量中与

CB1?1??1?1??1?1??11(A)?a?b?c (B)a?b?c (C)?a?b?c (D)a?b?c

222222221?1??1解析：显然BM?BB1?B1M?(AD?AB)?AA1??a?b?c；答案为A。

222点评：类比平面向量表达平面位置关系过程，掌握好空间向量的用途。用向量的方法处理立体几

何问题，使复杂的线面空间关系代数化，本题考查的是基本的向量相等，与向量的加法.考查学生的空间想象能力。

?????????????a例3、已知：a?3m?2n?4p?0,b?(x?1)m?8n?2yp,且m,n,p不共面.若∥b,求x,y的值.

解：?a∥b,,且a?0,?b??a,即(x?1)m?8n?2yp?3?m?2?n?4?p. 又?m,n,p不共面,???????????????x?182y??,?x??13,y?8. 3?2?4点评：空间向量在运算时，注意到如何实施空间向量共线定理。

例4、底面为正三角形的斜棱柱ABC－A1B1C1中，D为AC的中点，求证：AB1∥平面C1BD. 证明：记AB?a,AC?b,AA1?c,则

AB1?a?c,DB?AB?AD?a?11b,DC1?DC?CC1?b?c22∴DB?DC1?a?c?AB1,∴AB1,DB,DC1共面. ∵B1?平面C1BD, AB1//平面C1BD. （四）强化巩固导练

1、已知正方体ABCD—A1B1C1D1中，点F是侧面CDD1C1的中心，若AF?AD?xAB?yAA1，求x－y的值. 解：易求得x?y?,?x?y?0 在平行六面体ABCD?A1B1C1D1中，M为AC与BD的交点，若A1B1?a，A1D1?b，A1A?c，则下列向量2、

中与B1M相等的向量是

( A )。 12 5

A

A．?1a＋1b＋c B．1a＋1b＋c 2222BA D B C CC．1a?1b＋c

22

D．?1a?1b＋c 22M是侧 棱CC1的中点，3、（2009四川卷理）如图，已知正三棱柱ABC?A1B1C1的各条棱长都相等，

则异面直线AB1和BM所成的角的大是 。 解析：不妨设棱长为2，选择基向量{BA,BB1,BC}，则AB1?BB1?BA,BM?BC?1BB1 2cos?AB1,BM??(BB1?BA)?(BC?22?51BB1)0?2?2?02??0，故填写90o。 22?5（五）、小结：1．立体几何中有关垂直和平行的一些命题，可通过向量运算来证明．对于垂直，一般是利用a⊥b?a2b＝0进行证明．对于平行，一般是利用共线向量和共面向量定理进行证明． 2．运用向量求解距离问题，其一般方法是找出代表相应距离的线段所对向量，然后计算这个向量对应的模．而计算过程中只要运用好加法法则，就总能利用一个一个的向量三角形，将所求向量用有模和夹角的已知向量表示出来，从而求得结果． 3．利用向量求夹角(线线夹角、线面夹角、面面夹角)有时也很方便．其一般方法是将所求的角转化为求两个向量的夹角，而求两个向量的夹角则可以利用公式

cosθ＝a?b． 4．异面直线间的距离的向量求法：已知异面直线l1、l2，AB为其公垂线段，C、D

ab分别为l1、l2上的任意一点，n为与AB共线的向量，则｜AB｜＝|CD?n||n|.5．设平面α的一个法向量

为n，点P是平面α外一点，且Po∈α，则点P到平面α的距离是d＝|PoP?n||n|.

（六）、作业布置：课本P32页A组中2、3、4 B组中3

课外练习：课本P39页A组中8 ；B组中3； 复资P130页变式训练中1、2、3、5、6 五、教学反思：

6

第二课时 空间向量的坐标运算

一、复习目标：1、理解空间向量坐标的概念；2、掌握空间向量的坐标运算； 3．掌握用直角坐标计算空间向量数量积的公式；掌握空间两点间的距离公式．

二、重难点：掌握空间向量的坐标运算；掌握用直角坐标计算空间向量数量积的公式；掌握空间两点间的距离公式．

三：教学方法：探析类比归纳，讲练结合 四、教学过程 （一）、基础知识过关（学生完成下列填空题） 1、空间直角坐标系：（1）若空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且长为1，这个基底叫单位正交基底，??????O用{i,j,k}表示；（2）在空间选定一点和一个单位正交基底{i,j,k}，以???点O为原点，分别以i,j,k的方向为正方向建立三条数轴：x轴、y轴、它们都叫坐标轴．我们称建立了一个空间直角坐标系O?xyz，点Oz轴，zA(x,y,z)kixOjy???叫原点，向量 i,j,k都叫坐标向量．通过每两个坐标轴的平面叫坐标平面，分别称为xOy平面，yOz平面，zOx平面； 2、空间直角坐标系中的坐标： 在空间直角坐标系O?xyz中，对空间任一点A，存在唯一的有序实数组(x,y,z)，使OA?xi?yj?zk，有序实数组(x,y,z)叫作向量A在空间直角坐标系O?xyz中的坐标，记作A(x,y,z)，x叫横坐标，y叫纵坐标，z叫竖坐标． 3、设a＝(a1,a2,a3)，b＝(b1,b2,b3)(1) a±b＝ 。 (2) ?a＝ ．(3) a2b＝ ． (4) a∥b? ；a?b? ．

????222（5）模长公式：若a?(a1,a2,a3)， 则|a|?a?a?a1?a2?a3．

????a1b1?a2b2?a3b3a?b??（6）夹角公式：cosa?b??． 222222|a|?|b|a1?a2?a3b1?b2?b3????????2222（7）两点间的距离公式：若A(x1,y1,z1)，B(x2,y2,z2)，则|AB|?AB?(x2?x1)?(y2?y1)?(z2?z1) (8) 设A?(x1,y1,z1),B?(x2,y2,z2) 则AB＝ ，AB? ．

AB的中点M的坐标为 ．

4、直线的方向向量的定义为 。如何求直线的方向向量？ 5、平面的法向量的定义为 。如何求平面的法向量？ （二）典型题型探析 题型1：空间向量的坐标

7

例1、（1）已知两个非零向量a=（a1，a2，a3），b=（b1，b2，b3），它们平行的充要条件是（ ）

A. a：|a|=b：|b| B.a12b1=a22b2=a32b3 C.a1b1+a2b2+a3b3=0 D.存在非零实数k，使a=kb

（2）已知向量a=（2，4，x），b=（2，y，2），若|a|=6，a⊥b，则x+y的值是（ ）

A. －3或1 B.3或－1 C. －3 D.1 （3）下列各组向量共面的是（ ）

A. a=(1，2，3)，b=(3，0，2)，c=(4，2，5) B. a=(1，0，0)，b=(0，1，0)，c=(0，0，1) C. a=(1，1，0)，b=(1，0，1)，c=(0，1，1) D. a=(1，1，1)，b=(1，1，0)，c=(1，0，1) 解析：（1）D；点拨：由共线向量定线易知；

??4?16?x2?36?x?4,?x??4,????4?4y?2x?0??y??3?y?1.?（2）A 点拨：由题知或；

（3）A 点拨：由共面向量基本定理可得。

点评：空间向量的坐标运算除了数量积外就是考查共线、垂直时参数的取值情况。

例2、已知空间三点A（－2，0，2），B（－1，1，2），C（－3，0，4）。设a=AB，b=AC，（1）求a和b的夹角?；（2）若向量ka+b与ka－2b互相垂直，求k的值.

思维入门指导：本题考查向量夹角公式以及垂直条件的应用，套用公式即可得到所要求的结果.

解：∵A(－2，0，2)，B（－1，1，2），C(－3，0，4)，a=AB，b=AC， ∴a=(1，1，0)，b=（－1，0，2）. (1)cos?=?1?0?010102?5?－10，∴a和b的夹角为－10。

a?b|a||b|=

(2)∵ka+b=k（1，1，0）+（－1，0，2）＝（k－1，k，2），

ka－2b=（k+2，k，－4），且(ka+b)⊥（ka－2b），

22

∴（k－1，k，2）2（k+2，k，－4）=(k－1)(k+2)+k－8=2k+k－10=0。

5则k=－2或k=2。

点拨：第（2）问在解答时也可以按运算律做。（a+b）(ka－2b)=ka－ka2b－2b=2k+k－

510=0，解得k=－2，或k=2。 题型2：数量积

例3、（1）（2008上海文，理2）已知向量a和b的夹角为120°，且|a|=2，|b|=5，则（2a－b）2a=_____.

2

2

2

2

?（2）设空间两个不同的单位向量a=(x1，y1，0)，b=(x2，y2，0)与向量c=(1，1，1)的夹角都等于4。(1)求x1+y1和x1y1的值；(2)求的大小(其中0＜＜π)。

解析：（1）答案：13；解析：∵（2a－b）2a=2a－b2a=2|a|－|a|2|b|2cos120°=224

2

2

8

22221112－225（－）=13。（2）解：(1)∵|a|=|b|=1，∴x+y=1，∴x=y2=1.

22??又∵a与c的夹角为4，∴a2c=|a||c|cos4=26又∵a2c=x1+y1，∴x1+y1=2。

61?1?1=2.

222另外

2x12+y161122

=(x1+y1)-2x1y1=1，∴2x1y1=(2)－1=2.∴x1y1=4。

(2)cos=a?b|a||b|61=x1x2+y1y2，由(1)知，x1+y1=2，x1y1=4.

612

∴x1，y1是方程x－2x+4=0的解. ????6?26?26?26?2x?,x?,x?,,?1?1?2?x2?????4444????6?26?26?26?2????y?,y?.y?,y?.1122????4444????∴或同理可得或

??6?26?2,?x1?y2?,?x1?y2???44??6?26?2??x?y?,x?y?.2121??44??∵a≠b，∴或

6?26?26?26?21114444∴cos=2+2=4+4=2.

?∵0≤≤π，∴=3。评述：本题考查向量数量积的运算法则。 题型3：空间向量的应用

例4、（1）已知a、b、c为正数，且a+b+c=1，求证：13a?1+13b?1+13c?1≤43。

（2）已知F1=i+2j+3k，F2=-2i+3j-k，F3=3i-4j+5k，若F1，F2，F3共同作用于同一物体上，使物体从点M1（1，-2，1）移到点M2(3，1，2)，求物体合力做的功。

解析：（1）设m=(13a?1，13b?1，13c?1)，n=(1，1，1)， 则|m|=4，|n|=3. ∵m2n≤|m|2|n|，

∴m2n=13a?1+13b?1+13c?1≤|m|2|n|=43. 1当13a?1=13b?1=13c?1时，即a=b=c=3时，取“=”号。

111（2）解：W=F2s=(F1+F2+F3)2M1M2=14。

点评：若m=(x，y，z)，b，c)，则由m2得(ax+by+cz)≤(a+b+c)(x+y+z).n=(a，n≤|m|2|n|，

2

2

2

2

2

2

2

此式又称为柯西不等式(n=3)。本题考查|a|2|b|≥a2b的应用，解题时要先根据题设条件构造向量a，b，然后结合数量积性质进行运算。空间向量的数量积对应做功问题。

9

（三）、强化巩固训练

1、(07天津理，4)设a、b、c是任意的非零平面向量,且相互不共线,则

①（a2b）c－（c2a）b=0 ②|a|－|b|<|a－b| ③（b2c）a－（c2a）b不与

22

（3a－2b）=9|a|－4|b|中，是真命题的有（ ） c垂直 ④（3a+2b）

A.①② B.②③ C.③④

解析：①平面向量的数量积不满足结合律.故①假；答案：D

D.②④

②由向量的减法运算可知|a|、|b|、|a－b|恰为一个三角形的三条边长，由“两边之差小于第三边”，故②真；

③因为［（b2c）a－（c2a）b］2c=（b2c）a2c－（c2a）b2c=0，所以垂直.故③假； ④（3a+2b）（3a－2b）=92a2a－4b2b=9|a|－4|b|成立.故④真.

点评：本题考查平面向量的数量积及运算律。

2

2

????????????????????????????2、已知O为原点，向量OA??3,0,1?,OB???1,1,2?,OC?OA,BC∥OA，求AC．

????????解：设OC??x,y,z?,BC??x?1,y?1,z?2?，

????????????????????????????????∵OC?OA,BC∥OA，∴OC?OA?0，BC??OA???R?，

?3x?z?0,?x?1?3?,??3x?z?0,?∴?，即?

x?1,y?1,z?2??3,0,1y?1?0,?????????z?2??.解此方程组，得x??7211,y?1,z?,??。 101010（四）、小结： (1) 共线与共面问题；(2) 平行与垂直问题；(3) 夹角问题；(4) 距离问题；运用向量来

解决它们有时会体现出一定的优势．用空间向量解题的关键步骤是把所求向量用某个合适的基底表示，本节主要是用单位正交基底表示，就是适当地建立起空间直角坐标系，把向量用坐标表示，然后进行向量与向量的坐标运算，最后通过向量在数量上的关系反映出向量的空间位置关系，从而使问题得到解决．在寻求向量间的数量关系时，一个基本的思路是列方程，解方程． （五）、作业布置：课本P56页A组中6、11、12、19

课外练习：限时训练53中2、4、7、9、10、12、14 五、教学反思：

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第三课时 空间向量及其运算强化训练

一、复习目标：1、了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示；2、 掌握空间向量的线性运算及其坐标表示；3、 掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直；4、通过本课强化训练，使学生进一步熟练理解和掌握上述概念和运算方法，提高学生的灵活和综合运用能力。 二、重难点：空间向量及其运算的综合运用。 三、教学方法：讲练结合，探析归纳。 四、教学过程 （一）、基础自测（分组训练、共同交流） 1.有4个命题：

①若p=xa+yb，则p与a、b共面；②若p与a、b共面，则p=xa+yb； ③若MP=xMA+yMB，则P、M、A、B共面；④若P、M、A、B共面，则MP=xMA+yMB. 其中真命题的个数是（ B ）。A.1 B.2 C.3 D.4 2.下列命题中是真命题的是( D )。

A.分别表示空间向量的有向线段所在的直线是异面直线，则这两个向量不是共面向量 B.若|a|=|b|，则a，b的长度相等而方向相同或相反 C.若向量AB，CD满足|AB|＞|CD|，且AB与CD同向，则AB＞CD D.若两个非零向量AB与CD满足AB+CD=0，则AB∥CD 3.若a=(2x,1,3),b=(1,-2y,9),且a∥b，则（ C ）。 A.x=1,y=1

1632

B.x=，y=- D.x=-，y=

16321212

C.x=，y=-

4.已知A（1，2，3），B（2，1，2），P（1，1，2），点Q在直线OP上运动，当QA2QB取最小值时，

448?点Q的坐标是 . 答案 ??,,?

?333?5.在四面体O-ABC中，OA=a,OB=b, OC=c,D为BC的中点,E为AD的中点，则OE= (用a,b,c表示). 答案 a+b+c （二）、典例探析

例1、如图所示，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，设AA1=a，

AB=b，AD=c，M，N，P分别是AA1，BC，C1D1的中点，

121414试用a，b，c表示以下各向量： （1）AP；（2）A1N；（3）MP+NC1.

11

解 （1）∵P是C1D1的中点，∴AP=AA1+A1D1+D1P=a+AD+（2）∵N是BC的中点，∴A1N=A1A+AB+BN=-a+b+（3）∵M是AA1的中点，∴MP=MA+AP=又NC1=NC+CC1=

111D1C1=a+c+AB=a+c+b. 222111BC=-a+b+AD=-a+b+c. 22211111A1A+AP=-a+(a+c+b)= a+b+c， 22222111111313BC+AA1=AD+AA1=c+a，∴MP+NC1=(a+b+c)+(a+c)=a+b+c. 222222222例2、如图所示，已知空间四边形ABCD的各边和对角线的长都等于a，点M、N

分别是AB、CD的中点.

（1）求证：MN⊥AB，MN⊥CD；（2）求MN的长； （3）求异面直线AN与CM夹角的余弦值. （1）证明 设AB=p, AC=q，AD=r.

由题意可知：|p|=|q|=|r|=a，且p、q、r三向量两两夹角均为60°.

MN=AN-AM=

111（AC+AD）-AB=（q+r-p）， 222122

2

2

2

∴MN2AB=（q+r-p）2p=（q2p+r2p-p）=（a2cos60°+a2cos60°-a）=0. ∴MN⊥AB,同理可证MN⊥CD.

（2）解 由（1）可知MN=（q+r-p）∴|MN|=MN=（q+r-p）

11222222a2a2a2=［q+r+p+2（q2r-p2q-r2p）］=[a+a+a+2（--）] 44222122

2

1212142

=32a=

142

22a2. ∴|MN|=a,∴MN的长为a.

2221212(3)解 设向量AN与MC的夹角为?.

∵AN=(AC+AD)=(q+r), MC=AC-AM=q-p,

∴AN2MC=（q+r）2（q-p）=（q-q2p+r2q-r2p） =(a-a2cos60°+a2cos60°-a2cos60°)=（a-又∵|AN|=|MC|=

3a， 2122

121212122

12121222

122

122

a2a2a2a2+-）=. 4242233a2∴AN2MC=|AN|2|MC|2cos?=. ∴cos?=， a2a2cos?=

3222∴向量AN与MC的夹角的余弦值为，从而异面直线AN与CM夹角的余弦值为. 例3、 （1）求与向量a=(2,-1,2)共线且满足方程a2x=-18的向量x的坐标；

2323

（2）已知A、B、C三点坐标分别为（2，-1，2），（4，5，-1），（-2，2，3），求点P的坐标使得AP=（AB-AC）；

（3）已知a=（3，5，-4），b=（2，1，8），求：①a2b；②a与b夹角的余弦值；

12 12

③确定?，?的值使得?a+?b与z轴垂直，且（?a+?b）2（a+b）=53. 解 （1）∵x与a共线，故可设x=ka，

由a2x=-18得a2ka=k|a|=k（4?1?4）=9k，∴9k=-18，故k=-2. ∴x=-2a=（-4，2，-4）.

（2）设P（x，y，z），则AP=（x-2，y+1，z-2），

AB=（2，6，-3），AC2

2

=（-4，3，1），∵AP=（AB-AC）.

12123212∴（x-2，y+1，z-2）=［（2，6，-3）-（-4，3，1）］=（6，3，-4）=(3，，-2)

?x?2?3?x?5??31?1∴?y?1?，解得??y? ∴P点坐标为(5，，0). 222?????z?2??2?z?0（3）①a2b=（3，5，-4）2（2，1，8）=332+531-438=-21. ②∵|a|=32?52?(?4)2=52, |b|=22?12?82=69,

a?b?2171387138∴cos〈a,b〉=ab ==-.∴a与b夹角的余弦值为-.

23023052?69③取z轴上的单位向量n=（0，0，1），a+b=（5，6，4）.

???a??b??a?0??3??2?,5???,?4??8????0,0,1??0?依题意??a??b???a?b??53 即? ?????3??2?,5???,?4??8??5,6,4?53????1??4??8??0?故? 解得?1.

??29??18??53??2?（三）、强化训练：如图所示，正四面体V—ABC的高VD的中点为O，VC的中点为M.

（1）求证：AO、BO、CO两两垂直； （2）求〈DM,AO〉.

(1)证明 设VA=a,VB=b, VC=c,正四面体的棱长为1, 则VD=(a+b+c),AO=(b+c-5a),

BO=

131611(a+c-5b), CO=(a+b-5c) 66112

（b+c-5a）2（a+c-5b）=（18a2b-9|a|） 3636∴AO2BO==

1（1831312cos60°-9）=0.∴AO⊥BO，∴AO⊥BO，同理AO⊥CO，BO⊥CO， 36∴AO、BO、CO两两垂直.

1111?1?（2）解 DM=DV+VM=-（a+b+c）+c=(-2a-2b+c).∴|DM|=???2a?2b?c??=，

2362?6?2 13

1?|AO|=??6?b?c?5a????2=

141112，DM2AO=（-2a-2b+c）2（b+c-5a）=，

6642∴cos〈DM,AO〉=

12?22=

2，∵〈DM,AO〉∈(0,?),∴〈DM, AO〉=45°. 2（四）、小结：本节主要有空间向量的坐标表示，空间向量的坐标运算，平行向量，垂直向量坐标之间的关系以及中点公式，要充分利用空间图形中已有的直线的关系和性质；空间向量的坐标运算同平面向量类似，具有类似的运算法则.一个向量在不同空间的表达方式不一样，实质没有改变.因而运算的方法和运算规律结论没变。不同点仅是向量在不同空间具有不同表达形式.空间两向量平行时同平面两向量平行时表达式不一样，但实质是一致的，即对应坐标成比例，且比值为?，对于中点公式要熟记。 （五）、作业布置：复资P129页中4、5、8、9

AF补充：1、已知空间四边形ABCD的每条边和对角线的长都等于a,点E、F分别是BC、AD的中点，则AE2的值为（ C ）A.a

2

B.a2 C.a2 D.

121432a 4AC1=，则C点的坐标为( C ) AB32、已知A（4，1，3），B（2，-5，1），C为线段AB上一点，且A.(，?，)

721522 2) B. (，?3，83 C.(107，?1，) 33 D. (，?，)

5273223、如图所示，平行六面体ABCD—A1B1C1D1中，以顶点A为端点的三条棱长度都为1，且两 两夹角为60°. (1)求AC1的长；（2）求BD1与AC夹角的余弦值. 解 记AB=a，AD=b，AA1=c，

则|a|=|b|=|c|=1，〈a,b〉=〈b,c〉=〈c,a〉=60°, ∴a2b=b2c=c2a=.

（1）|AC1|=（a+b+c）=a+b+c+2（a2b+b2c+c2a）=1+1+1+23(++)=6, ∴|AC1|=6,即AC1的长为6.

(2)BD1=b+c-a,AC=a+b,∴|BD1|=2,|AC|=3,

BD12AC=（b+c-a）2（a+b）=b-a+a2c+b2c=1.∴cos〈BD1,AC〉=2

2

2

2

2

2

2

12121212BD1?ACBD1AC=6. 6∴AC与BD1夹角的余弦值为五、教学反思：

6. 6 14

立体几何中的向量方法 -------空间夹角和距离

一．考纲要求：

1．能借助空间几何体内的位置关系求空间的夹角和距离；

2．能用向量方法解决线线、线面、面面的夹角的计算问题，体会向量方法在研究几何问题中的作用。

二．命题走向：

空间的夹角和距离问题是立体几何的核心内容，高考对本节的考查主要有以下情况：（1）空间的夹角；（2）空间的距离；（3）空间向量在求夹角和距离中的应用。

预测2010年高考对本节内容的考察将侧重空间向量的应用求夹角、求距离。课本淡化了利用空间关系找角、求距离这方面内容的讲解，而是加大了向量在这方面内容应用的讲解，因此作为立体几何的解答题，用向量方法处理有关夹角和距离将是主要方法，在复习时应加大这方面的训练力度。

题型上空间的夹角和距离主要以主观题形式考查。

第一课时 空间夹角和距离

一、复习目标：1．能借助空间几何体内的位置关系求空间的夹角和距离；2．能用向量方法解决线线、线面、面面的夹角的计算问题，体会向量方法在研究几何问题中的作用。 二、重难点：向量法在立体几何中求空间的夹角和距离应用。 三、教学方法：讲练结合，探析归纳 四、教学过程 （一）、谈最新考纲要求及新课程高考命题考查情况，促使积极参与。

学生阅读复资132页，教师讲解，增强目标与参与意识。 （二）、知识梳理，方法定位（学生完成复资P132页填空题，教师准对问题讲评） 1．空间中各种角包括：异面直线所成的角、直线与平面所成的角以及二面角。

（1）异面直线所成的角的范围是(0,?2]。求两条异面直线所成的角的大小一般方法是通过平行移

动直线，把异面问题转化为共面问题来解决。

具体步骤如下：

①利用定义构造角，可固定一条，平移另一条，或两条同时平移到某个特殊的位置，顶点选择在特殊的位置上；

②证明作出的角即为所求的角； ③利用三角形来求角。

（2）直线与平面所成的角的范围是[0,?2]。求直线和平面所成的角用的是射影转化法。

具体步骤如下：

①找过斜线上一点与平面垂直的直线； D ②连结垂足和斜足，得出斜线在平面的射影，确定出所求的角； ③把该角置于三角形中计算。

注：斜线和平面所成的角，是它和平面内任何一条直线所成的一切角中的最小角，即若θ为线面角，α为斜线与平面内任何一条直线所成的角，则有???； A C （3）确定点的射影位置有以下几种方法： ? B ①斜线上任意一点在平面上的射影必在斜线在平面的射影上； ②如果一个角所在的平面外一点到角的两边距离相等，那么这一点在平面上的射影在这个角的

15

平分线上；如果一条直线与一个角的两边的夹角相等，那么这一条直线在平面上的射影在这个角的平分线上；

③两个平面相互垂直，一个平面上的点在另一个平面上的射影一定落在这两个平面的交线上； ④利用某些特殊三棱锥的有关性质，确定顶点在底面上的射影的位置：

a.如果侧棱相等或侧棱与底面所成的角相等，那么顶点落在底面上的射影是底面三角形的外心； b. 如果顶点到底面各边距离相等或侧面与底面所成的角相等，那么顶点落在底面上的射影是底面三角形的内心(或旁心)；

c. 如果侧棱两两垂直或各组对棱互相垂直，那么顶点落在底面上的射影是底面三角形的垂心；

（4）二面角的范围在课本中没有给出，一般是指(0,?]，解题时要注意图形的位置和题目的要求。作二面角的平面角常有三种方法

①棱上一点双垂线法：在棱上任取一点，过这点在两个平面内分别引棱的垂线，这两条射线所成的角，就是二面角的平面角；

②面上一点三垂线法：自二面角的一个面上一点向另一面引垂线，再由垂足向棱作垂线得到棱上的点（即垂足），斜足与面上一点连线和斜足与垂足连线所夹的角，即为二面角的平面角；

③空间一点垂面法：自空间一点作与棱垂直的平面，截二面角得两条射线，这两条射线所成的角就是二面角的平面角。

斜面面积和射影面积的关系公式：S??S?cos?(S为原斜面面积,S?为射影面积,?为斜面与射影所成二面角的平面角)这个公式对于斜面为三角形,任意多边形都成立.是求二面角的好方法.当作二面角的平面角有困难时,如果能找得斜面面积的射影面积,可直接应用公式,求出二面角的大小。

2．空间的距离

（1）点到直线的距离：点Ｐ到直线a的距离为点Ｐ到直线a的垂线段的长，常先找或作直线a所在平面的垂线，得垂足为Ａ，过Ａ作a的垂线，垂足为Ｂ连ＰＢ，则由三垂线定理可得线段ＰＢ即为点Ｐ到直线a的距离。在直角三角形ＰＡＢ中求出ＰＢ的长即可。

点到平面的距离：点Ｐ到平面?的距离为点Ｐ到平面?的垂线段的长．常用求法①作出点Ｐ到平面的垂线后求出垂线段的长；②转移法，如果平面?的斜线上两点Ａ，Ｂ到斜足Ｃ的距离ＡＢ，ＡＣ的比为m:n，则点Ａ，Ｂ到平面?的距离之比也为m:n．特别地，ＡＢ＝ＡＣ时，点Ａ，Ｂ到平面?的距离相等；③体积法

（2）异面直线间的距离：异面直线a,b间的距离为a,b间的公垂线段的长．常有求法①先证线段ＡＢ为异面直线a,b的公垂线段，然后求出ＡＢ的长即可．②找或作出过b且与a平行的平面，则直线

a到平面的距离就是异面直线a,b间的距离．③找或作出分别过a,b且与b，a分别平行的平面，则这两平面间的距离就是异面直线a,b间的距离．④根据异面直线间的距离公式求距离。

（3）直线到平面的距离：只存在于直线和平面平行之间．为直线上任意一点到平面间的距离。 （4）平面与平面间的距离：只存在于两个平行平面之间．为一个平面上任意一点到另一个平面的距离。

以上所说的所有距离：点线距，点面距，线线距，线面距，面面距都是对应图形上两点间的最短

16

距离。所以均可以用求函数的最小值法求各距离。

3．空间向量的应用

（1）用法向量求异面直线间的距离

如右图所示，a、b是两异面直线，n是a和b 的法E∈a，F∈b，则异面直线 a与b之间的距离是

a E

向量，点

d?EF?nn ；

b

F A 面α的法

B （2）用法向量求点到平面的距离

如右图所示，已知AB是平面α的 一条斜线，n为平

n C α 向量，则 A到平面α的距离为d?AB?nn；

（3）用法向量求直线到平面间的距离

首先必须确定直线与平面平行，然后将直线到平面的距离问题转化成直线上一点到平面的距离问题。

（4）用法向量求两平行平面间的距离

首先必须确定两个平面是否平行，这时可以在一个平面上任取一点，将两平面间的距离问题转化成点到平面的距离问题。 （5）用法向量求二面角

如图，有两个平面α与β，分别作这两个平面的法向则平面α与β所成的角跟法向量n1与n2所成的角相等或先必须判断二面角是锐角还是钝角。

（6）法向量求直线与平面所成的角

α 量n1与n2，互补，所以首

n2 β n1 要求直线a与平面α所成的角θ，先求这个平面α的法向量n与直线a的夹角的余弦cosn,a，易知θ=n,a或者

?2?n,a。

（三）、基础巩固导练

1、在平行六面体ABCD—A'B'C'D'中，设AC'?xAB?2yBC?3zCC'，则x+y+z=（A ）

A.

11 6 B.

5 6 C.

2 3 D.

7 6 2、在正方体ABCD—A1B1C1D1中，M是棱DD1的中点，点O为底面ABCD的中心，P为棱A1B1上任意一点，则异面直线OP与AM所成角的大小为（ C ）

17

A.

? 4 B.

? 3 C.

? 2 D. 与P点位置无关

3、如图，正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F分别是AB、CC1的中点，则异面直线A1C与EF所成角的余弦值为（ B ）

3211 B. C. D. 3336 4、 如图所示，直二面角D—AB—E中，四边形ABCD是边长为2的正方形，AE=EB，F为CE上的点，且BF⊥平面ACE。

A.

（1）求证：AE⊥平面BCE；（2）求二面角B－AC－E的大小； （3）求点D到平面ACE的距离。10、（1）略（2）arcsin623 （3） 33（四）、小结：本课要求大家理解和掌握运用向量法解决立体几何中：1、线面角的求法： 2、二

面角的求法：①AB，CD分别是二面角?—l—?的两个面内与棱l垂直的异面直线，则二面角的大小为AB,CD。3、设n1,n2分别是二面角?—l—?的两个平面?,?的法向量，则

cosn1,n2?n1?n2,n1,n2就是二面角的平面角或其补角。4、异面直线间距离的求法： 5、点面

|n1|?|n2|距离的求法： 6、线面距、面面距均可转化为点面距离再用（5）中方法求解。 （五）、作业布置：课本P57页A组中16、17、18 B组中3

课外练习：复资P133页变式训练题1、2、4、5、6、7、8

五、教学反思：

18

第二课时 用向量法求空间夹角

——热点考点题型探析

一、复习目标：1．能借助空间几何体内的位置关系求空间的夹角；2．能用向量方法解决线线、线面、面面的夹角的计算问题，体会向量方法在研究几何问题中的作用。3、探究题型，掌握解法。 二、重难点：向量法在立体几何中求空间的夹角应用。探究题型，掌握解法。 三、教学方法：讲练结合，探析归纳 四、教学过程

（一）热点考点题型探析 题型1：异面直线所成的角

例1、已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，点E为棱AB的中点。

求：D1E与平面BC1D所成角的大小（用余弦值表示）

z 解析：建立坐标系如图，

D1 C1 则A?2,0,0?、B?2,2,0?，C?0,2,0?，

A1?2,0,2?，B1?2,2,2?，D1?0,0,2?，E?2,1,0?，

A1 B1 ?????AC???2,2,?2?， 1?????????????? D1E??2,1,?2?，AB??0,2,0?，BB1??0,0,2?。?????不难证明AC1为平面BC1D的法向量， ????????????????????A1C?D1E3∵ cosA1C,D1E????。 ????????9A1CD1Ex A D y C E B ∴ D1E与平面BC1D所成的角的余弦值为

3。 9反思归纳：将异面直线间的夹角转化为空间向量的夹角。 题型2：直线与平面所成的角 例2、（09年高考试题）如图，直三棱柱ABC—A1B1C1中，底面是等腰直角三角形，∠ACB＝90?，侧棱AA1＝2，D、E分别是CC1与A1B的中点，点E在平面ABD上的射影是△ABD的重心G。求A1B与平面ABD所成角的大小（结果用余弦值表示）；

解析：如图所示，建立坐标系，坐标原点为C，设

z CA＝2a，则A(2a，0，0)，B(0，2a，0)，D(0，0，1)， C1 2a2a1,,) ，A1(2a，0，2)，E(a，a，1)， G(

333A1 B ????∵ GE??a,?a,?2，

333????BD??0,?2a,1?， ????????222GE?BD?a??0，

33??1DD E K G x A C B y 19

∴ a＝1，GE??1,?1,?2，

?????333??????A1B???2,2,?2?

??????????????????????A1B?GE2∵ GE为平面ABD的法向量，且cosA1B,GE????。 ???????3A1BGE∴ A1B与平面ABD所成角的余弦值是

2。 3反思归纳：先处理平面的法向量，再求直线的方向向量与法向量夹角间的夹角转化为线面角。 题型3：二面角

例3、（08年高考）在四棱锥P－ABCD中，ABCD为正面ABCD，PA＝AB＝a，E为BC中点。

（1）求平面PDE与平面PAB所成二面角的大小（用（2）求平面PBA与平面PDC所成二面角的大小。 解析：（1）延长AB、DE交于点F，则PF为平面PAD所成二面角的棱，∵PA⊥平面ABCD，∴AD⊥PA、PA∩AB=A∴DA⊥平面BPA于A，

F E PDE与平面AB, 方形，PA⊥平

O 正切值表示）；

过A作AO⊥PF于O，连结OD，则∠AOD即为平面PDE与平面PAD所成二面角的平面角。易得

tan?AOD?55，故平面PDE与平PAD所成二面角的正切值为； 22（2）解法1（面积法）如图∵AD⊥PA、AB, PA∩AB=A， ∴DA⊥平面BPA于A, 同时，BC⊥平面BPA于B，

∴△PBA是△PCD在平面PBA上的射影, 设平面PBA与平面PDC所成二面角大小为θ,

0

cosθ=S△PAB/S△PCD=/2 θ=45。

即平面BAP与平面PDC所成的二面角的大小为45°。 解法2（补形化为定义法）

如图：将四棱锥P-ABCD补形得正方体ABCD－PQMN，则PQ⊥PA、是两面所成二面角的平面角。

在Rt△PAD中，PA=AD，则∠APD=45°。即平面BAP与平面PDC

PD，于是∠APD

所成二面角的大

20

小为45°。 （二）、强化巩固训练

1、（2007年，北京卷高考题）如图6，正三棱柱ABC?A1B1C1的底面边长为3，侧棱

AA1?332，D

是CB延长线上一点，且BD?BC。求二面角B1?AD?B的大小。（略去了该题的①，③问） 2、（06四川卷）已知球O的半径是1，A、B、C三点都在球面上，A、B两点和A、C两点的球

??面距离都是4，B、C两点的球面距离是3，则二面角B?OA?C的大小是（ ） ???2?（A）4 （B）3 （C）2 （D）3

1、解析：（1）取BC的中点O，连AO。

由题意：平面ABC?平面BCC1B1，AO?BC，∴AO?平面BCC1B1， 以O为原点，建立如图6所示空间直角坐标系，

A（0,0,则

3393）B（,0,0）D（,0,0）222，，，

zACOBB1DA1C19333B（,3,0）AD?（,0,?3）12222， ∴， B1D?（3,?333,0）BB1?（0,3,0）22， ，

BB1?（0,yx由题意 BB1?平面ABD， ∴

33,0）2为平面ABD的法向量。

设 平面AB1D的法向量为 n2?(x,y,z)，

3?9x?3z?03?2?2x?3y?????n2?AD?n2?AD?032????3x?3y?0?z?3x?n?B1D?n?BD?02则?2， ∴ ?21， ∴ ?，即 ?。

332∴ 不妨设

n2?(33,1,)22，由

cos?BB1,n2??BB1?n2|BB1|?|n2|?33?22?12，

21

?得?BB1,n2??60。 故所求二面角B1?AD?B的大小为60。

?评析：（1）用法向量的方法处理二面角的问题时，将传统求二面角问题时的三步曲：“找——证——求”直接简化成了一步曲：“计算”，这表面似乎谈化了学生的空间想象能力，但实质不然，向量法对学生的空间想象能力要求更高，也更加注重对学生创新能力的培养，体现了教育改革的精神；

（2）此法在处理二面角问题时，可能会遇到二面角的具体大小问题，如本题中若取

n2?(?33,?1,?)22时，会算得

cos?BB1,n2???12，从而所求二面角为120?，但依题意只为60?。因为二面角的大小有

时为锐角、直角，有时也为钝角。所以在计算之前不妨先依题意判断一下所求二面角的大小，然后根据计算取“相等角”或取“补角”。

?2、解析：球O的半径是R=1，A,B,C三点都在球面上，A,B两点和A,C两点的球面距离都是4，则???∠AOB，∠AOC都等于4，AB=AC，B,C两点的球面距离是3，∠BOC=3，BC=1，过B做BD⊥AO，垂足

?2为D，连接CD，则CD⊥AD，则∠BDC是二面角B?OA?C的平面角，BD=CD=2，∴∠BDC=2，二面

?角B?OA?C的大小是2，选C。

（三）、小结：本课要求大家理解和掌握运用向量法解决立体几何中：1、线面角的求法： 2、二面角的求法：①AB，CD分别是二面角?—l—?的两个面内与棱l垂直的异面直线，则二面角的大小为

AB,CD。3、设n1,n2分别是二面角?—l—?的两个平面?,?的法向量，则cosn1,n2?n1?n2,n1,n2就是二面角的平面角或其补角。教师引导学生反思归纳回顾，进一步

|n1|?|n2|深化理解。 （四）、作业布置：复资P133页中2、3、4

课外练习：限时训练54中3、5、7、8、10、11

五、教学反思：

22

第三课时 用向量法求空间的距离

——热点考点题型探析

一、复习目标：1．能借助空间几何体内的位置关系求空间的距离；2．能用向量方法解决线线、线面、面面的距离的计算问题，体会向量方法在研究几何问题中的作用。3、探究题型，掌握解法。 二、重难点：向量法在立体几何中求空间的距离应用。探究题型，掌握解法。 三、教学方法：讲练结合，探析归纳 四、教学过程

（一）热点考点题型探析

z题型1：异面直线间的距离

S 例1、如图2，正四棱锥S?ABCD的高SO?2， 底边长AB?2。求异面直线BD和SC 之间的距离？

分析：建立如图所示的直角坐标系，则 2222A(,?,0)B(,,0)2222， ，

D A xO 图2 B C yC(?????222222?,,0)D(?,?,0)S(0,0,2)????CS?(,?,2)DB?(2,2,0)222222，，。，。

???????????n?(x,y,1)n?DB,n?CS令向量，且，

?(x,y,1)?(2,2,0)?0??????????n?DB?0???x??2?x?y?022?????????,?,2)?0??(x,y,1)?(22?x?y?22?0，??n?CS?0，??y?2，?n?(?2,2,1)。 则?，??异面直线BD和SC之间的距离为：

22?????(?,,0)?(?2,2,1)OC?n221?1?025?d????(?2,2,1)5n(?2)2?(2)2?12。

题型2：点面距离

例2、如图，已知ＡＢＣＤ为边长是４的正方形， Ｅ，Ｆ分别是ＡＢ，ＡＤ的中点，ＧＣ垂直于Ａ ＢＣＤ所在的平面，且ＧＣ＝２，求点Ｂ到 平面ＥＦＧ的距离。

解法一：连结ＢＦ，ＢＧ，

Ｇ

Ｄ ＦＨ Ａ

O?Ｏ Ｅ

Ｂ

Ｃ

S?BEF?11BE?FA??2?2?222， 13BD?22,CH?AC,24

23

又Ｅ，Ｆ分别是ＡＢ，ＡＤ的中点，

?EF?

?GH?GC2?CH2?3??22??42??4??22。

2S?GEF?1121?22?22?211VB?EFG??211?h?11hVG?BEF??2?22333，，，

?h?21111．

解法二．?Ｅ，Ｆ分别是ＡＢ，ＡＤ的中点，?ＥＦ／／ＢＤ，?Ｂ到平面ＧＥＦ的距离为ＢＤ上任一点到平面ＧＥＦ的距离，ＢＤ?ＡＣ于Ｏ，ＥＦ／／ＢＤ，

?EF?AC,又ＧＣ?平面ＡＢＣＤ，ＥＦ?平面ＡＢＣＤ，?ＥＦ?ＧＣ，ＥＦ?平面ＧＥＦ，?平面ＧＥＦ?平面ＧＣＨ，过Ｏ点作OO??ＨＧ，则OO??平面ＧＥＦ，OO?为Ｏ到平面ＧＣＨ的距离，即Ｂ到平面ＧＥＦ的距离。

OH?1OHOO?211AC?2?,OO??4GC11。 由解法一知：GH?22，由?HOO?∽?HCG得 GH思维点拔：注意点距，线面距，面面距的转化，利用平面互相垂直作距离也是一种常用的方法。

题型6：线面距离

例3、已知正三棱柱ABC?A1B1C1的底面边长为8， 对角线B1C?10，D是AC的中点。（1）求点B1到 直线AC的距离。（2）求直线AB1到平面C1BD的距离。 解析：（1）连结BD，B1D，由三垂线定理可得：

A

D B

C A1B1C1B1D?AC，所以B1D就是B1点到直线AC的距离。

BB1?B1C2?BC2?102?82?6,BD?43Rt?BBD1在中． ?B1D?BD2?B1B2?221。

（2）因为AC与平面BD所以AB1到平面BD

C1交于ＡＣ的中点Ｄ，

设B1C?BC1?E，则AB1//DE，所以AB1//平面C1BD，

C1的距离等于Ａ点到平面BDC1的距离，等于Ｃ点到平面BDC1的距离，也就等于

三棱锥C?BDC1的高。

24

?VC?BDC1111213?hS?SCC?h??BDC1?BDC1?VC1?BDC313所以，直线AB1到平面BDC1的，3，

1213距离是13。

思维点拔：求空间距离多用转化的思想。

例4、如图，已知边长为42的正三角形ABC中， E、F分别为BC和AC的中点，PA?面ABC，且 PA?2，设平面?过PF且与AE平行。 求AE与平面 ?间的距离？

?????????????????ee分析：设AP、AE、EC的单位向量分别为1、2 ???????????e3，选取{e1，e2，e3}作为空间向量的一组基底。

????????????????????????????????????易知e1?e2?e1?e3?e2?e3?0，AP?2e1,AE?26e2,EC?22e3,

P F

A C E

B 设

????1????????1????????????????????????????PA?ACPA?(AE?EC)?2e?6e?2e23， PF?PA?AF=22==1???????????????????n?xe1?ye2?e3n?AE,n?PF?是平面的一个法向量，则，

???2??y?026ye?0?????2????n?AE?0???????????2222?????????2xe1?6ye2?2e3?0x????n?PF?0，即??2，

?????Ap?n???????2?n?e1?e3.n?直线AE与平面?间的距离d?2=???2????2e1?(e1?e3)2???22??e1?e322?23.3

（二）、强化巩固训练

长方体ABCD—A1B1C1D1中，AB=4，AD=6，AA1?4，M是A1C1的中点，P在线段BC上，且|CP|=2，Q是DD1的中点，求：（1）异面直线AM与PQ所成角的余弦值；（2）M到直线PQ的距离； （3）M到平面AB1P的距离。

解析：（1）方法一：

如图，建立空间直角坐标系B—xyz，则A（4，0，0），M（2，3，4），P（0，4，0），Q（4，6，2），

∴AM?(?2,3,4)，PQ?(4,2,2) ?|AM|?(?2)2?32?42?29

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|PQ|?42?22?22?24AM?PQ?(?2)?4?3?2?4?2?6故异面直线AM与PQ所成角的余弦值为?cosAM,PQ?AM?PQ|AM||PQ|?17458174 58

方法二：

?AM?AA1?A1M?AA1?∴AM?PQ

11A1B1?A1D1，PQ?PC?CD?DQ 2211A1B1?A1D1)(PC?CD?DQ)2211?A1D1?PC?A1B1?CD?AA1?DQ22AM?PQ17411 ?cosAM,PQ????6?2??4?(?4)?4?2?65822|AM|?|PQ|?|AM|?42?22?32?29?(AA1?|PQ|?42?22?22?24故异面直线AM与PQ所成角的余弦值为

174 58（2）∵QM?(?2,?3,2),QP?(?4,?2,?2)，

QM?QP∴QM在QP上的射影的模???2(?2)?(?4)?(?3)?(?2)?2?(?2)(?4)2?(?2)2?(?2)21024?566

|QP|?56???17?25?462 故M到PQ的距离为|QM|2???6?66??（3）设n?(x,y,z)是平面AB1P的某一法向量，则n?AB1,n?AP，

??4x?4z?0∵AB1?(?4,0,4),AP?(?4,4,0)∴?

??4x?4y?0 26

因此可取n?(1,1,1)，由于MA?(2,?3,?4)，那么点M到平面AB1P的距离为

d?53|MA?n||2?1?(?3)?1?(?4)?1|53，故M到平面AB1P的距离为。 ??3|n|33（三）、小结：

1．这些角是对点、直线、平面所组成空间图形的位置进行定性分析和定量计算的重要组成部分，学习时要深刻理解它们的含义，并能综合应用空间各种角的概念和平面几何知识（特别是余弦定理）熟练解题。特别注意:空间各种角的计算都要转化为同一平面上来，这里要特别注意平面角的探求；2．把空间问题转化为平面问题，从解决平面问题而使空间问题得以解决。求角的三个基本步骤：“作”、“证”、“算”。3．求空间中线面的夹角或距离需注意以下几点：①注意根据定义找出或作出所求的成角或距离，一般情况下，力求明确所求角或距离的位置；②作线面角的方法除平移外，补形也是常用的方法之一；求线面角的关键是寻找两“足”（斜足与垂足），而垂足的寻找通常用到面面垂直的性质定理；③求二面角高考中每年必考，复习时必须高度重视.二面角的平角的常用作法有三种：

根据定义或图形特征作；根据三垂线定理（或其逆定理）作，难点在于找到面的垂线。解决办法，先找面面垂直，利用面面垂直的性质定理即可找到面的垂线；作棱的垂面。作二面角的平面角应把握先

S?找后作的原则。此外在解答题中一般不用公式“cosθ＝S”求二面角否则要适当扣分。④求点到平

面的距离常用方法是直接法与间接法，利用直接法求距离需找到点在面内的射影，此时常考虑面面垂直的性质定理与几何图形的特殊性质。而间接法中常用的是等积法及转移法；⑤求角与距离的关键是将空间的角与距离灵活转化为平面上的角与距离，然后将所求量置于一个三角形中，通过解三角形最终求得所需的角与距离。4．注意数学中的转化思想的运用：（1）常用等角定理或平行移动直线及平面的方法转化所求角的位置；（2）常用平行线间、平行线面间或平行平面间距离相等为依据转化所求距离的位置；（3）常用割补法或等积（等面积或等体积）变换解决有关距离及体积问题。 （四）、作业布置：课本P47页3、5 P50页2、3

课外练习：限时训练54中2、4、6、9、12、13、14 五、教学反思：

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