2011届高考二轮复习(全国通用)数学学案---选考部分专题(教师版全套)

选考部分

知识体系

1.几何证明选讲

2.曲线的极坐标方程

3.参数方程

4.坐标系与坐标变换

5.框图

6.特征值与特征向量矩阵的简单应用

7逆变换与逆矩阵

8.变换的复合与矩阵的乘法

9.几种常见的平面变换

10.二阶矩阵与平面向量

11.微积分基本定理与应用

12.曲边梯形的面积与定积分

1.几何证明选讲

第一节三角形

一．考纲要求

了解平行线等分线段定理和平行截割定理；掌握相似三角形的判定定理及性质定理；理解直角三角形射影定理。

二．知识梳理

1．平行线等分线段定理：如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等,那么在其他直线上截得的线段

推论1：经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必

推论2：经过梯形一腰的中点，且与底边平行的直线

三角形中位线定理：三角形的中位线平行于，并且等于

2．平行线分线段成比例定理：两条直线与一组平行线相交，它们被这组平行线截得的对应线段．

推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线）所得的对应线段

结论1：平行于三角形的一边，并且和其他两边相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形的三边

结论2：三角形的一个内角平分线分对边所成的两条线断于这个角的两边。

结论3：若一条直线截三角形的两边（或其延长线）所得对应线段成比例，则此直线与三角形的第三边

3．相似三角形的判定定理：

（1）（SAS）

（2） (SSS)

（3）(AA)

推论：如果一条直线与三角形的一边平行，且与三角形的另两条边相交，则

相似三角形的性质定理：相似三角形的对应线段的比等于，面积比等

于 ．

4． 直角三角形的射影定理：直角三角形一条直角边的平方等

于 ，斜边上的高等于 ． 三．诊断练习

1．如图1，321////l l l ，AM=3，BM=5，CM=4.5，EF=16，则DM= ，EK= ，FK= ．

2．如图2，AB 是斜靠在墙壁上的长梯，梯脚B 距墙80cm ，梯上点D 距墙70cm ，BD 长55cm ，则梯子的长为 cm ．

3．如图3，ΔABC 中，∠1=∠B，则Δ ∽Δ ．此时若AD=3，BD=2，则AC= ． 4．如图4，CD 是Rt ΔABC 的斜边上的高． （1）若AD=9，CD=6，则BD= ； （2）若AB=25，BC=15，则BD= ．

四．范例导析

例1 如图5，等边△D E F 内接于△ABC ，且DE //BC ，已知BC AH 于点H ，BC ＝4，

AH ＝3，求△D E F 的边长．

图5

A M

C

E K F

B D l 1 l 2 l 3

图1 A

D B

┐ ┐ 图2

A

C

B D

╭ 1 图3 ┐ A

B

C

D 图

4

F H

例2如图6，在ΔABC 中，作直线DN 平行于中线AM ，设这条直线交边AB 与点D ，交边CA 的延长线于点E ，交边BC 于点N ． 求证：AD ∶AB=AE ∶AC ．

例3 如图7，E ，F 分别是正方形ABCD 的边AB 和AD 上的点，且3

1AD

AF AB

EB ==．

求证：∠AEF=∠FBD ．

五．当堂反馈

1．如图8，ΔABC 中，点D 为BC 中点，点E 在CA 上，且CE=21EA ，AD ，BE 交于点F ，则

AF:FD= ．

2．一个等腰梯形的周长是80cm ，如果它的中位线长与腰长相等，它的高是12cm ，则这个梯

形的面积为 cm 2．

3．两个三角形相似，它们的周长分别是12和18，周长较小的三角形的最短边长为3，则另一个三角形的最短边长为 ．

4．如图9，已知∠1=∠2，请补充条件： （写一个即可），使得ΔABC ∽ΔADE ．

第二节 直线和圆

A B

D

E

图6

A

F E 图8

A

C B

图9

E ╮ ╮ 1 2 A

B

C

D M

F

E 图7

一．考纲要求

1．理解圆周角定理及其推论；掌握圆的切线的判定定理及性质定理；理解弦切角定理及其推论；

2．掌握相交弦定理、割线定理、切割线定理；理解圆内接四边形的性质定理与判定定理．

二．知识梳理

1．圆周角定理：圆上一条弧所对的圆周角等于

圆心角定理：圆心角的度数等于 的度数

推论1：同弧或等弧所对的圆周角 ；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧 推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是 ； 90的圆周角所对的弦是 弦切角定理：弦切角等于它所夹的弧所对的

2． 圆内接四边形的性质与判定定理：

圆的内接四边形的对角 ；圆内接四边形的外角等于它的内角的 如果一个四边形的对角互补，那么这个四边形的四个顶点

如果四边形的一个外角等于它的内角的对角，那么这个四边形的四个顶点

3．切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的

推论：经过圆心且垂直于切线的直线必经过 ；经过切点且垂直于切线的直

线必经过

切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的

4．相交弦定理：圆内两条相交弦， 的积相等。

割线定理：从圆外一点引圆的两条割线， 的两条线段长的积相等。 切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是 的比例中项。 切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长 ；圆心和这点的连线平分 的夹角。

三．诊断练习

1、如图10，点P 是⊙O 的直径BA 延长线上一点，PC 与⊙O 相切于点C ，CD ⊥AB ，垂足为D ，连结AC 、BC 、OC ，那么下列结论中正确结论的个数有 个

①PC 2=P A2PB；②PC2OC=OP2CD；③OA 2=OD2OP；④OA（CP －CD ）=AP2CD．

2、AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ，垂足为P ，若AP ∶PB ＝1∶4，CD ＝8，则直径AB 的长是

3、如图11，AB 是⊙O 的直径，P 是AB 延长线上一点，PC 切⊙O 于点C ，PC=3，PB=1，则⊙A O D P C B ┐ 图10

O 的半径为 ．

4、如图12，圆O 上的一点C 在直径AB 上的射影为D ，CD =4，BD =8，则圆O 的直径

四．范例导析

例1如图13，AB 是⊙O 的直径，C 是⊙O 外一点，且AC ＝AB ，BC 交⊙O 于点D ．已知BC ＝4，

AD ＝6，AC 交⊙O 于点

E ，求四边形ABDE 的周长．

例2

如图14，已知AD 是△ABC 的外角∠EAC 的平分线，交

BC 的延长线于点D ，延长DA 交△

ABC 的外接圆于点F ，连接FB ，FC ． （1）求证：FB ＝FC ；

（2）若AB 是△ABC 的外接圆的直径， ∠EAC ＝120°，BC ＝6，求AD 的长．

例3如图15，⊙1和⊙O 2都经过A 、B 两点，经过点A 的直线CD 与⊙O 1交于点C ，与⊙O 2交于点D 经过点B 的直线EF 与⊙O 1交于点E ，与⊙O 2交于点F ． 求证：CE ∥DF ．

五．当堂反馈

图11

O 2

2 2 O 1

F E

D

C B A 图15

B

1、下列命题中错误的是

（1）过一个圆的直径两端点的两条切线互相平行

（2）直线AB 与⊙O 相切于点A ，过O 作AB 的垂线，垂足必是A

（3）若同一个圆的两条切线互相平行，则连结切点所得的线段是该圆的直径 （4）圆的切线垂直于半径

2、如图17，已知AB 是⊙O 的弦，AC 切⊙O 于点A ，∠BAC=60°，则∠ADB 的度数为

3、如图18，PA 与圆切于点A ，割线PBC 交圆于点B 、C ，若PA=6，PB=4，AB 的度数为60?，则BC= ，∠PCA= ，∠PAB= ．

4、如图19，△ABC 是⊙O 的内接三角形，PA 是⊙O 的切线，PB 交AC 于点E ，交⊙O 于点D ，若PE ＝PA ，?=∠60ABC ，PD ＝1，BD ＝8，则线段BC = ．

参考答案

第一节 三角形

三．诊断练习

1．DM=7.5，EK=6，FK=10 2．440 3．ACD ，ABC ，15 4.4，9 四．范例导析

例1解: 设等边DEF ?的边长为x ，则它的高为

x 23，

因为DE //BC ，所以

3

2

334

x

x -=

，解得x =

3

4．

例2证明：∵AM ∥EN ，

∴AD ∶AB=NM ∶MB ，NM ∶MC=AE ∶AC ． ∵MB=MC ，

∴AD ∶AB=AE ∶AC ．

例3证明：过点F 作FM ⊥BD 于点M ．设正方形的边长为a ，则BD=2a ．

∵

3

1AD

AF AB

EB ==，∴EB=AF=

3

1a ，AE=DF=

3

2a ．

在Rt ΔDMF 中，EM=DM=2

2DF=3

2a ，∴BM=2a －3

2a=3

22a ．

2

B

A D

C

O

图17 B

C

A

P

图18

A

P

C B

E

D

在Rt ΔAEF 和Rt ΔMBF 中，

∵2132

3

1=

=a a

AE AF ，21a 232a 32BM FM ==，∠A=∠BMF=90°，

∴ΔAEF ∽ΔMBF ．∴∠AEF=∠FBD ．

五．当堂反馈 1.AF:FD=4:1 2.240 3.29

4.∠B=∠D （或∠C=∠E ，或AB AD

AC AE

=）

第二节 直线和圆

三．诊断练习

1.4

2.10

3.4

4.10

四．范例导析

例1解: 因为AB 是⊙O 的直径，所以BC AD ⊥，

所以AD 是△ABC 的中线，所以AB ＝AC ＝102．

BD ＝DC ＝2，由C B DEC ∠=∠=∠，所以DE ＝DC ＝2．

由CE 2CA =CD 2CB ,得 CE ＝510

2，所以1058

510

2102=-=AE ．

例2证明 :（1）因为AD 平分∠EAC ，所以∠EAD ＝∠DAC ．

因为四边形AFBC 内接于圆，所以FBC DAC ∠=∠，所以FCB FAB EAD ∠=∠=∠， 所以FCB FBC ∠=∠，所以FB ＝FC ．

（2）因为AB 是△ABC 的外接圆的直径，所以?=∠90ACD ．

因为EAC ∠=?120，所以1

602D A C E A C ∠=∠=?，30D ∠=?．

在RT △ACB 中，因为BC ＝6，60B A C ∠=?

，所以AC =

又在RT △ACD 中，?=∠30D

，AC =

AD =

例3 证明：连结AB ．∵ABEC 是⊙O 1的内接四边形，

∴∠BAD=∠E ．

∵ADFB 是⊙O 2的内接四边形， ∴∠BAD ＋∠F=180?．

∴∠E ＋∠F=180?． ∴CE ∥DF ．

五．当堂反馈

1.（4）

2.120°.

3.5,30,30.

4.72

随堂巩固练习（1）

1． 如图1，已知：AC ⊥AB ，BD ⊥AB ，AO=78cm ，BO=42cm ，CD=159cm ，则CO= cm ，

DO= cm ．

2．已知，如图2，AA ′∥EE ′，AB=BC=CD=DE ，A′B′=B′C′=C′D′=D′E′，若AA′=28mm ，EE ′=36mm ，则BB ′= ，CC ′= ，DD ′= ．

3．如图3，EF ∥BC，FD∥AB，AE=1.8cm,BE=1.2cm,CD=1.4cm ．则BD= ．

4．已知，如图4，在平行四边形

ABCD 中，DB 是对角线，E 是AB 上一点，连结CE 且延长和DA 的延长线交于F ，则图中相似三角形 的对数是 ．

5．如图5，在A B C ?中，AD 是角BAC 的平分线，AB =5cm,AC =4cm,BC =7cm,则BD = cm ．

6．如图6，ED ∥FG ∥BC ，且DE ，FG 把ΔABC 的面积分为相等的三部分，若BC=15，则FG 的长为 ．

7．如图7，已知矩形ABCD 中，∠AEF=90°，则下列结论一定正确的是 ． （1）ΔABF ∽ΔAEF （2）ΔABF ∽ΔCEF （3）ΔCEF ∽ΔDAE （4）ΔADE ∽ΔAEF

8．如图8，在Rt ΔABC 中，∠C=90°，D 是BC 中点，DE ⊥AB ，垂足为E ，∠B=30，AE=7．则DE 的长为 ．

A B C D E

E ′

D ′C ′′ B ′A ′′ 图2

A

F

E 图3

A F

E B

C

G

D

图4

A

D E

C B F G 图6 A

B

C

D E F

图7

D A

┐ C

B

E

图8

A O

C B D

┐ └ 图1

9．若一个梯形的中位线长为15，一条对角线把中位线分成两条线段．这两条线段的比是3:2，则梯形的上、下底长分别是__________．

10．如图9，BD 、CE 是A B C V 的中线，P 、Q 分别是BD 、CE 的中点，则:PQ BC

=

11．如图10，在A B C ?中，AD ⊥BC 于D ，DE ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于F ．求证：AC AF AB AE ?=?．

12．如图11，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，E ，F 分别是AB ，CD 的中点．

求证：GH=

21（BC －AD ）．

13．已知：如图12，A B C ?中，A B A C =，90BAC ∠= ，D 、E 、F 分别在AB 、AC 、BC 上，AC AE 31

=，1

3B D A B =，且13C F B C =．求证：（1）EF BC ⊥；（2）AD E EBC ∠=∠．

图11

B C

D A

E F G

H

随堂巩固练习（2）

1．如图1，AB=BC=CD ，∠E=40°，则∠ACD= ．

2．如图2，已知⊙O 的切线PC 与直径BA 的延长线相交于点P ，C 是切点，过A 的切线交PC 于D ，如果CD ∶PD=1∶2，DA=2，那么⊙O 的半径OC= ．

3．如图3，ΔABC 内接于⊙O ，AD 切⊙O 于A ，∠BAD=60°，则∠ACB= ．

4．如图4，已知AD=AB ，∠ADB=350

，则∠BOC 等于

5．如图5，ABCD 是⊙O 的内接四边形，AC 平分∠BAD 并与BD 交于E 点，CF 切⊙O 于C 交AD 延长线于F ，图中四个三角形：①ΔACF ；②ΔABC ；③ΔABD ；④ΔBEC ，其中与ΔCDF 一定相似的是 ．

6．⊙O 中，弦AB 平分弦CD 于点E ，若CD=16，AE ∶BE=3∶1，则AB= ．

7．AB 是⊙O 的直径，OA=2.5，C 是圆上一点，CD ⊥AB ，垂足为D ，且CD=2，则AC= ．

8．如图6，PAB 是⊙O 的割线，AB=4，AP=5，⊙O 的半径为6，则PO= ．

9．半径为5的⊙O 内有一点A ，OA=2，过点A 的弦CD 被A 分成两部分，则A C2CD= ． 10．如图7，已知⊙O 的半径OB =5cm ，弦AB =6cm ，D 是的中点，则弦BD 的长度是 ．

11．设圆1O 与圆2O 的半径分别为3和2，124O O ，,A B 为两圆的交点，试求两圆的公共弦A B 的长度．

O 2

A

B

C D

F

图5

A

B

P

O

图6 A B

C

D E

图1

图2

D 图3

12．如图8，已知A P 是⊙O 的切线，P 为切点，A C 是 ⊙O 的割线，与⊙O 交于B C ，两点，圆心O 在P A C ∠的内部，点M 是B C 的中点．

（1）证明A P O M ，，，四点共圆；

（2）求O A M A P M ∠+∠的大小．

13．如图9，已知：C 是以AB 为直径的半圆O 上一点，

CH⊥AB 于点H ，直线AC 与过B 点的切线相交于点

D ，

E 为CH 中点，连接AE 并延长交BD 于点

F ，直

线CF 交直线AB 于点G ，

（1）求证：点F 是BD 中点；

（2）求证：CG 是⊙O 的切线；

（3）若FB=FE=2，求⊙O 的半径．

参考答案

随堂巩固练习（1）

1．103.35，55.65； 2．:30mm ，32mm ，34mm ； 3．2.1cm ．

4．5 5．

359cm 6．56 7．ΔCEF ∽ΔDAE 8．357

. 9．12，18 10．1：4 11．证明： ∵AD ⊥BC ，∴ADB ?为直角三角形，又DE ⊥AB ，由射影定理知，AB AE AD ?=2．

同理可得AC AF AD ?=2，AC AF AB AE ?=?．

12．证明：由条件得EF 是梯形ABCD 的中位线，则有EF ∥AD ∥BC ，由平行线等分线段定理得AH=HC ，BG=GD ，∴FH=21

AD ，FG=21BC ，∴GH=FG －FH=21（BC －AD ）．

13．证明：设3A B A C a ==，则AE BD a ==

，CF =。

（1）

.3

232,32232===

=

a a CA CF a

a CB

CE 又C ∠为公共角，故△BAC ∽△EFC ，由90BAC ∠= 得90EFC ∠=

，EF BC ⊥ ．

（2）由（1）得,

2

2

AE AD EF EF

BF

=====故，A E A D E F

B F

∴=．

∴∠DAE =∠BFE =90°∴△ADE ∽△FBE ，∴∠ADE =∠EBC ．

随堂巩固练习（2）

1．15° 2．23 3．120°. 4．0140 5．①②④

6．

33

32. 7．5或25. 8．9. 9．

11．解：连A B 交12O O 于C ，如图,则12O O AB ⊥，且C 为A B 的中点，设A C x =，则

12O C O C =

=

124O O =

=，

解得8

x =．故弦A B

的长为24

x =

．

12、（1）连结OP OM ，，如图．因为A P 与⊙O 相切于点P ，所以O P A P ⊥．因为M 是⊙O 的弦B C 的中点，所以O M B C ⊥．于是180O PA O M A ∠+∠=°．由圆心O 在P A C ∠的内部，可知四边形A P O M 的对角互补，所以A P O M ，，，四点共圆．

（2）连接O A ，如图．由（1）得A P O M ，，，四点共圆，所以O A M O P M ∠=∠．由（1）

得O P A P ⊥．由圆心O 在P A C ∠的内部，可知90O PM APM ∠+∠=°．所以90O AM APM ∠+∠=°．

13、解:(1)证明：∵CH⊥AB，DB⊥AB，∴△AEH∽AFB，△ACE∽△ADF , ∴

FD

CE AF

AE BF

EH ==，∵HE＝EC ，∴BF＝FD

(2)方法一：连接CB 、OC ，∵AB 是直径，∴∠ACB＝90°∵F 是BD 中点， ∴∠BCF=∠CBF=90°-∠CBA=∠CAB=∠ACO

∴∠OCF=90°，∴CG 是⊙O 的切线。

方法二：可证明△OCF≌△OBF(略)

(3)解：由FC=FB=FE 得：∠FCE=∠FEC，可证得：FA ＝FG ，且AB ＝BG

由切割线定理得：（2＋FG ）2＝BG3AG=2BG 2 ……①

在Rt△BGF 中，由勾股定理得：BG 2＝FG 2－BF 2 ……②

由①、②得：FG 2-4FG-12=0，解之得：FG 1＝6，FG 2＝－2（舍去）

∴AB＝BG ＝24

，∴⊙O 半径为2。 曲线的极坐标方程

【知识网络】

1. 曲线的极坐标方程的意义.

2. 直线、圆和圆锥曲线的极坐标方程.

【典型例题】

例1.（1）化极坐标方程2cos 0ρθρ-=为直角坐标方程为 （C ）

A ．20y +=2x 或1y =

B ．1x =

C ．20y +=2x 或1x =

D ．1y =

提示： (cos 1)0,0,cos 1x ρρθρρθ-=====或

（2）在平面直角坐标系中，以点(1,1)为极点，

以O x 轴为极轴的极坐标系中对应的极坐标方程为 （A ）

A ．)4πρθ=-

B ．)4

πρθ=-

C ．1)ρθ=-

D ．1)ρθ=- 提示：圆的直角坐标方程为22(1)(1)2x y -+-=，

化为 极坐标方程为22(cos 1)(sin 1)2ρθρθ-+-=，[)]04π

ρρθ--=，

∵曲线)04πρθ--

=也过极点，

∴[)]04π

ρρθ--=与)04π

ρθ--=等价，

∴对应的极坐标方程为)4π

ρθ=-.

（3）极坐标方程cos 2sin 2ρθθ=表示的曲线为 （C ）

A ．一条射线和一个圆

B ．两条直线

C ．一条直线和一个圆

D ．一个圆

提示：2cos 4sin cos ,cos 0,4sin ,4sin ρθθθθρθρρθ====或即

则,2

k π

θπ=+

或22

4x y y +=

（4）极坐标方程分别为cos ρθ=与sin ρθ=的两个圆的圆心距为

_____________.

2

提示:圆心分别为1

(,0)2

和1

(0,)2

（5）极坐标方程324cos ρθ

=

-表示的曲线是 . 双曲线

提示：324cos ρθ

=

-等价于3

212cos ρθ

=

-，2e =. 例 2.设过原点O 的直线与圆22(1)1x y -+=的一个交点为P ，点M 为线段O P 的中点，当点P 在圆上移动一周时，求点M 轨迹的极坐标方程，并说明它是什么曲线.

解：圆22(1)1x y -+=的极坐标方程为2cos ρθ=()2

2

ππ

θ-≤≤，

设点P 的极坐标为11(,)ρθ，点M 的极坐标为(,)ρθ，

∵点M 为线段O P 的中点， ∴112,ρρθθ==，将112,ρρθθ==代入圆的极坐标方程， 得cos ρθ=. ∴点M 轨迹的极坐标方程为cos ρθ=()2

2

π

π

θ-

≤≤

，它表示原心在点

1(,0)2

，半径为

12

的圆.

例3. 过抛物线28y x =的焦点F 作倾斜角为4

π

的直线，交抛物线于,A B 两点，求线段A B

的长度.

解：对此抛物线有1,4e p ==，所以抛物线的极坐标方程为41cos ρθ

=

-，

,A B 两点的极坐标分别为

4

π

和

54

π

，4||4(21cos

4

FA π

=

=+-，

4||4(251cos

4

FB π=

=--， ∴||||||16AB FA FB =+=.

∴线段A B 的长度为16.

例4. 长为2a 的线段，其端点在O x 轴和Oy 轴正方向上滑动，从原点作这条线段的垂线，垂足

为M ，求点M 的轨迹的极坐标方程（O x 轴为极轴），再化为直角坐标方程.

解：设线段的端点分别为,A B 且A 在O x 轴正方向上， B 在Oy 轴的正方向上，

设点M 的极坐标为(,)ρθ，则O B M A O M θ∠=∠=，且||2sin OA a θ=，

||cos 2sin cos sin 2OA a a ρθθθθ===， ∴点M 的轨迹的极坐标方程为sin 2(0)2

a π

ρθθ=<<

.

由sin 2a ρθ=可得3

2

2sin cos a ρρθθ=， ∴32

2

2()2x y axy +=

其直角坐标方程为3

22

2()2(0,0)x y axy x y +=>>. 【课内练习】

1.将极坐标方程2cos 216ρθ=化为直角坐标方程是（C ）

A ．216x =

B ．216y =

C ．2216x y -=

D ．2216y x -= 提示：222222cos 216(cos sin )1616x y ρθρθθ=?-=?-=.

2.极坐标方程cos 20ρθ=表示的曲线为 （D ） A ．极点 B ．极轴 C ．一条直线 D ．两条相交直线

提示：cos 20,cos 20,4

k π

ρθθθπ===±

，为两条相交直线

3.圆5cos ρθθ=-的圆心坐标是 （A ） A ．4(5,)3

π--

B ．(5,

)3

π

- C ．(5,

)3

π

D ．5(5,

)3

π-

提示：圆的普通方程为2

2

5()()252

2

x y -

++

=，圆心为5(

,2

2

-

，半径为5.

5cos ,sin 2

2

ρθρθ=

=-

.

4. 两直线θα=和cos()a ρθα-=的位置关系是（ ）

A ．平行

B ．相交但不垂直

C ．垂直

D ．重合 提示：θα=的直角坐标方程为tan y x α=cos()a ρθα-=化为直角坐标方程为

cos sin 0x y a αα+-=， 其斜率为cot α-，直线tan y x α=的斜率为tan α，

∴两直线互相垂直（2

π

α=

时也成立）.

5. 设曲线的普通方程为2

2

2

x y R +=,则它的极坐标方程为 .

R ρ=

提示：用cos ,sin x y ρθρθ==代入即得.

6.直线cos sin 0x y αα+=的极坐标方程为________________. 2

k π

θπα=++

提示：直线的极坐标方程为cos()0ρθα-=.

7.设直线过极坐标系中的点(2,)2

M π

,且平行于极轴,则它的极坐标方程

为 .

sin 2ρθ=

提示：在相应的直角坐标系中，直线的方程为2y =. 8.从极点作圆2cos a ρθ=的弦,求各弦中点的轨迹方程.

解:设所求曲线上的动点M 的极坐标为(,)ρθ,圆2cos a ρθ=上的动点的极坐标为

11(,)ρθ

由题设可知,112θθρρ

=??=?,将其代入圆的方程得:cos ()22a ππ

ρθθ=-≤≤.

∴所求的轨迹方程为cos ()2

2

r a π

π

??=-≤≤

.

9.已知曲线的极坐标方程为1cos ep e ρθ

=

-，求此曲线的直角坐标方程，并讨论e 在不

同范围内取值时，方程表示的曲线的类型（其中e 和p 为正的实常数）.

解：方程写成cos e ep ρρθ-=，将ρ=和cos x ρθ=代入，

ex ep =，即ex ep =+，

两边平方，得2

2

2

2

2

2

2

2x y e x e px e p +=++ 整理得，2

2

2

2

2

2

(1)20e x y pe x e p -+--=.

由上述方程可知，当1e >时，方程表示双曲线；当1e =时，方程表示抛物线；当01e <<时，方程表示椭圆.

10. 过椭圆2

2

2

2

2

2

b x a y a b +=的左焦点作直线，交椭圆于,A B 两点，证明：11||

||

FA FB +

为定值.

证明：椭圆2

2

2

2

2

2

b x a y a b +=方程可化为

222

2

1x y a

b

+

=，

∴2

222

,c

a a c

b e p

c a c c c -==-==，

以椭圆的左焦点极点，x 轴正方向为极轴的方向建立极坐标系，

则椭圆的极坐标方程为2

1cos b a c

a ρθ=

-.

设点A 的极坐标为(,)ρθ，则点B 的极坐标为(,)ρθπ+， ∴2221cos 1cos()

11

2||||c c a a a b

b FA FB b a a

θθπ-

-++=+=为定值.

作业本

1.将直角坐标方程212y x =化为极坐标方程1cos a

ρθ=-时，极点和a 的值分别是（D ）

A ．坐标原点,12O

B ．坐标原点,6O

C ．焦点,12F

D ．焦点,6F 提示：由直角坐标方程212y x =知，6p =，根据圆锥曲线的极坐标方程建立的方法知， 极点是圆锥曲线的焦点.

2. 设曲线的极坐标方程为2sin (0)a a ρθ=>,则它表示的曲线是 （D ）

A ．圆心在点(,0)a 直径为a 的圆

B ．圆心在点(0,)a 直径为a 的圆

C ．圆心在点(,0)a 直径为2a 的圆

D ．圆心在点(0,)a 直径为2a 的圆 提示：曲线的直角坐标方程为2220x y ay +-=，即222()x y a a +-=.

3.在极坐标系中与圆4sin ρθ=相切的一条直线的方程为 （A ）

A ．cos 2ρθ=

B ．sin 2ρθ=

C ．4sin()3π

ρθ=+ D ．4sin()3π

ρθ=-

提示：4sin ρθ=的普通方程为22(2)4x y +-=，cos 2ρθ=的普通方程为2x =

圆22(2)4x y +-=与直线2x =显然相切

4. 设曲线的极坐标方程为4c o s ρθ=,则它的直角方程为 .

22

40x y x +-= 提示：4cos ρθ=与24cos ρρθ=等价.

5.设直线过极坐标系中的点(2,0)M ,且垂直于极轴,则它的极坐标方程为 .

cos 2ρθ=

6. 过抛物线24y x =的焦点F 作倾斜角为θ的直线，交抛物线于,A B 两点，求1

1

||||FA FB +

的值.

解：抛物线24y x =中，2p =.

在以抛物线的焦点F 为极点，O x 轴为极轴的极坐标系中，抛物线的极坐标方程为2

1cos ρθ=-，

设A 点的极坐标为(,)ρθ，则点B 的极坐标为(,)ρθπ+， 则1

11cos 1cos 1||||22FA FB θθ-++=+=， ∴11||||FA FB +的值为1.

7. 一颗慧星的轨道是抛物线，太阳位于这条抛物线的焦点上.已知这慧星距太阳81.610?千米时， 极半径和轨道的轴成3π

角.求这颗慧星轨道的极坐标方程，并且求它的近日点离太阳的距离.

解：以太阳的位置为极点，轨道的轴为极轴，建立极坐标系， 设轨道的极坐标方程为1cos p ρθ=

-，因为3πθ=时，81.610ρ=?， ∴81.61021cos 3p

p π

?==-， ∴7810p =?， ∴轨道的极坐标方程为7

8101cos ρθ

?=-，当θπ=时，7410ρ=?. ∴这颗慧星轨道的极坐标方程为78101cos ρθ?=

-，它的近日点离太阳的距离为7410ρ=?千米.

8.从极点O 引一条直线和圆2222cos 0a a r ρρθ-+-=相交于一点Q ，点P 分线段O Q

成比:m n ，求点Q 在圆上移动时，点P 的轨迹方程，并指出它表示什么曲线.

解：设点,P Q 的极坐标分别为(,)ρθ和11(,)ρθ，由题设知11m n m

ρρθθ+?=???=?

， 将其代入圆的方程，得222

()2()cos 0m n

m n

a a r m m ρρθ++-+-=， 整理得，22222()2()cos ()0m n am m n m a r ρρθ+-++-=，

∴点P 的轨迹方程为22222()2()cos ()0m n am m n m a r ρρθ+-++-=，它表示一个圆.

参数方程

【知识网络】

1. 参数方程的概念.

2. 曲线的参数方程与普通方程的互化.

3. 利用曲线的参数方程解决有关问题.

【典型例题】

例 1.（1）3．将参数方程222sin (sin x y θθθ

?=+??=??为参数)化为普通方程为 （C ）

A ．2y x =-

B ．2y x =+

C ．2(23)y x x =-≤≤

D ．2(01)y x y =+≤≤ 提示：将2sin y θ=代入22sin x θ=+即可，但是2

0sin 1θ≤≤.

（2）参数方程为1(2x t t t y ?=+???=?为参数)表示的曲线是 （D ）

A ．一条直线

B ．两条直线

C ．一条射线

D ．两条射线 提示：2y =表示一条平行于x 轴的直线，而2,2x x ≥≤-或，所以表示两条射线

（3

）直线112(2

x t t y ?=+???

?=-??为参数)和圆2216x y +=交于,A B 两点，则A B 的中点坐

标为（D）

A．(3,3)

- B

．(3) C

．3)

- D

．(3,

提示：22

1

(1)()16

22

t

++-=，得2880

t t

--=，12

12

8,4

2

t t

t t

+

+==

中点为

1

14

3

2

4

2

x

x

y

y

?

=+?

?=

?

??

?

??

=

??

?=-

??

（4）直线

34

(

45

x t

t

y t

=+

?

?

=-

?

为参数)的斜率为______________________.

5

4

-

提示：

455

344

y t

k

x t

--

===-

-

（5）抛物线

2

4

14

x t

y t

=

?

?

=-

?

（t为参数）在x轴上截得的弦长为 . 提示：令0

y=，得

1

2

t=±.

当

1

2

t=时，2

x=；当

1

2

t=-时，2

x=-，∴抛物线与x轴交于点(2,0),(2,0)

-. 例2.分别在下列两种情况下，把参数方程

1

()cos

2

1

()sin

2

t t

t t

x e e

y e e

θ

θ

-

-

?

=+

??

?

?=-

??

化为普通方程：

（1）θ为参数，t为常数；

（2）t为参数，θ为常数；

解：（1）当0

t=时，0,cos

y xθ

==，即||1,0

x y

≤=

且；

当0

t≠时，cos,sin

11

()()

22

t t t t

x y

e e e e

θθ

--

==

+-

而22

sin cos1

θθ

+=，即

22

22

1

11

()()

44

t t t t

x y

e e e e

--

+=

+-

（2）当,

k k Z

θπ

=∈时，0

y=，

1

()

2

t t

x e e-

=±+，即||1,0

x y

≥=

且；

当,

2

k k Z

π

θπ

=+∈时，0

x=，

1

()

2

t t

y e e-

=±-，即0

x=；

当,2k k Z πθ≠∈时，得2cos 2sin t t

t t x e e y e e θθ--?+=???

?-=??，即222cos sin 222cos sin t t x y e x y

e θθ

θθ-?=+????=-??

得222222(

)(

)cos sin cos sin t t x y x y e e θ

θ

θ

θ

-?=+

-

即

222

2

1cos sin x

y

θ

θ

-

=。

例3.求经过点000(,)M x y 倾斜角为α的直线l 的参数方程.

解：设点(,)M x y 为直线l 上的任意一点，过点M 作y 轴的平行线，过点0M 作x 轴的平行线，

两直线相交于点Q .规定直线l 向上的方向为正方向.

当0M M 与l 同方向或0,M M 重合时,因00||M M M M =,由三角函数定义, 有000cos ,sin M Q M M Q M M M αα==;

当0M M 与l 反方向时, 00,,M M M Q Q M 同时改变符号,上式依然成立. 设0M M t =,取t 为参数, ∵000,M Q x x Q M y y =-=-,

∴00cos ,sin x x t y y t αα-=-=, 即00cos ,sin x x t y y t αα=+=+, ∴直线l 的参数方程为00cos sin x x t y y t α

α=+??=+?

.

例4.已知点(,)P x y 是圆22

2x y y +=上的动点， （1）求2x y +的取值范围；

（2）若0x y a ++≥恒成立，求实数a 的取值范围。

解：（1）设圆的参数方程为cos 1sin x y θθ

=??

=+?，

22cos sin 1)1x y θθθ?+=++=++

∵1)11θ?≤++≤

∴121x y ≤+≤,即2x y +

的取值范围为[1]+.

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/9ole.html