2012年高考数学重点难点讲解十:函数图象与图象变换
更新时间:2023-05-17 13:43:01 阅读量: 实用文档 文档下载
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函数图象与图象变换 函数的图象与性质是高考考查的重点内容之一,它是研究和记忆函数性质的直观工具,利用它的直观性解题,可以起到化繁为简、化难为易的作用.因此,考生要掌握绘制函数图象的一般方法,掌握函数图象变化的一般规律,能利用函数的图象研究函数的性质. ●难点磁场 (★★★★★)已知函数f(x)=ax3+bx2+cx+d的图象如图,求b的范围.
函数图象与图象变换
函数的图象与性质是高考考查的重点内容之一,它是研究和记忆函数性质的直观工具,利用它的直观性解题,可以起到化繁为简、化难为易的作用.因此,考生要掌握绘制函数图象的一般方法,掌握函数图象变化的一般规律,能利用函数的图象研究函数的性质.
●难点磁场
(★★★★★)已知函数f(x)=ax+bx+cx+d的图象如图,求b的范围.
32
●案例探究
[例1]对函数y=f(x)定义域中任一个x的值均有f(x+a)=f(a-x),(1)求证y=f(x)的图象关于直线x=a对称;(2)若函数f(x)对一切实数x都有f(x+2)=f(2-x),且方程f(x)=0恰好有四个不同实根,求这些实根之和.
命题意图:本题考查函数概念、图象对称问题以及求根问题.属★★★★★级题目.知识依托:把证明图象对称问题转化到点的对称问题.
错解分析:找不到问题的突破口,对条件不能进行等价转化.技巧与方法:数形结合、等价转化.
(1)证明:设(x0,y0)是函数y=f(x)图象上任一点,则y0=f(x0),又f(a+x)=f(a-x),∴f(2a-x0)=f[a+(a-x0)]=f[a-(a-x0)]=f(x0)=y0,∴(2a-x0,y0)也在函数的图象上,而
(2a x0) x0
2
=a,
∴点(x0,y0)与(2a-x0,y0)关于直线x=a对称,故y=f(x)的图象关于直线x=a对称.
(2)解:由f(2+x)=f(2-x)得y=f(x)的图象关于直线x=2对称,若x0是f(x)=0的根,则4-x0也是f(x)=0的根,由对称性,f(x)=0的四根之和为8.
[例2]如图,点A、B、C都在函数y=x的图象上,它们的横坐标分别是a、a+1、a+2.又A、B、C在x轴上的射影分别是A′、B′、C′,记△AB′C的面积为f(a),△A′BC′的面积为g(a).
(1)求函数f(a)和g(a)的表达式;
(2)比较f(a)与g(a)的大小,并证明你的结论.
命题意图:本题考查函数的解析式、函数图象、识图能力、图形的组合等.属★★★★★级题目.
知识依托:充分借助图象信息,利用面积问题的拆拼以及等价变形找到问题的突破口.错解分析:图形面积不会拆拼.
技巧与方法:数形结合、等价转化.
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函数图象与图象变换 函数的图象与性质是高考考查的重点内容之一,它是研究和记忆函数性质的直观工具,利用它的直观性解题,可以起到化繁为简、化难为易的作用.因此,考生要掌握绘制函数图象的一般方法,掌握函数图象变化的一般规律,能利用函数的图象研究函数的性质. ●难点磁场 (★★★★★)已知函数f(x)=ax3+bx2+cx+d的图象如图,求b的范围.
解:(1)连结AA′、BB′、CC′,则f(a)=S△AB′C=S梯形AA′C′C-S△AA′B′-S△CC′B=
12
(A′A+C′C)=
12
12
(a a 2),
g(a)=S△A′BC′=A′C′·B′B=B′B=a 1.
12(a
a 2 2a 1)
a)]
12(
(2)f(a) g(a) 12[(
a 2
a 1) (a 1
1a 2
a 1
1a 1
a
) 0
∴f(a)<g(a).
●锦囊妙计
1.熟记基本函数的大致图象,掌握函数作图的基本方法:(1)描点法:列表、描点、连线;
(2)图象变换法:平移变换、对称变换、伸缩变换等.
2.高考中总是以几类基本初等函数的图象为基础来考查函数图象的.题型多以选择与填
空为主,属于必考内容之一,但近年来,在大题中也有出现,须引起重视.
●歼灭难点训练
一、选择题
1.(★★★★)当a≠0时,y=ax+b和y=bax的图象只可能是( )
2.(★★★★)某学生离家去学校,由于怕迟到,所以一开始就跑步,等跑累了,再走余下的路,下图中y轴表示离学校的距离,x轴表示出发后的时间,则适合题意的图形是( )
二、填空题
3.(★★★★★)已知函数f(x)=log2(x+1),将y=f(x)的图象向左平移1个单位,再将图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变),得到函数y=g(x)的图象,则函数F(x)=f(x)-g(x)的最大值为_________.
三、解答题
4.(★★★★)如图,在函数y=lgx的图象上有A、B、C三点,它们的横坐标分别为m,m+2,m+4(m>1).
(1)若△ABC面积为S,求S=f(m);(2)判断S=f(m)的增减性.
5
函数图象与图象变换 函数的图象与性质是高考考查的重点内容之一,它是研究和记忆函数性质的直观工具,利用它的直观性解题,可以起到化繁为简、化难为易的作用.因此,考生要掌握绘制函数图象的一般方法,掌握函数图象变化的一般规律,能利用函数的图象研究函数的性质. ●难点磁场 (★★★★★)已知函数f(x)=ax3+bx2+cx+d的图象如图,求b的范围.
5.(★★★★)如图,函数y=
32
|x|在x∈[-1,1]的图象上有两点A、
32
B,AB∥Ox轴,点M(1,m)(m∈R且m>)是△ABC的BC边的中点.
(1)写出用B点横坐标t表示△ABC面积S的函数解析式S=f(t);(2)求函数S=f(t)的最大值,并求出相应的C点坐标.6.(★★★★★)已知函数f(x)是y=-
1x 2
210
x
1
-1(x∈R)的反函数,函数g(x)的图象与函数y=
的图象关于y轴对称,设F(x)=f(x)+g(x).
(1)求函数F(x)的解析式及定义域;
(2)试问在函数F(x)的图象上是否存在两个不同的点A、B,使直线AB恰好与y轴垂直?若存在,求出A、B的坐标;若不存在,说明理由.
7.(★★★★★)已知函数f1(x)= x2,f2(x)=x+2, (1)设y=f(x)=
f1(x), x [ 1,0) 3 f2(x), x [0,1]
,试画出y=f(x)的图象并求y=f(x)的曲线绕x轴旋
转一周所得几何体的表面积;
(2)若方程f1(x+a)=f2(x)有两个不等的实根,求实数a的范围. (3)若f1(x)>f2(x-b)的解集为[-1,8.(★★★★★)设函数f(x)=x+对应的函数为g(x).
(1)求g(x)的解析表达式;
(2)若直线y=b与C2只有一个交点,求b的值,并求出交点坐标; (3)解不等式logag(x)<loga
92
1x
12
],求b的值.
的图象为C1,C1关于点A(2,1)对称的图象为C2,C2
(0<a<1).
参考答案
难点磁场
解法一:观察f(x)的图象,可知函数f(x)的图象过原点,即f(0)=0,得d=0,又f(x)的图象过(1,0),∴f(x)=a+b+c①,又有f(-1)<0,即-a+b-c<0②,①+②得b<0,故b的范围是(-∞,0) 解法二:如图f(0)=0有三根,∴f(x)=ax3+bx2+cx+d=ax(x-1)(x-2)=ax3-3ax2+2ax,∴b= -3a,∵a>0,∴b<0.
歼灭难点训练
一、1.解析:∵y=b=(b),∴这是以b为底的指数函数.仔细观察题目中的直线方程可知:在选择支B中a>0,b>1,∴ba>1,C中a<0,b>1,∴0<ba<1,D中a<0,0<b<1,∴ba>1.故选择支B、C、D均与指数函数y=(b)的图象不符合.
答案:A
2.解析:由题意可知,当x=0时,y最大,所以排除A、C.又一开始跑步,所以直线随着x的增大而急剧下降.
答案:
D
5
ax
ax
ax
a
函数图象与图象变换 函数的图象与性质是高考考查的重点内容之一,它是研究和记忆函数性质的直观工具,利用它的直观性解题,可以起到化繁为简、化难为易的作用.因此,考生要掌握绘制函数图象的一般方法,掌握函数图象变化的一般规律,能利用函数的图象研究函数的性质. ●难点磁场 (★★★★★)已知函数f(x)=ax3+bx2+cx+d的图象如图,求b的范围.
二、3.解析:g(x)=2log2(x+2)(x>-2) F(x)=f(x)-g(x)=log2(x+1)-2log2(x+2) =log2
x 1(x 2)
2
log
x 1
2
x 4x 4
2
log
1
2
x 4x 4
x 1
2
log
1
2
x 1
1x 1
(x 1) 2
1
2(x 1)
1x 1
2
1
2
∵x+1>0,∴F(x)≤log2
log
4
=-2
当且仅当x+1=
1x 1
,即x=0时取等号.
∴F(x)max=F(0)=-2. 答案:-2
三、4.解:(1)S△ABC=S梯形AA′B′B+S梯形BB′C′C-S梯形AA′C′C. (2)S=f(m)为减函数. 5.解:(1)依题意,设B(t,
32
t),A(-t,
3
32
t)(t>0),C(x0,y0).
∵M是BC的中点.∴∴x0=2-t,y0=2m-∴S=
12
3212
t x0
2
=1,t y02
=m.
32
t.在△ABC中,|AB|=2t,AB边上的高hAB=y0-·2t·(2m-3t),即f(t)=-3t2+2mt,t∈(0,1).
t=2m-3t.
|AB|·hAB=
m 0 1 3mmm 3
(2)∵S=-3t2+2mt=-3(t-)2+,t∈(0,1],若 ,即<m≤3,当t=时,
3233 m 3
2
2
Smax=
m3
2
,相应的C点坐标是(2-
m3
,
32
m),若
m3
>1,即m>3.S=f(t)在区间(0,1]上是增函
数,∴Smax=f(1)=2m-3,相应的C点坐标是(1,2m-3).
6.解:(1)y=
210
x
1
-1的反函数为f(x)=lg
1 x1 x
(-1<x<1).
5
函数图象与图象变换 函数的图象与性质是高考考查的重点内容之一,它是研究和记忆函数性质的直观工具,利用它的直观性解题,可以起到化繁为简、化难为易的作用.因此,考生要掌握绘制函数图象的一般方法,掌握函数图象变化的一般规律,能利用函数的图象研究函数的性质. ●难点磁场 (★★★★★)已知函数f(x)=ax3+bx2+cx+d的图象如图,求b的范围.
由已知得g(x)=
1x 2
,∴F(x)=lg
1 x1 x1 x
+
1x 22
,定义域为(-1,1).
(2)用定义可证明函数u==-1+
是(-1,1)上的减函数,且y=lgu是增函数.
1 x
x 1
f(x)是(-1,1)上的减函数,故不存在符合条件的点A、B.
7.解:(1)y=f(x)=
x2,x [ 1,0).图略.
x 1,x [0,1]
y=f(x)的曲线绕x轴旋转一周所得几何体的表面积为(2+2)π. (2)当f1(x+a)=f2(x)有两个不等实根时,a的取值范围为2-2<a≤1. (3)若f13
1(x)>f2(x-b)的解集为[-1,2
],则可解得b=
5 2
.
8.(1)g(x)=x-2+
1x 4
.(2)b=4时,交点为(5,4);b=0时,交点为(3,0).
(3)不等式的解集为{x|4<x<92
或x>6}.
5
∴
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