专题07 离心率的求值或取值范围问题-备战2015高考技巧大全之高中数学巧学巧解巧用(原卷版)

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【高考地位】

圆锥曲线的离心率是近年高考的一个热点,有关离心率的试题,究其原因,一是贯彻高考命题“以能力立意”的指导思想,离心率问题综合性较强,灵活多变,能较好反映考生对知识的熟练掌握和灵活运用的能力,能有效地反映考生对数学思想和方法的掌握程度;二是圆锥曲线是高中数学的重要内容,具有数学的实用性和美学价值,也是以后进一步学习的基础. 【方法点评】

方法1 定义法

解题模板：第一步 根据题目条件求出a,c的值 第二步 代入公式e

c

，求出离心率e. a

例1. 若椭圆经过原点，且焦点为F1 1,0 、F2 3,0 ，则其离心率为（ ）

A.

1132

B. C. D. 4324

x2y2

【变式演练1】点P（-3，1）在椭圆2 2 1（a b 0）的左准线上，过点P且方向为 2, 5 的

ab

光线，经直线y 2反射后通过椭圆的左焦点，则这个椭圆的离心率为（ ）

A

112

B C D 3232

方法2 方程法

解题模板：第一步 设出相关未知量；

第二步 根据题目条件列出关于a,b,c的方程； 第三步 化简，求解方程，得到离心率.

x2y2

例2. 已知双曲线2 2 1(a 0，b 0)的左、右焦点分别为F1，F2，P是准线上一点，且PF1 PF2，

ab

PF1PF2 4ab，则双曲线的离心率是（ ）

Ａ

Ｂ

Ｃ．2

Ｄ．3

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x2y2

例3. 已知双曲线C2 2 1 a 0,b 0 的右焦点为F,过F

C于A、B两点，

ab

若AF 4FB,则C的离心率为 （ ）

A．

5976

B. C. D.

8555

x2y22

【变式演练2】设双曲线2－2＝1 a＞0，b＞0 的渐近线与抛物线y＝x＋1相切，则该双曲线的离心

ab

率等于（ ）

（A

）

（B）2 （C

（D

x2y2

【变式演练3】如图，在平面直角坐标系xoy中，A1,A2,B1,B2为椭圆2 2 1(a b 0)的四个顶点，

abF为其右焦点，直线A1B2与直线B1F相交于点T，线段OT与椭圆的交点M恰为线段OT的中点，则该

椭圆的离心率为 ▲ .

方法3 借助平面几何图形中的不等关系

解题模板：第一步 根据平面图形的关系，如三角形两边之和大于第三边、折线段大于或等于直线段、对

称的性质中的最值等得到不等关系，

第二步 将这些量结合曲线的几何性质用a,b,c进行表示，进而得到不等式， 第三步 解不等式，确定离心率的范围.

例4已知椭圆的中心在O,右焦点为F，右准线为l，若在l上存在点M，使线段OM的垂直平分线经过点F，则椭圆的离心率的取值范围是（ ）

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2 B. 2 C. A. D. 0,,1 0,,1 2 2 22

x2y2

【变式演练4】已知椭圆C1:2 2 1(a b 0)与圆C2:x2 y2 b2，若在椭圆C1上存在点P，使得

ab

由点P所作的圆C2的两条切线互相垂直，则椭圆C1的离心率的取值范围是（ ）A．[,1) B

．

1

2 C

．,1) D

． 2222

方法4 借助题目中给出的不等信息

解题模板：第一步 找出试题本身给出的不等条件，如已知某些量的范围，存在点或直线使方程成立， 的

范围等；

第二步 列出不等式，化简得到离心率的不等关系式，从而求解.

x2y2

例5已知椭圆2 2 1(a b 0)上一点A关于原点O的对称点为B,F为其右焦点，若AF BF,设

ab

ABF ,且 , ,则椭圆离心率的取值范围是 .

124

【变式演练5】【2014江西赣州期末联考】过椭圆C：

x2a

2

y2b

2

1(a b 0)的左顶点A且斜率为k的直线

11

交椭圆C于另一个点B，且点B在x轴上的射影恰好为右焦点F，若＜k＜, 则椭圆的离心率的取值范

23

围是 .

方法5 借助函数的值域求解范围

解题模板：第一步 根据题设条件，如曲线的定义、等量关系等条件建立离心率和其他一个变量的函数关

系式；

第二步 通过确定函数的定义域；

第三步 利用函数求值域的方法求解离心率的范围.

x2y2x2y2

1有相同的焦点，则椭圆C1的离心率e的取值范 1与双曲线C2: 例6.已知椭圆C1:

m 2nmn

围为（ ）

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A

．1,1) B

．(0, C．(0,1) D．(0,)

222

【变式演练6】已知两定点A( 2,0)和B(2,0)，动点P(x,y)在直线l:y为焦点且经过点P，则椭圆C的离心率的最大值为（ ） A

【高考再现】

x 3上移动，椭圆C以A,B

B

C

D

xy2

1.【2012高考真题浙江理8】如图，F1,F2分别是双曲线C：2 2 1（a,b＞0）的左、右焦点，B是虚

ab

轴的端点，直线F1B与C的两条渐近线分别交于P,Q两点，线段PQ的垂直平分线与x轴交与点M，若|MF2|=|F1F2|,则C的离心率是（ ）

2

A

.

B

C

D

.

x2y23a

2.【2012高考真题新课标理】设F1F2是椭圆E:2 2 1(a b 0)的左、右焦点，P为直线x 上

ab2

一点， F2PF1是底角为30的等腰三角形，则E的离心率为（ ）

(A)

12

(B) (C) 23

(D)

x2y2

3.【2012高考真题江西理】椭圆 2 2 1(a b 0)的左、右顶点分别是A,B,左、右焦点分别是F1，

ab

F2.若AF1，F1F2，F1B成等比数列，则此椭圆的离心率为_______________.

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x2y24【2013年高考新课标1（理）】已知双曲线C:2 2 1(a 0,b 0)

,则C的渐近线方

ab程为

A．y

（ ）

1

x 4

B．y

1x 3

C．y

1x 2

D．y x

x2

y2 1与双曲线C2的5【2013年普通高等学校招生统一考试浙江数学（理）】如图,F1,F2是椭圆C1:4

公共焦点,A,B分别是C1,C2在第二、四象限的公共点.若四边形AF1BF2为矩形,则C2的离心率是（ ）

A．2

B．3

C．

（ ）

3

2

D．

2

x2y2

6【2013年高考湖南卷（理）】设F1,F2是双曲线C:2 2 1(a 0,b 0)的两个焦点,P是C上一点,若

ab

PF1 PF2 6a,且 PF1F2的最小内角为30,则C的离心率为___.

x2x2y2y2

1的 1与曲线7.【2014高考广东卷理第4题】若实数k满足0 k 9，则曲线

25 k9259 k

（ ）

A.离心率相等 B.虚半轴长相等 C.实半轴长相等 D.焦距相等 8.【2014高考湖北卷理第9题】已知F1,F2是椭圆和双曲线的公共焦点，P是他们的一个公共点，且

F1PF2

A

.

3

,则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为（ ）

B

. C.3 D.2 33

x2y21

9.【2014江西高考理第16题】过点M(1,1)作斜率为 的直线与椭圆C：2 2 1(a b 0)相交于

ab2

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A,B，若M是线段AB的中点，则椭圆C的离心率为.

x2y2

10.【2014山东高考理第10题】 已知a b 0，椭圆C1的方程为2 2 1，双曲线C2的方程为

abx2y2 1，与的离心率之积为，则C2的渐近线方程为（ ） CC21a2b22

A.x 2y 0 B.2x y 0 C.x 2y 0 D.2x y 0

x2y2

11.【2014浙江高考理第16题】设直线x 3y m 0(m 0)与双曲线2 2 1（a b 0）两条渐近

ab

线分别交于点A,B，若点P(m,0)满足PA PB,则该双曲线的离心率是__________

x2y2

12.【2014重庆高考理第8题】设F1，F2分别为双曲线2 2 1(a 0,b 0)的左、右焦点，双曲线上

ab

9

ab,则该双曲线的离心率为（ ） 4

594

A. B. C. D.3

334

存在一点P使得|PF1| |PF2| 3b,|PF1| |PF2|

13.【2014高考北京理第19题】已知椭圆C：x 2y 4.（1）求椭圆C的离心率；

（2）设O为原点，若点A在椭圆C上，点B在直线y 2上，且OA OB，试判断直线AB与圆x y 2的位置关系，并证明你的结论.

2

2

2

2

x2y2

14.【2014高考福建理第19题】已知双曲线E:2 2 1(a 0,b 0)的两条渐近线分别为

abl1:y 2x,l2:y 2x.

（1）求双曲线E的离心率；

（2）如图，O为坐标原点，动直线l分别交直线l1,l2于A,B两点（A,B分别在第一，

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四象限），且 OAB的面积恒为8，试探究：是否存在总与直线l有且只有一个公 共点的双曲线E？若存在，求出双曲线E的方程；若不存在，说明理由

.

【反馈练习】

x2y2

1.【广州市珠海区2014年高三8月摸底考试7】已知抛物线y 4x与双曲线2 2 1 a 0,b 0 有

ab

2

相同的焦点F，点A是两曲线的一个交点，且AF x轴，则双曲线的离心率为( ). A

2

22y222.【四川省成都市2015届高中毕业班摸底测试10】如图，已知椭圆C1: y 1，双曲线C2:2 2 1(a

11ab

B

1 C

1 D

＞0，b＞0)，若以C1的长轴为直径的圆与C2的一条渐近线交于A，B两点，且C1与该渐近线的两交点将线段AB三等分，则C2的离心率为( ). A、5 C

B

D

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x2y2

3.【河北省“五个一名校联盟” 2015届高三教学质量监测（一）15】已知双曲线2 2 1(a 0,b 0)

ab

的右焦点为F，由F向其渐近线引垂线，垂足为P，若线段PF的中点在此双曲线上，则此双曲线的离心率为 _______ ．

4. 【湖北省部分重点中学2014-2015学年度上学期高三起点考试13】过点M(1,1)作斜率为

1

的直线与椭2

22xy

1(a b 0)相交于A,B，若M是线段AB的中点，则椭圆C的离心率为圆C：22

ab

5.【福建省安溪一中、德化一中2015届高三9月摸底考试，理9】已知F1,F2分别是双曲线C：

x2y2

2 1(a 0,b 0)的左右焦点，以F1F2为直径的圆与双曲线C在第二象限的交点为P，若双2ab

曲线的离心率为5，则cos PF2F1等于( ).

6.【河南省开封市2015届高三上学期定位考试模拟试题.理3】已知双曲线方程4x 3y 12，则双曲线的离心率为（ ） A.

2

2

A．

3

5

B．

3

4

C．

4

5

D．

5 6

7 B

. C

D

337.【云南省玉溪一中2015届高三上学期第一次月考试卷，理12】已知F1,F2分别是双曲线

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x2y2

2 1(a 0,b 0)的左、右焦点，以坐标原点O为圆心，OF1为半径的圆与双曲线在第一象限的交2ab

点为P,则当PF1F2的面积等于a时，双曲线的离心率为 （ ）

A.2 B. C.

2

D.2 2

x2y2

8.【冀州中学高三上学期第一次月考，理11】已知双曲线2 2 1的左右焦点分别为F1、F2，O为双

ab

曲线的中心，P是双曲线右支上的点， PF1F2的内切圆的圆心为I，且圆I与x轴相切于点A，过F2作

直线PI的垂线，垂足为B，若e为双曲线的离心率，则 ( ). A. |OB| e|OA| B. |OA| e|OB| C. |OB| |OA| D. |OA|与|OB|关系不确定

x2y2

1的右焦点为（3,0）9.【河南八校2014-2015学年上学期第一次联考，理13】已知双曲线2 ，,则该

a5

双曲线的离心率等于 .

10.【福建省安溪一中、德化一中2015届高三9月摸底考试，理19】（本小题满分13分）

x2y2

如图，设椭圆C:2 2 1(a b 0)的左右焦点为F1,F2，上顶点为A，点B,F2关于F1对称，且

ab

AB AF2

（Ⅰ）求椭圆C的离心率；

（Ⅱ）已知P是过A,B,F2三点的圆上的点，若 AF1F2的面积为3，求点P到直线l:x 3y 3 0距离的最大值

.

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→→x2y2

11.椭圆M：＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，P为椭圆M上任一点，且|PF1|·|PF2|的最大值的

ab取值范围是[2c2,3c2]，其中c＝a－b，则椭圆M的离心率e的取值范围是( )

A．C．32，] 323

，1] 3

B．2

，1] 2

11D．]

32

x2y2

12.已知点F1、F2分别是双曲线1(a>0，b>0)的左、右焦点，过点F1且垂直于x轴的直线与双曲线交

ab于A，B两点，若△ABF2是锐角三角形，则该双曲线离心率的取值范围是( )

A．(1， C．(1＋2，＋∞)

B．，D．(1,12)

13.（2014山东济南一模）已知中心在原点、焦点在x轴上的椭圆C1与双曲线C2有共同的焦点，设左右焦点分别为F1，F2，P是C1与C2在第一象限的交点， PF1F2是以PF1为底边的等腰三角形，若椭圆与双曲线的离心率分别为e1，e2，则e1·e2的取值范围是（ ） (A)(

111

，+ ) (B)(，+ ) (C) (，+ ) (D)(0，+ ) 953

x2y2

14.已知F1，F2是双曲线2 2 1 (a>0，b>0)的左右两个焦点，过点F1作垂直于x轴的直线与双曲线的

ab

两条渐近线分别交于A，B两点，△ABF2是锐角三角形，则该双曲线的离心率e的取值范围是（ ） (A)(1，2) (B)(1

（C）(1,5) (D

)(

+ )

15.从一块短轴长为2b的椭圆形玻璃镜中划出一块面积最大的矩形，其面积的取值范围是[3b2,4b2]，则这一椭圆离心率e的取值范围是________．

x2y2

16.F1、F2是椭圆＋1(a>b>0)的左、右焦点，若椭圆上存在点P，使∠F1PF2＝90°，则椭圆的离心率

ab的取值范围是________．

17.已知F1、F2是椭圆的两个焦点，P为椭圆上一点，∠F1PF2＝60°. (1)求椭圆离心率的范围；

(2)求证：△PF1F2的面积只与椭圆的短轴长有关．

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18.【广东省华附、省实、广雅、深中2014届联考】

在平面直角坐标系中，已知点F

及直线

l:x y 0，曲线C1是满足下列两个条件的动点P(x,y

)的轨迹：①PF ,其中d是P到直线 x 0

. l的距离；② y 0

2x 2y 5

(1) 求曲线C1的方程;

x2y2

(2) 若存在直线m与曲线C1、椭圆C2:2 2 1(a b 0)均相切于同一点，求椭圆C2离心率e的

ab

取值范围.

→→x2y2

19.＋＝1(a＞b＞c)的两个焦点为F1(－c,0)，F2(c,0)，M是椭圆上一点，且满足F1M·F2M＝0.

ab

(1)求椭圆的离心率e的取值范围 ；

(2)当离心率e取得最小值时，点N(0,3)到椭圆上的点的最远距离为2，求此时椭圆的方程．

x2y2

20.＋＝1(a＞b＞0)与直线x＋y＝1交于P、Q两点，且OP⊥OQ，其中O为坐标原点．

ab

11

(1)求的值；

ab

32

≤e，求椭圆长轴的取值范围． 32

(2)若椭圆的离心率e满足

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