声学基础答案

习题1

1-1 有一动圈传声器的振膜可当作质点振动系统来对待,其固有频率为

f，质量为m，求它的弹性系数。

解：由公式

fo?12?KmMm得：Km?(2?f)2m

1-2 设有一质量Mm用长为l的细绳铅直悬挂着，绳子一端固定构成一单摆，如图所示，假设绳子的质量和弹性均可忽略。试问： （1） （2）

当这一质点被拉离平衡位置?时，它所受到的恢复平衡的力由何产生？并应怎样表示？ 当外力去掉后，质点Mm在此力作用下在平衡位置附近产生振动，它的振动频率应如何表示？

（答：

f0?12?gl，g为重力加速度）

图 习题1－2

解：（1）如右图所示，对Mm作受力分析：它受重力Mmg，方向竖直向下；受沿绳方向的拉力T，这两力的合力F就是小球摆动时

的恢复力，方向沿小球摆动轨迹的切线方向。 设绳子摆动后与竖直方向夹角为?，则sin?受力分析可得：F?

?l

?Mmgsin??Mmg?l（2）外力去掉后(上述拉力去掉后)，小球在F作用下在平衡位置附近产生摆动，加速度的方向与位移的方向相反。由牛顿定律可知：

d2?F??Mm2

dtd2??d2?g?Mmg 即 2???0, 则 ?Mm2dtldtl ? ?02?g1 即 f0?l2πg, 这就是小球产生的振动频率。 l1-3 有一长为l的细绳，以张力T固定在两端，设在位置x0处，挂着一质量Mm，如图所示，试问： (1) 当质量被垂直拉离平衡位置?时，它所受到的恢复平表示？

衡的力由何产生？并应怎样

图 习题1-3

(2) 当外力去掉后，质量Mm在此恢复力作用下产生振动，它的振动频率应如何表示？ (3) 当质量置于哪一位置时，振动频率最低？ 解：首先对Mm进行受力分析，见右图，

Fx?Tl?x0(l?x0)??222?Tx0x??202?0

（????x0 ，?x02??2?x0,(l?x0)2??2?(l?x0)2 。）

Fy?T?(l?x0)??22?T?x??202

?T?l?x0?T?x0

?Tl?

x0(l?x0)可见质量Mm受力可等效为一个质点振动系统，质量M?Mm，弹性系数k?Tl?x0(l?x0)Tl。

x0(l?x0)（1）恢复平衡的力由两根绳子拉力的合力产生，大小为F?，方向为竖直向下。

（2）振动频率为??K?M?Tlx0(l?x0)Mm。

（3）对?分析可得，当x0l时，系统的振动频率最低。 21-4 设有一长为l的细绳，它以张力T固定在两端，如图所示。设在绳的x0位置处悬有一质量为M的重物。求该系统的固有频率。提示：当悬有M时，绳子向下产生静位移?0以保持力的平衡，并假定M离平衡位置?0的振动?位移很小，满足????0条件。

图 习题1－4

2Tcos??Mg???4??0?0?Mg 解：如右图所示，受力分析可得 cos????l1?l?2?又????0，T'?T，可得振动方程为

?2T?0??l2d2??M2dt

即

d2?4T4TM2?????0

dtll? f?12?4Tl1?M2?Mg1??0M2?g?0 1-5 有一质点振动系统，已知其初位移为?0，初速度为零，试求其振动位移、速度和能量。 解：设振动位移?速度表达式为v由于???acos(?0t??)，

???0?asin(?0t??)。

t?0??0，vt?0?0，

代入上面两式计算可得：???0cos?0t ；

v???0?0sin?0t。

振动能量E?11222Mmva?Mm?0?a。 221-6 有一质点振动系统，已知其初位移为?0，初速度为v0，试求其振动位移、速度、和能量。

解：如右图所示为一质点振动系统，弹簧的弹性系数为Km，质量为Mm，取正方向沿x轴，位移为?。

则质点自由振动方程为

d2?Km22????0, （其中??,） 002dtMm 解得

???acos(?0t??0),

v?d????0?asin(?0t??0??)??0?acos(?0t??0?) dt2当?t?0??0，vt?0?v0时，

1?22????0?va0??0??acos?0??0?? ????v???cos(??)00a0????arctanv0?20??0?0?v020

质点振动位移为??1?0222?0?0?v0cos(?0t?arctan?0?0)

质点振动速度为v222??0?0?v0cos(?0t?arctan?)

?0?02v0?质点振动的能量为E?112222Mmva?Mm(?0?0?v0) 221?sin?t?sin2?t，试问：

21-7 假定一质点振动系统的位移是由下列两个不同频率、不同振幅振动的叠加?(1) 在什么时候位移最大？ (2) 在什么时候速度最大？ 解：??1?sin?t?sin2?t，

2?d???cos?t??cos2?t dtd2????2sin?t?2?2sin2?t。 2dtd???0，得：?t?2k??或?t?2k???dt32k???3经检验后得：t?时，位移最大。

令

，

?d2??0，得： ?t?k?令

dt2经检验后得：t或?t1?2k??arccos(?)，

4?2k??时，速度最大。

1-8 假设一质点振动系统的位移由下式表示

???1cos(?t??1)??2cos(?t??2)

试证明

???acos(?t??)

?1sin?1??2sin?2

?1cos?1??2cos?2其中?a??12??22?2?1?2cos(?2??1)，??arctan证明：? 设

??1cos(?t??1)??2cos(?t??2)

??1cos?tcos?1??1sin?tsin?1??2cos?tcos?2??2sin?tsin?2 ?cos?t(?1cos?1??2cos?2)?sin?t(?1sin?1??2sin?2)

A??1cos?1??2cos?2 ，B??(?1sin?1??2sin?2)

则 又

??Acos?t?Bsin?t=A2?B2cos(?t??) （其中??arctan(?)） A2?B2??12cos2?1??22cos2?2?2?1?2cos?1cos?2

??12sin2?1??22sin2?2?2?1?2sin?1sin?2

BA

??12??22?2?1?2(cos?1cos?2?sin?1sin?2)

??12??22?2?1?2cos(?2??1)

B?sin?1??2sin?2?)arctan1( )A?1cos?1??2cos?2又

??arcta?n( 令

?a?A2?B2??12??22?2?1?2cos(?2??1) 则

???acos?(t??)

1-9 假设一质点振动系统的位移由下式表示

???1cosw1t??2cosw2t (w2?w1)

试证明

?sin(?wt)22???acosw(1t??)，其中?a??1??2?2?1?2cos(?wt),??arctan2,?w?w1?w2.

?1??2cos(?wt)解：因为位移是矢量，故可以用矢量图来表示。 由余弦定理知，

?a??12??22?2?1?2cos(w2t?w1t)

??1??2?2?1?2cos(?wt)其中，?w?22

w2?w1。

由三角形面积知，

11?1?2sin?wt??1?asin? 22得

sin???2sin?wt?a22

得

tg???2sin?wt?a??2sin?wt?2sin?wt(?1??2cos?wt)22

?

??2sin?wt

?1??2cos?wt?2sin?wt 即可证。

?1??2cos?wt故

??1-10 有一质点振动系统，其固有频率f0为已知，而质量Mm与弹性系数Km待求，现设法在此质量Mm上附加一已知质量m，并测得由此而引起的弹簧伸长ξ1，于是系统的质量和弹性系数都可求得，试证明之.

证 由胡克定理得 mg＝Kmξ1

? Km＝mg/ξ1 f0?12?KmMm得，Mm由质点振动系统固有频率的表达式

?Km4?f022?mg4?f0?122.

纵上所述，系统的质量Mm和弹性系数Km都可求解.

1-11 有一质点振动系统，其固有频率f0为已知，而质量Mm与弹性系数待求，现设法在此质量Mm上附加一质量m，并测得由此而引起的系统固有频率变为f0’,于是系统的质量和弹性系数都可求得，试证明之。

解：由

f0?12?KmMm 得

Km?(2?f0)2Mm

由

f0??12?Km2 得 Km?(2?f0?)(Mm?m,)

Mm?m?2mf0?联立两式，求得Mmf024?2mf0f0?，Km?222??f0f0?f0?22

1-12 设有如图1-2-3和图1-2-4所示的弹簧串接和并接两种系统，试分别写出它们的动力学方程，并求出它们的等效弹性系数。

图 1-2-3 图 1-2-4

K1mK2mK1mK2md2?解： 串接时，动力学方程为Mm，等效弹性系数为K????0K1m?K2mK1m?K2mdt2d2??(K1m?K2m)??0，等效弹性系数为K?K1m?K2m。 并接时，动力学方程为Mm2dt。

1-13 有一宇航员欲在月球表面用一弹簧秤称月球上一岩石样品。此秤已在地球上经过校验，弹簧压缩0～100mm可称0～1kg。宇航员取得一块岩石，利用此秤从刻度上读得为0.4kg，然后，使它振动一下，测得其振动周期为1s，试问月球表面的重力加速度是多少？而该岩石的实际质量是多少？

解：设该岩石的实际质量为M，地球表面的重力加速度为g由虎克定律知

?9.8ms2，月球表面的重力加速度为g?

FM??Kx,又 FM??Mg 则 K?Mg1?g??10g x0.1T?又

2??0?2?10g10?9.8M?2.5kg ?1 则M?2?24?4?Kx1? 则 x??0.04m x?0.4Kx??4?2?0.04?1.58ms2Mg??Kx?则g??M

故月球表面的重力加速度约为1.58m1-14 试求证

s2，而该岩石的实际质量约为2.5kg。

acos?t?acos(?t??)?acos(?t?2?)???acos(?t?(n?1)?)

sinn?a?2cos??t?(n?1)??

???2??sin2证

aej?t?aej(?t??)?aej(?t?2?)???aej(?t?(n?1)?)

?aej?t(1?ej??) ?aej?t1?ejn?j?t1?cosn??jsinn??ae1?cos??jsin?1?ej?2sin2

?aej?t?aej?tn?n?n?n??jsinn?sinsin?jcos22?22

?aej?t????2sin2?jsin?sinsin?jcos2222n??j(??n?)n?n?sinsinsinn?1n?122j?j(?t??)j?t2?e222 ?ae?e2?a?esin?2e?1?j(??)22sin?2sin?2同时取上式的实部，结论即可得证。

1-15 有一弹簧Km在它上面加一重物Mm，构成一振动系统，其固有频率为

f0，

(1) 假设要求固有频率比原来降低一半，试问应该添加几只相同的弹簧，并怎样联接？ (2) 假设重物要加重一倍，而要求固有频率

f0不变，试问应该添加几只相同的弹簧，并怎样联接？

解：固有频率

fo?f0212?KmMm。

（1）

f0?

?

Km?Km4，故应该另外串接三根相同的弹簧；

M??Mm?m（2）?2??f0?f0

? Km?2Km，故应该另外并接一根相同的弹簧。

1-16 有一直径为d的纸盆扬声器，低频时其纸盆一音圈系统可作质点系统来对待。现已知其总质量为Mm，弹性系数为Km。试

求该扬声器的固有频率。 解：该扬声器的固有频率为

f0?1Km2πMm。

1-17 原先有一个0.5㎏的质量悬挂在无质量的弹簧上，弹簧处于静态平衡中，后来又将一个0.2㎏的质量附加在其上面，这时弹簧比原来伸长了0.04m，当此附加质量突然拿掉后，已知这0.5㎏质量的振幅在1s内减少到初始值的1/e倍，试计算：

（1）这一系统的力学参数Km，Rm，f0’；

（2）当0.2㎏的附加质量突然拿掉时，系统所具有的能量； （3）在经过1s后，系统具有的平均能量。 解：（1）由胡克定理知，Km＝mg/ε

所以 Km＝0.2×9.8/0.04=49N/m

e???1/e???1

故

??Rm?Rm?1N?s/m

2Mm'w0?w0??2?f0?（2）系统所具有的能量E（3）平均能量E'12?49?1?1.57Hz 0.5

?11Km?2??49?0.042?0.0392J22

?12Km?0e?2?t?5.31?10?3J21-18 试求当力学品质因素Qm?0.5时，质点衰减振动方程的解。假设初始时刻??0，v?v0，试讨论解的结果。

d2?d?Mm2?Rm?Km??0

dtdt，

解：系统的振动方程为：

Rm进一步可转化为，设??2Mm设：

d2?d??2???2??0 2dtdt??ei?t

2(??2?2j????0)ej?t?0

于是方程可化为： 解得：?2?j(???2??0)

2?(???2??0)t? ??e方程一般解可写成：

??t

2??2??0t??e(Aet?02?2??0t?Be)

?存在初始条件： ?代入方程计算得：

?0，vt?0?v0

v02???220A??，B?v02???220

?解的结果为： ??e??t(Ae2?2??0t?Be2??2??0t) 其中A??v02???220，B?v02???220。

1-19 有一质点振动系统，其固有频率为

f1，如果已知外力的频率为f2，试求这时系统的弹性抗与质量抗之比。

KM解：质点振动系统在外力作用下作强迫振动时弹性抗为 已知

?，质量抗为?MM

f0?50Hz，f?300Hz

则

24?2f02(50)2KM?01()(?MM)＝2? ?2?22????MM?4?f(300)236KM11-20 有一质量为0.4kg的重物悬挂在质量为0.3kg，弹性系数为150N/m的弹簧上，试问：

(1) (2) (3) (4)

这系统的固有频率为多少？

如果系统中引入5kg/s的力阻，则系统的固有频率变为多少？ 当外力频率为多少时，该系统质点位移振幅为最大？ 相应的速度与加速度共振频率为多少？

解：(1) 考虑弹簧的质量，

f0?12?Km1?Mm?Ms/32?150?2.76Hz.

0.4?0.3/3(2) 考虑弹簧本身质量的系统仍可作为质点振动系统，但此时系统的等效质量Mm'为Mm+Ms / 3.

??Rm2Mm'?5?5，f'?1?2??2?1002?0.52?2??'?0Mm150?52?2.64Hz.

0.4?0.3/3(3) 品质因素QmRm?16.58?0.5?1.66，

512Qm2位移共振频率：

fr?f0'1??2.39Hz.

(4) 速度共振频率：

fr?f0'?2.64Hz，

12Qm2加速度共振频率：

fr?Qmf0'1??2.92Hz.

1-21 有一质点振动系统被外力所策动，试证明当系统发生速度共振时，系统每周期的损耗能量与总的振动能量之比等于

2?Qm。

解：系统每个周期损耗的能量

E?WFT?12RmvaT 2，

?

12RmvaTRE2??mE1fMm2Mmva2发生速度共振时，

f?f0。

RmE2?2????Ef0Mm?0MmQmRm。

?

1-22 试证明：（1）质点作强迫振动时，产生最大的平均损耗功率的频率就等于系统的无阻尼固有频率

（2）假定f1与f2为在f0f0；

两侧，其平均损耗功率比

f0下降一半时所对应的两个频率，则有Qm??f0f2?f1.

证明：（1）平均损耗功率为 WR1T12Wdt??Rv （Rm为力阻，va为速度振幅） RmaT?02质点强迫振动时的速度振幅为 va?FaQmz?0Mmz?(z?1)Q2222m,(Fa为外力振幅，?0为固有频率，Mm为质量，Qm为

力学品质因素，频率比z??f??0f0）

当z=1即（2）

f?f0时，发生速度共振，va取最大值，产生最大的平均损耗功率。

12WR??Rmva

22Fa2Qm112??Rmvamax＝?Rm2222?0Mm WRmax

22Fa2QmFa2Qm111122 WR=WRmax 则 ?Rmva＝?(?Rm2) 即2va＝2222222?0Mm?0Mm（1）

把va?FaQmz2?0Mmz2?(z2?1)2Qm2222，则z?(z?1)Qm（2） ,带入式（1）

由式（2）得?z?(z2?1)Qm解得z?2?1?1?4Qm2Qm21?1?4Qm取z1?2?1?1?4Qm2Qm21?1?4Qm

z?(z?1)Qm解得z?22Qm

取z2?2Qm

则 z2?z1?1Qm即

f2f1f2?f11???f0f0f0Qm

? Qm?f0f2?f11-23 有一质量为0.4㎏的重物悬挂在质量可以忽略，弹性系数为160N/m的弹簧上，设系统的力阻为2N·s/m，作用在重物上的外力为FF?5cos8tN。

（1）试求这一系统的位移振幅、速度与加速度振幅以及平均损耗功率；

（2）假设系统发生速度共振，试问这时外力频率等于多少？如果外力振幅仍为5N，那么这时系统的位移振幅、速度与加速度振幅、平均损耗功率将为多少？

d2?d??R?Km??FF，得 解：（1）由强迫振动方程Mmmdtdt2d2?d?0.42?2?160??5cos8t

dtdt则位移振幅?a?Fa(Km?wMm)?wRm2222?0.0369m

速度振幅va?w?a?0.296m/s

加速度振幅aa?w2?a?2.364m/s2

解：外力表达式为FF?Fa(1?hsin?1t)sin?t

Facos(?t? ??2?)?1Fah[cos(?1??)t?cos(?1??)t] 2用指数形式表示外力为FF?Faej(?t?)2?11Fahej(???1)t?Fahej(???1)t 22振子进行强迫振动，由式（1-5-14）得，振子系统的位移为

1hFaFa??2??cos(?t???1)?cos[(???1)t?0??3?]?Z12(???1)Z321hFa?2?cos[(???1)t?0??2?]

(???1)Z22

Km(???)M??Mm?1m???1?其中：?1?arctan；?2?arctanRmRmKm2Z1?Rm?(?Mm?Km(???1)Mm????1；?3?arctanRm；

；

Km?)2；

2Z2?Rm?[(???1)Mm?Km2]???12Z3?Rm?[(???1)Mm?Km2]???1。

1-36 设有一呈锯齿形式的外力作用于单振子的质量上，此力可表示为FF试求振动系统的位移。

?Fa(1?2t) （kT?t?(1?k)T,k?0,1,2,?） T解：质点的振动方程为

d2?d?2tMm2?Rm?Km??FF(t)?Fa(1?) （1）

dtdtT? 又

FF(t)?A0??Ancosn?t?Bnsinn?t,（??n?12πT） （2）

其中

A0?1T?T0F)d?t0 An?F(t?2TFF(t)cons?ttd??0T 0Bn?2Fa2TF(t)sin?ttd?FT?0n?

式（2）也可表示为

FF(t)??Fncos(n?t??n) （3）

n?0其中

22Fn?An?Bn?2Fan?，

?n?arctanan??2F

把式（3）表示成为复数形式

FF(t)??Fnej(n?t??n)

n?0则式（1）可写成

?d2?d?Mm2?Rm?Km???Fnej(n?t??ndtdtn?0) （4）

设

????n，代入式（4）可得 ????n??n?0???n?0n?0Fnej(n?t??njn?Zn)

其中

Zn?Rn?jXn?Rm?j(n?Mm?Km) n? 取?的实部得

????Fnπcos(n?t??n??n?)

2n?0n?Zn? ＝

2Faπcos(n?t?????) ?nn2?n?Z2n?0nKm2)n? 式中

2Zn?Rm?(n?Mm?

?n?arctanXn?arctanRmn?Mm?RmKmn?

1-37 设有如下形式的外力

??Fa,??FF???Fa,????1??kT?t??k??T2??1(k?)T?t?(k?1)T2(k?0,1,2,?)

作用于单振子的质量上，试求振动系统位移.

解：将周期作用力展开成傅立叶级数，可得

FF(t)??Fncos(n?t??n)

n?0?其中Fn?An?Bn22Bn，?n?arctanAn.

1A0?T?T02TFF(t)dt?0，An??FF(t)cosnwtdt?0，

T0Bn?2T?0T?4Fa2Fa?FF(t)sinnwtdt?[1?(?1)n]??n?n???0n为奇数n为偶数.

由此Fn?Bn，?n?4?2(n为奇数)，即

F1??Fa,F3?444Fa,F5?Fa,?,Fn?Fa； 3?5?n??1??2,?3??2a,?5??2?,?,?n??2(n为奇数).

由(1-5-14)得质点振动系统得位移???Fn?cos(nwt??n??n?)

2n?0n?Zn?4Fa4Fa4Fcos(wt??1??)?cos(3wt??3??)??2acos(nwt??n??)(n为奇数)

??Z19??Z3n??Zn习题2

2-1 有一质量为m，长为l的细弦以F的张力张紧，试问： (1) 当弦作自由振动时其基频为多少？

(2) 设弦中点位置基频的位移振幅是B，求基频振动的总能量。 (3) 距细弦一端l4处的速度振幅为多少？

解：（1）简正频率

fn?nT2l?，且线密度??m l?基频f1?1T1T。 ?2l?2ml。

216T?016TB2?（2）基频振动的总能量E1?l?2l?2（3）弦的位移的总和形式?(t,x)??Bnsinknxcos(?nt??n)

n?1???(t,x)???(?Bn?nsinknx)sin(?nt??n) 速度表达式为v(t,x)??tn?1?距一端0.25m处的速度振幅Vax?l4??Bn?2??n?1?nTn?lsin(?)

2l?l4

??n?Bnn?1??Tn?sinml4

Vax?3l4??Bn?2??n?1nTn?3lsin(?)

2l?l4

??n?Bnn?1?T3n?sinml42-2 长为l的弦两端固定，在距一端为x0处拉开弦以产生?0的静位移，然后释放。 （1）求解弦的振动位移； （2）以x0?l3为例，比较前三个振动方式的能量。

解：弦的振动位移形式为：?(t,x)??sinkn?1?nx(Cncos?nt?Dnsin?nt)

其中kn?n?l，?n?n?c，Cn?Bncos?n，Dn?Bnsin?n l??0x??x（1）由初始条件可得：?(t?0)??0??0(l?x)??l?x0(0?x?x0)

(x0?x?l)v(t?0)?(??)t?0?0?t(0?x?l)

2l?C??(x)sinknxdx??nl?00又?

2lv0(x)sinknxdx?Dn??0?l?n?l??02?0l22?x0?0n?xsinknxdx??(l?x)sinknxdx??22sinx0 则Cn???0x0l?x0l?x0l?n?x0(l?x0)

Dn?0

?0则sin?n

?n?n?

Bn?Cn

??2?0l22?n?2?xn?c?(t,x)??Cnsinxcos(?nt??n)??22sinx0sincost

lllln?1n?1n?x0(l?x0)n2?2c2?2n2?2T2Bn?Bn （2）En?4l4l1当x0?l时，Bn?Cn?32?0l29?n?ln?sin??202sinlll3n?3n2?2(l?)33

2243T?0E2?64?2l

2T?0?2T9?0?2243(2sin)?则E1?4l?316?2l

E3?0

2-3 长为l的弦两端固定，在初始时刻以速度v0敲击弦的中点，试求解弦的振动位移。

解：弦的振动位移表达式为?(t,x)??sinknx(Cncos?nt?Dnsin?nt)

n?1???(t,x)???sinknx(??nCnsin?nt??nDncos?nt) ?可得速度表达式为v(t,x)??tn?1由题可得初始条件：?t?0?0；

???tt?0l?2v0x,0?x??l2 ??l2v?2v0?0x,?x?l2l?通过傅立叶变换可得：Cn?0；Dn??4v0kl(?sinkl?2sin)。 332kl?n?位移表达式为?(t,x)??Dnsinknxsin?nt 其中Dn?n?14v0kl(?sinkl?2sin)。 32kl3?n2-4 长为l的弦两端固定，在初始时刻以速度v0敲击弦的中心，试证明外力传给弦的初动能等于弦作自由振动时所有振动方式振动能的总和。

??(t?0)?0??lx?解：初始条件?2???v0??t?t?0?弦的总位移为?(t,x)?

?n?1?sinknx(Cncos?nt?Dnsin?nt),

其中Cn又Dn（?n??Bncos?n,Dn?Bnsin?n，

?nπc,kn?nlc）

?2l?n?l0v0(x)sinknxdx＝

2l?n?l0v0sinknxdx＝

2v0l(1?cosn?) 22n?cCn?0

当n为偶数时，D2当n为奇数时，D1故Bn?D4?D6???0

?4v0l?2c，D3?14v0l9?2c，D5?14v0l25?2c，?

?Dn，?n?0

??24Tv0l11T222??) 又弦振动时的总能量为E??En??(nπBn)＝22(1???c925n?1n?14l222Tv0lTv0l?4Tv0l?2)＝2＝＝22(2T2c?c8＝

12v0(l?) 212Tmv0＝Ek0 （c2?2?12外力传给弦的初始动能为Ek＝mv0

02 ＝

）

2-5 设有一根弦，一端固定而另一端延伸到无限远(即认为没有反射波回来)，假设在离固定端距离l处，施加一垂直于弦的力

F?Faej?t，试求在x?l力作用点的左、右两方弦上的位移表达式。

提示：在弦的力作用点处，应有连接条件：?1??2和T??1???T2?F。 ?x?x2-6 有长为l，线密度为?的弦。其一端经一无摩擦的滑轮悬挂一重物M，已知弦所受的张力T，如图所示。试求 （1） 该弦作自由振动时的频率方程；

（2） 假设此重物M比弦的总质量大很多时，求该弦的基频近似值。

图 2－6

解：（1）由题意可知其初始条件和边界条件为

??x?0?0?????2???Tx?l?M?x?t2?

x?l

uux?Bsinx)cos(ut??)（其中u??n?2πfn） ccu 当?x?0?0时，得A?0则?(t,x)?Bsinxcos(ut??)

c??u??Businxsin(ut??) ?tc弦的振动位移为?(t,x)?(Acos

u?2?2??Businxcos(ut??) 2c?t??uu?Bcosxcos(ut??) ?xccuuu2带入边界条件可得： ?TBcoslcos(ut??)??MBusinlcos(ut??)

cccuT 即 tanl?

cMcuuuTuTl?lMSl??? ltanl? 2ccMcucMMMc （其中c?T?, 弦的质量为Ms，线密度为?）

令rMu?l，??ScM，则rtanr??，这就是弦作自由振动时的频率方程。

??3??42 （2）当Mm<

rtanr?? 可简化为 ??2?4?????.求解这一代数方程，可得近似关系为 ?2???1??. 33??<<1

?

1?1?x?x2?x3?? (x2?1) 且?1?x1? ? ?1?

?31?3 则

r2???11??3?MS?M11?Ms?MM1?sM?s3M3

又r2?fnuT?l?l，c?,Ms??l cc?则

f0?1c?Ms?2?l1MM?s31＝

12?T?Ms??l21MM?s3

＝

12?T?Ms?lMsMM?s3＝

12?KmMM?s3 （其中Km?Tl）

2-7 长为l的棒一端固定一端自由，如果在初始时刻有沿棒的轴向力作用于自由端，使该端产生静位移ξ0，然后释放. 试求棒作纵振

动时各次振动方式的位移振幅.

解：由(2-2-7)式得棒的纵振动一般表达式为

?(t,x)?(Acoskx?Bsinkx)cos?(t??).

(1)(2)

由棒一端固定一端自由的边界条件得

??|x?0?0?????0??x?x?l由(1)式?Acos(wt??)?0?A＝0.

1??coskl?0?kn?(n?)2l(n?1,2,3,?).

由(2)式?kBcosklcos(wt??)?0由此各阶简正频率对应的位移表达式为

?n(t,x)?Bnsinknxcos?(nt??n).

棒的总位移为各简正频率位移之和，即?(t,x)??Bn?1?nsinknxcos(?nt??n).

棒的初始条件为

?0??|?x?t?0?l??????0??t?t?0.

(3)

(4)由(4)?sin?n?0??n?n?由(3)?Bncos(??n)?2l?0(x)sinknxdx ?0l2?02l??Bn?(?1)n??x?0sinknxdx???l0l(n??)22.

2-8 有一长1m、截面为1×10-4m2的铝棒( ρ=2.7×103kg/m3)，两端自由.

(1) (2)

试求棒作纵振动时的基频，并指出在棒的哪一个位置位移振幅最小？

如果在一端负载着0.054kg的重物，试问棒的基频变为多少？位移振幅最小的位置变到何处？

解：由(2-2-7)式得棒的纵振动一般表达式为

?(t,x)?(Acoskx?Bsinkx)cos(?t??).

(1)

由棒两端自由的边界条件得

?????x????????x?0x?0?0x?l(2)由(1)式?Bkcos(wt??)?0?B＝0.

?sinkl?0?kn?n?l(n?1,2,3,?)

由(2)式?kAsinklcos(wt??)?0?fn??nkncnc??2?2?2l.

(1) 棒作纵振动的基频为

c16.85?1010f1???2520Hz. 32l2?12.7?10该简正频率下的位移表达式为：?1(t,x)?当cosk1x?0，即xA1cosk1xcos(?1t??1).

1l?(n?)l时，位移振幅最小且为零，由于x的取值范围为[0, l]，得知x??0.5m的点位移振幅最小.

22Mtankl??m??0.2，即tank??0.2k，利用数值方法可以求得k1=2.65. (2) 当在一端负载时，由(2-2-25)得

klm该简正频率下的位移表达式为：?1(t,x)?A1cosk1xcos(?1t??1).

1(n?)?2当cosk1x?0，即x?2.65时，位移振幅最小且为零，由于x的取值范围为[0, l]，得知x1=0.59m的点位移振幅最小.

2-9 有一长为l的棒一端固定一端有一质量负载Mm。 （1）试求棒作纵振动时的频率方程；

（2）如果棒的参数与2-8相同，试求其基频，并指出在棒的哪一位置位移振幅最大？ 解：（1）棒的位移方程为 ?(t,x)?(Acoskx?Bsinkx)cos(wt??)

?(x?0)?0?A?0???ctgkl2Mm??由边界条件得：??????ES()x?l??Mm(2)x?l??m?kl?x?t?故频率方程为：ctgkl?

Mmkl mMm?0.2)?ctgk?0.2k m（2）将2-8参数代入得

ctgkl?0.2kl,(由牛顿迭代法知： k1 =1.3138

则

f1?k1c?1.05?103（Hz） 2?基频振幅为：?1?Bsink1x,(0?x?1)

当x=1时，sink1x达到最大，即振幅最大。

2-10 试分别画出两端自由和两端固定的棒，作n=1,2模式的自由纵振动时，它们的位移振幅随位置x的分布图。 解：两端自由的棒：

两端固定的棒:

2-11 设有一长为l，两端自由的棒作纵振动。假设其初始时刻的位移分布为?0移表示式。

解：棒做纵振动时，其方程的解为：

?x??cos?lx，初速度v0?x??0。求该棒振动位

??(Acoskx?Bsinkx)cos(?t??)

???k(?Asinkx?Bcoskx)cos(?t??) ?x???x?0?0?B?0??x两端自由，即不受应力作用，?

??n?nc??fn?x?l?0?kl?n??kn?l2l??x所以，???Ancosknxcos(?n??n)

n?1?

???v???Ancosknx[??nsin(?nt??n)]

?tn?1?2l???0(x)??Ancosknxcos(??n)?cosx?Ancos?n??cosxcosknxdx??n?1ll0lv0(x)??Ancosknx(?nsin?n)?0?An?nsin?n?0n?1??????

??1,2l?n?Acos??cosxcosxdx???n??nl?0ll?0,?sin?n?0??n?n??即

n?1n?2,3,???A1cos?1?1?A1??1,??cosAn?0,(n?2,3,???)

所以??lxcos(?clt??)

?0处，而自由端取在x?l处。试求该棒作

2-12 设有一端自由，一端固定的细棒在作纵振动，假设固定端取在坐标的原点，即x自由振动时的简正频率，并与(2-2-20)式作一比较。附：

fn?(2n?1)c (n?1,2,3,?)。 (2-2-20) 4l解：棒的振动位移表达式边界条件：?x?0?0；

?(t,x)?(Ancosknx?Bnsinknx)cos(?t??)

???tx?l?0，

2n?1?2l。

代入位移表达式解得：于是可推出

An?0；kn?fn?(2n?1)c(n?1,2,3,?)。 4l?l处，同样能得出与（2-2-20）相同的结论。

。 ?Facos?t）

若将自由端置于原点，固定端置于x2-13 长为l的棒一端固定一端受沿棒轴方向的简谐力作用（F（1）试求棒作纵振动时的位移表达式；

（2）证明当频率较低或棒较短时此棒相当于集中系统的一个弹簧，其弹性系数为Km?ESl。

解：棒纵振动位移的一般表达式为：??(Acoskx?Bsinkx)cos(?t??)

??x?0?0?A?0?满足边界条件：?FA??cos?t

?ES()?Fcos?t?B???x?lA??xESkcosklcos(?t??)?所以，???FAcos?tF??sinkl?cos(?t??)??sinkx

ESkcosklcos(?t??)ESkcoskl??1时，coskl?1，sinkx?kx?kl

当频率较低或棒很短时，即kl有?FFES?kl??l?F???

ESk?1ESlES即棒相当于集中系统的一个弹簧，其弹性系数为

l??。

2-14 长为l的棒一端钳定一端自由在进行横振动，设已知基频时自由端的位移振幅为?0，试求以?0来表示的棒的基频位移。

??解：设棒在x?0端钳定，x?l端自由，于是边界条件可写为：?x?0?0，

?x代入横振动方程 ?(t,x)?2?x?0?0，

?x2?3?x?l?0，

?x3x?l?0。

????x?Bshx?Ccosx?Dsinx]cos(?t??) ????????l?cosl)?B(sh?sinl)?0 可得A??C，B??D，并有如下关系A(ch????????A(shl?sinl)?B(ch?cosl)?0

?????l，并用简正值（n=1,2,3,…）代表?的一系列根值。 设????[Ach? Bn?Ansin?n?sh?ncos?n?ch?n，cos?nsh?n??1

sin?1?sh?12sin?1sh?1?2 (sh?1?sin?1)]?A1cos?1?ch?1cos?1?ch?1?自由端基频位移振幅?0?A1Y1(l)?A1[(ch?1?cos?1)?? A1??0(cos?1?ch?1)

2(sh?1sin?1?1)?基频位移?1(t,x)?A1Y1(x)cos(?1t??1)，

其中：Y1(x)?(ch?1lx?cos?1lx)??(cos?1?ch?1)sin?1?sh?1??。 (sh1x?sin1x) A1?02(sh?1sin?1?1)cos?1?ch?1ll?2-15 长为l的棒一端钳定一端自由，如果初始时刻使棒具有位移?t?0?0lx，试解棒作横振动的位移表达式。

解：初始条件和边界条件为：?x?0?0（1）;

??2????3?????????0 (2) ?2??0 (3); ?3??0 (4) ?x??x?0??x?x?l??x?x?l?t?0??0????x (5); ??0 (6) ?l??t?t?0

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