2018考前三个月高考数学理科（江苏专用）总复习训练题（40份打包）

附加题高分练 1．矩阵与变换

1．(20172常州期末)已知矩阵A＝?

2 1?x4

，列向量X＝??，B＝??，若AX＝B，直接写出 ?3 2??y??7?

A－1，并求出X.

2 1 2 －1－1

解 由A＝?3 2?，得到A＝?－3 2?.

???? 2 －141－1

由AX＝B，得到X＝AB＝?－3 2??7?＝?2?.

??????

??2x＋y＝4，2 1??x??4??也可由AX＝B得到3 2y＝7，即?

????????3x＋2y＝7，

??x＝1，

解得?

??y＝2，

1

所以X＝?2?.

??

2．(20172江苏淮阴中学调研)已知矩阵A＝?

3 3?

?c d?，若矩阵A属于特征值6的一个特征向

1 3

量为α1＝?1?，属于特征值1的一个特征向量α2＝?－2?.求矩阵A，并写出A的逆矩阵．

????13

解 由矩阵A属于特征值6的一个特征向量α1＝??可得，??1??c

3??1??1?

d??1?＝6?1?，即c＋d＝6；

33 3 3 3

由矩阵A属于特征值1的一个特征向量α2＝?－2?，可得?c d??－2?＝?－2?，即3c－2d＝

????????

??c＝2，

－2，解得?

?d＝4.?

21

－??323 3??即A＝2 4，A的逆矩阵是?

??11?

?－3 2?

1 a22

3．(20172江苏建湖中学月考)曲线x＋4xy＋2y＝1在二阶矩阵M＝?b 1?的作用下变换为

??曲线x－2y＝1. (1)求实数a，b的值； (2)求M的逆矩阵M.

解 (1)设P(x，y)为曲线x－2y＝1上任意一点，P′(x′，y′)为曲线x＋4xy＋2y＝1

??x＝x′＋ay′，1 a??x′??x??上与P对应的点，则＝，即?

?b 1??y′??y???y＝bx′＋y′，

2

2

2

2

2

2

2

2

－1

2

2

2

2

2

代入x－2y＝1得(x′＋ay′)－2(bx′＋y′)＝1得(1－2b)x′＋(2a－4b)x′y′＋(a－2)y′＝1，

2

1－2b＝1，??22

及方程x＋4xy＋2y＝1，从而?2a－4b＝4，

??a2－2＝2，解得a＝2，b＝0. (2)因为M＝?

1 2?

?0 1?＝1≠0，

2

故M－1

－2 ?1?1 －211＝?＝?0 1?. ???01

?11?

1?1 0?2

4．已知曲线C：y＝x，在矩阵M＝??对应的变换作用下得到曲线C1，C1在矩阵N＝

2?0 －2?

?0

??1

1?0?

?对应的变换作用下得到曲线C2，求曲线C2的方程．

1??1 0??0 －2????＝??， 0??0 －2??1 0?

?0

解 设A＝NM，则A＝?

?1

设P(x′，y′)是曲线C上任一点，在两次变换下，在曲线C2上对应的点为P(x，y)，

?x??0 －2??x′??－2y′?则??＝????＝??， ?y??1 0??y′?? x′?

??x＝－2y′，即?

?y＝x′，?

x′＝y，??

∴?1

y′＝－x.?2?

12

又点P(x′，y′)在曲线C：y＝x上，

2

?1?212

∴?－x?＝y，即x＝2y. ?2?2

3．曲线与方程、抛物线

1．(20172江苏南通天星湖中学质检)已知点A(1,2)在抛物线F：y＝2px上．

(1)若△ABC的三个顶点都在抛物线F上，记三边AB，BC，CA所在直线的斜率分别为k1，k2，

2

k3, 求－＋的值；

k1k2k3

(2)若四边形ABCD的四个顶点都在抛物线F上，记四边AB，BC，CD，DA所在直线的斜率分1111

别为k1，k2，k3，k4，求－＋－的值．

111

k1k2k3k4

解 (1)由点A(1,2)在抛物线F上，得p＝2，∴抛物线F：y＝4x，

2

?y1??y2?设B?，y1?，C?，y2?， ?4??4?

1－

4y1＋2y2＋y12＋y2

∴－＋＝－＋＝－＋＝1. k1k2k3y1－2y2－y12－y24441

1

1

4

4

4

1111y1＋2y2＋y1y3＋y22＋y3?y3?(2)另设D?，y3?，则－＋－＝－＋－＝0.

k1k2k3k44444?4?

2．(20172江苏赣榆中学月考)抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点，点P(1,2)，A(x1，

2

22

y21

－1

2y2y12

－y22

y1)，B(x2，y2)均在抛物线上．

(1)写出该抛物线的方程及其准线方程；

(2)当PA与PB的斜率存在且倾斜角互补时，求y1＋y2的值及直线AB的斜率． 解 (1)由已知条件，可设抛物线的方程为y＝2px. ∵点P(1,2)在抛物线上， ∴2＝2p31，得p＝2，

故所求抛物线的方程是y＝4x，准线方程是x＝－1. (2)设直线PA的斜率为kPA，直线PB的斜率为kPB， 则kPA＝

2

2

2

y1－2y2－2

(x1≠1)，kPB＝(x2≠1)． x1－1x2－1

∵PA与PB的斜率存在且倾斜角互补， ∴kPA＝－kPB，

由A(x1，y1)，B(x2，y2)在抛物线上，得

y21＝4x1，① y22＝4x2，②

∴

y2－2＝－， 1212y1－1y2－144

y1－2

∴y1＋2＝－(y2＋2)， ∴y1＋y2＝－4，

由①－②得直线AB的斜率

y2－y144kAB＝＝＝－＝－1(x1≠x2)．

x2－x1y1＋y24

→→

3．(20172江苏常州中学质检)已知点A(－1,0)，F(1,0)，动点P满足AP2AF＝2→FP. (1)求动点P的轨迹C的方程；

(2)在直线l：y＝2x＋2上取一点Q，过点Q作轨迹C的两条切线，切点分别为M，N.问：是否存在点Q，使得直线MN∥l？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

||

→→→

解 (1)设P(x，y)，则AP＝(x＋1，y)，FP＝(x－1，y)，AF＝(2,0)， →→→222

由AP2AF＝2|FP|，得2(x＋1)＝2?x－1?＋y，化简得y＝4x. 故动点P的轨迹C的方程为y＝4x.

(2)直线l方程为y＝2(x＋1)，设Q(x0，y0)，M(x1，y1)，N(x2，y2)．

设过点M的切线方程为x－x1＝m(y－y1)，代入y＝4x，得y－4my＋4my1－y1＝0， 由Δ＝16m－16my1＋4y1＝0，得m＝，所以过点M的切线方程为y1y＝2(x＋x1)，同理过点

2

2

2

2

2

2

2

y1

N的切线方程为y2y＝2(x＋x2)．所以直线MN的方程为y0y＝2(x0＋x)，

2

又MN∥l，所以＝2，得y0＝1，而y0＝2(x0＋1)，

y0

?1?故点Q的坐标为?－，1?. ?2?

4．(20172江苏宝应中学质检)如图，已知抛物线C：y＝4x的焦点为F，过F的直线l与抛物线C交于A(x1，y1)(y1＞0)，B(x2，y2)两点，T为抛物线的准线与x轴的交点．

2

→→

(1)若TA2TB＝1，求直线l的斜率； (2)求∠ATF的最大值．

解 (1)因为抛物线y＝4x焦点为F(1,0)，T(－1,0)．

→→→→

当l⊥x轴时，A(1,2)，B(1，－2)，此时TA2TB＝0，与TA2TB＝1矛盾， 所以设直线l的方程为y＝k(x－1)，代入y＝4x，得kx－(2k＋4)x＋k＝0， 2k＋4

则x1＋x2＝2，x1x2＝1，①

2

2

22

2

2

2

k所以y1y2＝16x1x2＝16，所以y1y2＝－4，② →→

因为TA2TB＝1，所以(x1＋1)(x2＋1)＋y1y2＝1， 将①②代入并整理得，k＝4，所以k＝±2. (2)因为y1＞0，所以tan∠ATF＝

2

22

y11y11＝2＝≤1，当且仅当＝，即y1＝2时，x1＋1y1y114y1

＋1＋44y1

y1

ππ

取等号，所以∠ATF≤，所以∠ATF的最大值为. 44

4．空间向量与立体几何

1．(20172苏锡常镇调研)如图，已知正四棱锥P－ABCD中，PA＝AB＝2，点M，N分别在PA，

PMBN1

BD上，且＝＝.

PABD3

(1)求异面直线MN与PC所成角的大小； (2)求二面角N－PC－B的余弦值．

解 (1)设AC，BD交于点O，在正四棱锥P－ABCD中，OP⊥平面ABCD，又PA＝AB＝2，所以

OP＝2.以O为坐标原点，DA，AB，OP方向分别为x轴，y轴，z轴正方向，建立空间直角

坐标系O－xyz，如图．

→→→

→

则A(1，－1,0)，B(1,1,0)，C(－1,1,0)，D(－1，－1,0)，P(0,0，2)，AP＝(－1,1，2)．故122?→1→?11?→→→→2→?1

OM＝OA＋AM＝OA＋AP＝?，－，?，ON＝3OB＝?3，3，0?，

3??33??322?→→?2

所以MN＝?0，，－?，PC＝(－1,1，－2)，

3??3→→MN2PC3→→

所以cos〈MN，PC〉＝＝，

→→2|MN||PC|π

所以异面直线MN与PC所成角的大小为. 6

→→→?42?

(2)由(1)知PC＝(－1,1，－2)，CB＝(2,0,0)，NC＝?－，，0?.

?33?→→

设m＝(x，y，z)是平面PCB的法向量，则m2PC＝0，m2CB＝0，

?－x＋y－2z＝0，可得?

?x＝0，

令y＝2，则z＝1，即m＝(0，2，1)．

②假设当n＝m时，等式成立，即

kkmmfm(x)＝k＝(－1)Cm(x－k)＝m！. 0

1

当n＝m＋1时，则fm＋1(x)＝m＋(－1)Cm＋12(x－k)

kkm＋1

k＝0

.

因为Cm＋1＝Cm＋Cm，kCm＋1＝(m＋1)2Cm，其中k＝1,2，?，m， 且Cm＋1＝Cm，Cm＋1＝Cm，

1－1)C所以fm＋1(x)＝m＋(m＋1(x－k)

kkk－1kk－1

00m＋1mkkm＋1

k＝0

m1－1)Cm＋1＝xm＋(m＋1(x－k)－(－1)kCm＋1(x－k)

kkmkkk＝0k＝0

m＋1m＋1

kk－1

m＝x(－1)C(x－k)＋x?2(－1)C

mk＝0

kkmm(x－k)－(m＋1)?2(－1)Cm(x－k)

mkk－1

mk＝1

mk＝1

＝x2m！＋(－x＋m＋1)m(－1)Cm2[(x－1)－k]

kkk＝0

＝x2m！＋(－x＋m＋1)2m! ＝(m＋1)2m！＝(m＋1)！. 即n＝m＋1时，等式也成立．

由①②可知，对n∈N，均有fn(x)＝n！.

*

解答题滚动练 解答题滚动练1

→→

1．(20172盐城三模)设△ABC面积的大小为S，且3AB2AC＝2S. (1)求sinA的值；

π→→

(2)若C＝，AB2AC＝16，求AC.

4

→→

解 (1)设△ABC的内角A，B，C所对边的边长分别为a，b，c，由3AB2AC＝2S， 1

得3bccosA＝23bcsinA，得sinA＝3cosA.

292222

即sinA＝9cosA＝9(1－sinA)，所以sinA＝. 10310

又A∈(0，π)，所以sinA＞0，故sinA＝. 10

31010

(2)由sinA＝3cosA和sinA＝，得cosA＝，

1010→→

又AB2AC＝16，所以bc2cosA＝16，得bc＝1610① π

又C＝，所以sinB＝sin(A＋C)＝sinAcosC＋cosAsinC

4310210225＝3＋3＝.

1021025在△ABC中，由正弦定理，得

bc10

，即＝，得c＝b，②

sinBsinC4252

52

＝bc联立①②，解得b＝8，即AC＝8.

2．(20172江苏泰兴中学质检)如图，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，E是侧面AA1B1B对角线的交点，F是侧面AA1C1C对角线的交点，D是棱BC的中点．求证：

(1)EF∥平面ABC； (2)平面AEF⊥平面A1AD. 证明 (1)连结A1B和A1C.

因为E，F分别是侧面AA1B1B和侧面AA1C1C的对角线的交点， 所以E，F分别是A1B和A1C的中点，所以EF∥BC. 又BC?平面ABC，EF?平面ABC， 故EF∥平面ABC.

(2)因为三棱柱ABC－A1B1C1为正三棱柱， 所以A1A⊥平面ABC， 所以BC⊥A1A.

故由EF∥BC，得EF⊥A1A.

又因为D是棱BC的中点，且△ABC为正三角形，所以BC⊥AD. 故由EF∥BC，得EF⊥AD.

而A1A∩AD＝A，A1A，AD?平面A1AD， 所以EF⊥平面A1AD.

又EF?平面AEF，故平面AEF⊥平面A1AD.

x22

3．如图，在平面直角坐标系xOy中，设椭圆C：2＋y＝1(a＞1)．

a(1)若椭圆C的焦距为2，求a的值；

(2)求直线y＝kx＋1被椭圆C截得的线段长(用a，k表示)；

(3)若以A(0,1)为圆心的圆与椭圆C总有4个公共点，求椭圆C的离心率e的取值范围．

x222

解 (1)由椭圆C：2＋y＝1(a＞1)知，焦距为2a－1＝2，

a解得a＝±2，因为a＞1，所以a＝2. (2)设直线y＝kx＋1被椭圆截得的线段长为AP，

y＝kx＋1，??2由?x2

2＋y＝1，??a

2

得(1＋ak)x＋2akx＝0，

2222

2ak解得x1＝0，x2＝－22.

1＋ak2a|k|2

因此AP＝1＋k|x1－x2|＝1＋k. 2221＋ak(3)因为圆与椭圆的公共点有4个，由对称性可设y轴左侧的椭圆上有2个不同的公共点为

2

2

P，Q，满足AP＝AQ.

记直线AP，AQ的斜率分别为k1，k2，k1和k2一正一负，且k1≠k2.

2a|k1|1＋k12a|k2|1＋k22a|k1|1＋k12a|k2|1＋k2

由(2)知，AP＝，AQ＝，则＝， 22222222

1＋ak11＋ak21＋ak11＋ak2所以(k1－k2)[1＋k1＋k2＋a(2－a)k1k2]＝0， 因为k1≠k2，

所以1＋k1＋k2＋a(2－a)k1k2＝0，

2

2

2

2

22

2

22

2

2

2

2

2

22

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

?1??1?22

变形得，?2＋1??2＋1?＝1＋a(a－2)，

?k1

2

??k2?

从而1＋a(a－2)＞1， 解得a＞2，则e＝＝

2

ca1?2?1－2∈?，1?.

a?2?

4．已知数列{an}是等差数列，{bn}是等比数列且满足a1＋a2＋a3＝9，b1b2b3＝27. (1)若a4＝b3，b4－b3＝m.

①当m＝18时，求数列{an}和{bn}的通项公式；

②若数列{bn}是唯一的，求m的值；

(2)若a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3均为正整数，且成等比数列，求数列{an}的公差d的最大值． 解 (1)①由数列{an}是等差数列及a1＋a2＋a3＝9，得a2＝3， 由数列{bn}是等比数列及b1b2b3＝27，得b2＝3. 设数列{an}的公差为d，数列{bn}的公比为q，

?3＋2d＝3q，?

若m＝18，则有?2

??3q－3q＝18，

?d＝3，?

解得?

??q＝3

9??d＝－，2或???q＝－2.

??an＝3n－3，

所以{an}和{bn}的通项公式为?n－1

?bn＝3?

2

2

9??an＝－n＋12，

2或???bn＝3?－2?n－2.

②由题设b4－b3＝m，得3q－3q＝m，即3q－3q－m＝0，(*) 因为数列{bn}是唯一的，所以

若q＝0，则m＝0，检验知，当m＝0时，q＝1或0(舍去)，满足题意； 312

若q≠0，则Δ＝(－3)＋12m＝0，解得m＝－，代入(*)式，解得q＝，

42又b2＝3，所以{bn}是唯一的等比数列，符合题意． 3

所以m＝0或－.

4

(2)依题意，36＝(a1＋b1)(a3＋b3)，

3??设{bn}公比为q，则有36＝?3－d＋?(3＋d＋3q)，(**)

?q?

3

记s＝3－d＋，t＝3＋d＋3q，则st＝36.

q将(**)中的q消去，整理得d＋(s－t)d＋3(s＋t)－36＝0，

2

d的大根为

＝

t－s＋?s－t?2－12?s＋t?＋144

2，

t－s＋?s＋t－6?2－36

2

*

而s，t∈N，所以(s，t)的所有可能取值为：

(1,36)，(2,18)，(3,12)，(4,9)，(6,6)，(9,4)，(12,3)，(18,2)，(36,1)． 35＋537

所以当s＝1，t＝36时，d的最大值为. 2

解答题滚动练2

1．(20172南京、盐城二模)如图，在△ABC中，D为边BC上一点，AD＝6，BD＝3，DC＝2. (1)如图1，若AD⊥BC，求∠BAC的大小； π

(2)如图2，若∠ABC＝，求△ADC的面积．

4

3121

解 (1) 由已知，得tan∠BAD＝＝，tan∠CAD＝＝，

626311

＋23

所以tan∠BAC＝tan(∠BAD＋∠CAD)＝＝1.

111－323π

因为∠BAC∈(0，π)，所以∠BAC＝.

4

(2) 以B为原点，BC所在直线为x轴建立平面直角坐标系，则B(0,0)，D(3,0)，C(5,0)． π

因为∠ABC＝，所以设A(a，a)，其中a＞0.

4

32222

由AD＝6，BD＝3，得(a－3)＋a＝6，即2a－6a－27＝0，解得a＝(1＋7)．

213

所以S△ADC＝DC2a＝(1＋7)．

22

2．如图，ABCD是一块边长为100米的正方形地皮，其中ATPS是一半径为90米的底面为扇形小山(P为圆弧TS上的点)，其余部分为平地．今有开发商想在平地上建一个两边落在BC及CD上的长方形停车场PQCR.

(1)设∠PAB＝θ，试将矩形PQCR面积表示为θ的函数； (2)求停车场PQCR面积的最大值及最小值．

解 (1)SPQCR＝f(θ)＝(100－90cosθ)(100－90sinθ)

?π?＝8100sinθcosθ－9000(sinθ＋cosθ)＋10000 , θ∈?0，?.

2??

121－x0

4y0y0y210

所以k1k2＝2＝2＝2＝－. x0－2x0＋2x0－4x0－44(2)解 由题意得直线AP的方程为y＝k1(x－2)，联立?＋4(k1－1)＝0， 设P(xp，yp)，

2?k1－1?－4k1

解得xp＝2，yp＝k1(xp－2)＝2，

1＋k11＋k1

2

2

?y＝k1?x－2?，?

??x＋y＝4，

2

2

得(1＋k1)x－4k1x222

y＝k1?x－2?，??2

联立?x2

＋y＝1，??4

设B(xB，yB)，

得(1＋4k1)x－16k1x＋4(4k1－1)＝0，

2222

2?4k1－1?－4k1

解得xB＝，y＝k(x－2)＝B1B22，

1＋4k11＋4k1

2

yB－2k1

所以kBC＝＝2，

xB4k1－1

－4k1

2

1＋k1yp－5k1

kPQ＝＝2＝2，

62?k1－1?64k1－1xp＋2＋

51＋k15

555

所以kPQ＝kBC，故存在常数λ＝，使得kPQ＝kBC，

2228??6

(3)证明 当直线PQ与x轴垂直时，Q?－，－?，

5??51

则kAQ＝＝＝k2，所以直线AC必过点Q.

622＋

5当直线PQ与x轴不垂直时，直线PQ方程为

85

y＝

－5k1?6??x＋?， 2

4k1－1?5?

6－5k1??y＝2?x＋???联立?4k1－1?5?

??x2＋y2＝4，

2

，

－2?16k1－1?16k1

解得xQ＝，yQ＝2， 2

16k1＋116k1＋1

16k1216k1＋11

所以kAQ＝＝－＝k2， 2－2?16k1－1?4k1

－22

16k1＋1故直线AC必过点Q.

考前回扣

回扣1 函数的图象与性质

1．函数的定义域和值域

(1)求函数定义域的类型和相应方法

①若已知函数的解析式，则函数的定义域是使解析式有意义的自变量的取值范围； ②若已知f(x)的定义域为[a，b]，则f(g(x))的定义域为不等式a≤g(x)≤b的解集；反之，已知f(g(x))的定义域为[a，b]，则f(x)的定义域为函数y＝g(x)(x∈[a，b])的值域． (2)常见函数的值域

①一次函数y＝kx＋b(k≠0)的值域为R；

?4ac－b，＋∞?，当a<0时，值域

②二次函数y＝ax＋bx＋c(a≠0)：当a＞0时，值域为??

?4a?

2

2

4ac－b??为?－∞，；

4a???

③反比例函数y＝(k≠0)的值域为{y∈R|y≠0}． 2．函数的奇偶性、周期性

(1)奇偶性是函数在其定义域上的整体性质，对于定义域内的任意x(定义域关于原点对称)，都有f(－x)＝－f(x)成立，则f(x)为奇函数(都有f(－x)＝f(x)成立，则f(x)为偶函数)． (2)周期性是函数在其定义域上的整体性质，一般地，对于函数f(x)，如果对于定义域内的任意一个x的值，若f(x＋T)＝f(x)(T≠0)，则f(x)是周期函数，T是它的一个周期． 3．关于函数周期性、对称性的结论 (1)函数的周期性

①若函数f(x)满足f(x＋a)＝f(x－a)，则f(x)是周期函数，2a是它的一个周期； ②设f(x)是R上的偶函数，且图象关于直线x＝a(a≠0)对称，则f(x)是周期函数，2a是它的一个周期；

③设f(x)是R上的奇函数，且图象关于直线x＝a(a≠0)对称，则f(x)是周期函数，4a是它

2

kx

的一个周期． (2)函数图象的对称性

①若函数y＝f(x)满足f(a＋x)＝f(a－x)， 即f(x)＝f(2a－x)，

则f(x)的图象关于直线x＝a对称；

②若函数y＝f(x)满足f(a＋x)＝－f(a－x)， 即f(x)＝－f(2a－x)，

则f(x)的图象关于点(a,0)对称；

③若函数y＝f(x)满足f(a＋x)＝f(b－x)， 则函数f(x)的图象关于直线x＝4．函数的单调性

函数的单调性是函数在其定义域上的局部性质． ①单调性的定义的等价形式：设x1，x2∈[a，b]， 那么(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]＞0?(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]<0?a＋b2

对称．

f?x1?－f?x2?

＞0?f(x)在[a，b]上是增函数；

x1－x2

f?x1?－f?x2?

<0?f(x)在[a，b]上是减函数．

x1－x2

②若函数f(x)和g(x)都是减函数，则在公共定义域内，f(x)＋g(x)是减函数；若函数f(x)和g(x)都是增函数，则在公共定义域内，f(x)＋g(x)是增函数；根据同增异减判断复合函数y＝f(g(x))的单调性． 5．函数图象的基本变换 (1)平移变换

h＞0，右移

y＝f(x)h――――→y＝f(x－h)， <0，左移k＞0，上移y＝f(x)k――――→y＝f(x)＋k. <0，下移

(2)伸缩变换

y＝f(x)ω――――→y＝f(ωx)， ＞1，缩

0

0<ω<1，伸

x轴y＝f(x)――→y＝－f(x)， y轴y＝f(x)――→y＝f(－x)，

y＝f(x)――→y＝－f(－x)．

6．准确记忆指数函数与对数函数的基本性质 (1)定点：y＝a (a＞0，且a≠1)恒过(0,1)点；

x原点

y＝logax(a＞0，且a≠1)恒过(1,0)点．

(2)单调性：当a＞1时，y＝a在R上单调递增；y＝logax在(0，＋∞)上单调递增； 当0

(1)零点定义：x0为函数f(x)的零点?f(x0)＝0?(x0,0)为f(x)的图象与x轴的交点． (2)确定函数零点的三种常用方法 ①解方程判定法：解方程f(x)＝0；

②零点定理法：根据连续函数y＝f(x)满足f(a)f(b)<0，判断函数在区间(a，b)内存在零点； ③数形结合法：尤其是方程两端对应的函数类型不同时多用此法求解．

1．解决函数问题时要注意函数的定义域，要树立定义域优先原则． 2．解决分段函数问题时，要注意与解析式对应的自变量的取值范围．

3．求函数单调区间时，多个单调区间之间不能用符号“∪”和“或”连接，可用“及”连接或用“，”隔开．单调区间必须是“区间”，而不能用集合或不等式代替．

4．判断函数的奇偶性，要注意定义域必须关于原点对称，有时还要对函数式化简整理，但必须注意使定义域不受影响．

5．准确理解基本初等函数的定义和性质．如函数y＝a(a＞0，且a≠1)的单调性容易忽视字母a的取值讨论，忽视a＞0；对数函数y＝logax(a＞0，且a≠1)容易忽视真数与底数的限制条件．

6．易混淆函数的零点和函数图象与x轴的交点，不能把函数零点、方程的解、不等式解集的端点值进行准确互化．

xxxx

??2x＋2，x≤0，1．若函数f(x)＝?x?2－4，x>0，?

则f(f(1))＝________.

答案 －2

解析 f(f(1))＝f(2－4)＝f(－2)＝23(－2)＋2＝－2.

2．函数f(x)＝x－2ax＋2在区间(－∞，1]上递减，则a的取值范围是________． 答案 [1，＋∞)

解析 函数f(x)＝x－2ax＋2＝x－2ax＋a－a＋2＝(x－a)－a＋2，

2

2

2

2

2

2

2

1

∵二次函数图象开口向上，对称轴为直线x＝a，且在区间(－∞，1]上递减， ∴a的取值范围是[1，＋∞)．

??x?x－b?，x≥0，

3．(20172江苏南通天星湖中学质检)若函数f(x)＝?

??ax?x＋2?，x＜0

(a，b∈R)为奇函

数，则f(a＋b)的值为________． 答案 －1

解析 因为函数f(x)为奇函数，所以f(－1)＝－f(1)，

??a?－1＋2?＝1?1－b?，

f(－2)＝－f(2)，即?

?2a?－2＋2?＝2?2－b?，?

解得a＝－1，b＝2.经验证a＝－1，b＝2满足题设条件， 所以f(a＋b)＝f(1)＝－1.

4．(20172江苏如东中学质检)设函数f(x)＝ax－2x＋2，对于满足1＜x＜4的一切x值都有f(x)＞0，则实数a的取值范围为________．

2

?1?答案 ?，＋∞?

?2?

22

解析 由题意得a＞－2对1＜x＜4恒成立，

xx22?11?2111

又－2＝－2?－?＋，＜＜1， xx?x2?24x11?22?∴?－2?max＝，∴a＞.

22?xx?

5．已知函数f(x)＝|x|＋2|x|，且满足f(a－1)＜f(2)，则实数a的取值范围是________． 答案 (－1,3)

解析 因为f(－x)＝f(x)，所以函数f(x)是偶函数，当x≥0时，f(x)＝x＋2是单调增函数，故由偶函数的性质及f(a－1)＜f(2)可得|a－1|＜2，即－2＜a－1＜2， 即－1＜a＜3.

6．已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x＋2)＝－f(x)，且f(－1)＝2，则f(2017)＝________. 答案 －2

解析 由题意得f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，所以函数是以4为周期的周期函数，所以

xf(2017)＝f(1)＝－f(－1)＝－2.

7．已知函数f(x)为奇函数，且在[0,2]上单调递增，若f(log2m)＜f(log4(m＋2))成立，则实数m的取值范围是________________．

?1?答案 ?，2? ?4?

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