初三数学经典习题反思

初三周测常见错误反思

一．确定函数图象的顶点前，首先要判断所给的式子是顶点式还是一般式。 1.写出下列二次函数的图象的顶点坐标和最值.

(1) y＝2（x－1）2＋3 顶点______，最___值是y＝______ (2) y＝－2x2－3顶点______，最___值是y＝______

(3) y=3x2 顶点______，最___值是y＝_________ (4) y＝－2x2＋4x－3顶点______，最___值是y＝______ 二．抛物线平移归结为关键点即顶点的平移，一定要习惯于先找顶点； 另外平移中a不发生变化，有时

翻折变换中，a的绝对值不变。 1．抛物线y??x2向左平移3个单位，向上平移3个单位，则平移后抛物线的解析式为________________ 2. 把抛物线y??x?1?向下平移2个单位，再向右平移1个单位，所得到的抛物线是___________

23.某二次函数，当x=-5时有最大值为4，图象形状与y?2x2相同，则其解析式为_______________. 4. 已知二次函数y?x2?2mx?m2?3(m是常数).把该函数的图象沿y轴向下移多少个单位长度后, 得到的函数的图象与x轴只有一个公共点?（先求顶点）

三．二次函数a,b，c的符号要根据开口方向，对称轴，与y轴交点，取特殊点（例如x＝1，－1，0，2，－2等）四个方面来综合判断.

1．如图是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分，且过点A（3，0），二次函数图象的对称轴 是x=1，下列结论正确的是（ ）

A、ac＞0 B、b+2a=0 C、 a﹣b+c＞0 D、4a+2b+c＜0

四．求解变化率问题，常常在求解中需要用直接开平方法速度最快.

1.某种传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有196台电脑被感染．若设每轮感染中平均一台电脑会感染x台电脑，则可列方程为： .解得___________.

五．由函数图像确定变量范围，经常由y的范围→图象→的取值范围，反之一样。 1.如图是二次函数y?ax?bx?c的部分图象，由图象可知，当函数值y?0时，自变量x的取值范围________________________.

2．二次函数y=x﹣2x﹣3的图象如图所示．当y＜0时，自变量x的取值范围是 _____ ．

2

2y

x

3.如图 ,一次函数y1?ax?b(a?0)与反比例函数

y2?k(k?0)的图象交于A(1, 4)、B(4, 1)两点 ,若使xy1?y2,

则x的取值范围是______________.

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4.已知二次函数y1?x2?x?2和一次函数y2?x?1的两个交点分别为A(－1，0)， B(3，4)，当y1＞y2时，自变量x的取值范围是__________________

5. 如图，A（-3，n）、B（1，-3）是一次函数y1=kx+b图象和反比 例函数y2=m/x图象两个交点当y1>y2 时,则x的取值范围为 _________________________.

六．关于x轴对称y相反，关于y轴对称x相反，关于原点则都相反．

1.在平面直角坐标系中，点P(4,a)与点Q（b，13）关于x轴对称，则a+b的值为__________ . 2.已知点p1(a?1,1)和p2(2,b?1)关于原点对称，则(a?b)2008的值为__________

七．切线长定理中的图形中包含有等腰三角形三线合一和对角互补的四边形。

切线的证明中两种思路分别是什么？ 证明直角中三个思考方向分别是什么？

1．如图，PA、PB是⊙O的切线，切点分别为A、B两点，点C在⊙O上，如果 ∠ACB＝70°，那么∠P的度数是 ．

2．如图，Rt△ABC中，∠C=Rt∠，BC=5．⊙O内切Rt△ABC的三边AB，BC，CA于D，E，F，半径r=2．求△ABC的周长．

3.在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=8cm，BC=6cm，⊙O为△ABC的内切圆．则⊙O的半径是.

4．如图，四边形OABC是平行四边形，以O为圆心，OA为半径的圆交AB于点D，延长AO交⊙O于点E，连接CD，CE，若CE是⊙O的切线，解答下列问题：（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）若BC=3，CD=4，求OC的长．

八．正多边形与圆的问题，几乎总是需要求出圆心角的度数。你一定要会画三角形的内切圆和外接圆。 1. 半径为1的圆内接正三角形的边心距为 _________ ．

2．正六边形的边心距为，则该正六边形的边长是_______________

O3．如图，以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB是小圆的切线，点C为切点， 若两圆的半径分别为3和5，则AB的长为 ． BAC

4.若一个正六边形的周长为24，则该六边形的面积为 ．

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5.正六边形至少要绕着旋转中心旋转_______度才能与自身重合。

九．旋转作图一定作图题要注意旋转方向，图形上每个点的旋转的路径是一段弧长。 1．如右图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标为A（1，﹣4）， B（3，﹣3），C（1，﹣1）．（每个小方格都是边长为一个单位长度的正方形） （1）将△ABC沿y轴方向向上平移5个单位，画出平移后得到的△A1B1C1； （2）将△ABC绕点O顺时针旋转90°，画出旋转后得到的△A2B2C2，并

求写出点A旋转到点A2所经过的路径长．

2. 如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，给出了格 点ΔABC（顶点是网格线的交点）。

（1）请ΔABC向上平移3个单位得到ΔA1B1C1，请画出ΔA1B1C1； （2）请画一个格点ΔA2B2C2，使ΔA2B2C2∽ΔABC，且相似比不为1。

3、边长为2cm的△ABC是等边三角形，D是BC上一点，△ABD经旋转后到

达△ACE的位置。

（1）旋转中心是哪一点，旋转了多少度？

（2）若M是AB的中点，那么经过上述旋转后，点M转到了什么位置？ （3）点B旋转所经过的路径长是多少？ 4.如图，△ABC各顶点的坐标分别为A（2，6），B（4，2），C（6，4），

在第一象限内，画出以原点为位似中心，相似比为并写出各点坐标。

1的△A1B1C1， 2

十．最短路径问题：两点在同侧要找对称点转化为两点在异侧来解决

1..如图，已知y=ax2-4x+c的图象与坐标轴交于点A（-1，0）和点

B（0，-5）．（1）求该抛物线的解析式；

（2）已知该图象的对称轴上有点P，使得△ABP的周长最小． 请求出点P的坐标.

十一．抛物线中三角形面积问题，要思考是直接用公式，还是“补” 或者“切”。这里尤其注意线段长和坐标之间的转化要注意符号。

1．已知 m、n是方程x﹣6x+5=0的两个实数根，且m＜n，抛物线

2

y=﹣x+bx+c的图象经过点A（m，0）、B（0，n）． ① 求这个抛物线的解析式． ② 设①中抛物线与x轴的交点为C和A， D是在第二象限内的抛物线上的

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2

一动点，其横坐标为m,试用含m的代数式表示△BCD的面积；

2

2．如图，已知二次函数y=x+bx+c过点A（1，0），C（0，﹣3） （1）求此二次函数的解析式； （2）在抛物线上存在一点P使△ABP的面积为10，请直接写出点P的坐标

2

3．如图，二次函数y=x的图象与一次函数y=x+2的图象交于A、B两点， 点A的横坐标是﹣1，点B的横坐标是2．设点C在二次函数图象的OB段 上，求四边形OABC面积的最大值．

4．如图，已知抛物线y=－x2＋x＋2，点P是第一象限内抛物线上的一个动点，若点P使四边形ABPC的面积最大，求点P的坐标．

5．已知：如图，直线y=－x＋3与x轴、y轴分别交于点B（3，0）、C（0，3），抛物线y=－x＋2x＋3经过点B、C，点A（－1，0）是抛物线与x轴的另一个交点。若点P在直线BC上，且S△PAC=P的坐标.

2

1S△PAB，求点2解：设P点坐标（m，－m＋3），则 S△PAB＝

S△PAC ＝S△ABC－S△PAB＝

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6.如图，已知A??4,?、B??1,2?是一次函数y?kx?b（k?0）与反比例函数y?图象的两个交点，AC⊥x轴于点C，BD⊥y轴于点D.

??1?2?m（m?0，x?0）x（1）根据图象直接回答：在第二象限内，当x取何值时，一次函数的值大于反比例函数的值？ （2）求一次函数的解析式及m的值；

（3）P是线段AB上的一点，连接PC、PD，若△PCA和△PDB的面积相等，求点P的坐标.

十二．求解不等式组，最后要把各自的解进行组合，并且要看是否要画出数轴。 1．解不等式组：

，并把不等式组的解集在数轴上表示出来．

y B A C O x D ?x?3?2x?2.不等式组?1的解集是._______

?x?3??2

3.不等式组??x?3?0(x?1)?3?3x?2的解集是.

十三利润问题要明确利润的表示方法，明确利润，进价，售价，利润率之间的基本关系。

1．我市某工艺厂设计了一款成本为10元/件的工艺品投放市场进行试销．经过调查，得到如下数据：

销售单价x（元/件） 每天销售量（y件） ? 20 30 40 50 60 ? ? 500 400 300 200 100 ? (1)猜想y与x的函数关系，并求出函数关系式；

(2) 当销售单价定为多少时，工艺厂试销该工艺品每天获得的利润最大？最大利润是多少？

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2.某企业设计了一款工艺品，每件的成本是50元，为了合理定价，投放市场进行试销．据市场调查，销售单价是100元时，每天的销售量是50件，而销售单价每降低1元，每天就可多售出5件，但要求销售单价不得低于成本．

（1）求出每天的销售利润y（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式； （2）求出销售单价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？

十四.分解因式-----先提后套,分解到不能分解为止,有时候是实数内分解

把x3-9x分解因式__________________分解因式a3?a?_______________________。 在实数范围内分解因式：x3?2x= 分解因式：2a2﹣4ab= _________ ．

十五、二次方程根的求解,两边同时除以字母易出错,最好化为一般式要选择最好的方法。 1.方程x=6x的根是____________( 最好因式分解) 解方程：x－x＋1＝0（最好公式法）

已知抛物线y＝－x＋4x－3与直线y＝－2x＋6公共点的坐标是_________， 已知x?22

22

2?1，y?2?1，则x2?2xy?y2的值为 _______ 已知x?4x?1?0，求代数式(2x?1)2?(x?2)(x?2)?x(x?4)的值．

十六、凡是二次方程二次项系数含有字母,要注意保证其不为0.但一定是二次方程。 1.关于x的二次方程(a?1)x2?x?a2?1?0的一个根是0，则a的值为（ ）

2．关于x的一元二次方程x+x+a﹣1=0的一个根是0，则a的值为（ ）

22(a?2)x?x?a?4?0有一个根是0，a的值为（ ） 3．关于x的方程

22

十七、一元二次方程根的情况 与二次函数与x轴交点实质一样都是分为三种情况。

1.一元二次方程x2﹣4x+5=0的根的情况是_________________________;

2. 已知关于x的一元二次方程(m?1)x?x?1?0有实数根，则m的取值范围是_________ 3.已知关于x的一元二次方程x﹣2x+k﹣3=0有两个不相等的实数根，求k的取值范围____________ 4.已知抛物线y=2x2+3x+c与x轴只有一个交点．则c的值为_______;

5.已知一次函数y1=-x+m与二次函数y2=ax2+bx-3图象相交于点A（-1，0）、B（2，-3），则当y1>y2时,x的取值范围是___________;

6．已知关于x的方程x??k?2?x?2k?0. (1)求证：无论k取任何实数，方程总有实数根；

222

(2)若等腰△ABC的一边长a?1，另两边b、c恰好是这个方程的两个根，求△ABC周长。

解：（1）方程的判别式△＝ （2）分两种情况讨论：

（1） 当a＝1是腰长， （2）当a＝1是底边长

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7.已知二次函数y?x2?2mx?m2?3(m是常数).求证: 不论m为何值, 该函数的图象与x轴没有公共点；

十八.取值范围常见问题:二次根式被开方数≥0,分式分母≠0.

1.已知函数y?x有意义，则自变量x的取值范围是（ ） x?1?101?十九.注意算术平方根9, ,负指数幂的计算 完全平方公式,同底数幂的乘除法公式: ?零次幂?4???1??????2??1??1?1.计算：9??4???1???? 9的平方根是（ ） -22????(?2)2+?2??3?0?1?2?2-1

?01. 8的平方根是（ ）

A. 4 B. ±4 C. 22 D. ±22

2 计算：

3.先化简，再求值，(1a?21?2)? a?1a?1a?14x?10?x?2?1????12???????3??2?2??22x?2x?42??x?4，其中x??3??4.计算： 5.化简求值：

?1二十.平行四边形的判定方法和性质,矩形的判定和性质.等腰三角形性质.证明要有层次性。

1.已知：如图所示，平行四边形ABCD中，E、F分别是AB、CD的中点，连接AF、CE.

(1)求证：△BEC ≌△DFA；

(2)连接AC，若CA＝CB，判断四边形AECF是什么特殊四边形？并证明你的结论． 2.如图，对称轴为直线x??1的抛物线y?ax?bx?c?a?0?与x轴相交于点A、B，

2其中点A的坐标为（-3,0）,C(0,-3).则以B,A,C,D为顶点作平行四边形,写出D点坐标.

二十一。实际问题中常常需要写出取值范围:因为最大值有可能不在取值范围内,则在顶点处不能取得最大值.以下取值范围最好由平行于墙长的一面来确定。

1.为改善小区环境，某小区决定要在一块一边靠墙（墙长25m）的空地上修建一个矩形绿化带ABCD，绿化带一边靠墙，另三边用总长为40m的栅栏围住（如图）.求绿化带的最大面积？

_ B_ A

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二十二.圆锥的相关问题：关键在于把握：圆锥的底面积等于扇形的弧长，及其扇形 弧长，面积公式和圆锥侧面积公式。 1.圆锥底面半径为1/2，母线长为2，它的侧面展开图的圆心角是 . 2.小明同学用纸板制作了一个圆锥形漏斗模型．如图所示，它的底面半径OB=3cm， 高OC=4cm，则这个圆锥漏斗的侧面积是 cm． 3.如图，在?ABCD中，AD=2，AB=4，∠A=30°，以点A为圆心，AD的长为 半径画弧交AB于点E，连接CE，则阴影部分的面积是 （结果保留π）． 4.在△ABC中，∠C=90°，∠A=45°，BC=6，以点A为圆心， AC长为半径作弧交AB于点D，则图中阴影部分（除扇形外部分）的面积________. 5.如果一个扇形的半径是1，弧长是

，那么此扇形的圆心角的大小为____________

2二十三.待定系数法求解析式

1．一次函数的图象经过点A（2，1），且与直线y=3x﹣2平行，则此函数的解析式为（ ） 二十二.三角形内心和外心 1．若O是△ABC的内心，且∠BOC=100°，则∠A=（ ） 二十四.反比例函数的k的取值范围. 1.在一次函数y?2m?4，当x>0时，y都随x的增大而增大，写出m的取值范围________ x二十五.相似三角形计算中注意对应边，和利用性质解决问题。

1．如图，在△ABC中D为AC边上一点，若∠DBC＝∠A，BC?6，AC＝3，则CD长为_______ ）

2.如图，在边长为9的等边△ABC中，BD＝3，∠ADE＝60°，则AE＝.

3.已知：四边形ABCD内接于圆O，连结AC和BD交与点E，且AC平分∠BAD. （

1

）

直

接

写

出

3

对

图

中

能

够

相

似

的

三

角

形

：

_________________;___________________;________________; （2）求证：△DCE∽△ACD （2）若CA=8,AE=2,求DC的长

4．如图，⊙O是Rt△ABC的外接圆，∠ABC=90°，弦BD＝BA＝12，BC＝5，BE⊥DC交DC的延长线于点E. （1）求证：∠BCA＝∠BAD ；（2）求DE的长 ；（3）求证：BE是⊙O的切线 .

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5.在Rt△ABC中, ∠C=90°,P是BC边上不同于B、C的一动点，过P作PQ⊥AB，垂足为Q，连接AP. （1）试说明不论点P在BC边上何处时，都有△PBQ与△ABC相似； （2）若AC=3,BC=4,当PQ为何值时，△AQP面积最大，并求出最大值；

6.如图，在△ABC中，∠C=45°，BC=10，高AD=8，矩形EFPQ的一边QP在BC边上，E、F两点分别在AB、AC上，AD交EF于点H. （1）求证：

AHEF?； ADBCA（2）设EF?x，当x为何值时，矩形EFPQ的面积S最大？并求其最大值；

EHFBQDPCAD1?，则△ADE的面积与四边形DBCE的面积之比为（ ） 7.在△ABC中，DE∥BC，且

DB3二十六.解直角三角形要熟练掌握三种三角函数的定义及其特殊角的三角函数，运算中要注意被除数除数和商之间的转换。

1.如图，在8×4的矩形网格中，每格小正方形的边长都是1，若△ABC的三个顶点在图中相应的格点上，则tan∠ACB的值为________________. 2.计算：tan45°+

cos45°=

．3.计算：

sin30°+cos30°?tan60°=________．

4.在△ABC中，∠C=90°，sinA=，则cosB= ． 5.如图，在△ABC中，∠A=30°，∠B=45°，AC=

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，求AB的长．

6.如图，在塔AB前的平地上选择一点C，测出看塔顶的仰角为30°，从C点向塔底走100米到达D点，测出看塔顶的仰角为45°，求塔AB的高。

二十七，在圆的题目中要从图形中主动去寻找相等的圆周角，有时候要构造圆周角；

1.如图，在半径为5的⊙O中，弦AB＝6 ，点C是优弧AB上的一点（不与A，B重合），则cosC的值___________________;

二十八.概率:注意画树状图和表格的结构,注意表达的完整性:班长和学习委员摸球游戏.游戏规则是：在一个不

1.透明的袋子里有除数字外完全相同的4个小球，上面分别标有数字1、2、3、4，一人先从袋中随机摸出一个小球，另一个人再从袋中剩下的3个小球中随机摸出一个小球.（1）请用树形图或列表法列出所有可能出现的结果；（2）若摸出的两个小球上的数字和为偶数，则班长去参赛，请问班长能如愿的概率是多少？(请完成表格和树状图,尤其注意最后的文字表达)

（1）列表如下： (2)树状图如下:

所有等可能的情况有12种；

（2）两个小球上的数字和为偶数的为（3，1），（4，2），（1，3），（2，4）共4种，则P（之和为偶数）=4/12=1/3

2.从1, 2, 3这三个数字中任意取出两个不同的数字 ,则取出的

两个数字都是奇数的概率是.

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