高数第一章 函数与极限答案(2013)

第一章 函数与极限

第一章 函数与极限答案

第一节 映射与函数

1.填空题: （1）x??1,??x?1?1?x?0x??2； （2）y??； （3）{0}； （4）a；

0?x?1???xx?2

2?x?32?(x-1）x?1 （5）， x；（6）f(x-1)??x?3?x2. 选择题:

（1）C ； （2）A ； （3） B ； （4）B； （5） B； （6）C； （7）C ； 3． a?2,b?1,c?0；4． 2(1?x2)；

g(x?1)?2x2?5x?3；

?(?x)2?x2?x?0x?05. f(?x)??，即： f(x)??22?(?x)?(?x)?x?0?x?xx?06. 解：2f(x)?f(1?x)?x2 （1）

令x?1?t 得

2f(1?t)?f(t)?(1?t)2

2f(1?x)?f(x)?(1?x)2 （2）

x2?2x?1由（1）和（2）得；f(x)?

37． （1）y?|sinx|； （2）y?sin|x|； （3）y?2sinx.

2

8．设f[g(x)]由y?f(u),u?g(x)复合而成的，证明：

1

第一章 函数与极限

（1） 若g(x)是偶函数，则f[g(x)]是偶函数。

（2） 若f(x)单调增加，g(x)单调减少，则f[g(x)]单调减少。 （略）

第二节 数列的极限

1.填空题:

（1）0； （2）0； （3）a?0,b?6；

（4）数列?xn?有界是数列?xn?收敛的必要条件. 数列?xn?收敛是数列?xn?有界的充分条件. 2．选择题:

（1）B； （2） D； （3） D； 3. 根据数列极限的定义证明: （略）

4. 若limn??un?a，证明limn??un?a.并举例说明反之不成立.

提示：利用不等式：un?a?un?a?un?a

5. 设数列?xn?有界，又limn??yn?0，证明:limn??xnyn?0. （略）

第三节 函数的极限

1．填空题:

（1）f(0?)? b ，f(0?)? 1 . 当b? 1 时，limx?0f(x)?1.

（2） 充分必要

（3） 必要；充分；必要；充分；充分必要. 2．选择题:

（1） A ； （2） C ； （3） D ； （4） C 3. 根据函数极限的定义证明: limx?3(3x?1)?8； （略）

4．证明lim1x?0sinx不存在. 提示：取2个子序列趋于0，但极限不等。

第四节 无穷小与无穷大

1．填空题:

（1）??；-1 （2）无穷小； （3）无穷小 2．选择题:

（1） C. （2） D

2

第一章 函数与极限

3. （略） 4. （略）

第五节 极限运算法则

1． 选择题:

（1） B； （2）D； （3） C； （4）F； （5）D； （6） C. 2．计算下列极限:

2x2?2x?12x2?x?1 （1）lim 解：-1； （2）lim 解：0； （3） 解：； lim222x?1x??x??1x?13x?13x?13x?1132xx3?2x2lim(?) 解：-1 （4）lim 解：0 ； （5） 解：； （6）lim??x?11?xx??1?x2x?2(x?2)21?x33．证明lim(x?1)ex?11x?1不存在. (可设

1?t) x-1x2?1?ax?b)?0，求a,b的值. 解：a=1， b= –1. 4．若lim(x??x?15．

x2?1limx?13?x?1?x(x2?1)(3?x?1?x)?lim x?1 2?2x(x?1)(3?x?1?x)x?1?2??22?lim

第五节 极限存在准则 两个重要极限

1、选择题: A； 2．计算下列极限: （1）limx?0?ksinx?3x41kxelim(1?) 解：； （2）（k为正整数）解：

x??tanx?2x3xsecx?11?2x?3?lim （3）lim 解：； （4）??x?0x???2x?1?2x2 （5）lim2sinnx?1 解：e

x11lim(xsin?sinx) 解：1 解：； （6）xn??x?0xx2ntanx?sinx1sinxnlim （7）lim 解：； （8）（n为正整数） 解：(?1) 3x?0x?n?x?n?sinx2 3

第一章 函数与极限

x-a2ax（9）已知limx?ax(1-2a)2a?x?a?e2a?9x??(x-a)?9，求a 解：limx??x-a， 则 a?ln3

第七节 无穷小的比较 1．选择题: （1） A

【解析】 limf(x)g(x)?limx?sinaxx?sinax x?0x?0x2ln(1?bx)?limx?0x2?(?bx)洛lim1?acosax洛a2sinaxx?0?3bx2limx?0?6bxa2sinaxa3?lim 3x?0??? ?a??6b,故排除B,C. ?6b6b1,a?ax另外,lim1?acosaxx?0?3bx2存在,蕴含了1?acosax?0?x?0?,故a?1.排除D. （2）

（3） D

2．计算下列极限: （1）limtan3xx?02x； 解：32 ; （2）limtanx?sinx1x?0sin3x；解： 2

（3） lim1?xsinx?cosx3sinxn?1n?mx?0x2；解： 4. (4) lim(sinx) 解： x?0m???0n?m. ???n?m(5) limln(1?x)1x?01?x?1 解：2; (6) lim1?cos2xx?0xsinx 解：2

（7）

limln(1?sinx)x?0x 解：1;

4

第一章 函数与极限

3.利用极限存在准则证明下列各题 （1） limn(n??111??...?)?1. 提示：利用夹逼定理 222n??n?2?n?n?（2）设a1?2,an?1?

12(an?)，n?1,2,3,..., 则liman?2. 提示：利用单调有界必有极限。

n??2an第八节 函数的连续性与间断点

1.填空题:

（1）第 Ⅰ 类间断点. （2）第 Ⅱ 类型间断点. （3）定义f(0)? –1 （4）a必等于 2 . 2．选择题：

（1）C ； （2） B； （3）B. 3. 解：f(x)在x?1连续. 4. 解：a?b?1

5. 解：左不连续，右连续. 6. sin???1,??(2k?1)?,k?Z 2

第九节 连续函数的运算与初等函数的连续性

1.填空题:

??21?x（1）f(x)??e,x?0，limf(x)? 0 ；若f(x)无间断点，则a? 0 .

x?0?a,x?0?

5

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