高中数学人教版选修2-2导数及其应用知识点总结
更新时间:2023-05-30 02:10:01 阅读量: 实用文档 文档下载
数学选修2-2导数及其应用知识点必记
1.函数的平均变化率为
f(x2) f(x1)f(x1 x) f(x1) y f
x2 x1 x x x
注1:其中 x是自变量的改变量,可正,可负,可零。
注2:函数的平均变化率可以看作是物体运动的平均速度。
2、导函数的概念:函数y f(x)在x x0处的瞬时变化率是
f(x0 x) f(x0) y
,则称函数y f(x)在点x0处可导,并把这个极限叫 lim
x 0 x x 0 xlim
做
y f(x)
在
x0
处的导数,记作
f'(x0)
或
y'|x x0
,即
f'(x0)=lim
f(x0 x) f(x0) y
. lim
x 0 x x 0 x
3.函数的平均变化率的几何意义是割线的斜率;函数的导数的几何意义是切线的
斜率。
4导数的背景(1)切线的斜率;(2)瞬时速度;(3)边际成本。
6、常见的导数和定积分运算公式:若f x ,g x 均可导(可积),则有:
6.用导数求函数单调区间的步骤:①求函数f(x)的导数f'(x)②令f'(x)>0,解不等式,得x的范围就是递增区间.③令f'(x)<0,解不等式,得x的范围,就是递减区间;[注]:求单调区间之前一定要先看原函数的定义域。
7.求可导函数f(x)的极值的步骤:(1)确定函数的定义域。(2) 求函数f(x)的导数
f'(x) (3)求方程f'(x)=0的根(4) 用函数的导数为0的点,顺次将函数的定义区
间分成若干小开区间,并列成表格,检查f/(x)在方程根左右的值的符号,如果左正右负,那么f(x)在这个根处取得极大值;如果左负右正,那么f(x)在这个根处取得极小值;如果左右不改变符号,那么f(x)在这个根处无极值
8.利用导数求函数的最值的步骤:求f(x)在 a,b 上的最大值与最小值的步骤如下: ⑴求f(x)在 a,b 上的极值;⑵将f(x)的各极值与f(a),f(b)比较,其中最大的一个是最大值,最小的一个是最小值。[注]:实际问题的开区间唯一极值点就是所求的最值点;
9.求曲边梯形的思想和步骤
(“以直代曲”的思想) 10.定积分的性质
根据定积分的定义,不难得出定积分的如下性质: 性质1
1dx b a
a
b
性质5 若f(x) 0,x a,b ,则 f(x)dx 0
a
b
①推广: [f1(x) f2(x) fm(x)]dx f1(x)dx f2(x)dx fm(x)
a
a
a
a
bbbb
②推广: f(x)dx f(x)dx f(x)dx f(x)dx
a
a
c1
ck
b
c1c2
b
11定积分的取值情况:定积分的值可能取正值,也可能取负值,还可能是0.
( l )当对应的曲边梯形位于 x 轴上方时,定积分的值取正值,且等于x轴上方的图形面积; (2)当对应的曲边梯形位于 x 轴下方时,定积分的值取负值,且等于x轴上方图形面积的相反数;
(3)当位于 x 轴上方的曲边梯形面积等于位于 x 轴下方的曲边梯形面积时,定积分的值为,且等于面积.
12.物理中常用的微积分知识(1度,速度的导数为加速度。(2)力的积分为功。
推理与证明知识点
13.归纳推理的定义:从个别事实中推演出一般性的
.......结论,像这样的推理通常称为归纳推理。
归纳推理是由部分到整体,由个别到一般的推理。 14.归纳推理的思维过程 大致如图:
15.归纳推理的特点: ①归纳推理的前提是几个已知的特殊现象,归纳所得的结论是尚属未知的一般现象。②由归纳推理得到的结论具有猜测的性质,结论是否真实,还需经过逻辑证明和实验检验,因此,它不能作为数学证明的工具。③归纳推理是一种具有创造性的推理,通过归纳推理的猜想,可以作为进一步研究的起点,帮助人们发现问题和提出问题。
16.类比推理的定义:根据两个(或两类)对象之间在某些方面的相似或相同,推演出它们在其他方面也相似或相同,这样的推理称为类比推理。类比推理是由特殊到特殊的推理。
17.类比推理的思维过程
18.演绎推理的定义:演绎推理是根据已有的事实和正确的结论(包括定义、公理、定理等)按照严格的逻辑法则得到新结论的推理过程。演绎推理是由一般到特殊的推理。 19.演绎推理的主要形式:三段论
20.“三段论”可以表示为:①大前题:M是P②小前提:S是M ③结论:S是P。 其中①是大前提,它提供了一个一般性的原理;②是小前提,它指出了一个特殊对象;③是结论,它是根据一般性原理,对特殊情况做出的判断。
21.直接证明是从命题的条件或结论出发,根据已知的定义、公理、定理,直接推证结论的真实性。直接证明包括综合法和分析法。
22.综合法就是“由因导果”,从已知条件出发,不断用必要条件代替前面的条件,直至推出要证的结论。
23.分析法就是从所要证明的结论出发,不断地用充分条件替换前面的条件或者一定成立的式子,可称为“由果索因”。要注意叙述的形式:要证A,只要证B,B应是A成立的充分条件. 分析法和综合法常结合使用,不要将它们割裂开。 24反证法:是指从否定的结论出发,经过逻辑推理,导出矛盾,证实结论的否定是错误的,从而肯定原结论是正确的证明方法。
25.反证法的一般步骤(1)假设命题结论不成立,即假设结论的反面成立; (2)从假设出发,经过推理论证,得出矛盾;(3)从矛盾判定假设不正确,即所求证命题正确。
2627.....
28.归缪矛盾(1矛盾:(2)与已有公理、定理、定义矛盾; (3)自相矛盾. 29有关的数学命题)的步骤(1)证明:当n取*
nn N第一个值时命题成立;(2)假设当n=k (k∈N,且k≥n0)时命题成立, 00证明当n=k+1时命题也成立.由(1),(2)可知,命题对于从n0开始的所有正整数n都正确 注]:常用于证明不完全归纳法推测所得命题的正确性的证明。
数系的扩充和复数的概念知识点
30.复数的概念:形如a+bi的数叫做复数,其中i叫虚数单位,a叫实部, b叫....虚部,数集C a bi|a,b R 叫做复数集。
规定:a bi c di a=c且,强调:两复数不能比较大小,只有相等或不相等。
实数 ()
31.数集的关系:复数Z 一般虚数()
虚数 (b 0)
纯虚数()
32.复数的几何意义:复数与平面内的点或有序实数对一一对应。
33.复平面:根据复数相等的定义,任何一个复数z a bi,都可以由一个有序实数对(a,b)唯一确定。由于有序实数对(a,b)与平面直角坐标系中的点一一对应,因此复数集与平面直角坐标系中的点集之间可以建立一一对应。这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面,x轴叫做实轴,y轴叫做虚轴。实轴上的点都表示实数,除了原点外,虚轴上的点都表示纯虚数。
34.求复数的模(绝对值)与复数z对应的向量的模r叫做复数z a bi的模(也叫绝对值)记作z或a bi。由模的定义可知:z a bi a2 b2 35.复数的加、减法运算及几何意义①复数的加、减法法则:z1 a bi与z2 c di,则z1 z2 a c (b d)i。注:的加、减法来进行。
②复数的乘法法则:(a bi)(c di) ac bd ad bc i。 因子
36.共轭复数:两复数a bi与a bi互为共轭复数,当b 0时,它们叫做共轭虚数。
常见的运算规律
a bi(a bi)(c di)ac bdbc ad
2 2i其中c di叫做实数化22
c di(c di)(c di)c dc d
(1)z ;
2
(2)z 2a,z 2bi;
2
(3)z z a2 b2;(4) z;(5)z z R
(6)i
4n 1
i,i
2
4n 2
1,i
4n 3
i,i
4n 4
1;
2
(7)
1 i
1 i1 i i;(8) i, i, i 1 i1 i 1 3i23n 1
, 3n 2 , 3n 3 1 是1的立方虚根,则1 0,
2
(9)设
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