2012届高三数学一轮复习第十章统计与概率10-9

第10章 第9节

一、选择题

1．(2010·新课标全国理)某种种子每粒发芽的概率都为0.9，现播种了1 000粒，对于没有发芽的种子，每粒需再补种2粒，补种的种子数记为X，则X的数学期望为( )

A．100 B．200 C．300 D．400 [答案] B

[解析] 记“不发芽的种子数为ξ”，则ξ～B(1 000，0.1)，所以E(ξ)＝1 000×0.1＝100，而X＝2ξ，故E(X)＝E(2ξ)＝2E(ξ)＝200，故选B.

2．设随机变量ξ的分布列如下：

ξ P －1 a 0 b 1 c 1其中a，b，c成等差数列，若E(ξ)＝，则D(ξ)＝( )

34A. 91B．－

92C. 35D. 9[答案] D

[解析] 由条件a，b，c成等差数列知，2b＝a＋c，由分布列的性质知a＋b＋c＝1，又11111111115－1－?2＋?0－?2＋?1－?2＝. E(ξ)＝－a＋c＝，解得a＝，b＝，c＝，∴D(ξ)＝×?3?3?3?2?3?936326?

3．某区于2010年元月对全区高三理科1400名学生进行了一次调研抽测，经统计发现5科总分ξ(0<ξ<750)大致服从正态分布N(450,1302)，若ξ在(0,280)内取值的概率为0.107，则该区1400名考生中总分为620分以上的学生大约有(结果四舍五入)( )

A．100人 B．125人 C．150人 D．200人

[答案] C

[解析] 由条件知，P(ξ>620)＝P(ξ<280)＝0.107,1400×0.107≈150. 4．(2010·山东济南模拟)下列判断错误的是( )

A．在1000个有机会中奖的号码(编号为000～999)中，有关部门按照随机抽取的方式确定后两位数字是09号码为中奖号码，这是用系统抽样方法确定中奖号码的；

B．某单位有160名职工，其中业务人员120名，管理人员24名，后勤人员16名．要从中抽取容量为20的要本，用分层抽样的方法抽取样本；

C．在正常条件下电子管的使用寿命、零件的尺寸，在一定条件下生长的小麦的株高、穗长、单位面积的产量等一般都服从正态分布；

D．抛掷一枚硬币出现“正面向上”的概率为0.5，则某人抛掷10次硬币，一定有5次出现“正面向上”．

[答案] D

5．(2010·上海松江区模考)设口袋中有黑球、白球共7个，从中任取2个球，已知取到6

白球个数的数学期望值为，则口袋中白球的个数为( )

7

A．3 B．4 C．5 D．2 [答案] A

[解析] 设白球x个，则黑球7－x个，取出的2个球中所含白球个数为ξ，则ξ取值0,1,2， C7－x2?7－x??6－x?P(ξ＝0)＝2＝，

C742x·?7－x?x?7－x?

P(ξ＝1)＝＝，

C7221Cx2x?x－1?

P(ξ＝2)＝2＝，

C742

?7－x??6－x?x?7－x?x?x－1?6

∴0×＋1×＋2×＝，

4221427∴x＝3.

6．一台机器生产某种产品，如果生产一件甲等品可获利50元，生产一件乙等品可获利30元，生产一件次品，要赔20元，已知这台机器生产甲等品、乙等品和次品的概率分别为0.6、0.3和0.1，则这台机器每生产一件产品，平均预期可获利( )

A．39元 B．37元 C．20元

100D.元 3[答案] B

[解析] ξ的分布列为

ξ p 50 0.6 30 0.3 －20 0.1 ∴E(ξ)＝50×0.6＋30×0.3＋(－20)×0.1＝37(元)，故选B. 7．(2010·广州市)某公司为庆祝元旦举办了一个抽奖活动，现场准备的抽奖箱里放置了分别标有数字1000、800、600、0的四个球(球的大小相同)，参与者随机从抽奖箱里摸取一球(取后即放回)，公司即赠送与此球上所标数字等额的奖金(元)，并规定摸到标有数字0的球时可以再摸一次，但是所得奖金减半(若再摸到标有数字0的球就没有第三次摸球机会)，求一个参与抽奖活动的人可得奖金的期望值是多少元．( )

A．450元 B．900元 C．600元 D．675元 [答案] D

1

[解析] 摸到数字0的概率为，再摸一次，故得500元、400元、300元、0元的概率

4111

分别为×＝，故分布列为

4416

ξ P 1000 1 4800 1 4600 1 4500 1 16400 1 16300 1 160 1 161111111

∴E(ξ)＝1000×＋800×＋600×＋500×＋400×＋300×＋0×＝675.

444161616168．小明每次射击的命中率都为p，他连续射击n次，各次是否命中相互独立，已知命中次数ξ的期望值为4，方差为2，则p(ξ>1)＝( )

255

A. 2569B. 256247C. 2567D. 64[答案] C

[解析] 由条件知ξ～B(n，P)，

???E?ξ?＝4，?np＝4?∵，∴?， ?D?ξ?＝2???np?1－p?＝2

1

解之得，p＝，n＝8，

2

1?0?1?8?1?8

∴P(ξ＝0)＝C80×??2?×?2?＝?2?， 1?1?1?7?1?5P(ξ＝1)＝C81×??2?×?2?＝?2?， ∴P(ξ>1)＝1－P(ξ＝0)－P(ξ＝1) 1?8?1?5247＝1－??2?－?2?＝256.

9．某次国际象棋比赛规定，胜一局得3分，平一局得1分，负一局得0分，某参赛队员比赛一局胜的概率为a，平局的概率为b，负的概率为c(a，b，c∈[0,1))，已知他比赛一局得分的数学期望为1，则ab的最大值为( )

1A. 31B. 21C. 121D. 6[答案] C

11?3a＋b?211

[解析] 由条件知，3a＋b＝1，∴ab＝(3a)·b≤·＝，等号在3a＝b＝，即a

33?2?12211

＝，b＝时成立． 62

?x－μi?110．(2010·深圳市调研)已知三个正态分布密度函数φi(x)＝e－(x∈R，i＝

2σi22πσi

1,2,3)的图象如图所示，则( )

2

A．μ1<μ2＝μ3，σ1＝σ2>σ3 B．μ1>μ2＝μ3，σ1＝σ2<σ3 C．μ1＝μ2<μ3，σ1<σ2＝σ3 D．μ1<μ2＝μ3，σ1＝σ2<σ3 [答案] D

[解析] 正态分布密度函数φ2(x)和φ3(x)的图象都是关于同一条直线对称，所以其平均数相同，故μ2＝μ3，又φ2(x)的对称轴的横坐标值比φ1(x)的对称轴的横坐标值大，故有μ1<μ2＝μ3.又σ越大，曲线越“矮胖”，σ越小，曲线越“瘦高”，由图象可知，正态分布密度函数φ1(x)和φ2(x)的图象一样“瘦高”，φ3(x)明显“矮胖”，从而可知σ1＝σ2<σ3.

二、填空题

11．(2010·山东潍坊质检)如图，A、B两点间有5条线并联，它们在单位时间内能通过的信息量依次为2,3,4,3,2.现从中任取3条线且记在单位时间内通过的信息总量为ξ.则信息总量ξ的数学期望为________．

[答案]

42

5

[解析] 由题意得，ξ的可能取值为7,8,9,10.

C21C22＋C22C113C21C221

∵P(ξ＝7)＝＝，P(ξ＝8)＝＝，

C535C5310C21C21C112C22C111

P(ξ＝9)＝＝，P(ξ＝10)＝＝，

C535C5310∴ξ的分布列为：

ξ P 7 1 58 3 109 2 510 1 10132142E(ξ)＝×7＋×8＋×9＋×10＝.

5105105

12．(2010·广东江门市模考)产量相同的机床Ⅰ、Ⅱ生产同一种零件，它们在一小时内生产出的次品数X1、X2的分布列分别如下：

X1 P

X2 P 0 0.3 1 0.5 2 0.2 0 0.4 1 0.4 2 0.1 3 0.1 两台机床中，较好的是________，这台机床较好的理由是________． [答案] Ⅱ 因为E(X1)＝E(X2)，D(X1)>D(X2)

13．(2010·南京调研)袋中装有大小相同的黑球和白球共9个，从中任取2个都是白球的

5

概率为.现甲、乙两人从袋中轮流取球，甲先取，乙后取，然后甲再取?，每次取1个球，

12取出的球不放回，直到其中有一人取到白球时终止．用X表示取球终止时取球的总次数．

(1)袋中原有白球的个数为________． (2)随机变量X的数学期望E(X)＝________. 10

[答案] (1)6 (2)

7

Cn25

[解析] (1)设袋中原有n个白球，则从9个球中任取2个球都是白球的概率为2＝，

C912n?n－1?25即＝，化简得n2－n－30＝0.

129×82解得n＝6或n＝－5(舍去)． 故袋中原有白球的个数为6. (2)由题意，X的可能取值为1,2,3,4. 62

P(X＝1)＝＝；

933×61

P(X＝2)＝＝；

9×843×2×61

P(X＝3)＝＝；

9×8×7143×2×1×61

P(X＝4)＝＝.

9×8×7×684所以X的概率分布列为：

X P 1 2 32 1 43 1 144 1 84211110所求数学期望E(X)＝1×＋2×＋3×＋4×＝.

3414847

14．(2010·广东高考调研)如果随机变量ξ～B(n，p)，且E(ξ)＝4，且D(ξ)＝2，则E(pξ－D(ξ))＝________.

[答案] 0

[解析] ∵ξ～B(n，p)，且E(ξ)＝4，∴np＝4， 1

又∵D(ξ)＝2，∴np(1－p)＝2，∴p＝，

211

∴E(pξ－D(ξ))＝E(ξ－2)＝E(ξ)－2＝0.

22三、解答题

15．某大学开设甲、乙、丙三门选修课，学生是否选修哪门课程互不影响，已知某学生只选修甲的概率为0.08，只选修甲和乙的概率是0.12，至少选修一门的概率是0.88，用ξ表示该学生选修的课程门数和没有选修的课程门数的乘积．

(1)记“函数f(x)＝x2＋ξx为R上的偶函数”为事件A，求事件A的概率； (2)求ξ的分布列和数学期望．

[解析] 设该学生选修甲、乙、丙的概率分别是x，y，z， x?1－y??1－z?＝0.08??

由题意有?xy?1－z?＝0.12

??1－?1－x??1－y??1－z?＝0.88x＝0.4??

解得?y＝0.6

??z＝0.5

，

.

(1)∵函数f(x)＝x2＋ξx为R上的偶函数，∴ξ＝0. ξ＝0表示该学生选修三门功课或三门功课都没选． ∴P(A)＝P(ξ＝0)＝xyz＋(1－x)(1－y)(1－z) ＝0.4×0.6×0.5＋0.12＝0.24. (2)依题意ξ＝0,2，则ξ的分布列为

ξ P ∴E(ξ)＝0×0.24＋2×0.76＝1.52. 16．(2010·新乡市调研)高二下学期，学校计划为同学们提供A、B、C、D四门方向不同的数学选修课，现在甲、乙、丙三位同学要从中任选一门学习(受条件限制，不允许多选，也不允许不选)．

(1)求3位同学中，选择3门不同方向选修的概率； (2)求恰有2门选修没有被3位同学选中的概率；

(3)求3位同学中，选择选修课程A的人数ξ的分布列与数学期望．

A433[解析] (1)设3位同学中，从4门课中选3门课选修为事件M，则P(M)＝3＝. 48(2)设3位同学中，从4门课中选3门课选修，恰有2门没有选中为事件N，则P(N)＝C42C32A229

＝. 4316

(3)由题意，ξ的取值为0、1、2、3.

C31×3×3273327

则P(ξ＝0)＝3＝，P(ξ＝1)＝＝，

4644364C32×3911

P(ξ＝2)＝3＝，P(ξ＝3)＝3＝. 464464

0 0.24 2 0.76 ∴ξ的分布列为

ξ P 0 27 641 27 642 9 643 1 642727913∴E(ξ)＝0×＋1×＋2×＋3×＝. 646464644

17．设两球队A、B进行友谊比赛，在每局比赛中A队获胜的概率都是p(0≤p≤1)． 2

(1)若比赛6局，且p＝，求其中A队至多获胜4局的概率是多少？

3(2)若比赛6局，求A队恰好获胜3局的概率的最大值是多少？

(3)若采用“五局三胜”制，求A队获胜时的比赛局数ξ的分布列和数学期望． [解析] (1)设“比赛6局，A队至多获胜4局”为事件A， 则P(A)＝1－[P6(5)＋P6(6)]

222564735?2?5?1－?＋C66??6?＝1－＝. ＝1－?C63????3??3??729729473

∴A队至多获胜4局的概率为.

729

(2)设“若比赛6局，A队恰好获胜3局”为事件B，则P(B)＝C63p3(1－p)3. 当p＝0或p＝1时，显然有P(B)＝0.

??当0

1

当且仅当p＝1－p，即p＝时取等号．

25

故A队恰好获胜3局的概率的最大值是. 16

p＋1－p?2?3?1?6＝5 ＝20·?2?16??2??

(3)若采用“五局三胜”制，A队获胜时的比赛局数ξ＝3,4,5. P(ξ＝3)＝p3，

P(ξ＝4)＝C32p3(1－p)＝3p3(1－p) P(ξ＝5)＝C42p3(1－p)2＝6p3(1－p)2， 所以ξ的分布列为：

ξ P 3 p3 4 3p3(1－p) 5 6p3(1－p)2 E(ξ)＝3p3(10p2－24p＋15)． [点评] 本题第(3)问容易出错，“五局三胜制”不一定比满五局，不是“五局中胜三局”．A队获胜包括：比赛三局，A队全胜；比赛四局，A队前三局中胜两局，第四局胜；比赛五局，前四局中胜两局，第五局胜，共三种情况．

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