第二章群（练习附答案）

1. 设R是实数集, 则对任意的a,b?R, 代数运算ab?a?b2 ( C ) (A) 适合结合律但不适合交换律 (B) 适合交换律但不适合结合律 (C) 不适合结合律和交换律 (D) 适合结合律和交换律 2. 在群G中,a?G, a的阶为12, 则a8的阶为 ( B ) (A) 12 (B) 3 (C) 4 (D) 6

3．在7次对称群S7中??(25)(437)和??(13)(546), 则??等于（ A ） (A) (1376524) (B) (137)(6524) (C) (65)(24137) (D) (1746253) 7. 在群G中, a,b?G, 则方程ax?b和ya?b分别有唯一解为 ( B ) (A) ba?1, a?1b (B) a?1b, ba?1 (C) b?1a, a?1b (D) a?1b,

ab?1

8. 设M是正整数集, 则对任意的a,b?R, 下面“o”是代数运算的是( B ) (A) ab?b (B) ab?ab (C) ab?a?b?2 (D) ab?ab?2 a9. 设M是实数集, 代数运算是普通加法，下列映射是M的自同构的是( D )

(A) x?x2 (B) x?sinx (C) x?x (D) x??5x 10. 在偶数阶群G中阶等于2的元数为 ( A )

(A) 奇数 (B) 偶数 (C) 1 (D) 不可确定 11．在5次对称群S5中元?1?(15)(24)和?2?(154)的乘积?1?2是（ D ） (A) (14)(25) (B) (124) (C) (152) (D) (142) 12．若群G的阶为48, G的真子群H的阶不可能为 ( C ) (A) 12 (B) 16 (C) 18 (D) 24

13．群G中元a的阶为24中，那么G的循环子群(a9)的阶为 ( C ) (A)3 (B) 4 (C) 8 (D) 9 21．A?{所有整数},令?: a?aa?1,当a是偶数;a?,当a是奇数.则?为 22( B )

(A) 单射变换 (B) 满射变换 (C) 一一变换 (D) 不是变换 22．若G?(a),且a的阶为有限整数n,则下列说法正确的是 ( A ) (A) G与模n的剩余类加群同构 (B) G的阶可能无限 (C) 元a?2,a?1,a0,a1,?,an?2中没有相同元 (D) G与整数加群同构

24. 设Q是有理数集, 则对任意的a,b?Q,下列“o”是代数运算的是( C ) (A)ab?ba?2b2 (B)ab?ab?10a?b

b (C) ab?a2?ab?b2 (D) a25. 在群G中, a,b,c?G, 则方程xaxba?xbc的唯一解为 ( D ) (A)abca?1b?1 (B) bca?1a?1b?1 (C) a?1b?1a?1bc (D) a?1bca?1b?1

?123456?26．在6次对称群S6中????的阶是（ A ）

326514??(A) 5 (B) 24 (C) 12 (D) 6 31. 设R是实数集, 则对任意的a,b?R, 代数运算ab?a?b ( C ) (A) 适合结合律但不适合交换律 (B) 适合交换律但不适合结合律 (C) 不适合结合律和交换律 (D) 适合结合律和交换律

32. 设Q是有理数集, 则对任意的a,b?Q,下列“o”是代数运算的是( A ) (A) ab?a?b2 (B)ab?b (C) ab?ba (D) ab?10a a33. 在群G中, a,b?G, 则方程xaxb?xb的唯一解为 ( D ) (A)aba?1 (B) a?1b?1 (C) ba?1b?1 (D) a?1

?12345?34．在5次对称群S5中????的阶是（ B ）

?32541?(A) 2 (B) 3 (C) 4 (D) 5 37. 在16阶循环群G?(a)中 , 循环子群(a6)的阶为 ( D ) (A) 6 (B) 3 (C) 4 (D) 8

40．若群G的阶为48, G的子群H的阶为16，则H在G中的指数为( C ) (A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4 2.若G为群,a,b,c?G,则(bcac)3?2?1?1-12-3c? acb .

3.循环群(a)的阶是50，则它的子群(a15)的阶是 10 . 5.n次对称群Sn的阶为 n! .

6.假定A?B,那么A?B? A , A?B? B . 11.一个有限非可换群至少含有______ 6 ______个元素 . 14.5次对称群S5的阶为 120 . 19.设G是17阶群，则G的生成元有 16 个.

28.若群的元a的阶是15，b的阶是8,且ab?ba, 则a8和ab的阶分别是 15 和 120 .

30. 若群G的阶为60, G的子群H的阶为15，则H在G中的指数为 4 .

35. 若G是由集合A的全体一一变换所作成, 则G是一个 变换 群.

1．设A?{1,2,3,4},则能找到A?A到A的一一映射. ( × ) 7．有限群中存在某个元的阶无限. ( × )

1. 用循环置换的方法写出三次对称群S3的全体元.说明集合N?{(1),(23)}是

S3的子群,并且写出N的所有左陪集.

解: S3?{(1),(12),(13),(23),(123),(132)},(2分) 因为N是有限集合, 由

(1)(1)?(1),

(1)(23)?(23),(23)(1)?(23),(23)(23)?(1)知N是封闭的,所以N是S3的子

群.(4分)

N的全体左陪集为(6分): (1)N?(23)N?{(1),(23)},(12)N?(132)N?{(12),(132)},

(13)N?(123)N?{(13),(123)}

4.求出阶是32的循环群(a)的所有子群.这些子群是否都是不变子群. 解: 因为(a)为循环群,所以(a)为交换群,

又因为32的所有正整数因子为：1，2，4，8，16,36. 所以循环群(a)的所有子群为循环子群：

(a)，(a2),(a4)，(a8)，(a16)(a36)?(a0)?{e}.

并且这些子群都是不变子群. 7.找出对称群S3的所有子群.

解:因为S3?{(1),(12),(13),(23),(123),(132)}，它的子群的阶只可能为：1，2，3，6.

所以它的所有子群为：

1阶子群H1?{(1)}； 2阶子群H21?{(1),(12)}，H22?{(1),(13)}，H23?{(1),(23)}； 3阶子群H3?{(1),(123),(132)}； 6阶子群S3?{(1),(12),(13),(23),(123),(132)}。

?123456??123456??19.取对称群S6的元?1??和??2???,计算?1?2，?1?2.

?543216??623415??123456?解: ?1?(15)(24)，?2?(165)，?1?2?(24)(56), (或?1?2???)

143265???1?1?2?(15)(24)(165)?(24)(56),（或?1?1?2??12.求剩余类加群Z18的所有生成元和所有子群. 解：因为剩余类加群Z18是循环加群，

?123456??）

?143265?所以它的所有生成元为：[1],[5],[7],[11],[13],[17]； 所有子群为：([1]),([2]),([3]),([6]),([9]),([0]).

?12345??12345?16.用循环置换的方法写出5次对称群S5的元?1??和??2???,

?54321??32541?并计算?1?2，?1?1?22，?2?1?1?2. 解: ?1?(15)(24)，

?2?(135)，

?1?2?(53)(24), (或?1?2???)

?14523??12345????(35)(24)(135)?(13)(24),（或??2?1212?112?12345????） 34125???12345??2?1?1?2?(135)(35)(24)?(15)(24). （或?2?1?1?2???） ?54321?17.求出模48的剩余类加群Z48的所有子群.这些子群是否是不变子群? 解: 因为Z48为循环群,所以Z48为交换群,

又因为48的所有正整数因子为：1，2，3，4，6，8，12，16,24，48. 所以模48的剩余类加群Z48的所有子群为循环子群：

([1]), ([2]),([3]),([4]), ([6]), ([8]), ([12]), ([16]), ([24]), ([0]). 并且这些子群都是不变子群. 1. 设群G中元a的阶为n，试证：am?e当且仅当n|m. 证明: 必要性:

设m?nq?r, 其中q,r为整数, 0?r?n, 那么有am?anq?r?(an)qar?ar?e, 由a的阶为n知r?0,即n|m. 充分性:

由n|m可设m?nq, 其中q为整数, 那么有am?anq?(an)q?eq?e,

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