极限存在准则，两个重要极限

西南石油大学《高等数学》专升本讲义

极限存在准则 两个重要极限

【教学目的】

1、了解函数和数列的极限存在准则； 2、掌握两个常用的不等式； 3、会用两个重要极限求极限。 【教学内容】

1、夹逼准则；

2、单调有界准则； 3、两个重要极限。 【重点难点】

重点是应用两个重要极限求极限。

难点是应用函数和数列的极限存在准则证明极限存在，并求极限。 【教学设计】从有限到无穷，从已知到未知，引入新知识（5分钟）。首先给出极限存在准则（20分钟），并举例说明如何应用准则求极限（20分钟）；然后重点讲解两个重要的极限类型，并要求学生能利用这两个重要极限求极限（40分钟）；课堂练习（15分钟）。 【授课内容】

引入：考虑下面几个数列的极限

10001、limn???i?1n1n?i1n?i221000个0相加，极限等于0。

2、limn???i?1无穷多个“0”相加，极限不能确定。

3、limxn，其中xn=n??3+xn-1，x1=3，极限不能确定。

对于2、3就需要用新知识来解决，下面我们来介绍极限存在的两个准则：

一、极限存在准则

1. 夹逼准则

准则Ⅰ 如果数列xn,yn及zn满足下列条件:

(1)yn?xn?znn??(n?1,2,3?)n??(2)limyn?a,limzn?a,n??

那么数列xn的极限存在, 且limxn?a.

证：?yn?a,zn?a,???0,?N1?0,N2?0,使得

当n?N1时恒有yn?a??, 当n?N2时恒有zn?a??,

取N=max{N1,N2},上两式同时成立,即a???yn?a??, a???zn?a??, 当n>N时，恒有 a???yn?xn?zn?a??,即xn?a??成立, ?limxn?a.

n??1

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上述数列极限存在的准则可以推广到函数的极限 准则Ⅰ′ 如果当x?U(x0,?) (或x?M)时,有

o(1)g(x)?f(x)?h(x),(2)limg(x)?A,limh(x)?A,

x?x0(x??)x?x0(x??)那么limf(x)存在, 且等于A.

x?x0(x??)准则 ?和准则 ?'称为夹逼准则。

【注意】利用夹逼准则求极限的关键是构造出yn与zn，并且yn与zn的极限是容易求的。

例1 求lim(n1n+12+1n+22+?+1n+n2).

解： ?nn+nn??2<1n+111?1n2+?+1n+nn22

1?1,

又limn??nn?n2?lim ?1, limn??n?11?1n2由夹逼定理得：lim(n??1n?12?1n?22???1n?n2)?1.

【说明】夹逼准则应恰当结合“放缩法”使用

2. 单调有界准则

准则Ⅱ 单调有界数列必有极限.

加的；如果数列?xn?满足条件x1?x2?x3???xn?xn?1??，就称数列?xn?是单调减少的。单调增加和单调减少的数列统称为单调数列。

几何解释:

如果数列?xn?满足条件x1?x2?x3???xn?xn?1??，就称数列?xn?是单调增

x1例2 证明数列xn=【分析】已知xn?1?x2x3xnxn?1AMx

2+2+?+2（n重根式）的极限存在

2?xn，x1?2，求limxn。首先证明是有界的，然后证明是

n??单调的，从而得出结论

证：1、证明极限存在 a) 证明有上界

x1?2?2，设xn?2?xn?1?2，则xn?1?2?xn?2?2?2

2

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所以对任意的n，有xn?2 b) 证明单调上升

xn?1?xn?2?xn?xn?xn?xn?xn?2xn?xn?xn?xn?xn?0

所以limxn存在

n??2、求极限

设limxn?l，则l?n??2?l，解得l?2（l??1舍去）

所以limxn=2

n??二、两个重要极限

1.

limsinx?1x?0x

如右图所示，设单位圆O,圆心角?AOB?x,(0?x??2)，

C作单位圆的切线，得?ACO.扇形OAB的圆心角为x, ?OAB的高为BD,于是有sinx?BD,x?弧AB,tanx?AC,

xoBsinx??1,上式对于??x?0也成立. ?sinx?x?tanx, 即cosx?x2xx2x2当0?x?时,0?cosx?1?1?cosx ?2sin, ?2() ?2222DA?2 sinxx2?1. ?lim?0, ?lim(1?cosx)?0,?limcosx?1, 又?lim1?1, ?limx?0x?0x?0x?0x?02x例3 求下列极限 （1）lim1-cosx.

x?0x22sin2解：原极限=limx?0xxxsin2sin2 ?1lim(2)2 ?1?12 ?1. 2 ?1lim222x?0(x)22x?0xx222（2）limxsinx??1 x解：原极限=lim1siny=1（令y=）

y?0xy（3）limx??sinx x??3

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解：原极限=limsin?(x??)?????1； x??x??11x1n?2. lim(1?)?e，lim(1?x)x?e，lim(1?)?e；“1”型

x??n???x?0xn【说明】

（1）上述三种形式也可统一为模型lim?1???x???(x)?0?1?(x)?e

（2）第二个重要极限解决的对象是1型未定式。 例如，lim?2?x?x??12x?11???lim??1??x?1??x?1??e2 x??1??2例4 求下列极限 （1）lim(1-x1x). xx解：原极限=lim[(1+1-x-1)] ?limx??-x11 ?. 1?xe(1?)?x?x?2?（2）lim??

x??x?3??5??解：原极限=lim?1??x??x?3???x?x?3?5x?5x?3=e?5xx??x?3lim=e

?5【补充】“1”型计算公式：lim?1?f(x)?x?x0g(x)?ex?x0limg(x)f(x)

其中x?x0时，f(x)?0,g(x)??。

证明：lim?1?f(x)?x?x0g(x)?limeg(x)In?1?f(x)??ex?x0x?x0limg(x)In?1?f(x)??ex?x0limg(x)f(x)

例5 求下列极限

（1）lim(1?tanx?sinx)

x?01x【分析】是幂指数函数，“1”型，考虑用“1”型计算公式

1x??解：lim(1?tanx?sinx)=ex?01xtanx?sinxx?0xlim=esinx(1?cosx)x?0xcosxlim=ex3x?02xlim=1

（2）lim(cosx?sinx)

x?04

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【分析】是幂指函数，“1”型，考虑用“1”型计算公式。

2?12x12xsin2xx?02xlim??解：原极限?lim(cosx?sinx)x?0?lim(1?sin2x)x?0?e?e。

（3）lim(x??x?2x) x?3??【分析】是幂指数函数，“1”型，考虑用“1”型计算公式，但它不是标准型，通过“加1减1”变成标准型。

?5xxlimlim(1?)=e??x?3?e?5 解：原极限=x??x?3【思考题1】设有k个正数a1，a2，?，ak，令a=max{a1，a2，?，an}，求

nn （“大数优先”准则）。 limna1n?a2???aknnnan?na1n?a2???ak?nan?an???an?nkan?nka

?5xn??解：a?nnn而limnka?a，所以由夹逼准则：limna1?a2???ak?a n??n??【思考题2】设x0?0，xn?1?12(xn?)，求limxn

n??2xn212?2，所以数列{xn}有下界。 (xn?)?xn?xn2xn2解：显然 xn?0。因为xn?1?121xn2?xn又因为xn?1?xn?(xn?)?xn????0，所以数列{xn}单调下降，即

2xnxn22xnn??limxn存在。设limxn=l，则l?n??12(l?)，解得l?2，所以limxn=2

n??2l【思考题3】求limcosn??xxxcos2?cosn； 222解：原极限=limn??sinx2nsinx2n?limsinx?1(x?0)

n??x【思考题4】求极限lim3?9x????x1xx?

解：lim3?9x????x1xx? ?lim9x?????1xx??1??1??x?1? ?9?lim??1?x?x???3??3????5

1x3x????13?xx ?9?e?9

0西南石油大学《高等数学》专升本讲义

n【课堂练习】求 limin???2in?n?i。

?1解：

n(n?1)212nn2?n?n?n2?n?n?n2?n?n???n2?n?n ?12n2+n+1n2+n+2+?+nn2+n+n

?12nn(n+n2+n+1n2+n+1+?+n2+n+1=1)2n2+n+1 而 n(n?1)21n(nlim??n2?n?n?2，

limn?1)2n??n2?n?1?12 所以 原极限?12

【内容小结】 o1、 夹逼准则

当

x?U(x0,?)时，有

f(x)?g(x)?h(x)xlim?xf(x)?A=limh(x)，则lim0x?x0x?xg(x)?A。

02、单调有界准则

（1）单调上升有上界的数列，极限一定存在； （2）单调下降有下界的数列，极限一定存在。 3、两个重要极限 （1）limsinxx?0x?1(x为弧度）；

（2）lim??(1?11x)x?e，limx?0(1?x)xx?e

6

且

，

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n【课堂练习】求 limin???2in?n?i。

?1解：

n(n?1)212nn2?n?n?n2?n?n?n2?n?n???n2?n?n ?12n2+n+1n2+n+2+?+nn2+n+n

?12nn(n+n2+n+1n2+n+1+?+n2+n+1=1)2n2+n+1 而 n(n?1)21n(nlim??n2?n?n?2，

limn?1)2n??n2?n?1?12 所以 原极限?12

【内容小结】 o1、 夹逼准则

当

x?U(x0,?)时，有

f(x)?g(x)?h(x)xlim?xf(x)?A=limh(x)，则lim0x?x0x?xg(x)?A。

02、单调有界准则

（1）单调上升有上界的数列，极限一定存在； （2）单调下降有下界的数列，极限一定存在。 3、两个重要极限 （1）limsinxx?0x?1(x为弧度）；

（2）lim??(1?11x)x?e，limx?0(1?x)xx?e

6

且

，

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