2014年高考数学走出题海之黄金30题系列

2014年高考数学走出题海之黄金30题系列

一、选择题

1．【2014届青岛市高三4月统一质量检测数学（理）】已知

1?bi?a?i（a,b?R），其中i为虚数单位，1?2i则a?b?（ ）

A．?4 B．4 C．?10 D．10 【答案】A 【解析】

2．【2014届湖北省天门市高三4月调研考试数学（理）】设p:f(x)?x?2x?mx?1在（??,??）上单调递增；q:m≥324，则p是q的（ ）

3A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．以上都不对 【答案】A 【解析】

?x2?1,0?x?23．【2014届山东省济南市高三3月模拟考试数学（理）】已知g(x)?ax?a,f(x)??2，对

??x,?2?x?0?x1?[?2,2],?x2?[?2,2]，使g(x1)?f(x2)成立，则a的取值范围是( )

(A)[-1，+?) (B) [?【答案】B 【解析】

4,1] (C)(0，1] (D)(-?，l] 3第1页 共24页

4．【2014届四川省成都七中高三4月适应性训练（1）数学（理）】设a?0且a?1.若logax?sin2x对

x?(0,)恒成立,则a的取值范围是（ ）

4A.(0,??) B.(0,] C.(,1)?(1,) D.[,1)

44442????

5．【2014届上海市闵行区高三下学期教育质量调研数学（理）】已知集合A?{xx?3x?2?0}，

2?x?a?． B??x?0,a?0?,若“x?A”是“x?B”的充分非必要条件，则a的取值范围是（ ）

x?2??（A）0?a?1 （B）a?2 （C）1?a?2 （D）a?1

6．【2014届四川省树德中学高三3月阶段性考试数学（理）】设Sn是等差数列?an?的前n项和，若

a69?，a511则

S11?（ ） S91A．1 B．－1 C．2 D．

2第2页 共24页

【答案】A 【解析】

7．【2014届湖北省黄冈市重点中学高三第二学期3月月考数学（理）】函数y?cos(x?)(?0,0??)为奇函数，该函数的部分图像如图所示，A、B分别为最高点与最低点，并且|AB|?22，则该函数图象的一条对称轴为( )

?????

A.x?2? B.x? C.x?2 D.x?1 ?2【答案】D 【解析】

8．【2014届河北省衡水中学高三下二调考试数学（理）】设锐角?ABC的三内角A、B、C所对边的边长分别为a、b、c，且 a?1，B?2A, 则b的取值范围为（ ） A.

?2,3 B.1,3 C.

????2,2 D.?0,2?

?【答案】A 【解析】

试题分析：∵B?2A，∴sinB?sin2A，∴sinB?2sinAcosA，∴由正弦定理：b?2acosA，又∵a?1，∴b?2cosA，∵?ABC为锐角三角形，∴0?A??2，0?B??2，0?C??2，即0?A??2，

0?2A??2，0???A?2A??2，

第3页 共24页

∴

?6?A??4，∴

32，∴3?2cosA?2，∴b?(3,2). ?cosA?22【考点定位】1.正弦定理；2.三角函数最值.

x2y29．【2014届湖北省七市高三联合考试数学（理）】已知双曲线2?2?1(a?0,b?0)的两个焦点为F1、F2，

ab其中一条渐近线方程为y?bx(b?N*)，P为双曲线上一点，且满足OP?5（其中O为坐标原点），若2PF1、F1F2、PF2成等比数列，则双曲线C的方程为（ ）

x2x2y2x2y2222?y?1 B.x?y?1 C.??1 D.??1 A.449416【答案】A 【解析】

【考点定位】1、余弦定理；2、双曲线的定义和标准方程；3、等比中项.

10．【2014届四川省资阳市高三4月模拟考试数学（理）】已知实数x?[1,10]，执行右图所示的程序框图，则输出x的值不小于55的概率为（ ）

1524（A） （B） （C） （D）

9999第4页 共24页

【答案】C 【解析】

11．【2014届上海交大附中高三总复习数学（理）】某个几何体的三视图如图(其中正视图中的圆弧是半圆)所示，则该几何体的表面积为( )

A．92＋14π B．82＋14π C．92＋24π D．82＋24π 【答案】A

【解析】观察三视图可知，该几何体是长方体与一个半圆柱的组合体，根据所标注的尺寸可以计算出表面积为(4×5＋4×5＋4×4)×2－4×5＋π·22＋π·2·5＝92＋14π. 【考点定位】1、三视图；2、几何体的表面积.

12．【2014届福建省福州一中高三上期期末考试数学（理）】已知集合A、B、C，且A={直线}，B={平面}，

C?AB，若a?A,b?B,c?C，有四个命题

①??a//b?a?b?a//b?a?b?a//c;②??a//c;③??a?c;④??a?c;其中所有正确命题的序号是

?c//b?c?b?c?b?c//b（ ）

A．①②③ B．②③④ C．②④ D．④

第5页 共24页

【答案】D 【解析】

x2y213．【2014届陕西省西北工大附中高三第六次模拟考试数学（理）】已知椭圆C:2?2?1(a?b?0)的

ab左焦点为F,C与过原点的直线相交于A,B两点,连接AF,BF,若AB?10,AF?6,cos?ABF?圆C的离心率e= A．

4,则椭557 B．

45 C．

47 D．

5 6

14．【2014届湖北省八市高三下学期3月联考数学（理）】我国第一艘航母“辽宁舰”在某次舰载机起降飞行训练中，有5架舰载机准备着舰．如果甲乙2机必须相邻着舰，而丙丁不能相邻着舰，那么不同的着舰方法有（ ）种

A．12 B．18 C．24 D．48

15．【2014届湖北黄冈市重点中学高三3月月考数学（理）】在△ABC中，(AB?3AC)?CB，则角A的最大值为（ ） A．

???? B． C． D． 6432第6页 共24页

二、填空题

16．【2014届四川省成都树德中学高三3月阶段性考试数学（理）】已知实数x,y满足

?(2?3)x?y?6?23?0?xy，则的取值范围是______. ?2x?y?2?0(x?y)(x?y)??y?3?0?3?,???【答案】?? 2??【解析】

17．【2014届河北省唐山一中高三下学期调研考试数学（理）】如右图，在直角梯形ABCD中，

AB//DC,AD⊥AB,AD=DC=2,AB=3,点M是梯形ABCD内或边界上的一个动点，点N是DC边的中点，则

AM?AN的最大值是________ .

第7页 共24页

【答案】6 【解析】

18．【2014届哈师大东北师大辽宁实验中学高三第一次联合模拟考试数学（理）】已知函数

f(x)?|cosx|?sinx，给出下列五个说法：

①f(??2014?3；②若|f(x1)|?|f(x2)|，则x1?x2?k?(k?Z)；③f(x)在区间[?,]上单调递)??4434?,0)成中心对称. 2增；④函数f(x)的周期为?.⑤f(x)的图象关于点(?其中正确说法的序号是 . 【答案】①③ 【解析】

【考点定位】三角函数及其性质. 三、解答题

19．【2014届浙江省高三高考模拟冲刺（提优卷）（二）数学（理）】设△ABC的三内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，且a?3，A=60?，b?c?32． （1）求三角形ABC的面积；

（2）求sinB?sinC的值及△ABC中内角B,C的大小.

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【答案】（1）【解析】

336；（2）sinB?sinC?； 42

【考点定位】1余弦定理；2三角形面积；3正弦定理；4两角和差公式。 20．【2014届安徽省“皖西七校”高三联合考试数学（理）】已知函数

13f(x)??sin?x??cos?x(??0,??0)的部分图象如图所示，其中点A为最高点，点B,C为图象与轴

22的交点，在?ABC中，角A,B,C对边为a,b,c，b?c?3，且满足(2c?3a)cosB?3bcosA?0.

（1）求?ABC的面积；

（2）求函数f(x)的单调递增区间. 【答案】（1）【解析】

试题分析：（1）先由正弦定理将(2c?3a)cosB?3bcosA?0化为

5133;（2）[6k?,6k?](k?Z) 422(2sinC?3sinA)cosB?3sinBcosA?0，即2sinCcosB=3(sinAcosB?cosAsinB)，利用两

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【考点定位】1.正余弦定理；2.两角和与差的正余弦公式；3.y?Asin(?x??)的图像与性质.

21．【2014届上海市六校高三下学期第二次联考数学（理）】在△ABC中，角A、B、C所对的边长分别为a、b、c， 且cosA?C1?． 22（1）若a?3，b?（2）若f?A??sinA7，求c的值；

?3cosA?sinA，求f?A?的取值范围．

?【答案】(1)c?1或c?2；（2）??【解析】

?31?,?． 22??第10页 共24页

?1?f(A)?sin(2A?)?，接下来我们只要把2A?作为一个整学优体，求出它的范围，就可借助于正弦

626函数求出f(A)的取值范围了．

∴f?A?的取值范围是???31?,?. 12分 ?22?【考点定位】（1）余弦定理；（2）二倍角公式与降幂公式，三角函数的取值范围

22．【2014届山东省济南市高三3月模拟考试数学（理）】一个袋中装有形状大小完全相同的球9个，其中红球3个，白球6个，每次随机取1个，直到取出次红球即停止． ．．．．3．．．．．．．．(1)从袋中不放回地取球，求恰好取4次停止的概率P1； (2)从袋中有放回地取球． ①求恰好取5次停止的概率P2；

②记5次之内(含5次)取到红球的个数为?，求随机变量?的分布列及数学期望． 【答案】(1) 【解析】

81311 (2) ①②

818128

第11页 共24页

(2) 从袋中有放回地取球，每次取到红球的概率P?A??取n 次，相当于n次独立重复试验；

12 ，取到白球的概率是PA? 连续有放回地33???2?12?1?①求恰好取5次停止的概率P2；说明前四次有两次发生，第五次一定发生；P?C??24?????

?3??3?3②记5次之内(含5次)取到红球的个数为?，随机变量?的所以可能取值集合是?0,1,2,3?

kk由n次独立重复试验概率公式Pn?k??Cnp?1?p?n?k22即可求出随机变量?分布列，并由数学期望的公式

计

随机变量?的分布列是

? 0 1 2 3 P??? ?的数学期望是 E??32 24380 24380 24317 8132808017131?0??1??2??3? 12分 2432432438181【考点定位】1、古典概型；2、独立重复试验；3、离散型随机变量的分布列与数学期望.

23．【2014届陕西省西北工大附中高三上期第四次适应性考试数学（理）】某工厂在试验阶段大量生产一种零件，这种零件有A、B两项技术指标需要检测，设各项技术指标达标与否互不影响.若有且仅有一项技术

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指标达标的概率为件为合格品．

511，至少一项技术指标达标的概率为．按质量检验规定：两项技术指标都达标的零1212（1）求一个零件经过检测为合格品的概率是多少？

（2）任意依次抽取该种零件4个，设?表示其中合格品的个数，求?的分布列及数学期望E?．

4?kk【答案】（1）一个零件经过检测为合格品的概率是；（2）分布列为P(??k)?C4()()，其中

12k1212k?0,1,2,3,4，数学期望E??4?1?2．

2【解析】

k14?k1k1分布列为P(??k)?C4()()，其中k?0,1,2,3,4，E??4??2.

222

【考点定位】概率分布、数学期望与方差.

24．【2014届山东省日照市高三3月第一次模拟考试数学（理）】已知数列?an?是首项为a1?的等比数列，设bn?2?3log1ann?N411，公比q?44?*?,.

数列?cn?满足cn?an?bn

（1）求证数列?cn?的前n项和Sn； （2）若cn?12m?m?1对一切正整数n恒成立，求实数m的取值范围. 4第13页 共24页

【答案】(1)Sn?【解析】 试题分析：

23n?21n??()(2) m?1或m??5. 334

试题解析：

n(1)由题意知，an?()(n?N*)，

14所以bn?3log1an?2,bn?3log1()n?2?3n?2，

44n故an?(),bn?3n?2(n?N*)，

1414

n?1nn?1（2）因为cn?1?cn?(3n?1)?()?(3n?2)?()?9(1?n)?(),(n?N*)

141414所以当n?1时，c2?c1?1, 4第14页 共24页

当n?2时,cn?1?cn,即c1?c2?c3?c4???cn, 所以当n?1时，cn取最大值是又cn?所以

1, 412m?m?1对一切正整数n恒成立, 4121m?m?1? 442即m?4m?5?0得m?1或m??5 12分 【考点定位】等差数列与等比数列错位相减法恒成立最值

25．【2014届福建省福州市高三上学期期末质量检测数学（理）】在数列（1）证明（2）求

是等比数列，并求的前n项和Sn

的通项公式；

中，

3n?1?3?2nn【答案】(1) an?n； (2)?Sn? n34?3

【解析】

第15页 共24页

①-② 得：

2111Sn?1?2?3?33331?1?1??n?1n33???n ?n?n?1 ?n?133131?33?1?n3n?1?3?2n?Sn??1?n?? n?Sn?n4?3?2?34?3【考点定位】1.构造的思想求数列通项.2.错位相减法的应用.3.归纳推理的数学思想.

26．【2014届北京市朝阳区高三第一次综合练习数学（理）】如图，四棱锥P?ABCD的底面为正方形，侧面PAD?底面ABCD．△PAD为等腰直角三角形，且PA?AD． E，F分别为底边AB和侧棱PC的中点．

（1）求证：EF∥平面PAD； （2）求证：EF?平面PCD； （3）求二面角E?PD?C的余弦值．

【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；（3）所以二面角E?PD?C的余弦值为【解析】

3． 3

第16页 共24页

因为F，G分别是PC，PD的中点，

所以FG是△PCD的中位线. 所以FG∥CD，且FG?12CD． 又因为E是AB的中点，且底面ABCD为正方形， 所以AE?12AB?12CD，且AE∥CD.所以AE∥FG，且AE?FG． 所以四边形AEFG是平行四边形．所以EF∥AG． 又EF?平面PAD，AG?平面PAD，所以EF平面PAD．

（2）证明：因为平面PAD?平面ABCD，

PA?AD，且平面PAD平面ABCD?AD，

所以PA?平面ABCD．

所以PA?AB，PA?AD．

第17页 共24页

4分

（3）易得EP?(?10，，2)，PD?(0,2,?2)． 设平面EPD的法向量为n?(x, y, z)，则

【考点定位】线面平行的判定，线面垂直的判定，二面角的求法．

27．【2014届湖北省八市高三下学期3月联考数学（理）】如图甲，△ABC是边长为6的等边三角形，E，D分别为AB、AC靠近B、C的三等分点，点G为BC边的中点．线段AG交线段ED于F点，将△AED沿ED翻折，使平面AED⊥平面BCDE，连接AB、AC、AG形成如图乙所示的几何体。

（1）求证BC⊥平面AFG；

（2）求二面角B－AE－D的余弦值． 【答案】(1)详见解析， (2) ?5 5第18页 共24页

【解析】

则A(0,0,23)，B(3,?3,0)，E(0,?2,0)，所以AB?(3,?3,?23)，

BE?(?3,1,0)． 6分

【考点定位】线面垂直判定，空间向量求二面角

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x2y228．【2014届河北省石家庄市高中毕业班第一次模拟考试数学（理）】椭圆c：2?2?1（a>b>0）的离

ab心率为3，过其右焦点F与长轴垂直的弦长为1， 2（1）求椭圆C的方程；

（2）设椭圆C的左右顶点分别为A，B，点P是直线x=1上的动点，直线PA与椭圆的另一个交点为M，直线PB与椭圆的另一个交点为N，求证：直线MN经过一定点.

x2?y2?1；【答案】（1）（2）证明详见解析 4【解析】

c32b2试题分析：（1）由已知可得e??，＝１，解出a，b即可.

aa2?18?8t2x?,?t?M4t2?9（2）设P(1,t),则直线lPA:y?(x?2)，联立直线PA方程和椭圆方程可得?，同理得到

3?y?12t.M?4t2?9?[来源学优

第20页 共24页

t?y?(x?2),??3 ?2?x?y2?1.??4即

?4t2?9x2?16t2x?16t2?36?0，

，

?216t2?3618?8t,所以xM?2可知?2xM?24t?94t?9?18?8t2x?,??M4t2?9则? 6分

12t?y?.M2?4t?9?

?8t2?2x?,??N4t2?1同理得到?

?y?4t.?N4t2?1? 8分

29．【2014届上海崇明县高三第一学期期末考试数学（理）】已知圆C1的圆心在坐标原点O，且恰好与直线

l1:x?y?22?0相切.

(1)求圆的标准方程；

(2)设点A为圆上一动点，AN?x轴于N，若动点Q满足OQ?mOA?(1?m)ON,（其中m为非零常数），试求动点Q的轨迹方程C2.

第21页 共24页

(3)在（2）的结论下，当m?点，求?OBD面积的最大值.

3时，得到动点Q的轨迹曲线C，与l1垂直的直线l与曲线C交于 B、D两2x2y2??1；【答案】（1）x?y?4；（2）（3）3. 244m22【解析】

试题解析：(1)设圆的半径为,圆心到直线距离为所以，圆

的方程为

，则

联立方程

得

因为，解得，且

第22页 共24页

又因为点到直线的距离

.（当且仅当即

时取到最大值）面积的最大值为.

【考点定位】（1）圆的方程；（2）动点转移法求轨迹方程；（3）直线与椭圆相交，面积的最值问题. 30．【2014届河北省衡水中学高三下学期二调考试数学（理）】已知椭圆C的对称中心为原点O，焦点在x轴上，左右焦点分别为F1和F2，且|F1F2|=2， 点（1，

3）在该椭圆上． 2（1）求椭圆C的方程；

B两点，（2）过F1的直线l与椭圆C相交于A，若?AF2B的面积为切圆的方程．

122，求以F2 为圆心且与直线l相7x2y222??1；【答案】（1）（2）(x?1)?y?2. 43【解析】

第23页 共24页

2112|k|k?1=122，化简得： ?AFB?|AB|r?∴又圆F2的半径r?，的面积221?k273?4k222k=±1∴r =，得，，圆的方程为(x?1)?y?2 ………………….（12分） 217k?k?18?0422|k|【考点定位】1.椭圆的定义和方程；2.圆的方程；3.点到直线的距离公式.

第24页 共24页

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