命题及其关系复习讲义

命题及其关系、充分条件与必要条件讲义

1．命题

01判断真假的陈述句叫做命题，其中□02判断用语言、符号或式子表达的，可以□03判断为假的语句叫做假命题． 为真的语句叫做真命题，□2．四种命题及其相互关系 (1)四种命题间的相互关系

(2)四种命题的真假关系

04相同的真假性； ①两个命题互为逆否命题，它们具有□05没有关系． ②两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性□3．充分条件、必要条件与充要条件

01充若p?q，则p是q的□02必要分条件，q是p的□条件 03充分 p是q的□不必要条件 05必要不充分条p是q的□件 07充要条件 p是q的□09既不充分也不p是q的□必要条件 p?q p?/q且q?/p 08A＝B □10包含 A，B互不□ p?q且q?/p p?/q且q?p 04真子集 A是B的□06真子集 B是A的□p成立的对象的集合为A，q成立的对象的集合为B

1．概念辨析

(1)“x－3>0”是命题．( ) (2)一个命题非真即假．( )

(3)四种形式的命题中，真命题的个数为0或2或4.( ) (4)当q是p的必要条件时，p是q的充分条件．( ) 答案 (1)× (2)√ (3)√ (4)√ 2．小题热身

(1)命题“若x2>y2，则x>y”的逆否命题是( ) A．若xy，则x2>y2 D．若x≥y，则x2≥y2 答案 B

解析 “若x2>y2，则x>y”的逆否命题是“若x≤y，则x2≤y2”． (2)对于任意两个集合A，B，“x∈A∩B”是“x∈A”的( ) A．充分条件 B．必要条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 答案 A

解析 ∵(A∩B)?A，∴x∈A∩B?x∈A， ∴“x∈A∩B”是“x∈A”的充分条件．

(3)“若a≤b，则ac2≤bc2”，则命题的原命题、逆命题、否命题和逆否命题中真命题的个数是( ) A．1 B．2 C．3 D．4 答案 B

解析 原命题是真命题．

逆命题：“若ac2≤bc2，则a≤b”是假命题． 否命题：“若a>b，则ac2>bc2”是假命题． 逆否命题：“若ac2>bc2，则a>b”是真命题． 所以四个命题中真命题有2个．

(4)“sinα>0”是“α是第一象限角”的( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

答案 B

ππ

解析 sin2＝1>0，但2不是第一象限角， 所以sinα>0 ?/ α是第一象限角， α是第一象限角?sinα>0，

所以“sinα>0”是“α是第一象限角”的必要不充分条件．

题型 一 四种命题及其关系

1．命题“已知a>1，若x>0，则ax>1”的否命题为( ) A．已知00，则ax>1 B．已知a>1，若x≤0，则ax>1 C．已知a>1，若x≤0，则ax≤1 D．已知0

解析 原命题的否命题为“已知a>1，若x≤0，则ax≤1”．

2．(2018·黄冈调研)给出命题：若函数y＝f(x)是幂函数，则函数y＝f(x)的图象不过第四象限．在它的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中，真命题的个数是( )

A．3 B．2 C．1 D．0 答案 C

解析 因为原命题为真命题，所以它的逆否命题也是真命题．它的逆命题是“若函数y＝f(x)的图象不过第四象限，则函数y＝f(x)是幂函数”，是假命题；所以原命题的否命题也是假命题．所以这三个命题中，真命题有1个．

3．设原命题：若a＋b≥2，则a，b中至少有一个不小于1，则原命题与其逆命题的真假情况是( ) A．原命题真，逆命题假 B．原命题假，逆命题真 C．原命题与逆命题均为真命题

D．原命题与逆命题均为假命题 答案 A

解析 原命题的逆否命题是“若a，b都小于1，则a＋b<2”，此命题是真命题，故原命题是真命题；原命题的逆命题是“若a，b中至少有一个不小于1，则a＋b≥2”是假命题，如a＝－10，b＝2，但a＋b＝－8<2.

1．写一个命题的其他三种命题时的注意事项

(1)对于不是“若p，则q”形式的命题，需先改写为“若p，则q”形式． (2)若命题有大前提，需保留大前提．如举例说明1中，“已知a>1”是大前提． (3)注意一些常见词语及其否定表示：

词语 否定

如举例说明3中“a，b中至少有一个不小于1”的否定是“a，b都小于1”． 2．判断命题真假的两种方法

(1)直接判断：判断一个命题是真命题，需经过严格的推理证明；而要说明它是假命题，只需举一反例即可．

(2)间接判断(等价转化)：由于原命题与其逆否命题为等价命题，如果原命题的真

假不易直接判断，那么可以利用这种等价性间接地判断命题的真假．

1．(2018·河北承德模拟)已知命题α：如果x<3，那么x<5；命题β：如果x≥3，那么x≥5；命题γ：如果x≥5，那么x≥3.关于这三个命题之间的关系，下列三种说法正确的是( )

①命题α是命题β的否命题，且命题γ是命题β的逆命题；②命题α是命题β的逆命题，且命题γ是命题β的否命题；③命题β是命题α的否命题，且命题γ是命题α的逆否命题．

是 不是 都是 都不是 等于 大于 不大于 不都是 至少一个是 不等于 A．①③ B．② C．②③ D．①②③ 答案 A

解析 由题意得，命题α与命题β互为否命题，命题α与命题γ互为逆否命题．命题β与命题γ互为逆命题．故①③正确，②错误．

an＋an＋1*2．原命题为“若

an＋an＋1

*

解析 若

*

为真命题；原命题的否命题为“若≥an∈N，则{an}不是递减数列”，n，2an＋an＋1若≥an，则an＋1≥an，则{an}不是递减数列，所以原命题的否命题是真

2命题．因为原命题与逆否命题同真同假，否命题与逆命题同真同假，所以原命题的逆命题、否命题、逆否命题均为真命题． 题型 二 充分、必要条件的判断角度1 定义法判断充分、必要条件

1．(2018·北京高考)设a，b均为单位向量，则“|a－3b|＝|3a＋b|”是“a⊥b”的( )

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 答案 C

解析 |a－3b|＝|3a＋b|等价于|a－3b|2＝|3a＋b|2，即(a－3b)2＝(3a＋b)2，等价于a2＋9b2－6a·b＝9a2＋b2＋6a·b，又因为a，b为单位向量，所以a2＝1，b2＝1，所以1＋9－6a·b＝9＋1＋6a·b，即a·b＝0，等价于a⊥b. 所以“|a－3b|＝|3a＋b|”是“a⊥b”的充分必要条件． 角度2 集合法判断充分、必要条件

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