中国石油大学华东期末(2—2)高数题1

一、填空题：1~6小题，每小题4分，共24分. 请将答案写在指定位置上. 1. 平面

?1:y?z?0与平面?2:x?y?0的夹角为 .

22(1,2)处沿从点(1,2)到点(2,2?3)的方向的方向导数z?x?y2. 函数在点

为 .

222f(x,y)D:x?y?a3. 设是有界闭区域上的连续函数，则当a?0时，

1a?0?a2lim??f(x,y)dxdy?D .

222x?y?z?4. 区域由圆锥面及平面z?1围成，则将三重积分

???f(?x2?y2)dV在柱

面坐标系下化为三次积分为 .

23P,Q,R是定义在x?t,y?t,z?t?5. 设为由曲线上相应于t从0到1的有向曲线弧，

?上的连续三元函数，则对坐标的曲线积分化为对弧长的曲线积分有：

??Pdx?Qdy?Rdz?将

函

数

______________________________________.

6.

f(x)?x?1(0?x??)展开成余弦级数为

__________________________________

.

二、单项选择题：7~12小题，每小题3分，共18分。下列每题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请将所选项前的字母填在题后的括号内. 7. 若

??(x,y)?Kf?(x,y)?z?f(x,y)有连续的二阶偏导数，且fxy(常数)，则y（ ）

Ky； (C) Ky??(x)； (D) Kx??(y).

K2(A) 2； (B)

8. 设

f(x)是连续的奇函数，g(x)是连续的偶函数，区域

D?(x,y)0?x?1,?x?y?x??，则下列结论正确的是（ ）

??f(x)g(y)dxdy?0D(A)

??f(y)g(x)dxdy?0D； (B) ；

(C)

??[f(x)?g(y)]dxdy?0D； (D)

??[f(y)?g(x)]dxdy?0D.

9. 已知空间三角形三顶点

A(?1,2,3),B(1,1,1),C(0,0,5)，则?ABC的面积为（ ）

7293(A) 2； (B) 3； (C) 9； (D) 7.

2z??dxdy?10. 曲面积分在数值上等于( )

??22??zv?zi(A) 流速场穿过曲面Σ指定侧的流量；(B) 密度为的曲面片Σ的质量； ????22(C) 向量场F?zk穿过曲面Σ指定侧的通量；(D) 向量场F?zk沿Σ边界所做的功.

若级数?cn(x?2)n在x??4处是收敛的,则此级数在x?1处n?1?11．( )

(A)发散； (B)条件收敛； (C)绝对收敛； (D)收敛性不能确定.

(?1)n?1?n2p12.级数n?1的敛散性为 ( )

?p?(A) 当

11p?2时，绝对收敛； （B）当2时，条件收敛；

110?p?2时，发散. 2时，绝对收敛； （D）当

0?p?(C) 当

三、解答题：13~20小题，共58分.请将解答过程写在题目下方空白处.解答应写出文字说明、

证明过程或演算步骤.

?(x?y?z)z?z(x,y)，求全微分dz. x?y?z?e13.（本题满分6分）设确定

题满分8分）求曲线

???2x?3y?5z?4?0?x2?y2?z2?3x?0 在点（1,1,1）处的切线与法平面方程.

15.（本题满分8分）求幂级数n?0

?(2n?1)xn的和函数.

（本题满分6分）计算所截下的有限部分.

I???(x?y?z)dS?22y?z?5x?y?25?，其中为曲面被柱面

17.（本题满分8分）计算积分

I??(2x2?4xy)dx?(2x2?y2)dyL，其中L为曲线

355(x?)2?(y?)2?222上从点(1,1)到(2,4)沿逆时针方向的一段有向弧.

18.（本题满分8分）计算

I???yzdydz?y(x2?z2)dzdx?xydxdy?，其中?是由曲面

4?y?x2?z2与平面y?0围成的有界闭区域?的表面外侧.

x2y2z2?2?2?12abc19.（本题满分8分）在第Ⅰ卦限内作椭球面的切平面，使切平面与三个

坐标面所围成的四面体体积最小，求切点坐标. 20. (本题满分6分)设

baf(x),g(x)均在?a,b?上连续，试证明柯西-施瓦茨不等式：

bbaa[?f(x)g(x)dx]2?[?f2(x)dx][?g2(x)dx].

答 案

一、填空题：1~6小题，每小题4分，共24分. 请将答案写在指定位置上.

?1. 平面

?1:y?z?0与平面?2:x?y?0的夹角为

3.

22(1,2)处沿从点(1,2)到点(2,2?3)的方向的方向导数为z?x?y2. 函数在点

1?23.

222f(x,y)D:x?y?a3. 设是有界闭区域上的连续函数，则当a?0时，

1a?0?a2lim??f(x,y)dxdy?Df(0,0) .

222x?y?z?4. 区域由圆锥面及平面z?1围成，则将三重积分

2?011r????f(x2?y2)dV在柱

面坐标系下化为三次积分为

?d??dr?f(r)rdz0.

23P,Q,R是定义在x?t,y?t,z?t5. 设?为由曲线上相应于t从0到1的有向曲线弧，

?上的连续三元函数，则对坐标的曲线积分化为对弧长的曲线积分有：

??Pdx?Qdy?Rdz???(P1?4x?9y22?2xQ1?4x?9y22?3yR1?4x?9y22)ds.

6. 将函数

f(x)?x?1(0?x??)展开成余弦级数为

x?1??2?1?4?(cosx?11cos3x?cos5x??)(0?x??)3252.

二、单项选择题：7~12小题，每小题3分，共18分。下列每题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请将所选项前的字母填在题后的括号内. 7. 若

??(x,y)?Kf?(x,y)?z?f(x,y)有连续的二阶偏导数，且fxy(常数)，则y（ D ）

Ky； (C) Ky??(x)； (D) Kx??(y).

K2(A) 2； (B)

8. 设

f(x)是连续的奇函数，g(x)是连续的偶函数，区域

D?(x,y)0?x?1,?x?y?x??，则下列结论正确的是（ A ）.

??f(x)g(y)dxdy?0D(A)

??f(y)g(x)dxdy?0D； (B) ；

(C)

??[f(x)?g(y)]dxdy?0D； (D)

??[f(y)?g(x)]dxdy?0D..

9. 已知空间三角形三顶点

A(?1,2,3),B(1,1,1),C(0,0,5)，则?ABC的面积为（ A）

7293(A) 2； (B) 3； (C) 9； (D) 7

10. 曲面积分

??z?2dxdy在数值上等于( C ).

??22??zv?zi(A) 流速场穿过曲面Σ指定侧的流量；(B) 密度为的曲面片Σ的质量； ????22(C) 向量场F?zk穿过曲面Σ指定侧的通量；(D) 向量场F?zk沿Σ边界所做的功.

若级数?cn(x?2)n在x??4处是收敛的,则此级数在x?1处n?1?11.( D )

(A)发散； (B)条件收敛； (C)绝对收敛； (D)收敛性不能确定.

(?1)n?1?n2p12.级数n?1的敛散性为 ( A )

?p?(A) 当

11p?2时，绝对收敛； （B）当2时，条件收敛；

110?p?2时，发散. 2时，绝对收敛； （D）当

0?p?(C) 当

三、解答题：13~20小题，共58分.请将解答过程写在题目下方空白处.解答应写出文字说明、

证明过程或演算步骤.

?(x?y?z)z?z(x,y)，求全微分dz. x?y?z?e13. （本题满分6分）设确定

?(x?y?z)dx?dy?dz?e(?1)(dx?dy?dz)

解：两边同取微分

整理得

dz??dx?dy.

14. （本题满分8分）求曲线 程.

???2x?3y?5z?4?0x2?y2?z2?3x?0 在点（1,1,1）处的切线与法平面方

dydz9??dy2x?2y?2z?3???dx(1,1,1)4dxdx??dzdydz7?2?3?5?0???(1,1,1)dxdxdx4，++- ??x解：两边同时关于求导，解得

91T?(1,,?)1616 所以切向量为

x?1y?1z?1??169?1； 切线方程为：

法平面方程为：

16(x?1)?9(y?1)?(z?1)?0，即16x?9y?z?24?0.

15.（本题满分8分）求幂级数n?0?(2n?1)xn??的和函数.

n解：求得此幂级数的收敛域为

(?1,1)，n?0??(2n?1)x??2nx??xnnn?0n?0??，

??2nx?2x?nxnn?0n?1??n?1,设

A(x)??nxn?1n?1?xn?1，则

??0xA(x)dx??n?xn?10?xn?1dx???nxn?10dx??xn?n?1x1?x，(?1?x?1)；

??12x?x??n,2nx?,?A(x)????221?x(1?x)(1?x)?? 即n?0

??(2n?1)xn?n?0?2x11?x??(1?x)21?x(1?x)2，(?1?x?1).

16.（本题满分6分）计算

I???(x?y?z)dS?y?z?5被柱面

，其中?为曲面

x2?y2?25所截下的有限部分.

I???(x?y?z)dS???(x?5)dS??解：

???5dS?52?x2?y2?25??dxdy

?52?25??1252?

17.（本题满分8分）计算积分

I??(2x2?4xy)dx?(2x2?y2)dyL，其中L为曲线

355(x?)2?(y?)2?222上从点(1,1)到(2,4)沿逆时针方向的一段有向弧.

?解：

?Q?P??4x?x?y

AB?I??(2x2?4xy)dx?(2x2?y2)dy

??(2x2?4x)dx??(8?y2)dy1124

?413

18.（本题满分8分）计算

I???yzdydz?y(x2?z2)dzdx?xydxdy?，?是由曲面

4?y?x2?z2与平面y?0围成的有界闭区域?的表面外侧.

I???yzdydz?y(x2?z2)dzdx?xydxdy?解：

2????(x2?z2)dV?2?d?2rdr4?rr2dy?32??0?0?03 ?x2y2z2?2?2?12bc19.（本题满分8分）在第Ⅰ卦限内作椭球面a的切平面，使切平面与三个

坐标面所围成的四面体体积最小，求切点坐标.

222x,y,z)202020(x,y,z)bc解：设切点坐标为000，则切向量为a，

(x02切平面方程为a(x?x0)?y0b2(y?y0)?z0c2(z?z0)?0x0x2，即a?y0yb2?z0zc2?1，

a2b2c21V?xyz?6x0y0z0， 6则切平面与三个坐标面所围成的四面体体积为

令

L(x0,y0,z0,?)?lnx0?lny0?lnz0??(x02a2?y02b2?z02c2?1)

?12?x0?x?a2?0,?0?1?2?y0?0,??y0b2?12?z??20?0,c?z0?x2y2z2abc?0?0?0?1x0?,y?,z?00222?abc?333， 解方程组得

(故切点坐标为

a3,b3,c3.

)20. (本题满分6分)设

baf(x),g(x)均在?a,b?上连续，试证明柯西不等式：

bbaa[?f(x)g(x)dx]2?[?f2(x)dx][?g2(x)dx]b2baa.

证：

[?f(x)dx][?g2(x)dx]???f2(y)g2(x)dxdy???f2(x)g2(y)dxdyDD

bb1?[?f2(x)dx][?g2(x)dx]?(??f2(x)g2(y)dxdy???f2(x)g2(y)dxdy)aa2DD

?112222(f(x)g(y)?f(y)g(x))dxdy?(2f(x)g(x)f(y)g(y))dxdy??2??2DDD

一．选择题（本题共6小题，每小题4分，满分24分.每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）. 1. 设三向量

???(f(x)g(x)f(y)g(y))dxdy?bf(x)g(x)dxbf(y)g(y)dy?[bf(x)g(x)dx]2???aaaa,b,c满足关系式a?b?a?c，则（ ）.

（A）必有a?0; （B）必有b?c?0;

（C）当a?0时，必有b?c; （D）必有

a??(b?c)(?为常数).

x?3y?4z???73与平面4x?2y?2z?3的关系是（ ）. 2. 直线?2（A）平行，但直线不在平面上; （B）直线在平面上；

（C）垂直相交; （D）相交但不垂直.

?5xy,?22f(x,y)??x?y?0,?3. 二元函数

(x,y)?(0,0)(x,y)?(0,0)在点（0，0）处（ ）

(A) 不连续，偏导数存在 (B) 连续，偏导数不存在

(C) 连续，偏导数存在 (D) 不连续，偏导数不存在

(x?ay)dx?ydy2(x?y)4. 已知为某二元函数的全微分，则a?（ ）.

（A）?1; （B）0; （C）1; （D）2.

2f(u)D:0?y?1?x,(?1?x?1)，5. 设是连续函数，平面区域则

??f(xD2?y2)dxdy?（ ）.

11?x2?0dx?0（A）

f(x?y)dy22; （B）

11?y2?0dy?0f(x2?y2)dx;

（C）

?12?0d??0f(r)rdr; （D）

??12?0d??0f(r)dr.

an(?1)(1?cos)?n6. 设a为常数，则级数n?1（ ）.

（A）发散 ; （B）绝对收敛; （C）条件收敛; （D）收敛性与a的值有关.

二．填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分）.

?ux2y2z2?u(x,y,z)?1???P(1,2,3)P61218，向量n?{1,1,1}，点01. 设函数，则?n0_____________.

22f(x,y)?2x?ax?xy?2y在点(1,?1)处取得极值，则常数a?2. 若函数

____________.

3. L为圆x?y?1的一周，则

2222?L(x?y)ds?_____________.

4. 设

an?1?2n??anlim，级数n?1?axn?2n?1的收敛半径为 _____________.

5. 设

f(x)??e?ydy1x22，则

?0xf(x)dx?1_____________.

?2,?1?x?0f(x)??3f(x)是以2为周期的周期函数，它在区间(?1,1]上的定义为?x,0?x?1，6. 设

则

f(x)的以2为周期的傅里叶级数在x?1处收敛于_____________.

三．解答下列各题（本题共7小题，满分44分）.

1.（本小题6分）设

f(u)是可微函数，

z?f(?z?zyx?2y)?y. x，求?x，其中D?{(x,y)|x?y?1,x?0}.

222. （本小题6分）计算二重积分

1?xydxdy22??1?x?yD3z?z(x,y)x3. （本小题6分） 设曲面是由方程y?xz?1所确定，求该曲面在点

M0(1,2,?1)处的切平面方程及全微分dz|(1,2).

4. （本小题6分） 计算三重积分

????x2?y2dxdydz2y?1?x?，其中是由柱面及

y?0，z?0，x?y?z?4所围成的空间区域.

5. （本小题6分）求向取下侧.

??(2x?z)dydz?zdxdy??22z?x?y(0?z?1)，方?，其中为曲面

n2?1nx?n6. （本小题7分） 求幂级数n?1的收敛域及和函数.

解题过程是：

I???(x2?y2)dS7. （本小题7分）计算解题过程是：

四．证明题（8分）. 设函数

?x2?y2?z?1?，为立体的边界。

f(u)在(??,??)内具有一阶连续导数，L是上半平面(y?0)内的有向分段光滑曲

线，其起点为

(a,b)，终点为(c,d)，记

I??1x[1?y2f(xy)]dx?2[y2f(xy)?1]dyLyy，

（1）证明曲线积分I与路径L无关;

（2）当ab?cd时，求I的值.

一．选择题（本题共6小题，每小题4分，满分24分.每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）.

1. 设三向量

a,b,c满足关系式a?b?a?c，则（ D ）.

（A）必有a?0; （B）必有b?c?0; （C）当a?0时，必有b?c; （D）必有

a??(b?c)(?为常数).

x?3y?4z???73与平面4x?2y?2z?3的关系是（ A ）. 2. 直线?2（A）平行，但直线不在平面上; （B）直线在平面上；

（C）垂直相交; （D）相交但不垂直.

?5xy,?f(x,y)??x2?y2?0,?3. 二元函数

(x,y)?(0,0)(x,y)?(0,0)在点（0，0）处（A）

(A) 不连续，偏导数存在 (B) )连续，偏导数不存在

(C) 连续，偏导数存在 (D) )不连续，偏导数不存在

(x?ay)dx?ydy2(x?y)4. 已知为某二元函数的全微分，则a?（ D ）.

（A）?1; （B）0; （C）1; （D）2.

22f(x?y)dxdy???D2f(u)D:0?y?1?x,(?1?x?1)，5. 设是连续函数，平面区域则

（ C ）.

（A）、

??010dx?01?x20f(x?y)dy22; （B）

?dy?011?y201f(x2?y2)dx;

（C）

?d??f(r2)rdr1; （D）

??0d??f(r2)dr0.

6. 设a为常数，则级数n?1?(?1)(1?cosn)n?a（ B ）.

（A）发散 ; （B）绝对收敛; （C）条件收敛; （D）收敛性与a的值有关. 二．填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分）.

x2y2z2u(x,y,z)?1???,2,3)， 0(161218，向量n?{1,1,1}，点P1. 设函数

?u3?P则?n0______3______.

22f(x,y)?2x?ax?xy?2y在点(1,?1)处取得极值，则常数a?____?52. 若函数

_____. 3.

22(x?y)ds??L为圆x?y?1一周，则L_____0_____.

224. 设

an?1?2n??anlim，级数n?1?axn?2n?12的收敛半径为 _____2_____.

5. 设

f(x)??e1x2?y21?1?(1?e)xf(x)dx?dy?，则0___4___.

1?2,?1?x?0f(x)??3f(x)(?1,1]?x,0?x?1，6. 设是以2为周期的周期函数，它在区间上的定义为

3f(x)的以2为周期的傅里叶级数在x?1处收敛于_____2_____. 则

三．解答下列各题（本题共7小题，1-5每小题6分，6-7每小题7分，满分44分）.

1.设

f(u)是可微函数，

z?f(?z?zyx?2y)?y. x，求?x解题过程是：

u?令

yy?z??2f?(u)x，则?xx， ………………………………..2分

?z1?f?(u)?y2xyx， ………………………………..2分

?z?z?2y?0?y于是?x. ………………………………..2分

1?xydxdy22??1?x?yD22D?{(x,y)|x?y?1,x?0}. ，其中

2. 计算二重积分解题过程是：

xy22D关于x轴对称，被积函数1?x?y关于y是奇函数，故 xydxdy?022??1?x?yD； …………………………………..2分

11?xy11?2dxdy?dxdy?d?rdr?ln2?2222??????01?r2?1?x?y1?x?y22D于是 D…..4分

?

3M(1,2,?1)处的切平面z?z(x,y)x3. 设曲面是由方程y?xz?1所确定，求该曲面在点0方程及全微分

dz|(1,2).

解题过程是：

令F(x,y,z)?xy?xz?1，则

3Fx??3x2y?z,Fy??x3,Fz??x，

Fx?(M0)?5,Fy?(M0)?1,Fz?(M0)?1. …………………………………..2分

切平面为

5x?y?z?6?0. …………………………………..1分

F??zFx?3x2?z?z????,??y??x2,?xFz?x?yFz?

?z?z??5,??1,?xM0?yM0 …………………………………..2分

dz于是

M0??5dx?dy. …………………………………..1分

4. 计算三重积分

????x2?y2dxdydz2y?0，z?0，y?1?x?，其中是由柱面及

x?y?z?4所围成的空间区域.

解题过程是：

????x2?y2dxdydz??d??r2dr?00?14?r(cos??sin?)0dz…………………………………..3分

?41??[?(cos??sin?)]d?034??d??[4r?r(cos??sin?)dr00?123?41??32. …………………………………..3分

5. 求

??(2x?z)dydz?zdxdy?22z?x?y(0?z?1)，方向取下侧. ，其中?为曲面

解题过程是：

22?z?1(x?y?1)，法线方向指向z轴正向 …………………… …..1分 1取为

由Guass公式

??(2x?z)dydz?zdxdy????????????1?1

????(2?0?1)dxdydz?????12?11 ……………………..2分

?3?d??rdr?2dz???dxdy00rD ……………………..1分

?

?31?????22. ……………………..2分

n2?1nx?n6. 求幂级数n?1的收敛域并求其和函数.

ann2?1R?lim?1an?n??a(?1,1)； n?1n，所以因为，故收敛区间为

n2?1lim?0(?1,1).…………..2分 x??1时，极限n??n，级数均是发散的；于是收敛域为

n2?1n?n?1ns(x)??x??nx??xnn?1n?1n?1n

??x(?1n?nxdx)?(x)?dx???00nn?1n?1 ……………………. …………...3分

n?1xx??x1x?x()???dx01?x1?x?x?ln(1?x),(1?x)2x?(?1,1). ……………………. …………...2分

7. （本小题7分）例1 计算

I???(x2?y2)ds?，?为立体x2?y2?z?1zx的边界。 z?x2?y20?z?1??????121解 设，为锥面，

?2为z?1上x2?y2?1部分， ?1,?2在xoy面投影为x2?y2?1

Oyx?z2?z2dS1?1??dxdy?x?y=

2dxdy， dS2?dxdy

(x2?y2)ds22???∴I?=

?1(x2?y2)ds122??+

?2=

??D(x2?y2)2dxdy???(x2?y2)dxdyD

1(2?1)??(x?y)dxdy?(1?2)?d??r3dr?D10?2(1?2)

四．证明题（8分）. 设函数

f(x,y)在(??,??)内具有一阶连续导数，L是上半平面(y?0)内的有向分段光滑

曲线，其起点为

(c,d)，(a,b)，

终点为记

I??1x[1?y2f(xy)]dx?2[y2f(xy)?1]dyLyy，

（1）证明曲线积分I与路径L无关;（2）当ab?cd时，求I的值.

1xP(x,y)?[1?y2f(xy)],Q(x,y)?2[y2f(xy)?1]yy（1）记，

?P[2yf(xy)?y2f?(xy)?x]y?[1?y2f(xy)]1??f(xy)??xyf?(xy);22?yyy?Q[y2f(xy)?1]?x?y3f?(xy)]1???f(xy)?xyf(xy)?;22?xyy?

?P?Q??y?x成立，积分I与路径L无关. ……………………………………..3分

(a,b)起至点(c,b)，再至终点(c,d)，则

（2）由于积分与路径无关，选取折线路径，由点

I??(c,b)(a,b)P(x,y)dx??(c,d)(c,b)Q(x,y)dyc1dccbcdcc??[?bf(xb)]dx??[cf(cy)?2]dy?c?a?f(t)dt?f(t)dt????abcabbcybdb cdcaca????f(t)dt??abdb. db

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