《新编基础物理学》（上册）第二章习题解答和分析3

新编基础物理学王少杰顾牡主编上册

第二章课后习题答案（3）

???2-34．设F?7i?6j(N)。

QQ:970629600

?????（1）当一质点从原点运动到r??3i?4j?16k(m)时，求F所作的功；

??（2）如果质点到r处时需0.6s，试求F的平均功率；

（3）如果质点的质量为1kg，试求动能的变化。

分析：由功、平均功率的定义及动能定理求解，注意：外力作的功为F所作的功与重力作的功之和。 解：（1）A=? =??r0?r??F?dr

0?????(7i?6j)?(dxi?dyj?dzk)

4 =?7dx??6dy

00-3 ??45J，做负功 （2）P?At?450.6?r?75W

（3）?Ek?A??04???mgj?dr

= -45+??mgdy

0 = -85J

2—35．一辆卡车能沿着斜坡以15km?h?1的速率向上行驶，斜坡与水平面夹角的正切

tan??0.02，所受的阻力等于卡车重量的0.04，如果卡车以同样的功率匀速下坡，则卡车

的速率是多少？

分析：求出卡车沿斜坡方向受的牵引力，再求瞬时功率。注意：F、V同方向。 解：sin??tg??0.02，且f?0.04G 上坡时，F?f?Gsin??0.06G 下坡时，F??f－Gsin??0.02G 由于上坡和下坡时功率相同，故

p?Fv?F?v?

? 题图2—35

所以v??45km/h?12.5m/s

2—36．某物块质量为P，用一与墙垂直的压力N使其压紧在墙上，墙与物块间的滑动摩擦系数为?，试计算物块沿题图所示的不同路径：弦AB，圆弧AB，折线AOB由A移动到B时，重力和摩擦力作的功。已知圆弧半径为r。

分析：保守力作功与路径无关，非保守力作功与路径有关。 解：重力是保守力，而摩擦力是非保守力，其大小为f??N。 （1）物块沿弦AB由A移动到B时， 重力的功?pgh?pgr

A O N B r 题图2—36

摩擦力的功?f?AB?重力的功?pgh?pgr

2?Nr

（2）物块沿圆弧AB由A移动到B时，

1摩擦力的功?f??AB???Nr

2（3）物块沿折线AOB由A移动到B时，

重力的功?pgh?pgr。摩擦力的功?f?AOB?2?Nr

2-37．求把水从面积为50m2的地下室中抽到街道上来所需作的功。已知水深为1.5m，水面至街道的竖直距离为5m。

分析：由功的定义求解，先求元功再积分。

解：如图以地下室的O为原点，取X坐标轴向上为正，建立如图坐标轴。 选一体元dV?Sdx，则其质量为dm?pdV?pSdx。 把dm从地下室中抽到街道上来所需作的功为

dA?g(6.5?x)dm

故A?

?1.50dA??1.50pSg(6.5?x)dx?4.23?10J

6题图2-37

2-38．质量为m的物体置于桌面上并与轻弹簧相连，最初m处于使弹簧既未压缩也未伸长的位置，并以速度v0向右运动，弹簧的劲度系数为k，物体与支承面间的滑动摩擦系数为?，求物体能达到的最远距离。 分析：由能量守恒求解。

解：设物体能达到的最远距离为x(x?0) 根据能量守恒，有

12mv0?22?v0

12kx??mgx

2m 即：x?2?mgkx?mv0k2?0

22题图2-38 解得x??mg??k??1?kv02?mg??1? ??2—39．一质量为m、总长为l的匀质铁链，开始时有一半放在光滑的桌面上，而另一半下垂。试求铁链滑离桌面边缘时重力所作的功。

分析：分段分析，对OA段取线元积分求功，对OB段为整体重力在中心求功。 解：建立如图坐标轴

选一线元dx，则其质量为dm?mldx。

铁链滑离桌面边缘过程中，OA的重力作的功为

1A1??20l1dA??20l11g(l?x)dm?mgl 28题图2—39

OB的重力的功为

A2?12mg?12l?14mgl 38mgl

故总功A?A1?A2?2-40．一辆小汽车，以v?vi的速度运动，受到的空气阻力近似与速率的平方成正比，??22?2（1）如小汽车以80km?h?1的恒定速率行F??Avi，A为常数，且A?0.6N?s?m。

驶1km，求空气阻力所作的功；（2）问保持该速率,必须提供多大的功率？ 分析：由功的定义及瞬时功率求解。

???2??23解：（1）v?80ikm/h??10im/s,?r?1?10im

9???2222故F??Avi?0.6?(?10)i

9??则A?F??r??300kJ

??(2)P?Fv?Av?6584W

32-41．一沿x轴正方向的力作用在一质量为3.0kg的质点上。已知质点的运动方程为（1）力在最初4.0s内作的x?3t?4t?t，这里x以m为单位，时间t以s为单位。试求：功；（2）在t=1s时，力的瞬时功率。

分析：由速度、加速度定义、功能原理、牛顿第二定律求解。 解：(1)v(t)?dxdt?3?8t?3t

223则 v(4)?19m/s,v(0)?3m/s 由功能原理，有

A??Ek?122m?v(4)?v(0)????528J 2（2）v(t)?dxdt?3?8t?3t,a(t)?2dvdt?6t?8

t?1s时，F?ma??6N,v??2m/s

则瞬时功率p?Fv?12W

2—42.以铁锤将一铁钉击入木板，设木板对铁钉的阻力与铁钉进入木板内的深度成正比，若铁锤击第一次时，能将小钉击入木板内1cm，问击第二次时能击入多深？(假定铁锤两次打击铁钉时的速度相同。)

分析：根据功能原理，因铁锤两次打击铁釘时速度相同，所以两次阻力的功相等。注意：阻力是变力。

解：设铁钉进入木板内xcm时，木板对铁钉的阻力为

f?kx(k?0)

由于铁锤两次打击铁钉时的速度相同，故

?10fdx??x1fdx

所以，x?2。第二次时能击入(2?1)cm深。

2—43．从地面上以一定角度发射地球卫星，发射速度v0应为多大才能使卫星在距地心半径为r的圆轨道上运转？

分析：地面附近万有引力即为重力，卫星圆周运动时，万有引力提供的向心力，能量守恒。 解：设卫星在距地心半径为r的圆轨道上运转速度为v, 地球质量为M, 半径为Re,卫星质量为m.

根据能量守恒，有

12mv0?2GMmRe?12mv?2GMmr

又由卫星圆周运动的向心力为 FN?GMmr2?mvr2

卫星在地面附近的万有引力即其重力，故

GMmRe2?mg

联立以上三式，得v0?1Re??2gRe?1?? 2r??2—44．一轻弹簧的劲度系数为k?100N?m?1，用手推一质量m?0.1kg的物体A把弹簧压缩到离平衡位置为x1?0.02m处，如图2-44所示。放手后，物体沿水平面移动距离

x2?0.1m而停止，求物体与水平面间的滑动摩擦系数。

分析：系统机械能守恒。

解：物体沿水平面移动过程中，由于摩擦力做负功，

致使系统（物体与弹簧）的弹性势能全部转化为内能（摩擦生热）。 根据能量关系，有

12kx1??mgx2所以，??0.2

2

2—45．一质量m?0.8kg的物体A，自h?2m处落到弹簧上。当弹簧从原长向下压缩

x0?0.2m时，物体再被弹回，试求弹簧弹回至下压0.1m时物体的速度。

题图2—44

题图2—45

分析：系统机械能守恒。

解：设弹簧下压0.1m时物体的速度为v。把物体和弹簧看作一个系统，整体系统机械能守

恒，选弹簧从原长向下压缩x0的位置为重力势能的零点。

当弹簧从原长向下压缩x0?0.2m时，重力势能完全转化为弹性势能，即

mg(h?x0)?12kx0

2当弹簧下压x?0.1m时，

mg(h?x0)?12kx?mg(x0?x)?212mv

2所以，v?3.1gm/s

2—46．长度为l的轻绳一端固定，一端系一质量为m的小球，绳的悬挂点正下方距悬挂点的距离为d处有一钉子。小球从水平位置无初速释放，欲使球在以钉子为中心的圆周上绕一圈，试证d至少为0.6l。

分析：小球在运动过程中机械能守恒；考虑到小球绕O点能完成圆周运动，因此小球在圆周运动的最高点所受的向心力应大于或等于重力。

证：小球运动过程中机械能守恒，选择小球最低位置为重力势能的零点。设小球在A处时速度为v，则:mgl?mg?2(l?d)?12mv

2又小球在A处时向心力为: FN?mg?mv2l?d

其中，绳张力为0时等号成立。联立以上两式，解得d?0.6l

题图2—46

2—47．弹簧下面悬挂着质量分别为M1、M2的两个物体，开始时它们都处于静止状态。突然把M1与M2的连线剪断后，M1的最大速率是多少？设弹簧的劲度系数k?8.9N?m而M1?500g,M2?300g。

分析：把弹簧与M1看作一个系统。当M1与M2的连线剪断后，系统作简谐振动，机械能守恒。

解:设连线剪断前时弹簧的伸长为x，取此位置为重力势能的零点。M1系统达到平衡位置时弹簧的伸长为x?,根据胡克定律，有

?1

题图2—47

，

kx?(M1?M2)g kx??M1g

系统达到平衡位置时，速度最大，设为v。由机械能守恒，得

12kx?212kx??M1g(x?x?)?212M1v

2联立两式，解之：v?1.4m/s

2—48．一人从10 m深的井中提水．起始时桶中装有10 kg的水，桶的质量为1 kg，由于水桶漏水，每升高1 m要漏去0.2 kg的水．求水桶匀速地从井中提到井口，人所作的功． 分析：由于水桶漏水，人所用的拉力F是变力，变力作功。 解：选竖直向上为坐标y轴的正方向，井中水面处为原点. 由题意知，人匀速提水，所以人所用的拉力F等于水桶的重量 即： F?P?P0?ky?mg?0.2gy?107.8?1.96y 人的拉力所作的功为： A?H10?dA??0Fdy＝?(107.8?1.96y)dy=980 J

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