崇文区200-2010学年度高三第一学期期末统一练习(数学文)

题目+答案

崇文区2009－2010学年度第一学期期末统一练习

高三数学（文科） 2010.1

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至5页，共150分。考试时间120分钟。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷（选择题 共40分）

注意事项：

1．考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。

2．答题前考生务必用黑色字迹的签字笔在答题卡上填写姓名、准考证号，然后再用2B铅笔将与准考证号对应的信息点涂黑。

3．答题卡上第Ⅰ卷必修用2B铅笔作答，将选中项涂满涂黑，黑度以遮住框内字母为准，修改时用橡皮擦除干净。第Ⅱ卷必须用黑色字迹的签字笔按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，未在对应的答题区域内作答或超出答题区域作答的均不得分。

一、本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目

要求的一项。 （1）若i是虚数单位，则

1 i

1 i

（A）i （B） 1 （C）1 （D） i

2

（2）已知命题p： x0 R，x0 2x0 2 0，那么下列结论正确的是

2 2

（A）p: x0 R，x0 2x0 2 0 （B）p: x R，x 2x 2 0 2 2

（C）p: x0 R，x0 2x0 2 0 （D）p: x R，x 2x 2 0

（3）已知等差数列{an}的前n项和为Sn,且a4 a2 4，S3 9,则数列{an}的通项公

式为

（A）an n （B）an n 2 （C）an 2n 1 （D）an 2n 1 （4）“m 2”是“直线(m 1)x y 2 0与直线mx (2m 2)y 1 0相互垂直”的

（A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件 （C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件 （5）设a ()

1

2

0.5

，b 0.3，c log0.30.2，则a,b,c的大小关系是

0.5

（A）a b c （B）a b c （C）b a c （D）a c b

题目+答案

（6）已知定义在R上的函数f(x) m

（A）0 （B）

1

为奇函数，则m的值是 2x 1

11

（C） （D）2 22

2

（7）若 b (0,1)，则方程x x b 0有实根的概率为

（A）

1113

（B） （C） （D） 2344

（8

（A）27 （B）31 （C）15 （D）63

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高三数学（文科） 2010.1

第Ⅱ卷（共110分）

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。

（9）已知向量a，b满足|a|=1，|b|=4，a与b的夹角为120，则a b的值为_______. （10）一个几何体的三视图如图所示，其中俯视图为正三角形，则该几何体的表面积为

___________.

（11）在VABC中，AB 3,BC AC 4，则 A ___________，

俯视图

主（正）视图

侧（左）视图

SVABC ___________.

（12）某班甲、乙两名同学进入高中以来5次数学考试成绩

的茎叶图如图，甲、乙两人5次考试成绩的平均数与

中位数之差较大者是___________.

x y 5 0,

（13）若实数x,y满足 x 2y 1 0,则z 2x y的最小值为___________，最大值

y 1 0,

为___________.

（14）若一系列函数的解析式相同，值域相同，但定义域不同，则称这些函数为“孪生函数”.

已知函数解析式为f(x) 2x2 1，值域为 5,19 的“孪生函数”共有_______个.

题目+答案

题目+答案

三、解答题：本大题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。 （15）（本小题共12分）

已知函数f(x) 2cos2x 2sinxcosx 1． （Ⅰ）求函数f(x)的最小正周期； （Ⅱ）求函数f(x)在[0,

（16）（本小题共14分）

在三棱锥P ABC中， PAC和 PBCAB 2，O,D分别是AB,PB的中点． （Ⅰ）求证：OD∥平面PAC； （Ⅱ）求证：平面PAB⊥平面ABC； （Ⅲ）求三棱锥P ABC的体积．

（17）（本小题共13分）

某中学高中学生有900名，学校要从中选出9名同学作为国庆60周年庆祝活动的志愿者.已知高一有400名学生，高二有300名学生，高三有200名学生.为了保证每名同学都有参与的资格，学校采用分层抽样的方法抽取. （Ⅰ）求高一、高二、高三分别抽取学生的人数；

（Ⅱ）若再从这9名同学中随机的抽取2人作为活动负责人，求抽到的这2名同学都是高一

学生的概率；

（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，求抽到的这2名同学不是同一年级的概率.

（18）(本小题共14分）

已知函数f(x) x 6ax.

（Ⅰ）当a 1时，求曲线y f(x)在点(1,f(1))处的切线方程； （Ⅱ）讨论函数y f(x)的单调性.[来源:学科网]

（19）（本小题共14分）

3

2

2

上的最大值与最小值．

P

D

A

C

O

B

题目+答案

已知椭圆的中心在坐标原点O，长轴长为离心率e 椭圆于P，Q两点． （Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）当直线l的斜率为1时，求 POQ的面积；

，过右焦点F的直线l交（Ⅲ）若以OP,OQ为邻边的平行四边形是矩形，求满足该条件的直线l的方程.

（20）(本小题共13分)

已知数列{an}是首项为a1

11

，公比q 的等比数列. 设bn 2 3log1an 444

(n N*)，数列{cn}满足cn an bn.

（Ⅰ）求证：数列{bn}成等差数列； （Ⅱ）求数列{cn}的前n项和Sn； （Ⅲ）若cn

12

m m 1对一切正整数n恒成立，求实数m的取值范围.[来源:学科网] 4

（考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效）

题目+答案

崇文区2009－2010学年度第一学期期末统一练习

高三数学 （文科）参考答案及评分标准 2010.1

一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）

（9） 2 （10）24 （11）

，3

（12）乙 （13）3,9 （14）9 三、解答题（本大题共6小题，共80分） （15）（共12分）

解：（Ⅰ）f(x) sin2x cos2x

x ).

4

2

. --------------------6分 2

∴最小正周期T （Ⅱ）∵0 x

∴

2

4

2x

4

5

4

，即x

∴ 当2x 当2x

（16）（共14分）

4

2

8

时，函数f(x)

45

，即x 时，函数f(x)取得最小值 1. ----------12分 42

（Ⅰ） O,D分别为AB,PB的中点，

OD∥PA

又PA 平面PAC，OD 平面PAC

OD∥平面PAC. ----------5分

（Ⅱ）连结OC，OP

AC CBO为AB中点，AB 2,

OC⊥AB，OC 1.

同理, PO⊥AB，PO 1.

题目+答案

又PC PC2 OC2 PO2 2, POC 90 .

PO⊥OC.

PO⊥OC,PO⊥AB,AB OC O,

PO⊥平面ABC.

PO 平面PAB

平面PAB⊥平面ABC. ----------10分

（Ⅲ）由（Ⅱ）可知OP垂直平面ABC

OP为三棱锥P ABC的高，且OP 1

VP ABC

（17）（共13分）

1111

S ABC OP 2 1 1 . ----------14分 3323

解：（Ⅰ）样本容量与总容量的比为9:900 1:100

则高一、高二、高三应分别抽取的学生为

400

111 4（人） 3（人） 2（人）.------ 4分 ，300 ，200 100100100

4 31

. ------ 8分 9 86

4 3 4 2 3 213

. ------ 13分

3618

（Ⅱ）设“抽到的这2名同学是高一的学生为事件A”

则P(A)

（Ⅲ）设“抽到的这2名同学不是同一年级为事件B”

则P(B)

（18）（共14分）

2

解：f (x) 3x 12ax

（Ⅰ）当a 1时，y f(x)在点(1,f(1))处的切线斜率是k 15，而f(1) 7

曲线y f(x)在点（1，f(1)）处的切线方程为：

y 7 15(x 1)，5x y 8 0. ----- 6分 即1

（Ⅱ）令f(x) 3x 12ax 3x(x 4a) 0 x1 0,x2 4a

2

（1）当4a 0，即a 0时f (x) 3x 0

'

2

f(x)在R上为增函数.

题目+答案

（2）当4a 0，即a 0时，在区间( ,4a),(0, )内f (x) 0，

在区间(4a,0)内f (x) 0.

f(x)在( ,4a),(0, )内为增函数，在(4a,0)内为减函数.

（3）当4a 0，即a 0时，在区间( ,0),(4a, )内f (x) 0，[来源:学科网ZXXK][来源:学§科§网Z§X§X§K]

在区间(0,4a)内f (x) 0.

f(x)在( ,0),(4a, )内为增函数，在(0,4a)内为减函数.--------1 4分

（19）（共14分）

x2y2解：（Ⅰ）由已知，椭圆方程可设为2 2 1 a b 0 ． ----------------1分

ab

∵长轴长为离心率e ∴b c 1,a

， x2

y2 1． ---------------- 4分所求椭圆方程为2

[来源:学科网]

（Ⅱ）因为直线l过椭圆右焦点F 1,0 ，且斜率为1，所以直线l的方程为y x 1．

设P x1,y1 ,Q x2,y2 ，

x2 2y2 2,12由 得 3y 2y 1 y1 1,y2 ． ，解得0

3 y x 1,

∴ S POQ

112

OF y1 y2 y1 y2 ． ---------------9分 223

（Ⅲ）当直线l与x轴垂直时，直线l的方程为x 1，此时 POQ小于90，OP,OQ

为邻边的平行四边形不可能是矩形．

当直线l与x轴不垂直时，设直线l的方程为y k x 1 ．

22

x 2y 2,2222由 可得 1 2k x 4kx 2k 2 0．

y k x 1 ,

4k22k2 2

,x1x2 ∴x1 x2 ． 22

1 2k1 2k

题目+答案

y1 k(x1 1)，y2 k(x2 1)

k2

y1y2

1 2k2

uuuruuur

因为以OP,OQ为邻边的平行四边形是矩形 OP OQ 0.

uuuruuur2k2 2 k2

0得k2 2， 由OP OQ x1x2 y1y2 22

1 2k1 2k

k 所求直线的方程为y x 1)． ----------------1 4分

[来源:学科网ZXXK]

（20）（共13分）

解：（Ⅰ）由已知可得，an a1q

n 1

11

()n，bn 2 3log1()n 3n 444

bn 3n 2

bn 1 bn 3,

{bn}为等差数列，其中b1 1,d 3. ---------------- 4分

（Ⅱ）cn anbn (3n 2)()

1

4

n

Sn 1

1111

4 ()2 7 ()3 (3n 2) ()n 4444

①

111111

Sn 1 ()2 4 ()3 7 ()4 (3n 5) ()n (3n 2) ()n 1 ② 444444

① - ② 得

3111111Sn 3[()2 ()3 ()4 ()n] (3n 2) ()n 1 4444444

11

()2[1 ()n 1]11 3 (3n 2)()n 1

1441 4

11 (3n 2) ()n 1 24

212n 81n 1

() . ----------------8分 334

Sn

题目+答案

（Ⅲ）cn (3n 2) ()

14

n

11

cn 1 cn (3n 1) ()n 1 (3n 2) ()n[来源:学科网ZXXK]

44

()[

1

4

n

3n 11

(3n 2)] 9 ()n 1(n 1) 44

当n 1时，cn 1 cn，当n 2时，cn 1 cn

(cn)max c1 c2

若cn

1. 4

1211

m m 1对一切正整数n恒成立，则m2 m 1 即可 444

3分 m2 4m 5 0，即m 5或m 1. ----------------1

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/9ox1.html