数学·高二选修-(人教a版)练习：第四讲.用数学归纳法证明不等式_word版含解析

1 第四讲 数学归纳法证明不等式

4.2 用数学归纳法证明不等式

A 级 基础巩固

一、选择题

1．用数学归纳法证明3n ≥n 3(n ≥3，n ∈N)，第一步应验证( )

A ．n ＝1

B ．n ＝2

C ．n ＝3

D ．n ＝4

解析：由题意n ≥3知应验证n ＝3.

答案：C

2．用数学归纳法证明“1＋12＋13＋…＋12n －1

＜n ，(n ∈N ＋，n ＞1)”时，由n ＝k (k ＞1)不等式成立，推证n ＝k ＋1时，左边应增加的项数是( )

A ．2k －1

B ．2k －1

C ．2k

D ．2k ＋1

解析：增加的项数为(2k ＋1－1)－(2k －1)＝2k ＋1－2k ＝2k .故选C. 答案：C

3．用数学归纳法证明不等式1＋12＋14＋…＋12

n －1＞12764(n ∈N ＋)成立，其初始值至少应取( )

A ．7

B ．8

C ．9

D ．10

解析：左边＝1＋12＋14＋…＋12n －1＝1－12n 1－12

＝2－12n －1，代入验证可知n 的最小值是8.

2 答案：B

4．用数学归纳法证明“1n ＋1＋1n ＋2＋1n ＋3＋…＋1n ＋n ≥1124

(n ∈N *)”时，由n ＝k 到n ＝k ＋1时，不等式左边应添加的项是( )

A.12（k ＋1）

B.12k ＋1＋12k ＋2

C.12k ＋1＋12k ＋2－1k ＋1

D.12k ＋1＋12k ＋2－1k ＋1－1k ＋2

解析：当n ＝k 时，不等式为

1k ＋1＋1k ＋2＋…＋1k ＋k ≥1124

. 当n ＝k ＋1时，

左边＝

1（k ＋1）＋1＋1（k ＋1）＋2＋…＋1（k ＋1）＋（k －1）＋1（k ＋1）＋k ＋1（k ＋1）＋（k ＋1）＝1k ＋2＋1k ＋3＋…＋1k ＋k ＋12k ＋1＋12k ＋2. 比较n ＝k 与n ＝k ＋1的左边，

可知应添加的项为12k ＋1＋12k ＋2－1k ＋1

. 答案：C

5．若不等式1n ＋1＋1n ＋2

＋…＋12n ＞m 24对大于1的一切自然数n 都成立，则自然数m 的最大值为( )

A ．12

B ．13

3 C ．1

4 D ．不存在

解析：令f (n )＝1n ＋1＋1n ＋2

＋…＋12n ，取n ＝2，3，4，5等值发现f (n )是单调递减的，所以[f (n )]max ＞

m 24， 所以由f (2)＞

m 24，求得m 的值．故应选B. 答案：B

二、填空题

6．设x ＞－1，且x ≠0，n 为大于1的自然数，则(1＋x )n ＞_______．

解析：由贝努利不等式知(1＋x )n ＞1＋nx .

答案：1＋nx

7．设通过一点的k 个平面，其中任何三个或三个以上的平面不共有一条直线，这k 个平面将空间分成f (k )个部分，则k ＋1个平面将空间分成f (k ＋1)＝f (k )＋________个部分．

答案：2k

8．在应用数学归纳法证明“1＋122＋132＋…＋1（n ＋1）2＜2n ＋1n ＋1

(n ∈N *)”时，从n ＝k 到n ＝k ＋1，不等式左边增加的项是________．

解析：解决此题的关键是看清不等式的左边每一项的分母的变化，一看“头”，从12开始；二看“尾”，当n ＝k 时，尾项的分母为(k ＋1)2，n ＝k ＋1时尾项的分母为(k ＋2)2；三看中间，如果忽略平方，1，2，3，…，(n ＋1)这些数都是连续相差1时．因此，从n ＝k 到n ＝k ＋1只增加了一项，即1

（k ＋2）2(k ∈N ＋)．

4 答案：1（k ＋2）2

三、解答题

9．求证：1＋12＋13

＋…＋1n ≥2n n ＋1. 证明：(1)当n ＝1时，左边＝1，右边＝2×11＋1

＝1，左式＝右式． 当n ＝2时，左边＝1＋12＝32，右边＝2×22＋1＝43，32＞43

， 左边＞右边．

故当n ＝1或n ＝2时，不等式成立．

(2)假设当n ＝k (k ≥1)时，有1＋12＋13

＋…＋1k ≥2k k ＋1. 则当n ＝k ＋1时，左边＝1＋12＋13＋…＋1k ＋…＋1k ＋1≥2k k ＋1＋1k ＋1＝2k ＋1k ＋1

. 因为2k ＋1k ＋1－2（k ＋1）（k ＋1）＋1＝k （k ＋1）（k ＋2）

＞0， 所以2k ＋1k ＋1＞2（k ＋1）（k ＋1）＋1

＝右边． 由不等式的传递性可得：左边＞右边．

故当n ＝k ＋1时不等式也成立．

由(1)(2)知，对一切n ∈N *原不等式都成立．

10．设0＜a ＜1，定义a 1＝1＋a ，a n ＋1＝1a n

＋a . 求证：对于任意的n ∈N *

，都有1＜a n ＜11－a .

证明：(1)当n＝1时，a1＞1，又a1＝1＋a＜1

1－a

，显然命题成立．(2)假设n＝k(k∈N＋)时，不等式成立．

即1＜a k＜1

1－a

.

当n＝k＋1(k∈N＋)时，由递推公式可知a k＋1＝1

a k＋a＞(1－a)＋a＝1.

同时a k＋1＝1

a k＋a＜1＋a＝

1－a2

1－a

＜

1

1－a

.

所以当n＝k＋1(k∈N＋)时，命题也成立，

即1＜a k＋1＜1

1－a

.

由(1)(2)可知对于任意的n∈N＋，都有1＜a n＜

1

1－a

.

B级能力提升

1．用数学归纳法证明不等式1＋1

2＋

1

3＋…＋

1

2n－1

＜f(n)(n≥2，n∈N＋)的过

程中，由n＝k到n＝k＋1时，左边增加了() A．1项B．k项

C．2k－1项D．2k项

解析：1＋1

2＋

1

3＋…＋

1

2k＋1－1

－

?

?

?

?

?

?

1＋

1

2＋

1

3＋…＋

1

2k－1＝

1

2k＋

1

2k＋1

＋…＋

1

2k＋1－1

，共增加了2k项．

答案：D

2．设{a n}是首项为1的正项数列，且(n＋1)·a2n＋1－na2n＋a n＋1·a n＝0(n＝1，2，

5

6 3，…)，则它的通项a n ＝________．

解析：可用两种方法求解．

法一：分别令n ＝1，2，3求出a 2＝12，a 3＝13

，通过不完全归纳法知，a n ＝1n . 法二：对已知等式因式分解得[(n ＋1)a n ＋1－na n ]·(a n ＋1＋a n )＝0.由a n ＞0知a n ＋1a n ＝n n ＋1，再由累乘法求得a n ＝1n

. 答案：1n

3．设a 1＝1，a n ＋1＝a 2n －2a n ＋2＋b (n ∈N *)．

(1)若b ＝1，求a 2，a 3及数列{a n }的通项公式；

(2)若b ＝－1，问：是否存在实数c 使得a 2n ＜c ＜a 2n ＋1对所有n ∈N ＋成立？证明你的结论．

解：法一：a 2＝2，a 3＝2＋1.

再由题设条件知(a n ＋1－1)2＝(a n －1)2＋1. 从而{(a n －1)2}是首项为0公差为1的等差数列， 故(a n －1)2＝n －1，即a n ＝

n －1＋1(n ∈N *)． 法二：a 2＝2，a 3＝2＋1.

可写为a 1＝1－1＋1，a 2＝

2－1＋1，a 3＝3－1＋1. 因此猜想a n ＝

n －1＋1. 下用数学归纳法证明上式：

当n ＝1时结论显然成立．

假设n ＝k 时结论成立，即a k ＝

k －1＋1，

7 则a k ＋1＝（a k －1）2＋1＋1＝（k －1）＋1＋1＝（k ＋1）－1＋1. 这就是说，当n ＝k ＋1时结论成立．

所以a n ＝n －1＋1(n ∈N *)．

(2)设f (x )＝（x －1）2＋1－1，则a n ＋1＝f (a n )． 令c ＝f (c )，则c ＝（c －1）2＋1－1，解得c ＝14.

下用数学归纳法证明加强命题a 2n ＜c ＜a 2n ＋1＜1. 当n ＝1时，a 2＝f (1)＝0，a 3＝f (0)＝2－1， 所以a 2＜14＜a 2＜1，结论成立．

假设n ＝k 时结论成立，即a 2k ＜c ＜a 2k ＋1＜1. 易知f (x )在(－∞，1]上为减函数，

从而c ＝f (c )＞f (a 2k ＋1)＞f (1)＝a 2，

即1＞c ＞a 2k ＋1＞a 2.

再由f (x )在(－∞，1]上为减函数得c ＝f (c )＜f (a 2k ＋2)＜f (a 2)＝a 3＜1. 故c ＜a 2k ＋3＜1，因此a 2(k ＋1)＋1＜1.

这就是说，当n ＝k ＋1时结论成立．

综上，符合条件的c 存在，其中一个值为c ＝14.

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/9oqi.html