计量经济学：单方程模型应用习题与解析

第七章 单方程计量经济学应用模型

一、内容题要

本章主要介绍了若干种单方程计量经济学模型的应用模型。包括生产函数模型、需求函数模型、消费函数模型以及投资函数模型、货币需求函数模型等经济学领域常见的函数模型。本章所列举的内容更多得关注了相关函数模型自身的发展状况，而不是计量模型估计本身。其目的，是使学习者了解各函数模型是如何发展而来的，即掌握建立与发展计量经济学应用模型的方法论。

生产函数模型，首先介绍生产函数的几个基本问题，包括它的定义、特征、发展历程等，并对要素的替代弹性、技术进步的相概念进行了归纳。然后分别以要素之间替代性质的描述为线索与以技术要素的描述这线索介绍了生产函数模型的发展，前者包括从线性生产函数、C-D生产函数、不变替代弹性（CES）生产函数、变替代弹性（VES）生产函数、多要素生产函数到超越对数生产函数的介绍；后者包括对技术要素作为一个不变参数的生产函数模型、改进的C-D、CES生产函数模型、含体现型技术进步的生产函数模型、边界生产函数模型的介绍。最后对各种类型的生产函数的估计以及在技术进步分析中的应用进行了了讨论。

与生产函数模型相仿，需求函数模型仍是从基本概念、基本特性、各种需求函数的类型及其估计方法等方面进行讨论，尤其是对线性支出系统需求函数模型的发展及其估计问题进行了较详细的讨论。

消费函数模型部分，主要介绍了几个重要的消费函数模型及其参数估计问题，包括绝对收入假设消费函数模型、相对收入假设消费函数模型、生命周期假设消费函数模型、持久收入假设消费函数模型、合理预期的消费函数模型适应预期的消费函数模型。并对消费函数的一般形式进行了讨论。

在其他常用的单方程应用模型中主要介绍了投资函数模型与货币需求函数模型，前者主要讨论了加速模型、利润决定的投资函数模型、新古典投资函数模型；后者主要讨论了古典货币学说需求函数模型、Keynes货币学说需求函数模型、现代货币主义的货币需求函数模型、后Keynes货币学说需求函数模型等。

二、典型例题分析

例1：某工业企业资料如下表。试估计该企业的生产函数

表 某工业企业资料 单位：亿元，千人 年份 1978 1979 1980 1981 1982 1983 1984 1985 1986 1987 1988 1989

解答：

先估计C-D生产函数。

方法１：对数线性形式的OLS估计

lnY??0??1lnL??2lnK

总产值（Ｙ） 职工人数（Ｌ） 457.71 493.62 514.72 518.84 524.72 536.63 584.04 661.58 722.38 777.11 895.98 1027.78 175.77 177.73 184.32 189.86 195.27 199.00 206.57 211.61 213.15 212.57 213.61 213.05 固定资产原值＋定额流动资金余额（Ｋ） 203.93 207.02 207.93 214.37 222.55 242.96 268.53 321.18 442.27 208.06 576.11 660.11 Eviews的估计结果如下：

Variable C LOG(K) LOG(L)

R-squared

Adjusted R-squared S.E. of regression Sum squared resid Log likelihood Durbin-Watson stat

Coefficient -4.032674 0.323668 1.631543

Std. Error 2.877252 0.107627 0.617356

t-Statistic -1.401571 3.007311 2.642791

Prob. 0.1946 0.0148 0.0268

0.853757 Mean dependent var 6.433934 0.821259 S.D. dependent var 0.109069 Akaike info criterion 0.107064 Schwarz criterion 11.28815 F-statistic 1.511124 Prob(F-statistic)

0.257981 -1.381358 -1.260132 26.27080 0.000175

即：Y?0.018L0.3237K1.6315

方法２：强度形式的OLS估计

ln(Y/L)??0??1ln(K/L)

Eviews 的估计结果如下：

Variable C LOG(K/L) R-squared

Adjusted R-squared S.E. of regression Sum squared resid Log likelihood Durbin-Watson stat

Coefficient 0.982678 0.433944

Std. Error 0.049113 0.095542

t-Statistic 20.00840 4.541933

Prob. 0.0000 0.0011

0.673514 Mean dependent var 1.141232 0.640865 S.D. dependent var 0.119674 Akaike info criterion 0.143218 Schwarz criterion 9.542515 F-statistic 1.883136 Prob(F-statistic)

0.199696 -1.257086 -1.176268 20.62916 0.001072

即：Y?2.672L0.4339K0.5661

由参数的显著性看，方法二得到的生产函数更好一些。 再估计CES形式的生产函数：

lnY?lnA??1mlnK??2mlnL?12?m?1?2(ln(KL))??

2Eviews的估计结果如下：

Variable C LOG(K) LOG(L) (LOG(K/L))^2 R-squared

Adjusted R-squared S.E. of regression Sum squared resid Log likelihood Durbin-Watson stat

Coefficient -4.187104 -0.690555 2.700212 0.896269

Std. Error 1.420270 0.195834 0.363696 0.166572

t-Statistic -2.948104 -3.526219 7.424357 5.380676

Prob. 0.0185 0.0078 0.0001 0.0007 6.433934 0.257981 -2.744861 -2.583226 81.55796 0.000002

0.968339 Mean dependent var 0.956466 S.D. dependent var 0.053828 Akaike info criterion 0.023179 Schwarz criterion 20.46917 F-statistic 1.018731 Prob(F-statistic)

由此可计算各参数：

m=2.0097，?1= -0.3436，?2=1.3436，?=0.4118

由于分配系数?1<0，因此这一估计结果的经济含义不正确，需进一步修正。

例2、使用中国某年的截面家计调查资料，求恩格尔曲线。

表 某地某年职工家庭收支调查资料 单位：10元/月 按人均月人均生活人均总支出V?收入分组 费支出Y 20以下 20~25 25~30 30~35 35~40 20.00 21.76 27.96 32.70 37.60 人均消费Ci?piqi 食品 14.21 14.81 19.31 20.15 23.03 衣着 2.10 2.12 3.36 4.00 5.19 燃料 0.66 0.80 0.65 0.70 0.78 用品 1.50 3.06 2.57 3.96 5.20 非商品 1.32 2.13 2.60 2.94 3.54 ?Ci 21.14 22.92 23.49 31.75 37.74 40~45 45~50 50~55 55~60 60以上 42.30 47.86 52.70 56.76 67.02 40.73 45.18 50.13 54.89 63.67 24.91 26.74 31.04 34.56 37.32 25.98 4.86 6.77 6.4 6.74 8.79 5.2 0.81 0.72 0.97 1.00 1.08 0.81 6.31 6.84 7.92 8.32 11.00 6.18 3.84 4.22 3.80 4.39 5.48 3.68 平均数 43.35 41.98 假定恩格尔曲线为线性函数 Ci??i0??i1Y

其中，Ci为第i种商品人均消费量，即需求量，Y为人均生活费支出，通过OLS法，可分别得出食品、衣着、燃料、用品和非商品五个类别的恩格尔曲线： 商品类别 食品 衣着 燃料 日用品 非商品

例3、利用例2中的资料，求扩展的线性支出系统模型 解答：

第1步，估计 V?a?bI?? 中的参数：

?=0.9096 ?=1.874， b a?) ?/(1?b第2步，计算 I1?I?a?)=I-20.73 ?/(1?b I1?I?a?i0 t 4.44 -1.43 6.11 -4.36 1.18 ?i1 t 23.75 14.74 4.45 17.76 10.04 2R 2R F 564.4 217.3 19.83 315.28 100.9 D.W. 2.19 2.79 2.06 2.88 1.36 4.08 -0.58 0.48 -2.00 0.38 0.51 0.14 0.008 0.188 0.07 0.986 0.964 0.712 0.975 0.927 0.984 0.960 0.676 0.972 0.917 第3步，逐次回归，求各商品的需求函数

0* piqi?piqi??iI1

估计结果如下：

食品 piqi 0衣着 2.280 0.138 0.151 燃料 0.654 0.008 0.0087 日用品 1.193 0.188 0.206 非商品 1.929 0.074 0.081 14.540 0.504 **?i *?i??i/??i 0.553

如对食品的扩展的消费支出需求函数为：

p1q1?14.54?0.504(I?20.73)

线性支出系统可用来分析收入变化，物价变化对消费需求结构的影响。如消费支出构成为：

piqi/?piqi

例如，如果月均收入有所变化，如分别为80元，100元，120元，各项消费结构变化如下： 人均月收人均消费食品支出衣着支出燃料支出日用品支非商品支入（元） 80 100 120

总支出（元） 74.66 92.88 111.16 比重（％） 比重（％） 比重（％） 出比重（％） 59.48 58.66 58.10 14.01 14.23 14.38 1.51 1.39 1.30 16.53 17.33 17.87 出比重（％） 8.46 8.39 8.34 三、习题

7-1．解释下列概念： 1) C—D生产函数 2) CES生产函数 3) VES生产函数 4) 要素替代弹性 5) 要素的产出弹性 6) 技术进步 7) 需求函数 8) 需求的价格弹性 9) 需求的收入弹性 10) 需求的交叉弹性 11) 效用函数 12) 消费函数 13) 投资函数 14) 货币需求函数

7-2．为什么要讨论计量经济分析的应用？体会经济理论与实际建模之间的关系。 7-3．试写出需求函数的常见形式，并对影响需求的主要因素进行分析。

7-4．以投入要素之间替代性质的描述和对技术要素的描述为线索对已有的生产函数模型进行综述，并从中体会经济研究的方法论。

7-5．在选择模型类型、变量和函数形式时，各应考虑哪些因素？

7-6．解释ELES模型中各个组成部分及整个模型的经济含义，试根据《中国统计年鉴》提供的城乡居民消费支出和收入的横截面统计资料，建立ELES模型并进行消费需求分析。 7-7．简述C—D生产函数和CES生产函数的特点以及各自的估计方法，熟练应用C—D、CES生产函数模型及其改进型。

7-8．技术进步有哪些类型？如何利用生产函数进行纵向技术进步分析和横向技术进步比较研究？

7-9．消费函数与需求函数的研究内容有何不同？熟悉消费者行为理论的几种基本假说及由其导出的消费函数模型，能够解释各种消费函数的理论模型并推导出模型的一般形式。 7-10．弹性分析的意义和在经济分析中的作用是什么？

7-11．总投资由哪两部分组成？投资函数主要用于研究什么问题？ 7-12．投资的加速模型有哪些形式？解释各自的原理及模型的推导过程。 7-13．理解确定型统计边界生产函数及其COLS估计。

7-14．在估计生产函数模型时，为什么样本数据的可比性显得尤其重要和突出？ 7-15．理解需求弹性和需求函数的齐次性条件；如何应用它们检验需求函数模型参数估计量？

7-16．指出下列模型中所要求的待估参数的经济含义和数值范围：

⑴ 城镇居民食品类需求函数

Ln(V)?a0?a1Ln(Y)?a2Ln(P1)?a3Ln(P2)?μ

中的a1、a2、a3（V为人均购买食品支出额、Y为人均收入、P1为食品类价格、P2为其它商品类价格）。

⑵ 消费函数

Ct?a0?a1Yt?a2Ct?1?ut

中的a1、a2。（C为人均消费额、Y为人均收入） ⑶ 两要素CES生产函数的近似形式

LnY?LnA??t?m?LnK?m(1??)LnL?12m??(1??)(LnKL)??

2中的γ、ρ、m。（Y为产出量，K、L分别为投入的资本和劳动数量，t为时间变量） 7-17．设Ct为当期消费，Ct?1为上期消费，Y为可支配收入，P为物价指数。试由相对收入假说构造消费函数。

7-18．当我们说消费者无货币幻觉时，是指需求函数具有哪一种性质？ 7-19．已知某城市1985年城市居民家庭人均收支抽样调查资料如下表所示：

收入阶层 人均生活费收入（元/月） 人均消费支出（元/月） 其中： 食品 衣着 用品 燃料 非商品支出 1 560 552.84 309.60 79.08 101.28 4.20 58.68 2 1012 991.80 516.96 150.00 223.68 5.52 95.64 3 1215 4 1347 5 1616 6 1860 1811.88 1010.52 211.80 421.20 5.04 163.32 1170.24 1282.08 1648.44 616.68 160.20 276.84 5.64 110.88 698.28 182.88 261.00 5.04 134.88 867.96 249.46 378.60 5.40 147.24 要求：推导出该市居民人均消费的线性支出系统。 7-20．设有两种商品，价格分别为P1和P2。效用函数为

2U??i?10(Xi?Xi)i

a其中：Xi——第i种商品需求量

Xi——第i种商品基本需求量

200?ai?1，?ai?1

i?1设总预算支出为C。 要求：推导出线性支出系统。

7-21．已知某企业1980~1990年有关统计资料如下表所示：

年份 1980 1981 1982 1983 1984 1985 职工人数L 100.00 117.74 116.60 119.99 119.62 121.51 资金占用额K 100.00 118.54 125.07 218.08 291.85 339.76 工业总产值Y 100.00 131.81 165.62 205.00 175.65 217.89 1986 1987 1988 1989 1990 126.79 149.48 171.32 209.43 257.36 365.59 398.54 398.62 344.39 355.19 233.79 281.48 301.05 378.62 409.79 要求：试参照C—D生产函数形式和CES生产函数形式分别确定模型，对模型进行估计，并说明哪一个模型更适当？

7-22．某市纺织工业总产值、固定资产、职工人数统计资料如下表所示：

年份 1987 1988 1989 1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996 总产值Y（亿元） 固定资产K（亿元） 年末职工人数L（万人）65.41 69.42 77.12 81.16 84.71 87.97 97.38 108.16 117.33 130.88 15.04 15.21 15.86 16.60 17.46 18.12 18.85 19.63 20.30 21.19 38.52 38.33 38.01 37.60 38.43 38.64 39.16 39.76 43.35 45.74 ?mt?要求：（1）估计该市纺织工业部门的C—D生产函数Y?A0eLK

（2）求1987~1996年10年间平均的技术进步贡献率。

7-23．已知某企业工业增加值Q（万元，当年价）、职工总数L（人）、固定资产净值+流动资金净值K（万元）的数据如下表所示：

年份 1980 1981 1982 1983 1984 1985 1986 1987 1988 1989 1990 1991 1992 Q 157 158 153 171 210 279 347 428 871 1071 1382 1535 1887 L 232 290 306 295 308 561 485 538 826 541 550 959 1453 K 194 179 223 229 403 756 1225 1748 2165 2801 3120 3732 4802 1993 1994 1995 2585 4974 9840 1460 1960 2613 5655 7396 11919 要求：（1）建立C—D生产函数，用各种统计量检验估计结果；

（2）解释各参数估计值的经济意义，并说明此企业的规模效益如何？ （3）建立CES生产函数，并将两生产函数进行比较。

7-24．将商品分成食品、衣着、日用品、住房、燃料、文化生活服务六大类，建立如下的线性支出系统需求模型：

Vi?piqi??i(V?0?jpjqj) i?1,2,?,6

0其中：Vi——人均购买第i类商品的支出；

pi——第i类商品的价格； qi——第i类商品的基本需求量；

0V——总支出

根据调查资料，利用最小二乘法估计参数结果如下表所示：

1 食品 ?2 衣着 0.09 3 日用品 0.18 4 住房 0.31 5 燃料 0.02 6 服务 0.02 ?i ?0?iqi 0.38 120 20 15 18 10 5 假设人均总支出V?280。

要求：根据模型计算各类需求的生活消费支出弹性，即生活消费总支出增加1%时各类需求量的相对变化率。 7-25．设xi?lg(yi)

其中：y1——人均食品消费量，y2——食品价格；y3——人均可支配收入。 已知如下的样本二阶矩：

x1

7.59 3.12

x2

3.12 29.16

x3

26.99 30.08

x1 x2

x3

26.99 30.80 133.00

??u假设需求函数模型为y1?Ay2y3e

要求：估计需求的收入弹性和价格弹性。

7-26．CES生产函数与C—D生产函数的关系是什么？请证明之。

7-27．证明：模型lgy??1??2lgx2??3lgx3?u中的?2及?3的最小二乘估计量是y对x2和x3的固定不变的偏弹性估计量。

7-28．已知美国的经济数据如下表所示：（单位：10亿，1992年美元）

年份 1959 1960 1961 1962 1963 1964 1965 1966 1967 1968 1969 1970 1971 1972 1973 1974 1975 C 1394.6 1432.6 1461.5 1533.8 1596.6 1692.3 1799.1 1902.0 1958.6 2070.2 2147.5 2197.8 2279.5 2415.9 2532.6 2514.7 2570.0 Y 1533.9 1569.2 1619.4 1697.5 1759.3 1885.8 2003.9 2110.6 2202.3 2302.1 2377.2 2469.0 2568.3 2685.7 2875.2 2854.2 2903.6 年份 1976 1977 1978 1979 1980 1981 1982 1983 1984 1985 1986 1987 1988 1989 1990 1991 1992 C 2714.3 2829.8 2951.6 3020.2 3009.7 3046.4 3081.5 3240.6 3407.6 3566.5 3708.7 3822.3 3972.7 4064.6 4132.2 4105.8 4219.8 Y 3017.6 3115.4 3276.0 3365.5 3385.7 3464.9 3495.6 3592.8 3855.4 3972.0 4101.0 4168.2 4332.1 4416.8 4498.2 4500.0 4626.7 资料来源：《当代企业调查》（美国），1997（5）

其中：C——个人消费支出；

Y——个人可支配收入。

要求：利用该表中数据尝试建立各种形式的消费函数模型，并指出建模过程中可能遇到的问题，如何解决？

7-29．某人试图建立我国有色金属行业生产方程，选择如下变量及关系形式 产值=?0??1固定资产原值+?2职工人数+?3电力消耗量+μ

选择1978~1996年年度数据为样本观测值，采用OLS方法估计参数，样本观测值的计量单位为：产值采用不变价计算的价值量，固定资产原值采用形成年当年价计算的价值量，其它采用实物量单位。指出该计量经济学问题中可能存在的错误，并简单说明理由。

⒈ 将技术要素作为一个不变参数的生产函数模型

在C—D生产函数和不变替代弹性模型中，已经引入了技术要素，但是仅仅将它作为独立于其它投入要素之外的一个不变的参数。其基本假设是：技术进步是广义的；技术进步是中性的；技术进步改变了由其它投入要素的数量决定的生产活动的效率；技术进步的作用在所有样本点上都是相同的。

⒉ 改进的C-D、CES生产函数模型

在改进的C-D、CES生产函数模型中，作为资本和劳动产出弹性的参数不随样本点变化，这就是说技术进步不是节约资本型和节约劳动型，而是中性的。 ⒊ 含体现型技术进步的生产函数模型

技术进步要素中有一部分是体现为资本、劳动等要素质量的提高，而资本、劳动等要素质量的提高使得相同数量的要素投入量具有不同的产出效果。所以，如果能将体现为资本、劳动等要素质量提高的技术进步因素从广义技术进步中分离出来，无论是对技术进步的作用机制描述，还是对技术进步作用的数量描述都是十分重要的。由Solow于1964年首先提出并由Nelson于1964年补充应用的含体现型技术进步的生产函数模型（也称为Solow-Nelton同期模型），就是在这个思路下发展起来的，是生产函数模型的一个重大进展。 ⑴ 总量增长方程

?YY?YY?YY??AA?A?A??A??A?????KK???LL

⑵ 分离资本质量的含体现型技术进步的生产函数模型

???(????a??KK)???LL

⑶ 分离劳动质量的含体现型技术进步的生产函数模型

???(????a??KK)??(????b??LL)

⒋ 边界生产函数模型

边界生产函数按照边界的性质分为确定性边界生产函数和随机边界生产函数两大类。 确定性边界生产函数把影响产出量的不可控因素（例如观测误差、方程设定误差等）和可控因素（例如生产非效率因素）不加区别，统统归入一个单侧的误差项中，作为对非效率的反映。其模型可以写成： Y?f(K,L,?)e?u (u?0)

随机边界生产函数把影响产出量的不可控因素和可控因素加以区别。其模型可以写成： Y?f(K,L,?)ev?u?(f(K,L,?)e)ev?u

7-5．在选择模型类型、变量和函数形式时，各应考虑哪些因素？

在建立与应用模型过程中有许多实际问题需要认真处理，其中较为突出的是数据质量问题。

⒈ 样本数据的一致性问题

可以作为生产函数模型样本数据的有两类：时间序列数据和截面数据。在选择哪类数据作样本时，需要特别注意一致性问题。 ⒉ 样本数据的准确性问题

在生产函数模型估计中，经常遇到样本数据口径不一致的问题。处理的方法，一是按照最小口径建立模型，然后在应用中对全口径进行估算；二是利用其它信息对样本数据首先进

行调整，然后再估计模型。

⒊ 样本数据的可比性问题

在生产函数模型估计中，更严重的问题是样本数据的可比性问题，主要表现是在不同的样本点上，实际相同的产出量或要素投入量出现不同的观测值数据。

7-6．扩展的线性支出系统需求函数模型(ELES)

为克服LES（线性支出系统需求函数模型）在估计上的困难，1973年Liuch对LES作了两点修改，提出了扩展的线性支出系统需求函数模型。这两点修改是：以收入I代替预算

V；将bi的概念由边际预算份额改为边际消费倾向。于是模型表达式为：

qi?ri?bipi(I??jpjrj) i?1,2,?,n

其中待估参数为基本需求量ri和边际消费倾向bi。按照它们的经济意义，应该有：

ri?0 0?bi?1

?bii?1由收入和价格的样本观测值可以对模型进行估计。扩展的线性支出系统需求函数模型具有0阶齐次性。

7-7．简述C—D生产函数和CES生产函数的特点以及各自的估计方法，熟练应用C—D、CES生产函数模型及其改进型。 C—D生产函数：

对于C-D生产函数模型及其改进型，两边取对数，即可化成线性模型，然后采用单方程线性计量经济学模型的估计方法估计其参数。但是其假设条件是随机误差项可以作为方程的一个因子与理论模型相乘，即模型的计量经济学型态为：

Y?AKL?

如果随机误差项作为方程的一个因子与理论模型相加，即

Y?AKL??

则要采用非线性模型的估计方法估计其参数。在实际应用中，都假设为前一种情况。 CES生产函数：

对CES生产函数模型 Y?A(?1K????????2L??)?m1?

为一个关于参数的非线性模型，采用简单的方法难以化为线性模型。自1961年以来，关于它的估计问题有许多研究，主要有两类方法，即利用边际生产力条件的估计方法和直接估计

方法。

边际生产力条件，即当生产活动处于均衡的情况下，存在：

?Y?K?rp?Y?L?wp

其中r,w,p分别表示资本的利率、劳动的工资率和产出品的价格。将该条件应用于，经过适当的变换，可以得到线性计量经济学方程。由于边际生产力条件与实际生产活动有较大距离，在实际上我们基本不采用这类估计方法。顺便指出，对其它形式的生产函数模型，从理论上讲，也可以利用边际生产力条件进行估计，所以我们称其为“一类”估计方法。

直接估计方法。将C-D生产函数模型的计量型态假设为：

Y?A(?1K????2L??)?m1??

两边取对数，得到： lnY?lnA?m?ln(?1K????2L??)??

将其中的 ln(?1K????2L??)在??0处展开台劳级数，取0阶、1阶和2阶项，得到： lnY?lnA??1mlnK??2mlnL?12?m?1?2(ln(KL))??

2(5. 1.35)为一个简单线性模型，通过变量置换，可以表示成： Z??0??1X1??2X2??3X3??

采用单方程模型的估计方法，得到?0,?1,?2,?3的估计值，利用对应关系和?1??2?1，可以计算得到关于参数A,?,m,?1,?2的估计值。

选择在??0处展开台劳级数，是因为当??0时，要素替代弹性等于1，即模型退化为C-D生产函数，由于C-D生产函数的普遍适用性，所以可以假定?为接近于0的数。当参数估计完成后，可以根据?的估计值是否接近于0来检验这种估计方法的可用性。

从上式可以看出，当??0时，方程为：

lnY?lnA??1mlnK??2mlnL??

即为C-D生产函数模型。所以可以认为CES生产函数模型是对C-D生产函数模型的修正。

7-8．根据包含内容的多少，技术进步可以分为广义技术进步与狭义技术进步。

狭义技术进步仅指要素质量的提高。例如，由于性能的改进，同样数量的资本在生产过程中的贡献是不一样的；由于文化水平的提高，同样数量的劳动在生产过程中的贡献是不一样的。狭义的技术进步是体现在要素上的，它可以通过要素的“等价数量”来表示。例如，如果一个具有大学文化水平的劳动者对产出量的贡献是一个具有中学文化水平劳动者的3倍，那么就可以将一个具有大学文化水平的劳动者等价于3个具有中学文化水平劳动者，求得“等价劳动数量”，作为生产函数模型的样本观测值，以这样的方法来引入技术进步因素。广义技术进步除了要素质量的提高外还包括管理水平的提高等对产出量具有重要影响的因素，这些因素是独立于要素之外的。

另一种对于技术进步的考虑是基于产出弹性比的，称为中性技术进步。

假设在生产活动中除了技术以外，只有资本与劳动两种要素，定义两要素的产出弹性之比为相对资本密集度，用ω表示。即

??EL/EK

如果技术进步使得ω越来越大，即劳动的产出弹性比资本的产出弹性增长得快，则称之为节约劳动型技术进步；如果技术进步使得ω越来越小，即劳动的产出弹性比资本的产出弹性增长得慢，则称之为节约资本型技术进步；如果技术进步前后ω不变，即劳动的产出弹性与资本的产出弹性同步增长，则称之为中性技术进步。

在中性技术进步中，如果要素之比K/L不随时间变化，则称为希克斯中性技术进步；如果劳动产出率Y/L不随时间变化，则称为索洛中性技术进步；如果资本产出率Y/K不随时间变化，则称为哈罗德中性技术进步。

不同的技术进步类型是建立生产函数模型时必须要考虑的重要因素，对生产函数模型将产生重要影响。

7-9．消费函数与需求函数的研究内容有何不同？熟悉消费者行为理论的几种基本假说及由其导出的消费函数模型，能够解释各种消费函数的理论模型并推导出模型的一般形式。

消费理论旨在研究消费行为。这里的消费指消费总量，而不是对具体商品或服务的消费需求，这是它有别于需求理论的主要之点。它的研究对象可以是一个国家、一个群体，甚至一个个体，但一定是对象的总消费。消费函数模型是关于研究对象的总消费与影响因素，主要是可支配的总收入之间关系的数学表达式。 ⒈ 绝对收入假设消费函数模型 ⑴ 绝对收入假设消费函数模型

Keynesian认为，消费是由收入唯一决定的，消费与收入之间存在着稳定的函数关系。随着收入的增加，消费将增加，但消费的增长低于收入的增长，即边际消费倾向递减。根据这一理论假设，可以建立如下消费函数模型：

Ct????Yt??t t?1,2,?,T

其中C表示消费额，Y表示收入，?,?为待估参数。从经济意义上讲，?为自发性消费，

?为边际消费倾向，于是有：

0???1，??0

⑵ 关于绝对收入假设消费函数模型的讨论

上述模型表达了Keynesian的消费是由收入唯一决定的假设，但是由于边际消费倾向?为常数，并没有真正反映边际消费倾向递减规律。但是

2 Ct????0Yt??1Yt??t t?1,2,?,T

可以较好地反映边际消费倾向递减规律，并且仍然有很方便地采用单方程模型的估计方法估计其参数。

⒉ 相对收入假设消费函数模型

⑴ “示范性”假设消费函数模型

Duesenberry认为，消费者的消费行为不仅受自身收入的影响，也受周围人的消费水平

的影响。由消费的“示范性”，个人的平均消费倾向不仅与收入有关，而且与个人所处的群体的收入分布有关，在收入分布中处于低收入的个人，往往有较高的消费倾向。即

CiYi??0??1YiYi

其中Yi为该消费者所处的群体的平均收入水平。当?0,?1,Y一定时，对于较低的Yi，其

Ci/Yi较高。这就是“示范性”的作用。上式的计量形态可表示为：

Ci??0Yi??1Yi??i i?1,2,?,n

其中待估参数0??0?1，反映个人的边际消费倾向；0??1?1，反映群体平均收

入水平对个体消费的影响。

⑵ “不可逆性”假设消费函数模型

Duesenberry认为，消费者的消费支出水平不仅受当前收入的影响，也受自己历史上曾经实现的的消费水平的影响。由消费的“不可逆性”，当前的平均消费倾向不仅与收入有关，而且与所曾经达到的消费水平，即曾经达到的最高收入水平有关，当前收入低于曾经达到的最高收入时，往往有较高的消费倾向。即

CtYt??0??1Y0Yt

其中Y0为该消费者曾经达到的最高收入水平。从上式可以看出，当?0,?1,Y0一定时，对于较低的Yt，其Ct/Yt较高。这就是“不可逆性”的作用。上式的计量形态可表示为： Ct??0Yt??1Y0??t t?1,2,?,T

其中待估参数0??0?1，反映当前的边际消费倾向；0??1?1，反映曾经达到的最高收入水平对当前消费的影响。

⒊ 生命周期假设消费函数模型

Modigliani，Brumberg和Ando于1954年提出，消费者现期消费不仅与现期收入有关，而且与消费者以后各期收入的期望值、开始时的资产数量和年龄有关。消费者一生中消费支出流量的现值要等于一生中各期收入流量的现值。所以，消费者的预算约束为：

T

?t?1Ct(1?r)t?1T??t?1Yt(1?r)t?1

其中r为贴现率。在预算约束下，消费者总希望将自己一生的全部收入在消费支出中进行最优分配，使得效用函数U(C1,C2,?,CT)达到最大。于是推导消费函数问题就变成下列拉格郎日函数的极值问题：

中的a1、a2、a3（V为人均购买食品支出额、Y为人均收入、P1为食品类价格、P2为其它商品类价格）。

a1为食品需求的收入弹性，a2为食品类需求的自价格弹性，a3为食品类需求的互价格弹性。根据需求函数的0阶齐次性条件，应该有： ?1??2??3?0

⑵ 消费函数

Ct?a0?a1Yt?a2Ct?1?ut

中的a1、a2。（C为人均消费额、Y为人均收入）

a1为当前的消费倾向，0?a1?1，a2表示当前消费对于前一期消费的依赖程度，根据不

同的消费行为假说其数值范围不同。 ⑶ 两要素CES生产函数的近似形式

LnY?LnA??t?m?LnK?m(1??)LnL?12m??(1??)(LnKL)??

2中的γ、ρ、m。（Y为产出量，K、L分别为投入的资本和劳动数量，t为时间变量） γ为产出量的时间弹性，m为规模报酬参数，当m＝1(<1,>1)时，表明产出量是规模报酬不变（递减，递增）的，要素替代弹性??11??，由于要素替代弹性为一正值，因此，

?1????。

7-17．设Ct为当期消费，Ct?1为上期消费，Y为可支配收入，P为物价指数。试由相对收入假说构造消费函数。

Ct??0Yt??1Ct?1P??t

7-18．当我们说消费者无货币幻觉时，是指需求函数具有0阶齐次性。因为当消费者无货币幻觉时，各种商品的相对价格是不变的，也就是需求函数满足0阶齐次性。 7-19．

Vi?ripi?bi(I??jpjrj)??i i?1,2,?,n

将上式改写成：Y?XR?? 其中

?Y1??X1??r1???1?????????YXr?2??2??2???2? Y? X? R? ??

?????????????????????Yn??Xn??rn???n? Yi?Vi?biI

Xi?(?bip1,?,?bipi?1,(1?bi)pi,?bipi?1,?,?bipn) 将数据代入上式，可以得到各个参数的估计值。 7-20．

22i首先，U??(Xi?1?X)，在预算约束?XiPi?C下极大化，

i?10iai即构造如下的拉格朗日函数：

22i L(X1,X2,?)??(Xi?1?X)0iai??(C??Xi?1iPi)，

由极值条件得到如下方程组：

?iU??L????pi?00?i?1,2,??XiXi?Xi ? 2?L???XiPi?C?0???i?1?该方程组中共有3个方程，求解该方程组即得到线性支出系统需求函数。 Xi?Xi?0?iPi(C??PjjXi) i?1,2

07-21．

C—D生产函数：

Y?AKL?得出lnY?lnA??lnK??lnL?ln?

??CES生产函数：

Y?A(?1K????2L??)?m1?，得出

12lnY?lnA??1mlnK??2mlnL??m?1?2(ln(KL))??

2将数据代入，可以分别得到两种生产函数的参数值，由各自的先验参数范围看哪个估计结果更符合实际情况。 7-22．

Y?A0emtLK??，lnY?lnA0?mt?lnL??lnK?

将数据代入，得到各个参数的估计值，

lnA0?4.59,m=0.1, ??0.53,???0.91,

Y?98.9e0.1tL0.53K?0.91

技术进步速度：??y???k???l， 根据样本数据得到： y?8.0115%k?3.8825%，由??0.53,???0.91,得到??10.5232% l?1.9272%技术进步的平均贡献率为：EA?7-24．

根据支出弹性公式?i?0.38?280V1?y?100%=

10.52328.0115?100%＝131.35％

?qi?V?Vqi??iVpiqi，Vi?piqi0??i(V??jpjqj)

0?1??0.687，其它同理可得。

??u7-25．由y1?Ay2y3e和xi?lg(yi)得到x1?a??x2??x3??

收入弹性??dy1dy3?y3y1?dlny1dlny3?dx1dx3??，价格弹性??dy1dy2?y2y1?dlny1dlny2??

通过样本二阶距可以得到?，?的估计量，进而得到收入弹性和价格弹性。 7-26．

将C-D生产函数模型的计量型态假设为： Y?A(?1K????2L??)?m1??

两边取对数，得到： lnY?lnA?将其中的 ln(?1K得到：

??m?ln(?1K??????2L??)??

??2L)在??0处展开台劳级数，取0阶、1阶和2阶项，代入上式，

lnY?lnA??1mlnK??2mlnL?通过变量置换，可以表示成：

12?m?1?2(ln(KL2))??，为一个简单线性模型，

Z??0??1X1??2X2??3X3??

采用单方程模型的估计方法，得到?0,?1,?2,?3的估计值，利用对应关系和?1??2?1，可以计算得到关于参数A,?,m,?1,?2的估计值。

选择在??0处展开台劳级数，是因为当??0时，要素替代弹性等于1，即模型退化为C-D生产函数，由于C-D生产函数的普遍适用性，所以可以假定?为接近于0的数。当参数估计完成后，可以根据?的估计值是否接近于0来检验这种估计方法的可用性。

从以上结果可以看出，当??0时，方程为： lnY?lnA??1mlnK??2mlnL??

即为C-D生产函数模型。所以可以认为CES生产函数模型是对C-D生产函数模型的修正。 对于改进的CES生产函数模型，估计方法是相同的。 7-27． 偏弹性?2?7-28．

1、根据绝对收入假说：Ct????Yt??t， 2、根据相对收入假说中的示范性假说：

CiYi??0??1YiYidydx2?x2y?dlnydlnx2??2，同理，?3??3

3、根据相对收入假说中的不可逆性假说：

CtYt??0??1Y0Yt

4、根据生命周期假说：得到这个模型的估计。

CtYt??1??2AtYt，由于没有给出每年的资产存量数据，因此无法

5、根据合理预期假说和适应预期假说：分别有Ct??(1??)??Ct?1??(1??)Yt??t，

Ct????(1??)Ct?1???Yt??t，但是根据同样的样本得到的?是不同的。

7-29．

存在的问题有：

1、方程关系错误，因为各个要素之间不是完全替代的

2、时间序列数据不能用OLS估计

3、产值采用不变价计算的价值量，固定资产原值采用形成年当年价计算的价值量，其它采用实物量单位，因此数据之间是不可比的，

4、职工人数应该是生产性人数，而不是该行业实际职工人数。 7-30．

1、LnY?LnA??t?m?LnK?m(1??)LnL?d(K/L)(K/L)KLd(MPL/MPK)(MPL/MPK)MPLMPK))

12m??(1??)(LnKL)??，

2??

?d(ln(因为

MPK?))d(ln(?Y?K

11?A(?

?AK?)(?1K(?1K????2L??))???1.?1(??)K???1e?t

?1??????2L??2L???1??1?1e?t MPL?AL 所以

MPLMPK??1??(?1K????)?1??1?t?2e

?2?1(KL)1??

??d(ln())LKd(ln(?2?1?2?1(KL)1??))

K ?d(ln())Ld(ln()?(1??)ln(KL))

?11??

由于要素替代弹性?为一正数，所以参数?的数值范围为：

?1????

C-D生产函数的要素替代弹性为1，VES生产函数的要素替代弹性是根据样本点变化的。

2、在两个模型中，作为资本和劳动产出弹性的参数不随样本点变化，这就是说技术进步不是节约资本型和节约劳动型，而是中性的。

而在中性技术进步中，希克斯中性技术进步假设要素之比K/L不随时间变化，考虑技

术进步的生产函数形式为：

Y?A(t)f(K,L)

即技术进步的作用相当于在要素投入不变的情况下，使产出增加A(t)倍。

索洛中性技术进步假设劳动产出率Y/L不随时间变化，由此可以证明，考虑技术进步的生产函数形式为：

Y?f(A(t)K,L)

即技术进步的作用相当于使资本要素投入增加A(t)倍。

哈罗德中性技术进步假设资本产出率Y/K不随时间变化，由此可以证明，考虑技术进步的生产函数形式为：

Y?f(K,A(t)L)

即技术进步的作用相当于使劳动要素投入增加A(t)倍。 在LnY?LnA??t?m?LnK?m(1??)LnL?12m??(1??)(LnKL只有希克)??中，

2斯中性技术进步假设是适宜，因为在索洛中性或哈罗德中性技术进步假设下是无法得到

LnY?LnA??t?m?LnK?m(1??)LnL?12m??(1??)(LnKL)??形式的生产函

2数模型表达式的。

而在LnY?LnA??t??LnK??LnL??中，3类中性技术进步假设都是适宜的。 3、如果采用实物量的Y，那么由于各年的价格不同，使得按照当年价格计算的固定资产原值数据K与Y是不可比的，因此不能直接使用统计年鉴中的固定资产原值数据作为K的样本数据，而是应该根据各年的价格折算成为当年的固定资产值。

4、本例中采用的是时间序列数据，而OLS估计是假设各个样本点上的数据是不相关的，但是每年的发电量及投入的资本和劳动通常在时间上是有延续性的，也就是说在各个样本点上数据可能是序列相关的，这就是采用OLS估计最容易违背的假设。

术进步的生产函数形式为：

Y?A(t)f(K,L)

即技术进步的作用相当于在要素投入不变的情况下，使产出增加A(t)倍。

索洛中性技术进步假设劳动产出率Y/L不随时间变化，由此可以证明，考虑技术进步的生产函数形式为：

Y?f(A(t)K,L)

即技术进步的作用相当于使资本要素投入增加A(t)倍。

哈罗德中性技术进步假设资本产出率Y/K不随时间变化，由此可以证明，考虑技术进步的生产函数形式为：

Y?f(K,A(t)L)

即技术进步的作用相当于使劳动要素投入增加A(t)倍。 在LnY?LnA??t?m?LnK?m(1??)LnL?12m??(1??)(LnKL只有希克)??中，

2斯中性技术进步假设是适宜，因为在索洛中性或哈罗德中性技术进步假设下是无法得到

LnY?LnA??t?m?LnK?m(1??)LnL?12m??(1??)(LnKL)??形式的生产函

2数模型表达式的。

而在LnY?LnA??t??LnK??LnL??中，3类中性技术进步假设都是适宜的。 3、如果采用实物量的Y，那么由于各年的价格不同，使得按照当年价格计算的固定资产原值数据K与Y是不可比的，因此不能直接使用统计年鉴中的固定资产原值数据作为K的样本数据，而是应该根据各年的价格折算成为当年的固定资产值。

4、本例中采用的是时间序列数据，而OLS估计是假设各个样本点上的数据是不相关的，但是每年的发电量及投入的资本和劳动通常在时间上是有延续性的，也就是说在各个样本点上数据可能是序列相关的，这就是采用OLS估计最容易违背的假设。

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