2018版高中数学人教版A版选修1-1学案：2.3.1 抛物线及其标准方程

2.3.1抛物线及其标准方程

[学习目标] 1.掌握抛物线的定义及其焦点、准线的概念.2.会求简单的抛物线方程.

知识点一抛物线的定义

把平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线.点F 叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线.

知识点二抛物线标准方程的几种形式

思考(1)抛物线的标准方程y2＝2px(p>0)中p的几何意义是什么？

(2)平面内到一定点距离与到一定直线距离相等的点的轨迹是抛物线吗？

答案 (1)焦点到准线的距离.

(2)不一定.当直线l 经过点F 时，点的轨迹是过定点F 且垂直于定直线l 的一条直线；l 不经过点F 时，点的轨迹是抛物线.

题型一 求抛物线的标准方程

例1 分别求满足下列条件的抛物线的标准方程.

(1)焦点为(－2,0)；

(2)准线为y ＝－1；

(3)过点A (2,3)；

(4)焦点到准线的距离为52

. 解 (1)由于焦点在x 轴的负半轴上，且p 2

＝2， ∴p ＝4，

∴抛物线的标准方程为y 2＝－8x .

(2)∵焦点在y 轴正半轴上，且p 2

＝1， ∴p ＝2，

∴抛物线的标准方程为x 2＝4y .

(3)由题意，抛物线方程可设为y 2＝mx (m ≠0)或x 2＝ny (n ≠0)，

将点A (2,3)代入，得32＝m ·2或22＝n ·3，

∴m ＝92或n ＝43

. ∴所求抛物线的标准方程为y 2＝92x 或x 2＝43

y . (4)由焦点到准线的距离为52，可知p ＝52

. ∴所求抛物线的标准方程为

y 2＝5x 或y 2＝－5x 或x 2＝5y 或x 2＝－5y .

反思与感悟 求抛物线方程，通常用待定系数法，若能确定抛物线的焦点位置，则可设出抛

物线的标准方程，求出p 值即可.若抛物线的焦点位置不确定，则要分情况讨论.焦点在x 轴上的抛物线方程可设为y 2＝ax (a ≠0)，焦点在y 轴上的抛物线方程可设为x 2＝ay (a ≠0). 跟踪训练1 分别求满足下列条件的抛物线的标准方程.

(1) 过点(3，－4)；

(2) 焦点在直线x ＋3y ＋15＝0上.

解 (1)方法一 ∵点(3，－4)在第四象限，∴设抛物线的标准方程为y 2＝2px (p >0)或x 2＝－2p 1y (p 1>0).

把点(3，－4)分别代入y 2＝2px 和x 2＝－2p 1y ，

得(－4)2＝2p ·3,32＝－2p 1·(－4)，

即2p ＝163，2p 1＝94

. ∴所求抛物线的标准方程为y 2＝163x 或x 2＝－94

y . 方法二 ∵点(3，－4)在第四象限，∴抛物线的方程可设为y 2＝ax (a ≠0)或x 2＝by (b ≠0).

把点(3，－4)分别代入，可得a ＝163，b ＝－94

. ∴所求抛物线的标准方程为y 2＝163x 或x 2＝－94

y . (2)令x ＝0得y ＝－5；令y ＝0得x ＝－15.

∴抛物线的焦点为(0，－5)或(－15,0).

∴所求抛物线的标准方程为x 2＝－20y 或y 2＝－60x .

题型二 抛物线定义的应用

例2 如图，已知抛物线y 2＝2x 的焦点是F ，点P 是抛物线上的动点，又有点A (3,2)，求|P A |＋|PF |的最小值，并求此时P 点坐标.

解 如图，作PQ ⊥l 于Q ，由定义知，

抛物线上点P 到焦点F 的距离等于点P 到准线l 的距离d ，由图可知，求|P A |＋|PF |的最小值的问题可转化为求|P A |＋d 的最小值的问题.

将x ＝3代入抛物线方程y 2＝2x ，得y ＝±6. ∵6>2，∴A 在抛物线内部.

设抛物线上动点P 到准线l ：x ＝－12

的距离为d ，由定义知|P A |＋|PF |＝|P A |＋d .由图可知，当P A ⊥l 时，|P A |＋d 最小，最小值为72.即|P A |＋|PF |的最小值为72

，此时P 点纵坐标为2，代入y 2＝2x ，得x ＝2.

∴点P 坐标为(2,2).

反思与感悟 抛物线的定义在解题中的作用，就是灵活地对抛物线上的点到焦点的距离与到准线距离进行转化，另外要注意平面几何知识的应用，如两点之间线段最短，三角形中三边间的不等关系，点与直线上点的连线垂线段最短等.

跟踪训练2 已知点P 是抛物线y 2＝2x 上的一个动点，则点P 到点A (0,2)的距离与P 到该抛物线的准线的距离之和的最小值为( ) A.172 B.2

C. 5

D.92 答案 A

解析 如图，由抛物线定义知|P A |＋|PQ |＝|P A |＋|PF |，

则所求距离之和的最小值转化为求|P A |＋|PF |的最小值，

则当A 、P 、F 三点共线时，

|P A |＋|PF |取得最小值.

又A (0,2)，F (12

，0)， ∴(|P A |＋|PF |)min ＝|AF |

＝ (0－12)2＋(2－0)2＝172

.

题型三 抛物线的实际应用

例3

如图所示，一辆卡车高3 m ，宽1.6 m ，欲通过断面为抛物线形的隧道，已知拱口AB 宽恰好是拱高CD 的4倍，若拱口宽为a m ，求能使卡车通过的a 的最小整数值.

解 以拱顶为原点，拱高所在直线为y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系.

则点B 的坐标为????a 2

，－a 4， 设抛物线方程为x 2＝－2py (p >0)，

∵点B 在抛物线上，

∴????a 22＝－2p ·????－a 4，解得p ＝a 2

， ∴抛物线方程为x 2＝－ay .将点E (0.8，y )代入抛物线方程，得y ＝－0.64a

. ∴点E 到拱底AB 的距离为a 4－|y |＝a 4－0.64a

>3. 解得a >12.21，∵a 取整数，

∴a 的最小整数值为13.

反思与感悟 以抛物线为数学模型的实例很多，如拱桥、隧道、喷泉等，抛物线的应用主要解题步骤：(1)建立平面直角坐标系，求抛物线的方程；(2)利用方程求点的坐标.

跟踪训练3 如图所示，一隧道内设双行线公路，其截面由长方形的三条边和抛物线的一段

构成，为保证安全，要求行驶车辆顶部(设为平顶)与隧道顶部在竖直方向上高度之差至少要有0.5米.

(1)以隧道的顶点为原点O ，其对称轴所在的直线为y 轴，建立平面直角坐标系(如图)，求该抛物线的方程；

(2)若行车道总宽度AB 为7米，请计算通过隧道的车辆限制高度为多少米(精确到0.1米)? 解 (1)依题意，设该抛物线的方程为x 2＝－2py (p >0)，如图所示，因为点C (5，－5)在抛物线

上，解得p ＝52

，

所以该抛物线的方程为x 2＝－5y .

(2)设车辆高h 米，则|DB |＝(h ＋0.5)米，

故D (3.5，h －6.5)，

代入方程x 2＝－5y ，解得h ＝4.05米，

所以车辆通过隧道的限制高度为4.0米.

分类讨论思想的应用

例4 已知抛物线的顶点在原点，焦点在坐标轴上，且此抛物线上的一点A (m ，－3)到焦点F 的距离为5，求m 的值及抛物线的标准方程.

分析 由于抛物线的开口方向不确定，因而应注意对抛物线的标准方程形式进行分类讨论，点A (m ，－3)在x 轴下方，从而抛物线的开口可以分向下、向左、向右三种情况，而焦点在x 轴上的情况可以设统一形式y 2＝2ax (a ≠0，当a ＞0时，开口向右，当a ＜0时，开口向左).

对于a 的求法可以利用定义法，也可以解方程组.

解 因为点(m ，－3)在x 轴下方，所以抛物线的开口方向可以向下、向左或向右.

当抛物线的开口向下时，设抛物线的标准方程为x 2＝－2py (p ＞0)，此时准线方程为y ＝p 2

.由抛物线的定义，知p 2

－(－3)＝5，所以p ＝4， 所以抛物线的标准方程为x 2＝－8y .

将点A (m ，－3)代入方程，得m ＝±2 6.

当抛物线的开口方向向左或向右时，设抛物线方程为y 2＝2ax (a ≠0)，由p ＝|a |，知准线方程

可统一成x ＝－a 2

的形式， 由题意，得????? |a 2＋m |＝5，

2am ＝9.

解方程组， 得????? a 1＝1，

m 1＝92，????? a 2＝－1，m 2＝－92，????? a 3＝9，m 3＝12，????? a 4＝－9，m 4＝－12，

所以y 2＝2x ，m ＝92；y 2＝－2x ，m ＝－92

； y 2＝18x ，m ＝12；y 2＝－18x ，m ＝－12

. 解后反思 由于抛物线的标准方程有四种形式，当焦点的位置不确定时，往往要分类讨论.

1.抛物线y ＝－18

x 2的准线方程是( ) A.x ＝132

B.x ＝12

C.y ＝2

D.y ＝4 答案 C

解析 将y ＝－18

x 2化为标准形式x 2＝－8y ，由此可知准线方程为y ＝2. 2.已知抛物线的顶点在原点，对称轴为x 轴，焦点在双曲线x 24－y 22

＝1上，则抛物线的方程为( )

A.y 2＝8x

B.y 2＝4x

C.y 2＝2x

D.y 2＝±8x

答案 D 解析 由题意知，抛物线的焦点为双曲线x 24－y 22

＝1的顶点，即为(－2,0)或(2,0)，所以抛物线的方程为y 2＝8x 或y 2＝－8x .

3．设F 为抛物线C ：y 2＝4x 的焦点，曲线y ＝k x

(k >0)与C 交于点P ，PF ⊥x 轴，则k ＝( ) A.12

B ．1 C.32

D ．2

答案 D

解析 由题可知抛物线的焦点坐标为(1，0)，由PF ⊥x 轴知，|PF |＝2，所以P 点的坐标为(1，

2)，代入曲线y ＝k x

(k >0)得k ＝2，故选D. 4.已知直线l 1：4x －3y ＋6＝0和直线l 2：x ＝－1，则抛物线y 2＝4x 上一动点P 到直线l 1和直线l 2的距离之和的最小值是( )

A.2

B.3

C.115

D.3716 答案 A

解析 易知直线l 2：x ＝－1恰为抛物线y 2＝4x 的准线，

如图所示，动点P 到l 2：x ＝－1的距离可转化为PF 的长度，

其中F (1,0)为抛物线y 2＝4x 的焦点.

由图可知，距离和的最小值，

即F 到直线l 1的距离

d ＝|4＋6|

(－3)2＋42＝2.

5.若双曲线x 23－16y 2

p 2＝1(p >0)的左焦点在抛物线y 2＝2px 的准线上，则p ＝________. 答案 4

解析 由双曲线x 23－16y 2p 2＝1得标准形式为x 23－y 2

p

216

＝1， 由此c 2

＝3＋p 216， 左焦点为(－ 3＋p 2

16

，0)， 由y 2＝2px 得准线为x ＝－p 2

， ∴－

3＋p 216＝－p 2， ∴p ＝4.

1.抛物线的定义中不要忽略条件：点F 不在直线l 上.

2.确定抛物线的标准方程，从形式上看，只需求一个参数p ，但由于标准方程有四种类型.因此，还应确定开口方向，当开口方向不确定时，应进行分类讨论，有时也可设标准方程的统一形式，避免讨论，如焦点在x 轴上的抛物线标准方程可设为y 2＝2mx (m ≠0)，焦点在y 轴上的抛物线标准方程可设为x 2＝2my (m ≠0).

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