高中物理竞赛辅导 机械振动和机械波

机械振动和机械波

§5．1简谐振动

?

?F回x如果一个物体受到的回复力与它偏离平衡位置的位移大小成正比，方向相反。即满

足：F回??Kx的关系，那么这个物体的运动就定义为简谐振动根据牛顿第二是律，物体的

5．1．1、简谐振动的动力学特点

a?加速度

离平衡位置的位移大小成正比，方何相反。

现有一劲度系数为k的轻质弹簧，上端固定在P点，下端固定一个质量为m的物体，物体平衡时的位置记作O点。现把物体拉离O点后松手，使其上下振动，如图5-1-1所示。

当物体运动到离O点距离为x处时，有

式中因此

F回K??mm，因此作简谐振动的物体，其加速度也和它偏

PF回?F?mg?k(x0?x)?mg

x x0为物体处于平衡位置时，弹簧伸长的长度，且有kx0?mg，

图5-1-1

F回?kx

说明物体所受回复力的大小与离开平衡位置的位移x成正比。因回复力指向平衡位置O，而位移x总是背离平衡位置，所以回复力的方向与离开平衡位置的位移方向相反，竖直方向的弹簧振子也是简谐振动。

注意：物体离开平衡位置的位移，并不就是弹簧伸长的长度。 5．1．2、简谐振动的方程

由于简谐振动是变加速运动，讨论起来极不方便，为此。可引入一个连续的匀速圆周运动，因为它在任一直径上的分运动为A??0简谐振动，以平衡位置O为圆心，以振幅A为半径作圆，这圆就

xO称为参考圆，如图5-1-2，设有一质点在参考圆上以角速度?作匀速圆周运动，它在开始时与O的连线跟x轴夹角为?0,那么在时刻t，参考圆上的质点与O的连线跟x的夹角就成为

???t??0，它在x轴上的投影点的坐标

图5-1-2

x?Acos(?t??0) （2）

这就是简谐振动方程，式中?0是t=0时的相位，称为初相：?t??0是t时刻的相位。 参考圆上的质点的线速度为A?，其方向与参考圆相切，这个线速度在x轴上的投影是

0） （3）

这也就是简谐振动的速度

v??A?cos(?t??参考圆上的质点的加速度为A?，其方向指向圆心，它在x轴上的投影是

2

2a??A?cos(?t??0） （4）

这也就是简谐振动的加速度

由公式（2）、（4）可得

a???2x

由牛顿第二定律简谐振动的加速度为

a?Fk??xmm

因此有

?2?km （5）

简谐振动的周期T也就是参考圆上质点的运动周期，所以

T?2?m?2??wk

5．1．3、简谐振动的判据

物体的受力或运动，满足下列三条件之一者，其运动即为简谐运动： ①物体运动中所受回复力应满足 F??kx；

2②物体的运动加速度满足 a???x；

0。 ③物体的运动方程可以表示为

事实上，上述的三条并不是互相独立的。其中条件①是基本的，由它可以导出另外两个条件②和③。

§5.2 弹簧振子和单摆

简谐振动的教学中经常讨论的是弹簧振子和单摆，下面分别加以讨论。 5．2．1、弹簧振子

弹簧在弹性范围内胡克定律成立，弹簧的弹力为一个线性回复力，

k因此弹簧振子的运动是简谐振动，振动周期

x?Acos(?t??)T?2?mk。

mk（1）恒力对弹簧振子的作用

比较一个在光滑水平面上振动和另一个竖直悬挂振动的弹簧振子，如果m和k都相同（如图5-2-1），则它们的振动周期T是相同的，也就是说，一个振动方向上的恒力不会改变振动的周期。

m图5-2-1

如果在电梯中竖直悬挂一个弹簧振子，弹簧原长l0，振子的质量为m=1.0kg，电梯静止时弹簧伸长?l=0.10m，从t=0时，开始电梯以g/2的加速度加速下降t??s,然后又以g/2加速减速下降直至停止试画出弹簧的伸长?l随时间t变化的图线。

由于弹簧振子是相对电梯做简谐运动，而电梯是一个有加速度的非惯性系，因此要考虑弹簧振子所受到的惯性力f。在匀速运动中，惯性力是一个恒力，不会改变振子的振动周期，

振动周期

因为k?mg/?l，所以

T?2?/??2?/km

T?2??lg?0.2?(s)

因此在电梯向下加速或减速运动的过程中，振动的次数都为

n?t/T??/0.2??5(次)

当电梯向下加速运动时，振子受到向上的惯性力mg/2，在此力和重力mg的共同作用下，振子的平衡位置在

的地方，同样，当电梯向下减速运动时，振子的平衡位置在

的地方。在电梯向下加速运动期间，振子正好完成5次全振动，因此两个阶段内振子的振幅都是?l/2。弹簧的伸长随时间变化的规律如图5-2-2所示，读者可以思考一下，如果电梯第二阶段的匀减速运动不是从5T时刻而是从4.5T时刻开始的，那么?l~t图线将是怎样的？

?l （2）弹簧的组合 设有几个劲度系数分别为k1、k2??kn的轻弹簧串联起来，组成一个

新弹簧组，当这个新弹簧组在F力作用下伸长时，各弹簧的伸长为x1，那么总伸长

i?1

各弹簧受的拉力也是F，所以有

n?l1?1mg/k??l/22

?l2?3mg/k?3?l/22

2?l?l ?x??xi OT2?t xi?F/ki

i?1故

根据劲度系数的定义，弹簧组的劲度系数

图5-2-2

x?F?n1ki

k?F/x

i?1即得

如果上述几个弹簧并联在一起构成一个新的弹簧组，那么各弹簧的伸长是相同的。要使各弹簧都伸长x，需要的外力

1/k??n1ki

m图5-2-3

F??kix?x?kii?1i?1nn

根据劲度系数的定义，弹簧组的劲度系数

nFk???kixi?1

导出了弹簧串、并联的等效劲度系数后，在解题中要灵活地应用，如图5-2-3所示的一个振动装置，两根弹簧到底是并联还是串联？这里我们必须抓住弹簧串并联的本质特征：串联的本质特征是每根弹簧受力相同；并联的本质特征是每根弹簧形变相同。由此可见图5-2-3中两根弹簧是串联。

当m向下偏离平衡位置?x时，弹簧组伸长了2 ?x，增加的弹力为

F?2?xk?2?x

m受到的合外力（弹簧和动滑轮质量都忽略）

k1k2k1?k2

?F?2?2?x

所以m的振动周期

k1k24kk?12?xk1?k2k1?k2

T?2?m(k1?k2)4k1k2

? =

m(k1?k2)k1k2

再看如图5-2-4所示的装置，当弹簧1由平衡状态伸长?l1时，弹簧2由平衡位置伸长了?l2，那么，由杆的平衡条件一定有（忽略杆的质量）

k1??l1a?k2?l2b

?l2?k1a???l1k2b

2

由于弹簧2的伸长，使弹簧1悬点下降

k2b a ak1a2?x???l2??2??l1bk2b

因此物体m总的由平衡位置下降了

1k1?k1a2??x1??l1??x????k?b2?1???l2?2?

此时m所受的合外力

m图5-2-4

k1k2b2?F?k1?l1??x1k1a2?k2b2

所以系统的振动周期

m(k1a2?k2b2)T?2?2kkb12

（3）没有固定悬点的弹簧振子 质量分别为mA和mB的两木块A和B，用一根劲度系

数为k的轻弹簧联接起来，放在光滑的水平桌面上（图5-2-5）。现在让两木块将弹簧压缩后由静止释放，求系统振动的周期。

想象两端各用一个大小为F、方向相反的力将弹簧压缩，假设某时刻A、B各偏离了原来的平衡位置xA和xB，因为系统受的合力始终是零，所以应该有

mAxA?mBxB ① A、B两物体受的力的大小

FA?FB?(xA?xB)k ②

由①、②两式可解得

mA?mBxAmB

m?mBFB?kAxBmB

FA?k由此可见A、B两物体都做简谐运动，周期都是

AB图5-2-5

T?2?mAmBk(mA?mB)

此问题也可用另一种观点来解释：因为两物体质心处的弹簧是不动的，所以可以将弹簧

mBmA?mBl0k看成两段。如果弹簧总长为l0，左边一段原长为mA?mB，劲度系数为mB；右边

mAmA?mBl0k一段原长为mA?mB，劲度系数为mB，这样处理所得结果与上述结果是相同的，

有兴趣的同学可以讨论，如果将弹簧压缩之后，不是同时释放两个物体，而是先释放一个，再释放另一个，这样两个物体将做什么运动？系统的质心做什么运动？

O5．2．2、单摆

一个质量为m的小球用一轻质细绳悬挂在天花板上的O点，小球摆动至与竖直方向夹?角，其受力情况如图5-2-6所示。其中回复力，即合力的切向分力为

F回?mg?sin?

当?<5o时，△OAB可视为直角三角形，切向分力指向平衡位置A，且

?Fxsin??l，所以

BmgxA图5-2-6

F回?mgxl

k?mgl）

F回?kx（式中

说明单摆在摆角小于5o时可近似地看作是一个简谐振动，振动的周期为

T?2?

在一些异型单摆中，l和g的含意以及值会发生变化。

（1）等效重力加速度g?

单摆的等效重力加速度g?等于摆球相对静止在平衡位置时，指向圆心的弹力与摆球质量的比值。

如在加速上升和加速下降的升降机中有一单摆，当摆球相对静止在平衡位置时，绳子中张力为m(g?a)，因此该单摆的等效重力加速度为g?=g?a。周期为

ml?2?kg

O?图5-2-7

a

O?lT?2?g?a

再如图5-2-7所示，在倾角为?的光滑斜面上有一单摆，当

Af?mamg摆球相对静止在平衡位置时，绳中张力为mgsin?，因此单摆

lT?2?gsin? 的等效重力加速度为g?=gsin?，周期为

又如一节车厢中悬挂一个摆长为l的单摆，车厢以加速度aag，此单摆可以在车厢中以OA为

图5-2-8

在水平地面上运动（如图5-2-8）。由于小球m相对车厢受到一个惯性力f?ma，所以它可

tga?以“平衡”在OA位置，

中心做简谐振动。当小球相对静止在平衡位置A处时，绳中张力为

?ma2?g2，等效重力加速度g??a2?g2，单摆的周期

lT?2?la2?g2

mB图5-2-9

（2）等效摆长l?

单摆的等效摆长并不一定是摆球到悬点的距离，而是指摆球的圆弧轨迹的半径。如图5-2-9中的双线摆，其等效摆长不是l，而是lsin?，周期

D?Al?mC?图5-2-10

T?2?

再如图5-2-10所示，摆球m固定在边长为L、质量可忽略的等边三角形支架ABC的顶角C上，三角支架可围绕固定的AB边自由转动，AB边与竖直方向成a角。

当m作小角度摆动时，实际上是围绕AB的中点D运动，故等效摆长

正因为m绕D点摆动，当它静止在平衡位置时，指向D点的弹力为mgsina，等效重力加速度为gsina，因此此异型摆的周期

lsin?g

l??Lcos300?3L2

T?2?l?3L?2?g?2gsina

（3）悬点不固定的单摆

如图5-2-11，一质量为M的车厢放在水平光滑地面上，车厢中悬有一个摆长为l，摆球的

质量为m的单摆。显然，当摆球来回摆动时，车厢也将作往复运动，悬点不固定。

由摆球相对于车厢的运动是我们熟悉的单摆，故取车厢为非惯性系，摆球受到重力mg，摆线拉力N和惯性力maM的作用，如图

分析摆球

N=mgcos??maMsin? ①（忽略摆球向心力） 回复力 F?mgsin??maMcos? ② 分析车厢：

?aMNNsin??MaM ③

2因为?很小，所以可认为sin???，cos??1，sin??0 则由①、③式可得

MmaMmgaM?mg?M

图5-2-11

把它代入②

F?mg(1?摆球偏离平衡位置的位移 x??l 所以

因此摆球作简谐振动，周期

m)?M

F?mg(M?m)xMI

T?2?

ml(M?m)g

T?2?由周期表达式可知：当M?m时，

lg，因为此时M基本

T?2?不动，一般情况下，

lg

§5.3 振动能量与共振

5. 3．1、简谐振动中的能量

以水平弹簧振子为例，弹簧振子的能量由振子的动能和弹簧的弹性势能构成，在振动过程中，振子的瞬时动能为：

EK?121mv?mA2?2sin2(?t??)22 121kx?m?2A2cos2(?t??)22

11m?2A2?kA222

振子的瞬时弹性势能为：

Ep?振子的总能量为：

E?EK?Ep?12kA简谐振动中，回复力与离开平衡位置的位移x的比值k以及振幅A都是恒量，即2是

恒量，因此振动过程中，系统的机械能守恒。

F回如以竖直弹簧振子为例，则弹簧振子的能量由振子的动能、重力势能和弹簧的弹性势能构成，尽管振动过程中，系统的机械能守恒，

kx但能量的研究仍比较复杂。由于此时回复力是由弹簧的弹力和重力共

12kx2同提供的，而且是线性力（如图5-3-1），因此，回复力做的功

（图中阴影部分的面积）也就是系统瞬时弹性势能和重力势能之和，

所以类比水平弹簧振子瞬时弹性势能表达式，式中x应指振子离开平

Oxx图5-3-1

衡位置的位移，则Ep就是弹性势能和重力势能之和，不必分开研究。

简谐振动的能量还为我们提供了求振子频率的另一种方法，这种方法不涉及振子所受的力，在力不易求得时较为方便，将势能写成位移的函数，即

另有

Ep?2Ep12kxk?22x。 ，

2Epk???mmx2

也可用总能量和振幅表示为

xcRM图5-3-2

??2Epmx2

5．3．2、阻尼振动

简谐振动过程的机械能是守恒的，这类振动一旦开始，就永不停止，是一种理想状态。实际上由于摩擦等阻力不可完全避免，在没有外来动力的条件下，振动总会逐渐减弱以致最后停息。这种振幅逐渐减小的振动，称为阻尼振动。阻尼振动不是谐振动。

①振动模型与运动规律

如图5-3-2所示，为考虑阻尼影响的振动模型，c为阻尼器，粘性阻尼时，阻力R=-cv，设m运动在任一x位置，由?F?m?x有

m?x??kx?cvx

分为 ax?2nvx?wx?0 （17） 式中

这里参考图方法不再适用，当 C 较小时，用微分方程可求出振体的运动规律，如图4-22所示。

②阻尼对振动的影响

由图5-3-3可见，阻尼使振幅逐渐衰减，直至为零。同时也伴随着振动系统的机械能逐渐衰减为零。

2n?c2m

xc?n2m此外，愈大，即阻尼愈大，振幅衰减愈快。而增大

质量m可使n减小。所以，为了减小阻尼，单摆的重球及弹簧

振子往往选用重球。

③常量阻力下的振动

例1、如图5-3-4所示，倔强系数为250g/cm的弹簧一端固定，另端连结一质量为30g的物块，置于水平面上，摩擦系数

ot图5-3-3

??14，现将弹簧拉长1cm后静止释放。试求：（1）物块获得

k1cm x 的最大速度；（2）物块经过弹簧原长位置几次后才停止运动。

解：振体在运动中所受摩擦阻力是与速度方向相反的常量力，并不断耗散系统的机械能，故不能像重力作用下那样，化图5-3-4 为谐振动处理。

（1）设首次回程中，物块运动至弹簧拉力等于摩擦力的x位置时，达最大速度

。

1mg?4?0.03(cm)x??k250g由 kx?mg?，

30g?再由能量守恒：

12112kx0?mg?(1?0.03)?k?0.032?mvmax22 2

代入已知数据得

vmax?485(cm/s)

?，则 （2）设物体第一次回程中，弹簧的最大压缩量为x11212??mg?(x0?x1?)kx0?kx12 2 2mg????x0?x1k

再设物体第一次返回中，弹簧的最大拉伸量为x1，则

1212??kx1?mg?(x1??x1)kx122

2mg???x1??x1k

可见振体每经过一次弹簧原长位置，振幅减小是相同的，且均为

2mg??k2?30?1000?14?3(cm)250?100050

1?16?0.04(cm)?0.06cm3/50而

故物体经过16次弹簧原长位置后，停止在该处右方。

5．3．3 受迫振动——在周期性策动外力作用下的振动。 例如：扬声器的发声，机器及电机的运转引起的振动。 1、振动模型及运动规律

如图5-3-5所示，为策动外力作用下的振动模型。其中，阻力R=-cv，为常见的粘性阻尼力。

策动力F=Hcospt，为简谐力时。

由?F回?max，有max?Hcospt?cvx?kx化为标准标式

ocR?x?2nvx??x?hcospt

c??n?2m式中 ，

2kHh?m，m

xF?HcosptM图5-3-5

xxxot?ot?ot瞬态振动静态振动受迫振动（a ） （b） （c）

图5-3-6

由微分方程理论可求得振子的运动规律

（2）受迫振动的特性

在阻尼力较小的条件下，简谐策动力引起的振动规律如图5-3-6所示。在这个受迫振动过程由两部分组成：一部分是按阻尼系统本身的固有频率所作的衰减振动，称为瞬态振动（图（a））；另一部分按策动力频率所作的稳定振动（图（b））。在实际问题中，瞬态振动很快消失，稳态振动显得更加重要。稳态振动的频率与系统本身的固有频率无关，其振幅与初位相也不由初始条件确定，而与策动频率p密切相关。

5．3．4、共振—当策动力频率p接近于系统的固有频率?时受迫振动振幅出现最大值的现象。 c0?0如图5-3-7所示的一组曲线，描述了不同阻尼系统的稳态振幅A随策动力频率p改变而引起的变化规律。由图

A可见：

c1?c2?c31、当p接近?时振幅最大，出现共振。

c1c22、阻尼越小，共振越大。

3、p?0时，振幅就是静力偏移，即

A0c3A0?4、p>>?时，振体由于惯性，来不及改变运动，处于

图5-3-7 静止状态。

§5.4 振动的合成

若一个物体同时受到两个或几个周期性策动力的作用，在一般情况下其中一个力的存在不会对另外一个力产生影响，这时物体的振动就是它在各个策动力单独作用下产生的振动相互叠加后的振动，由各策动力单独产生的振动来求它们叠加后的振动，叫振动的合成。

5. 4．1、 同方向、同频率两简谐运动的合成

当一个物体同时参与同方向的两个振动时，它在某一时刻的位移应为同一时刻两个振动的位移的代数和。当两振动的频率相同时，设此两振动的位移分别为

Hk

O?Px1?A1cos(?t??1)

x2?A2cos(?t??2)

则合振动的位移应为

x?x1?x2

?A1cos(?t??1)?A2cos(?t??2)

?A1cos?tcos?1?A1sin?tsin?1?A2cos?tcos?2?A2sin?tsin?2 ?(A1cos?1?A2cos?2)cos?t?(A1sin?1?A2sin?2)sin?t ?Acos?cos?t?Asin?sin?t ?Acos(?t??)

上式中

A?(A1cos?1?A2cos?2)2?(A1sin?1?A2sin?2)2

22?A?2AAcos?(??)?A112212

tg??A1sin?1?A2sin?2A1cos?1?A2cos?2

根据以上结论，进一步可以看到

①若?2??1?0或2k?（k为整数），则

cos(?2??1)?1

A?即合振动的振幅达到最大值，此时合振动的初位相与分振动的初位相同（或相差2k?） ②若?2??1??或(2k?1)? 则

2A12?2A1A2?A2?A1?A2

cos(?2??1)??1

2A?A12?2A1A2?A2?A1?A2

即合振动的振幅达到最小值。此时合振动的初位相取决于A1和A2的大小。即当A1?A2时，合振动的初位相等于?1(?1?2k?)；当A2?A1时，合振动的初位相等于?2(或?2?2k?)；当A2?A1时，则A=0，物体不会发生振动。

③一般情况下，?2??1可以任意值，合振动的振幅A的取值范围为

A1?A2≥A≥A1?A2

5. 4．2、 同方向、频率相近的两振动的合成 设物体同时参与两个不同频率的简谐运动，例如

x1?A1cos?1t x2?A2cos?2t

为简单起见，我们已设?2??1?0，这只要适当地选取时间零点，是可以做到的。如果再设A1?A2?A，则合振动

x?x1?x2?A(cos?1t?cos?2t)

???2???2?2Acos1tcos1t22

由于?1和?2相差不多，则有（?1??2）比（?1??2）大很多，由此，上一合振动可以看成是振幅为

2Acos?1??22tx（随时间变化）。角

T ?1??22频率为的振动。这种振动称为“拍”。拍的位

移时间图像大致如图5-4-1所示。由图可见，振幅的变

化周期T?为

ot2Acos?1??22t变化周期的一半，即

图5-4-1

122?T????2??2?1??2?1??2

1???2v???1?v1?v2T?2?或拍频为

????1??2

5．4．3、同频率相互垂直的两个简谐振动的合成 当一物体同时参与相互垂直的振动时

x?A1cos(?t??1) y?A2cos(?t??2)

合振动的轨迹在直角坐标系中的方程为

x2y22xy2??cos(???)?sin(?2??1)2122A1A2A12 （6-17）

当?2??1?2K?时，(K?0,?1,?2??)

x2y22xy?2??0A12A2A12

y?得

A2xA1

A2合成结果仍为简谐振动（沿斜率为A1的直线作简谐振动）。 当?2??1=(2K?1)?时，(K?0,?1,?2??)

x2y2?2?12A1A2

可见，当

?2??1??3或?22时，合振动均为椭圆振动，但两者旋转方向不同。

§5.5机械波

5．5．1、机械波

机械振动在介质中的传播形成机械波，波传递的是振动和能量，而介质本身并不迁移。 自然界存在两种简单的波：质点振动方向与波的传播方向垂直时，称为横波；与传播方向一致时，叫纵波，具有切变弹性的介质能传播横波；具有体变弹性的介质可传播纵波，固体液体中可以同时有横波和纵波，而在气体中一般就只有纵波存在了。

在波动中，波上相邻两个同相位质点间的距离，叫做一个波长，也就是质点作一个全振动时，振动传播的距离。由于波上任一个质点都在做受迫振动，因此它们的振动频率都与振源的振动频率相等，也就是波的频率，在波动中，波长?、频率f与传播速度v之间满足

v??f??T （1）

注意：波速不同于振动质点的运动速度，波速与传播介质的密度及弹性性质有关。 5．5．2、波动方程 如图5-5-1所示，一列横波以速度v沿x轴正方向传播，

y设波源O点的振动方程为： v y?Acos(?t??0)

在x轴上任意点P的振动比O点滞后时间

tp?xv，即

Ox???(t?)??0??v?，当O点相位为(?t??0)时，P点的相位为?lf?T，P点振动方程为 由??2?f，v??f，

Px图5-5-1

x??y?Acos??(t?)??0?v??

这就是波动方程，它可以描述平面简谐波的传播方向上任意点的振动规律。当波向x轴负

方向传播时，（2）式只需改变v的正负号。由波动方程，可以

（1）求某定点x1处的运动规律

?

2?2?x?Acos(t??0?)T?

?Acos(2?ft??0?2?x)

将x?x1代入式（6-14），得

x2?t??0?2?1)T? ?(t??1) ?Acos2?x1?1??0??为x1质点作简谐振动的初相位。 其中y1?Acos( （2）求两点x1与x2的相位差

将x?x2代入（2）式，得两点x1、x2的相位差

????1??2?2?x2?x1? 若

x2?x1??2

?2k(k为整数），则???2k?，则该两点同相，它们的位移和速度都

2为整数），则???(2k?1)?，则该两点相位相反，它们的相同。若

位移和速度大小相同，速度方向刚好相反。

球面波的波动方程与平面波相比，略有不同，对于球面波，其振幅随传播距离的增加而

衰减，设离波源距离为r1处的振幅为A1，离波源距离为r2处的振幅为A2。则有

x2?x1?(2k?1)?(kA1r1?A2r2

即振幅与传播的距离成反比 球面简谐波的方程为

式中A是与波源的距离为一个单位长度处的振幅。 3、波的叠加和干涉

r1当空间存在两个（或两个以上）振源发出的波时，空间任一

S1r2点的扰动是各个波在该点产生的扰动的矢量和，这叫做波的叠加d原理。

当有频率相同、振动方向相同的两列波在空间叠加时，会出 S?r2现某些地方振动增强，某些地方振动减弱的现象，叫做波的干涉，这样的两列波叫相干波。 图5-5-2

y(r,t)?A2?cos(?t?r)r?

P{ 设有两列相干波自振源S1、S2发出，两振源的位相相同，

空间任一点P至S1的距离为r1，至S2的距离为r2（图5-5-2），则两列波在P点产生的振动

的相位差为

???2?r2?r1?

当???k?2?(k为整数），即当波程差

?r?r2?r1?2k??2时，P点的合振动加强；

当???(2k?1)?，即当波程差

?r?r2?r1?(2k?1)?2时，P点的合振动减弱，可见P点振动

C1C2ii的强弱由波程差?r?r2?r1决定，是P点位置的函数。

总之，当某一点距离两同位相波源的波程差等于零或者是波长的整数倍时，该点振动的合振幅最大，即其振动总是加强的；当某一点距离两同位波源的波程差等于半波长或半波长的奇数倍时，该点振动的合振幅最小，即其振动总是削弱的。

4、波的反射、折射和衍射 当波在传播过程中遇到的两种介质的交界面时，一部分返回原介质中，称为反射波；另一部分将透入第二种介质继续传播，称为折射波，入射波的传播方向与交界面的法线成i角，（i叫入射角），反射波的传播方向与交界面的法线成i?角（i?叫反射角）。折射波的传播方向与法线成?角（?叫折射角），如图5-5-3，则有

r图5-5-3

i?i? sinic1?sinrc2

式中c1为波在入射介质中的传播速度，c2为波在折射

介质中的传播速度，（1）式称为波的反射定律，（2）式称为波的折射定律。

弦上的波在线密度不同的两种弦的连结点处要发生反射，反射的波形有所不同。

设弦上有一向上脉冲波，如图5-5-4，传到自由端以后反射，自由端可看成新的振源，振动得以继续延续下去，故反身波仍为向上的脉冲波，只是波形左右颠倒。当弦上有向上脉冲波经固定端反射时，固定端也可看成新的“振源”，由牛顿第三定律，固定端对弦的作用力方向与原脉冲对固定端的作用力方向相反，故反射脉冲向下，即波形不仅左、右颠

图5-5-5 倒，上、下也颠倒，这时反射波可看成入射波反向延伸的负

值（如图5-5-5），将周期波看成一系列连续脉冲，周期波经

自由端或固定端的反射也可由此得出。

波在传播过程中遇到障碍物时，偏离原来的传播方向，传到障碍物“阴影”区域的现象

图5-5-4

叫波的衍射。当障碍物或孔的尺寸比波长小，或者跟波长相差不多时，衍射现象比较明显；当障碍物或孔的尺寸比波长大的时候，衍射现象仍然存在，只是发生衍射的部分跟直进部分相比，范围较小，强度很弱，不够明显而已。此外，在障碍物或小孔尺寸一定的情况下，波长越长，衍射现象越明显。

5．6．5、驻波

驻波是频率相同、振幅相同、振动方向一致、传播方向相反的两列简谐波叠加的结果，如图6-5-6，设弦上传递的是连续的周期波，波源的振动方程为

y0?Acos?t

向左传播的入射波表达式为

y1?Acos(?t?2??x)

考虑到入射波和反射波在连接点的振动相位相反，即入射波在反射时产生了?的相位突变，故反射波在反射点的相位为

反射波在原点P的相位为

因而，反射波的波动方程为

5?设波源到固定端的距离为4，则入射波传到反射点时的相位为

2?2?55?t?x??t?(??)??t????42

?t??????t??725272?t??????t?6?2?52

y2?Acos(?t?6??合成波为：

?x)?Acos(?t?2?2??x)2?

y?y1?y2?Acos(?t?

?

x)?Acos(?t??x)2??2Acos(x)cos?t

?2Acos(合成波的振幅为

腹的位置为

2??x)与x有 关，振幅最大处为波腹，振幅最小处为波节。波

2??x?k?

2

k?0,?1,?2??如图5-6-6中的D、

即

E、F等处。

波节的位置为

x?k??y1x?(k?)??2

1?x?(k?)22 即

k?0,?1,?2??

如图5-5-7中的O、A、B等处。 相邻两波节（或波腹）之间的间

2?DAEBOFx图5-5-6 λ ?距为2。

不同时刻驻波的波形如图5-6-7所示，其中实线表示t?0、T、2T??时的波形；点线表示

?22A t?1T2、

波节波腹波节波腹3T2??时的波形；点划线表示19t?TT8、8时的波形。

图5-5-7

5．5．6、多普勒效应

站在铁路旁边听到车的汽笛声，发现当列车迎面而来时音调较静止时为高，而列车迅速离去时音调较静止时为低，此外，若声源静止而观察者运动，或者声源和观察者都运动，也会发生收听频率和声源频率不一致的现象，这种现象称为多普勒效应。下面分别探讨各种情况下多普勒频移的公式：

（1）波源静止观察者运动情形 cc如图5-5-8所示，静止点波源发出的球面波波面是c同心的，若观察者以速度vD趋向或离开波源，则波动相对于观察者的传播速度变为c??c?vD或c??c?vD，于是观察者感受到的频率为

vDDccvDDScccf??c???c?vD?

从而它与波源频率f之比为

图5-5-8

f?c?vD?fc

（2）波源运动观察者静止情形

若波源以速度vS运动，它发出的球面波不再同心。图5-5-9所示两圆分别是时间相隔一个周期T的两个波面。它们中心之间的距离为vST，从而对于迎面而来或背离而去的观察者来说，有效的波长为

?????vsT???????vsT??????vST?(c?vS)T

观察者感受到的频率为

DDcccf?????(c?vS)Tc?vS 因而它与波源频率f之比为 f??图5-5-9

f?c?fc?vS

（3）波源和观察者都运动的情形

此处只考虑波的传播方向、波源速度、观察者速度三者共线的特殊情况，这时有效波速和波长都发生了变化，观察者感受到的频率为

c?c?vDc?vD??f???(c?vS)Tc?vS 从而它与波源频率f之比为 f??f?c?vD?fc?vS

下举一个例

单行道上，有一支乐队，沿同一个方向前进，乐队后面有一坐在车上的旅行者向他们靠近。此时，乐队正在奏出频率为440HZ的音调。在乐队前的街上有一固定话筒作现场转播。旅行者从车上的收音机收听演奏，发现从前面乐队直接听到的声音和从广播听到的声音混合后产生拍，并测出三秒钟有四拍，车速为18km/h，求乐队前进速度。（声速=330m/s）。

解：先考虑车上听到的频率，连续两次应用多普勒效应，有

cv车?f0f?(1?)?f12c?v乐c （f2为旅行者听到乐队的频率）

c?v车f2??f0c?v乐得 f1?收音机得到频率为

f3?cc?v车?f0f??f34c?v乐c 旅行者听到广播频率为

又拍频为 5．5．7．声波

机械振动在空气中的传播称为声波。声波作用于人耳，产生声音感觉。人耳可闻声波频率是16~20000HZ。频率超过20000HZ的声波叫超声波。超声波具有良好的定向性和贯穿能力。频率小于16HZ的声波称为次声波。在标准情况下，声波在空气中的速度为331m/s。

（1）声波的反射—声波遇障碍物而改变原来传播方向的现象。

回声和原来的声波在人耳中相隔至少0.1秒以上，人耳才能分辨，否则两种声音将混在一起，加强原声。

室内的声波，经多次反射和吸收，最后消失，这样声源停止发声后，声音还可在耳中继续一段时间，这段时间叫交混回响时间。交混回响时间太长，前后音互相重叠，分辨不清；交混时间太短，给人以单调不丰满的感觉，这种房间不适于演奏。

（2）声波的干涉——两列同频率同振幅的声波在媒质中相遇而发生的波干涉现象。 （3）声波的衍射——声波遇障碍物而发生的波衍射现象。由于声波波长在17cm—17m之间，与一般障碍物尺寸可相比拟，可绕过障碍物进行传播。而可见光的波长在0.4—0.8?m，一般障碍物不能被光绕过去。这就是“闻其声而不见其人”的缘由。

（4）共鸣——声音的共振现象 音叉和空气柱可以发生共鸣。

在一个盛水的容器中插入一根玻璃管，在管口上方放一个正在发声的音叉，当把玻璃管提起和放下，以改变玻璃管中空气柱的长度时，便可以观察到空气柱与音叉发生共鸣的现象。

f4?f3?4HZ3 综上得：v乐=2.98m/s

1L?(n?)?n，式中L为玻璃管的长度，?为音叉发出在这个实验中发生共鸣的条件是：

声波的波长，n为自然数。

5、乐音噪声——好听、悦耳的声音叫乐音，嘈杂刺耳的声音叫噪声。乐音是由作周期性振动的声源发出的，嘈声是由做无规则非周期性振动的声源产生的。

6、音调、响度与音品为乐音三要素。 音调—基音频率的高低，基频高则称音调高。人们对音调的感觉客观上也取决于声源振动的频率，频率高，感觉音调高。

响度—声音的强弱。声源振幅大、声音的声强（单位时间内通过垂直于声波传播方向的单位面积的能量）也大，人感觉到的声音也大。

音品—音色，它反映了不同声源发出的声音具有不同的特色。音品由声音所包含的泛音的强弱和频率决定。

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