高数下复习

一、 空间解析几何

1. 向量a?(?3,1,0),b?(2,3,?2),c?(2,1,?3),向量a在向量b上的投影

Prj?a? ；与向量a,b都垂直的单位向量为；

b????????(a?b)?c?a?(b?c)? .

??????2. 以a;b为两条相邻边向量的三角形的面积的计算公式为S? 以a;b,c为三条相邻边向量的平行六面体体积的计算公式为V? 3. ABC为三角形的三个顶点,如果已知AB?a;AC?b,则底边AB上高的计算公式为h? .

?x?3z?1xy?1z?1?l:??4.直线l1?与相交求常数k，并求由它们所确?4?3222?1?y?k??????????定的平面方程.

5.求过点P(1,?2,3)且与直线?程.

6. xoy平面上曲线y?x绕直线x??1所得旋转曲面的方程为 .

?x?y?z?0垂直相交的直线的对称式方

?2x?y?z?1

二、 多元微分学

1?(x?2y)arctan?1.z?f(x,y)??x2?y2?0?(0,0)点的偏导数

(x,y)?(0,0)(x,y)?(0,0) ,讨论函数f(x,y)在

?z?z;. ?x?y2.（1）fx(x0,y0)?0,fy(x0,y0)?0是f(x,y)在(x0,y0)取得极值的条件， （2）f(x,y)在(x0,y0)有极限是f(x,y)在(x0,y0)有偏导数的条件， （3）f(x,y,z)在(x0,y0,z0)可微是f(x,y,z)在(x0,y0,z0)有偏导数的条件, （4）f(x,y,z)在(x0,y0,z0)所有方向导数都存在是f(x,y,z)在(x0,y0,z0)偏导数 存在的条件

A:充分， B必要， C充分必要， D 无关

3.函数z?(x2?y2)arctany,（1）试求函数在(1,1)点的全微分dz； x?2z?2z（2）在任意x?0的点，试求函数的二阶偏导数以及2.

?x?y?y?x?y2?u3?v24.方程组?2，在P0(x,y,u,v)?(1,1,1,1)点确定了函数组：33?3x?2y?2u?vu?u(x,v),y?y(x,v),计算该点的偏导数

?u?x；

P0?y?x

P0?2z5.f(x,y)?C，z?f(3x?2y,4x?3y)．求．

?x?y21?x2)?2yz2?4在(1,2,1)点的切平面以及法线方程，并分别计算点6. 求曲面ln(2（1，?1，1）到所求得的切平面与法线的距离.

x2y2x2y22??z,在椭球面??z2?1上各点(x,y,z)处，求f(x,y,z)7.f(x,y,z)?9494沿向径r?(x,y,z)方向的方向导数并求出它们的最大与最小值以及对应的点.

?三、 重积分

1． D是由直线y?x;2x?3y?2?0以及x轴所围成的有界闭区域,则积分I???f(x,y)d?化成先对x再对y的二次积分时I? ；

D化成先对y再对x的二次积分时I? 。 2 D是由x?2y?y2以及

Dy?x所围成的有界闭区域,则积分

I???f(x,y)d?化成先对x再对y的二次积分时I?；化成极坐标下的二

次积分时I?。

3.计算三重积分???x2?y2?z2?1dxdydz，其中闭区域?:x2?y2?z2?4

Ω?对4．质量为k的质点位于点坐标(1,0,0),?是密度为?(x,y,z)的立体，

于该质点的引力F?(Fx,Fy,Fz) ，则Fx,Fy,Fz的计算公式分别为Fx?；

Fy?； Fz?。

?5．求由z?x2?y2；x2?y2?2x；以及z?0所围立体的体积。

x2y2z26．求密度为??z的半椭球体?:2?2?2?1;z?0的质心坐标。

aac

7.?是体密度为?(x,y,z)的空间立体，其质量为M，l与l0是相距d的两条平行直线。

其中l0经过?的质心。1.证明转动惯量Il?Il?d2M； 2.?是由

0体密度为??1，l是过点(1,1,0)平行于x2?y2?z2以及z?1所围的立体，

z轴的直线。求转动惯量Il

四、 线面积分

1． 线密度为?(x,y,z)的空间曲线L关于x轴的转动惯量Ix?； 2． 密度为?(x,y,z)的空间曲面?的质心坐标为(x,y,z)。则它们的计算公式

3．L是起点为A(1,2,3)终点为B(?1,?2,0)的光滑曲线。若不考虑它的方向，该曲线的弧长为s，则积分?2ds?；?2dx?； ?dx?2dy?3dz?。

LLL___x?；z?__4．L是顺时针方向的椭圆曲线x2?9y2?1，则积分??2ydx?x2dy?。

L5.L是有向光滑闭曲线，?是以L为边界且与L正向联系的光滑曲面，则利用斯托克斯公式

积分 ?exydx?siny2dy?xy2z3dz???L2。

?6．?是长方体x?1;y?2;z?3的表面外侧，则积分

???xdydz?(x?2y)dzdx?(x?3z)dxdy?。

7.求积分??(x2?y2?z2)dS，?是圆柱面x2?y2?4;0?z?4.

?8.求??(2x?y?z)dydz?(2x?y?3z)dzdx?(x?2y?2z)dxdy。其中?是曲面

?z?x2?2y2?1；位于z?1的下侧。

9.求?Lydx?xdy22L,其中是逆时针方向运行的椭圆4x?3y?1。 22x?4y10. f?x?具有一阶连续导数，f?0??0，已知积分??f?x??ex?ydx?f?x?dyL与路径无关，求函数f(x)，若L是y?x3从?0,0?到?1,1?的有向曲线段，试求上述曲线积分.

五、 无穷及数

1、将A,B,C,D之一填入空格,其中A:充分; B:“必要; C:充要; D:无关。

(un?1?un)?0是?un收敛的 条件． ⑴ limn??n?1?⑵ 对正项级数?un,部分和数列?sn?n?1有界是?un收敛的条件．

n?1n?1???⑶ 级数?un收敛是级数?un收敛的条件．

n?1n?1n?1un?0是交错级数???1?un收敛的条件． ⑷ 数列?un?n?1单调且limn??n?1????⑸ 级数?un按某一方式经加括弧后所得的级数收敛是级数收敛的条

n?1?件．

?un?1???1是级数?un发散的条件． ⑹ limn??un?1n2、函数

?ex,?1?x?0f?x???的傅里叶级数的和函数s(x)在点x??4处收

1,0?x?1?敛于 ，在点x?5处收敛于 . 3、要使级数?n?1??11ln(1?2p)收敛，则p的范围是 。

nnn?1?n的收敛域． (x?1)?n?4、求幂级数????ln5.求幂级数???1?n?1?n?11n?1?n??2n11?x????n?2n?1???的收敛区间，并求和函数

6.将函数f?x??间.

1展开为x的幂级数，并指出展开式成立的区

x2?5x?67.设f?x?在点x?0的某邻域内有二阶连续导数limx?01?证明级数?f???绝对收敛.

n?1?f?x??0, x?n?

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