高中数学人教版选修2-2导数及其应用知识点总结

数学选修2-2导数及其应用知识点必记

1．函数的平均变化率为

f(x2) f(x1)f(x1 x) f(x1) y f

x2 x1 x x x

注1：其中 x是自变量的改变量，可正，可负，可零。

注2：函数的平均变化率可以看作是物体运动的平均速度。

2、导函数的概念:函数y f(x)在x x0处的瞬时变化率是

f(x0 x) f(x0) y

，则称函数y f(x)在点x0处可导，并把这个极限叫 lim

x 0 x x 0 xlim

做

y f(x)

在

x0

处的导数，记作

f'(x0)

或

y'|x x0

，即

f'(x0)=lim

f(x0 x) f(x0) y

. lim

x 0 x x 0 x

3.函数的平均变化率的几何意义是割线的斜率；函数的导数的几何意义是切线的

斜率。

4导数的背景（1）切线的斜率；（2）瞬时速度；（3）边际成本。

6、常见的导数和定积分运算公式:若f x ，g x 均可导（可积），则有：

6.用导数求函数单调区间的步骤:①求函数f(x)的导数f'(x)②令f'(x)>0,解不等式，得x的范围就是递增区间.③令f'(x)<0,解不等式，得x的范围，就是递减区间；[注]：求单调区间之前一定要先看原函数的定义域。

7.求可导函数f(x)的极值的步骤：(1)确定函数的定义域。(2) 求函数f(x)的导数

f'(x) (3)求方程f'(x)=0的根(4) 用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区

间分成若干小开区间，并列成表格，检查f/(x)在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号，那么f(x)在这个根处无极值

8.利用导数求函数的最值的步骤:求f(x)在 a,b 上的最大值与最小值的步骤如下： ⑴求f(x)在 a,b 上的极值；⑵将f(x)的各极值与f(a),f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值。[注]：实际问题的开区间唯一极值点就是所求的最值点；

9．求曲边梯形的思想和步骤

（“以直代曲”的思想） 10.定积分的性质

根据定积分的定义，不难得出定积分的如下性质： 性质1

1dx b a

a

b

性质5 若f(x) 0,x a,b ，则 f(x)dx 0

a

b

①推广： [f1(x) f2(x) fm(x)]dx f1(x)dx f2(x)dx fm(x)

a

a

a

a

bbbb

②推广: f(x)dx f(x)dx f(x)dx f(x)dx

a

a

c1

ck

b

c1c2

b

11定积分的取值情况:定积分的值可能取正值，也可能取负值，还可能是0.

( l ）当对应的曲边梯形位于 x 轴上方时，定积分的值取正值，且等于x轴上方的图形面积； （2）当对应的曲边梯形位于 x 轴下方时，定积分的值取负值，且等于x轴上方图形面积的相反数；

（3）当位于 x 轴上方的曲边梯形面积等于位于 x 轴下方的曲边梯形面积时，定积分的值为，且等于面积．

12．物理中常用的微积分知识（1度，速度的导数为加速度。（2）力的积分为功。

推理与证明知识点

13.归纳推理的定义：从个别事实中推演出一般性的

．．．．．．．结论，像这样的推理通常称为归纳推理。

归纳推理是由部分到整体，由个别到一般的推理。 14.归纳推理的思维过程 大致如图：

15.归纳推理的特点: ①归纳推理的前提是几个已知的特殊现象，归纳所得的结论是尚属未知的一般现象。②由归纳推理得到的结论具有猜测的性质，结论是否真实，还需经过逻辑证明和实验检验，因此，它不能作为数学证明的工具。③归纳推理是一种具有创造性的推理，通过归纳推理的猜想，可以作为进一步研究的起点，帮助人们发现问题和提出问题。

16.类比推理的定义：根据两个（或两类）对象之间在某些方面的相似或相同，推演出它们在其他方面也相似或相同，这样的推理称为类比推理。类比推理是由特殊到特殊的推理。

17.类比推理的思维过程

18.演绎推理的定义：演绎推理是根据已有的事实和正确的结论（包括定义、公理、定理等）按照严格的逻辑法则得到新结论的推理过程。演绎推理是由一般到特殊的推理。 19．演绎推理的主要形式：三段论

20.“三段论”可以表示为：①大前题：M是P②小前提：S是M ③结论：S是P。 其中①是大前提，它提供了一个一般性的原理；②是小前提，它指出了一个特殊对象；③是结论，它是根据一般性原理，对特殊情况做出的判断。

21.直接证明是从命题的条件或结论出发，根据已知的定义、公理、定理，直接推证结论的真实性。直接证明包括综合法和分析法。

22.综合法就是“由因导果”，从已知条件出发，不断用必要条件代替前面的条件，直至推出要证的结论。

23.分析法就是从所要证明的结论出发，不断地用充分条件替换前面的条件或者一定成立的式子，可称为“由果索因”。要注意叙述的形式：要证A，只要证B，B应是A成立的充分条件. 分析法和综合法常结合使用，不要将它们割裂开。 24反证法：是指从否定的结论出发，经过逻辑推理，导出矛盾，证实结论的否定是错误的，从而肯定原结论是正确的证明方法。

25.反证法的一般步骤（1）假设命题结论不成立，即假设结论的反面成立； （2）从假设出发，经过推理论证，得出矛盾；（3）从矛盾判定假设不正确，即所求证命题正确。

2627.．．．．

28.归缪矛盾（1矛盾:（2）与已有公理、定理、定义矛盾； （3）自相矛盾． 29有关的数学命题）的步骤(1)证明：当n取*

nn N第一个值时命题成立；(2)假设当n=k (k∈N，且k≥n0)时命题成立， 00证明当n=k+1时命题也成立.由(1)，(2)可知，命题对于从n0开始的所有正整数n都正确 注]：常用于证明不完全归纳法推测所得命题的正确性的证明。

数系的扩充和复数的概念知识点

30.复数的概念：形如a+bi的数叫做复数，其中i叫虚数单位，a叫实部， b叫．．．．虚部，数集C a bi|a,b R 叫做复数集。

规定：a bi c di a=c且，强调：两复数不能比较大小，只有相等或不相等。

实数 ()

31．数集的关系：复数Z 一般虚数()

虚数 (b 0)

纯虚数()

32.复数的几何意义：复数与平面内的点或有序实数对一一对应。

33.复平面：根据复数相等的定义，任何一个复数z a bi，都可以由一个有序实数对(a,b)唯一确定。由于有序实数对(a,b)与平面直角坐标系中的点一一对应，因此复数集与平面直角坐标系中的点集之间可以建立一一对应。这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴。实轴上的点都表示实数，除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数。

34.求复数的模(绝对值)与复数z对应的向量的模r叫做复数z a bi的模(也叫绝对值)记作z或a bi。由模的定义可知：z a bi a2 b2 35.复数的加、减法运算及几何意义①复数的加、减法法则：z1 a bi与z2 c di，则z1 z2 a c (b d)i。注：的加、减法来进行。

②复数的乘法法则：(a bi)(c di) ac bd ad bc i。 因子

36.共轭复数:两复数a bi与a bi互为共轭复数，当b 0时，它们叫做共轭虚数。

常见的运算规律

a bi(a bi)(c di)ac bdbc ad

2 2i其中c di叫做实数化22

c di(c di)(c di)c dc d

(1)z ;

2

(2)z 2a,z 2bi;

2

(3)z z a2 b2;(4) z;(5)z z R

(6)i

4n 1

i,i

2

4n 2

1,i

4n 3

i,i

4n 4

1;

2

(7)

1 i

1 i1 i i;(8) i, i, i 1 i1 i 1 3i23n 1

, 3n 2 , 3n 3 1 是1的立方虚根，则1 0，

2

(9)设

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