八种经典线性规划例题最全总结（经典）

线性规划常见题型及解法

由已知条件写出约束条件，并作出可行域，进而通过平移直线在可行域内求线性目标函数的最优解是最常见的题型，除此之外，还有以下六类常见题型。

一、求线性目标函数的取值范围

?x?2?例1、 若x、y满足约束条件?y?2，则z=x+2y的取值范围是 （ ）

?x?y?2?A、[2,6] B、[2,5] C、[3,6] D、（3,5]

解：如图，作出可行域，作直线l：x+2y＝0，将

l向右上方平移，过点A（2,0）时，有最小值 2，过点B（2,2）时，有最大值6，故选A

y 2 O 2 B y =2 x x + y =2 A x=2 二、求可行域的面积

?2x?y?6?0?例2、不等式组?x?y?3?0表示的平面区域的面积为 （ ）

?y?2? A、4 B、1 C、5 D、无穷大

解：如图，作出可行域，△ABC的面积即为所求，由梯形OMBC

的面积减去梯形OMAC的面积即可，选B

y x＋y – 3 = 0 M A O B y =2 三、求可行域中整点个数

例3、满足|x|＋|y|≤2的点（x，y）中整点（横纵坐标都是整数）有（ ） A、9个 B、10个 C、13个 D、14个

C x 2x + y – 6= 0 = 5 ?x?y?2?x?y?2?解：|x|＋|y|≤2等价于???x?y?2???x?y?2(x?0,y?0)(x?0,y(x(x0,y0)0)0,y?0)

y 作出可行域如右图，是正方形内部（包括边界），容易得到整

点个数为13个，选D

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O x 四、求线性目标函数中参数的取值范围

?x?y?5?例4、已知x、y满足以下约束条件?x?y?5?0，使z=x+ay(a>0)

?x?3?y x + y = 5 x – y + 5 = 0 取得最小值的最优解有无数个，则a的值为 （ ） A、－3 B、3 C、－1 D、1

O x=3 x

解：如图，作出可行域，作直线l：x+ay＝0，要使目标函数z=x+ay(a>0)取得最小值的最优解

有无数个，则将l向右上方平移后与直线x+y＝5重合，故a=1，选D

五、求非线性目标函数的最值

?2x?y?2?0?22

例5、已知x、y满足以下约束条件?x?2y?4?0 ，则z=x+y的最大值和最小值分别是（ ）

?3x?y?3?0? A、13，1 B、13，2

y A 254C、13， D、13，

55

22

解：如图，作出可行域,x+y是点（x，y）到原点的距离的平方，故最大值为点A（2,3）到原点的距离的平方，即

2

|AO|=13，最小值为原点到直线2x＋y－2=0的距离的平方，即为

O x – 2y + 4 = 0 3x – y – 3 = 0 x 2x + y - 2= 0 = 5 4，选C 5六、求约束条件中参数的取值范围

例6、已知|2x－y＋m|＜3表示的平面区域包含点（0,0）和（－1,1），则m的取值范围是 （ ） A、（-3,6） B、（0,6） C、（0,3） D、（-3,3）

y

2x – y + 3 = 0 2x – y = 0 解：|2x－y＋m|＜3等价于??2x?y?m?3?0

?2x?y?m?3?0O ?m?3?3由右图可知? ,故0＜m＜3，选C

m?3?0?七、比值问题

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当目标函数形如z?y?a时,可把z看作是动点P(x,y)与定点Q(b,a)连线的斜率，这样目标函数的最值就转x?b化为PQ连线斜率的最值。

??x－y＋2≤0，y例 已知变量x，y满足约束条件?x≥1，则 的取值范围是（ ）.

x??x＋y－7≤0，

99

（A）[，6] （B）（－∞，]∪[6，＋∞）

55（C）（－∞，3]∪[6，＋∞） （D）[3，6] 解析 是可行域内的点M（x，y）与原点O 59y（0，0）连线的斜率，当直线OM过点（，）时，取得

22x9y最小值；当直线OM过点（1，6）时，取得最大值6. 答案A

5xyx八、线性规划应用

例1、某工厂利用两种燃料生产三种不同的产品A、B、C，每消耗一吨燃料与产品A、B、C有下列关系：

现知每吨燃料甲与燃料乙的价格之比为2:3，现需要三种产品A、B、C各50吨、63吨、65吨．问如何使用两种燃料，才能使该厂成本最低？

分析：由于该厂成本与两种燃料使用量有关，而产品A、B、C又与这两种燃料有关，且这三种产品的产量也有限制，因此这是一道求线性目标函数在线性约束条件下的最小值问题，这类简单的线性规划问题一般都可以利用二元一次不等式求在可行域上的最优解．

解：设该厂使用燃料甲x吨，燃料乙y吨，甲每吨2t元，

则成本为z?2tx?3ty?t(2x?3y)．因此只须求2x?3y的最小值即可．

?10x?5y?50,??7x?9y?63,?5x?13y?65.y又由题意可得x、满足条件?

作出不等式组所表示的平面区域（如图）

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?10x?5y?50,2756?A(,)7x?9y?63.得1111 由??7x?9y?63,11770?B(,)5x?13y?65.?2323 由得

2x?3y?0，把直线l向右上方平移至可行域中的点B时， 作直线l：z?2x?3y?2?11770444?3??232323．

444t23∴最小成本为．

11770答：应用燃料甲23吨，燃料乙23吨，才能使成本最低．

说明：本题中燃料的使用不需要是整数吨，若有些实际应用问题中的解是整数解，又该如何来考虑呢？

例2、 咖啡馆配制两种饮料，甲种饮料每杯含奶粉9克、咖啡4克、糖3克，乙种饮料每杯含奶粉4克、咖啡5克、糖10克．已知每天原料的使用限额为奶粉3600克、咖啡2000克、糖3000克．如果甲种饮料每杯能获利0.7元，乙种饮料每杯能获利1.2元，每天在原料的使用限额内饮料能全部售出，每天应配制两种饮料各多少杯能获利最大？

分析：这是一道线性规划的应用题，求解的困难在于从实际问题中抽象出不等式组．只要能正确地抽象出不等式组，即可得到正确的答案．

解：设每天配制甲各饮料x杯、乙种饮料y杯可获得最大利润，利润总额为z元． 由条件知：z?0.7x?1.2y．变量x、y满足

?9x?4y?3600,?4x?5y?2000,???3x?10y?3000,??x?0,y?0.

作出不等式组所表示的可行域（如图）

0.7x?1.2y?0，把直线l向右上方平移至经过A点的位置时，z?0.7x?1.2y取最大值． 作直线l：?3x?10y?3000?0,?4x?5y?2000?0.

由方程组：?第 4页 共5页

得A点坐标A(200,240)．

答：应每天配制甲种饮料200杯，乙种饮料240杯方可获利最大．

高考真题练习

?x?3y?3?0,?1.（2010年浙江理7）若实数x，y满足不等式组?2x?y?3?0,且x?y的最大值为9，则实数m?

?x?my?1?0,?（A）?2 （B）?1 （C）1 （D）2

解析：将最大值转化为y轴上的截距，将m等价为斜率的倒数，数形结合可知答案选C，本题主要考察了用平面区域二元一次不等式组，以及简单的转化思想和数形结合的思想，属中档题

?x?y?1?2.(2009年陕西理11)若x，y满足约束条件?x?y??1，目标函数z?ax?2y仅在点（1，0）处取得最小值，则a

?2x?y?2?的取值范围是

w.w.w.k.s.5.u.c.o.m w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

(A) （?1，2 ） (B) （?4，2 ） (C) (?4,0] (D) (?2,4) 答案：B解析：根据图像判断，目标函数需要和x?y?1，2x?y?2平行， 由图像知函数a的取值范围是（?4，2 ）

?3x?y?6?0?3.(2009年山东理12) 设x，y满足约束条件?x?y?2?0 ， ?x?0,y?0?若目标函数z=ax+by（a>0，b>0）的值是最大值为12，

y x-y+2=z=ax+b23?的最小值为( ). ab25811A. B. C. D. 4

633则

2 -2 O 2 x 3x-y-6=0

【解析】:不等式表示的平面区域如图所示阴影部分,当直线ax+by= z（a>0，b>0） 过直线x-y+2=0与直线3x-y-6=0的交点（4,6）时, 目标函数z=ax+by（a>0，b>0）取得最大12, 即4a+6b=12,即2a+3b=6, 而

23232a?3b13ba1325?=(?)??(?)??2?,故选A. abab66ab66【命题立意】:本题综合地考查了线性规划问题和由基本不等式求函数的最值问题.要求能准确地画出不等式表示的

23?的最小值常用乘积进而用基本不等式解答 ab?x?044.（2009年安徽理7）若不等式组?x?3y?4所表示的平面区域被直线y?kx?分为面积相等的两部分，则k?3?平面区域,并且能够求得目标函数的最值,对于形如已知2a+3b=6,求

?3x?y?4的值是

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（A）

7343 （B） （C） （D） 3734高考资源网[解析]：不等式表示的平面区域如图所示阴影部分△ABC

?x?3y?44由?得A（1，1），又B（0，4），C（0，）

3?3x?y?4∴S△ABC=

y y=kx+ 3D 4A 144C (4?)?1?，设y?kx与3x?y?4的

233O x 1215交点为D，则由S?BCD?S?ABC?知xD?，∴yD? 23225147∴?k??,k?选A。 2233?x?2y?19≥0，?5.(2008年山东理12)设二元一次不等式组?x?y?8≥0，所表示的平面区域为M，

?2x?y?14≤0?使函数y?a(a?0，a?1)的图象过区域M的a的取 值范围是（ ）

x9] A．[1，3] B．[2，10] C．[2，9]D．[10，解：C,区域M是三条直线相交构成的三角形（如图）

显然a?1，只需研究过(1,、9(3,8)两种情形，

a1?9且a3?8即2?a?9.

?2x?y?2?0?6.(2010年安徽理13)设x,y满足约束条件?8x?y?4?0，若目标函数

?x?0 , y?0?z?abx?y?a?0,b?0?的最大值为8，则a?b的最小值为________。

【答案】4【解析】不等式表示的区域是一个四边形，4个顶点是

1(0,0),(0,2),(,0),(1,4)，易见目标函数在(1,4)取最大值8，

2所以8?ab?4?ab?4，所以，在a?b?2时是等号成立。所以a?b的最小值为

4.

【规律总结】线性规划问题首先作出可行域，若为封闭区域（即几条直线围成的区域）则区域端点的值是目标函数取得最大或最小值，求出直线交点坐标代入得ab?4，要想求a?b的最小值，显然要利用基本不等式.

7.( 2010年陕西理14)铁矿石A和B的含铁率a,冶炼每万吨铁矿石的CO2的排放量b及每万吨铁矿石的价格c如下表： a 50% 70% b(万吨) 1 0．5 第 6页 共5页

c（百万元） 3 6 A B 某冶炼厂至少要生产1.9(万吨)铁,若要求CO2的排放量不超过2(万吨),则购买铁矿石的最少费用为

____________ (百万元).

【解析】设铁矿石A购买了x万吨，铁矿石B购买了y万吨，购买铁矿石的费用为z百万元，则由题设知，本题即

?50%x?70%y?1.9?5x?7y?19??2x?y?4x?0.5y?2??求实数x,y满足约束条件?，即?（*）时，z?3x?6y的最小值.作不等式组(*)

x?0x?0????y?0y?0??对应的平面区域，如图阴影部分所示.现让直线z?3x?6y，即y??11x?z平移分析即知，当直线经过点P时，26?5x?7y?19z取得最小值.又解方程组?得点P坐标为?1,2?.故zmin?3?1?6?2?15.

?2x?y?4

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