2014年高考数学复习专题之导数

2014年高考数学复习专题之导数

考试内容：

导数的背影．导数的概念．多项式函数的导数．

利用导数研究函数的单调性和极值．函数的最大值和最小值． 考试要求：

（1）了解导数概念的某些实际背景． （2）理解导数的几何意义．

（3）掌握函数，y=c(c为常数)、y=xn(n∈N+)的导数公式，会求多项式函数的导数．

（4）理解极大值、极小值、最大值、最小值的概念，并会用导数求多项式函数的单调区间、极大值、极小值及闭区间上的最大值和最小值．

（5）会利用导数求某些简单实际问题的最大值和最小值．

§知识要点

导数的概念 导数的几何意义、物理意义 常见函数的导数 导数的运算法则 函数的单调性 函数的极值 函数的最值 导 数 导数的运算 导数的应用 1. 导数（导函数的简称）的定义：设x0是函数y?f(x)定义域的一点，如果自变量x在x0处有增量?x，则函数值y也引起相应的增量?y?f(x0??x)?f(x0)；比值?yf(x0??x)?f(x0)称为函数y?f(x)在点x0到x0??x之间的平均变化率；如果极限??x?xf(x0??x)?f(x0)?y存在，则称函数y?f(x)在点x0处可导，并把这个极限叫做?lim?x?0?x?x?0?xlimy?f(x)在x0处的导数，记作f'(x0)或y'|x?x0，即f'(x0)=limf(x0??x)?f(x0)?y. ?lim?x?0?x?x?0?x注：

①?x是增量，我们也称为“改变量”，因为?x可正，可负，但不为零.

②以知函数y?f(x)定义域为A，y?f'(x)的定义域为B，则A与B关系为A?B. 2. 函数y?f(x)在点x0处连续与点x0处可导的关系： ⑴函数y?f(x)在点x0处连续是y?f(x)在点x0处可导的必要不充分条件.

可以证明，如果y?f(x)在点x0处可导，那么y?f(x)点x0处连续. 事实上，令x?x0??x，则x?x0相当于?x?0.

于是limf(x)?limf(x0??x)?lim[f(x?x0)?f(x0)?f(x0)]

x?x0?x?0?x?0f(x0??x)?f(x0)f(x0??x)?f(x0)??x?f(x0)]?lim?lim?limf(x0)?f'(x0)?0?f(x0)?f(x0).?x?0?x?0?x?0?x?0?x?x⑵如果y?f(x)点x0处连续，那么y?f(x)在点x0处可导，是不成立的. ?lim[例：f(x)?|x|在点x0?0处连续，但在点x0?0处不可导，因为?y?y?y不存在. ?1；当?x＜0时，??1，故lim?x?0?x?x?x?y|?x|，当?x＞0时，??x?x注：

①可导的奇函数函数其导函数为偶函数. ②可导的偶函数函数其导函数为奇函数. 3. 导数的几何意义：

函数y?f(x)在点x0处的导数的几何意义就是曲线y?f(x)在点(x0,f(x))处的切线的斜率，也就是说，曲线y?f(x)在点P(x0,f(x))处的切线的斜率是f'(x0)，切线方程为y?y0?f'(x)(x?x0).

4. 求导数的四则运算法则：

(u?v)'?u'?v'?y?f1(x)?f2(x)?...?fn(x)?y'?f1'(x)?f2'(x)?...?fn'(x)

(uv)'?vu'?v'u?(cv)'?c'v?cv'?cv'（c为常数）

vu'?v'u?u?(v?0) ???v2?v?'注：

①u,v必须是可导函数.

②若两个函数可导，则它们和、差、积、商必可导；若两个函数均不可导，则它们的和、差、 积、商不一定不可导. 例如：设f(x)?2sinx?22，g(x)?cosx?，则f(x),g(x)在x?0处均不可导，但它们和xxf(x)?g(x)?sinx?cosx在x?0处均可导.

5. 复合函数的求导法则：fx'(?(x))?f'(u)?'(x)或y'x?y'u?u'x 复合函数的求导法则可推广到多个中间变量的情形. 6. 函数单调性：

⑴函数单调性的判定方法：设函数y?f(x)在某个区间内可导，如果f'(x)＞0，则y?f(x)为增函数；如果f'(x)＜0，则y?f(x)为减函数.

⑵常数的判定方法；

如果函数y?f(x)在区间I内恒有f'(x)=0，则y?f(x)为常数. 注：

①f(x)?0是f（x）递增的充分条件，但不是必要条件，如y?2x3在(??,??)上并不是都有

f(x)?0，有一个点例外即x=0时f（x） = 0，同样f(x)?0是f（x）递减的充分非必要条

件. ②一般地，如果f（x）在某区间内有限个点处为零，在其余各点均为正（或负），那么f（x）在该区间上仍旧是单调增加（或单调减少）的. 7. 极值的判别方法：（极值是在x0附近所有的点，都有f(x)＜f(x0)，则f(x0)是函数f(x)的极大值，极小值同理）

当函数f(x)在点x0处连续时：

①如果在x0附近的左侧f'(x)＞0，右侧f'(x)＜0，那么f(x0)是极大值； ②如果在x0附近的左侧f'(x)＜0，右侧f'(x)＞0，那么f(x0)是极小值.

也就是说x0是极值点的充分条件是x0点两侧导数异号，而不是f'(x)=0. 此外，函数不

①

可导的点也可能是函数的极值点. 当然，极值是一个局部概念，极值点的大小关系是不确定的，即有可能极大值比极小值小（函数在某一点附近的点不同）. 注

②

①： 若点x0是可导函数f(x)的极值点，则f'(x)=0. 但反过来不一定成立. 对于可导函数，其一点x0是极值点的必要条件是若函数在该点可导，则导数值为零. 例如：函数y?f(x)?x3，x?0使f'(x)=0，但x?0不是极值点.

②例如：函数y?f(x)?|x|，在点x?0处不可导，但点x?0是函数的极小值点. 8. 极值与最值的区别：

极值是在局部对函数值进行比较，最值是在整体区间上对函数值进行比较. 注：函数的极值点一定有意义. 9. 几种常见的函数导数：

'I.C'?0（C为常数） (sinx)?cosx (arcsinx)?'11?x2

(xn)'?nxn?1（n?R） (cosx)'??sinx (arccosx)'??11?x2

II. (lnx)'?1'11 (logax)'?logae (arctanx)?2 xxx?11x2?1

(ex)'?ex (ax)'?axlna (arccotx)'??III. 求导的常见方法： ①常用结论：(ln|x|)'?1. x(x?a1)(x?a2)...(x?an)两边同取自然对数，可转化

(x?b1)(x?b2)...(x?bn)②形如y?(x?a1)(x?a2)...(x?an)或y?求代数和形式.

③无理函数或形如y?xx这类函数，如y?xx取自然对数之后可变形为lny?xlnx，对两边

y'1求导可得?lnx?x??y'?ylnx?y?y'?xxlnx?xx.

yx

真题演练

f(x)?x3?ax2?bx?c,下列结论中错误的是

错误！未指定书签。1．（课标）已知函数

A.

?x0?R,f(x0)?0

B.函数y?f(x)的图像是中心对称图形

C．若x0是f(x)的极小值点,则f(x)在区间(??,x0)上单调递减 D．若x0是f(x)的极值点,则f'(x0)?0

错

误

！

未

指

定

书

签

。

2

．（

大

纲

）

已知曲线

y?x4?ax2?1在点?-1，a?2?处切线的斜率为8，a=

B．6 C．-9 D．-6

错误！未指定书签。3．（湖北）已知函数f(x)?x(lnx?ax)有两个极值点,则实数a的取值范

A．9 围是 A．(??,0)

1B．(0,)

2C．(0,1) D．(0,??)

错误！未指定书签。4．（福建）设函数f(x)的定义域为R,x0(x0?0)是f(x)的极大值点,

以下结论一定正确的是 A．?x?R,f(x)?f(x0) C．?x0是?f(x)的极小值点

错误！未指定书签。5．（安徽）已知函数

B．?x0是f(?x)的极小值点 D．?x0是?f(?x)的极小值点

f(x)?x3?ax2?bx?c有两个极值点x1,x2,若

f(x1)?x1?x2,则关于x的方程3(f(x))2?2af(x)?b?0的不同实根个数为

A．3

B．4 C．5 D．6

错误！未指定书签。6．（浙江）已知函数y=f(x)的图像是下列四个图像之一,且其导函数

y=f’(x)的图像如右图所示,则该函数的图像是

A B

C

D

7．（广东）若曲线y?ax8．（江西）若曲线y?x?2?lnx在点(1,a)处的切线平行于x轴,则a?____________.

?1(α∈R)在点(1,2)处的切线经过坐标原点,则α=_________. ?x2所围成的封闭

9.（江门）在平面直角坐标系Oxy中，直线y?a（a?0）与抛物线y图形的面积为

82，则a? ． 310.（汕头）函数y＝lnx在点A(1,0)处的切线方程为_______． 11.（汕头）若曲线y?x与直线x=a，y=0所围成封闭图形的面积为a2．则正实数a＝

ax12.（韶关）设曲线y?e有点（0,1）处的切线与直线x＋2y＋1＝0垂直，则a＝＿＿＿ 13.（浙江）已知a∈R,函数f(x)=2x-3(a+1)x+6ax

3

2

(Ⅰ)若a=1,求曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程; (Ⅱ)若|a|>1,求f(x)在闭区间[0,|2a|]上的最小值.

14错误！未指定书签。．（重庆）某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池(不计厚度).设该蓄

水池的底面半径为r米,高为h米,体积为V立方米.假设建造成本仅与表面积有关,侧

面积的建造成本为100元/平方米,底面的建造成本为160元/平方米,该蓄水池的总建造成本为12000?元(?为圆周率).

(Ⅰ)将V表示成r的函数V(r),并求该函数的定义域;

(Ⅱ)讨论函数V(r)的单调性,并确定r和h为何值时该蓄水池的体积最大.

15.错误！未指定书签。（陕西）已知函数f(x)?ex,x?R.

(Ⅰ) 求f(x)的反函数的图象上图象上点(1,0)处的切线方程;

12x?x?1有唯一公共点. 2f(b)?f(a)?a?b?(Ⅲ) 设a

(Ⅱ) 证明: 曲线y = f (x) 与曲线y?

16错误！未指定书签。．（大纲）已知函数

f?x?=x3?3ax2?3x?1.

(I)求a?2时，讨论f?x?的单调性;;

(II)若x??2,???时，f?x??0,求a的取值范围.

17错误！未指定书签。．（辽宁）(I)证明:当x??0,1?时，2x?sinx?x; 2x3?2?x?2?cosx?4对x??0,1?恒成立，求实数a的取值范围. (II)若不等式ax?x?22

?x2?2x?a,x?018错误！未指定书签。．（四川）已知函数f(x)??,其中a是实数.设

lnx,x?0?A(x1,f(x1)),B(x2,f(x2))为该函数图象上的两点,且x1?x2.

(Ⅰ)指出函数f(x)的单调区间;

(Ⅱ)若函数f(x)的图象在点A,B处的切线互相垂直,且x2?0,证明:x2?x1?1; (Ⅲ)若函数f(x)的图象在点A,B处的切线重合,求a的取值范围.

19错误！未指定书签。．（课标）己知函数f(X) = xe

2-x

(I)求f(x)的极小值和极大值;

(II)当曲线y = f(x)的切线l的斜率为负数时,求l在x轴上截距的取值范围.

20错误！未指定书签。．（北京）已知函数

f(x)?x2?xsinx?cosx.

(Ⅰ)若曲线y?f(x)在点(a,f(a)))处与直线y?b相切,求a与b的值. (Ⅱ)若曲线y?f(x)与直线y?b 有两个不同的交点,求b的取值范围.

21错误！未指定书签。．（课标）已知函数

f(x)?ex(ax?b)?x2?4x,曲线y?f(x)在点

(0,f(0))处切线方程为y?4x?4.

(Ⅰ)求a,b的值;

(Ⅱ)讨论f(x)的单调性,并求f(x)的极大值.

?x3?(a?5)x,x?0,?22错误！未指定书签。．（天津）设a?[?2,0], 已知函数f(x)??3a?32

x?ax,x?0.?x??2(Ⅰ) 证明f(x)在区间(-1,1)内单调递减, 在区间(1, + ∞)内单调递增;

(Ⅱ) 设曲线y?f(x)在点Pi(xi,f(xi))(i?1,2,3)处的切线相互平行, 且x1x2x3?0, 证明x1?x2?x3?1. 3

23错误！未指定书签。．（福建）已知函数f(x)?x?1?a(a?R,e为自然对数的底数). ex(1)若曲线y?f(x)在点(1,f(1))处的切线平行于x轴,求a的值; (2)求函数f(x)的极值;

(3)当a?1的值时,若直线l:y?kx?1与曲线y?f(x)没有公共点,求k的最大值.

24错误！未指定书签。．（湖南）已知函数f(x)=

1?xxe. 1?x2(Ⅰ)求f(x)的单调区间;

(Ⅱ)证明:当f(x1)=f(x2)(x1≠x2)时,x1+x2<0.

25错误！未指定书签。．（广东）设函数

f(x)?x3?kx2?x ?k?R?.

(1) 当k?1时,求函数f(x)的单调区间;

26错误！未指定书签。．（山东）已知函数

f(x)?ax2?bx?lnx(a,b?R)

(Ⅰ)设a?0,求f(x)的单调区间

(Ⅱ) 设a?0,且对于任意x?0,f(x)?f(1).试比较lna与?2b的大小

27.（江门）已知f(x)?12x?(2a?1)x?(a2?a)lnx（x?0，a是常数），若对曲线2y?f(x)上任意一点P(x0 , y0)处的切线y?g(x)，f(x)?g(x)恒成立，求a的取值范

28.（梅州）已知函数f(x)?(a?)x?lnx(x?R)。

122（1）当a＝1时，?x0?[1,e]使不等式f(x0)?m，求实数m的取值范围；

（2）若在区间（1，＋?）上，函数f（x）的图象恒在直线y＝2ax的下方，求实数a的取值范围。

29.已知函数

f(x)?ex?kx，x?R,k为常数，e是自然对数的底数.

（Ⅰ）当k?e时，证明f(x)?0恒成立；

（Ⅱ）若k?0，且对于任意x?R，f(x)?0恒成立，试确定实数k的取值范围.

30.已知函数f(x)?lnx?a(a?0). x（Ⅰ）求f（x）的单调区间；

（Ⅱ）如果是曲线上的点，且，若以 为切点的切线的斜率恒成立，求实数的最小值.

x231.已知函数f(x)?x．

e(Ⅰ)求函数f(x)的单调区间；

(Ⅱ)设g(x)?x2?mx,h(x)?ex?1,若在(0,??)上至少存在一点x0，使得g(x0)?h(x0)成立，求m的范围．

数学一轮复习已过，祝ZZH、TL高考顺心，事事顺利！

x231.已知函数f(x)?x．

e(Ⅰ)求函数f(x)的单调区间；

(Ⅱ)设g(x)?x2?mx,h(x)?ex?1,若在(0,??)上至少存在一点x0，使得g(x0)?h(x0)成立，求m的范围．

数学一轮复习已过，祝ZZH、TL高考顺心，事事顺利！

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