河北省唐山市2015届高三年级第一次模拟考试 - 数学理(数学理)

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河北省唐山市

2014—2015学年度高三年级第一次模拟考试

数学(理)试题

一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项) 1.已知全集

2. A.—2i B.-4i

3.已知抛物线的焦点,则抛物线的标准方程是

C.2i

D.4i

4.命题

函数的图像过点(2,0),则 A. p 假 q 真 C. p 假 q 假

B. p 真 q 假 D. p 真 q 5.执行右边的程序框图,则输出的A是

6.在直角梯形ABCD中,AB//CD,

7.已知

8.展开式中的常数项为 A.-8 9.函数

B.-12

的值域为

C.-20

D.20

10.F是双曲线的右焦点,过点F向C的一条渐近线引垂线,垂足为

A,交另一条渐近线于点B,若则C的离心率是

11.直线分别与曲线

交于A,B,则|AB|的最小值为

12.某几何体的三视图如图所示,则该几体的表面积为

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.) 13.已知

14.为了研究某种细菌在特定环境下,随时间变化繁殖情况,得如下实验数据,计算得回归直线方

程为由以上信息,得到下表中 c 的值为 .

15.在半径为 5的球面上有不同的四点A,B,C,D,若则平面BCD 被球所截得图形的面积为 . 16.已知

的取值范围为 。

三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17.(本小题满分 12 分)

18.(本小题满分 12 分)

小王在某社交网络的朋友圈中,向在线的甲、乙、丙随机 发放红包,每次发放 1 个. (1)若小王发放 5 元的红包 2 个,求甲恰得 1 个的概率;

(2)若小王发放 3 个红包,其中 5 元的 2 个,10 元的 1 个.记乙所得红包的总钱数X为,

求X的分布列和期望. 19.(本小题满分 12 分)

如图,在斜三棱柱中,侧面ACC1A1与侧面CBB1C1都是菱形,

(I)求证:

(II)若求二项角C—AB1—A1的余弦值。

20.(本小题满分 12 分)

已知圆

,以线段AB为直径的圆内切于圆O,记点B的轨迹为.

(I)求曲线的方程;

(II)直线 AB交圆O于 C,D 两点,当B为 CD 的中点时,求直线AB的方程.

21.(本小题满分 12 分)

已知函数 (I) (II)

的取值范围;

22.(本小题满分10分)选修4—1:几何证明选讲

如图,圆周角的平分线与圆交于点D,过点D的切线与弦AC的延长线交于点E,AD交BC于

点F。

(I)求证:BC//DE;

(II)若D,E,C,F四点共圆,且

23.(本小题满分10分)选修4—4:坐标系与参数方程

已知椭圆

(I)写出椭圆C的参数方程与直线l的普通方程;

(II)设A(1,0),若椭圆C上的点P满足到点A的距离与其到直线l的距离相等,求点P的

坐标。

24.(本小题满分10分)选修4—5:不等式选讲 已知函数

(I)当a=1时,解不等式

(II)若的最小值为1,求a的值。

唐山市2014—2015学年度高三年级第一次模拟考试

理科数学参考答案 一、选择题:

A卷:CABAB BDCAC B卷:CABCC BDCAB 二、填空题:

(13)5; 三、解答题: (17)解:

(Ⅰ)当n=1时,由(1-q)S1+qa1=1,a1=1.

当n≥2时,由(1-q)Sn+qan=1,得(1-q)Sn-1+qan-1=1,两式相减得 an=qan-1,

又q(q-1)≠0,所以{an}是以1为首项,q为公比的等比数列,

故an=qn1. …6分

1-anq1-a3q1-a6q2(1-a9q)

(Ⅱ)由(Ⅰ)可知Sn=,又S3+S6=2S9,得+=,

1-q1-q1-q1-q

化简得a3+a6=2a9,两边同除以q得a2+a5=2a8.

(14)6;

(15)16π;

(16)[4,12].

DC DA

故a2,a8,a5成等差数列.

(18)解:

…12分

(Ⅰ)设“甲恰得一个红包”为事件A,P(A)=C12×

1 2 4

×=. 339

…4分

(Ⅱ)X的所有可能值为0,5,10,15,20.

2 2 2 8 1 2 28

P(X=0)= ()×=, P(X=5)=C1××()=, 2

33273327 1 2 2 2 2 1 6 1 2 2 4

P(X=10)=()×+()×=, P(X=15)=C1×()×=, 2

3333273327 1 31

P(X=20)=()=. …10分

327

X的分布列:

X 0 5 10 15 20 88641P 27272727278864120E(X)=0×+5×+10×+15×+20×=. …12分

27272727273

z A A1 (19)解:

(Ⅰ)证明:连AC1,CB1,则

△ACC1和△B1CC1皆为正三角形. 取CC1中点O,连OA,OB1,则 y O CC1⊥OA,CC1⊥OB1,则 C1 C CC1⊥平面OAB1,则CC1⊥AB1. …4分

B x B1 (Ⅱ)解:

由(Ⅰ)知,OA=OB1=3,又AB1=6,

所以OA⊥OB1.如图所示,分别以OB1,OC1,OA为正方向建立空间直角坐标系, 则C(0,-1,0),B1(3,0,0),A(0,0,3), …6分 设平面CAB1的法向量为m=(x1,y1,z1), 因为 →=(3,0,-3),→ABAC=(0,-1,-3),

1

??3×x1+0×y1-3×z1=0,所以?取m=(1,-3,1).

??0×x1-1×y1-3×z1=0,

…8分

设平面A1AB1的法向量为n=(x2,y2,z2), 因为 →=(3,0,-3),AA→= (0,2,0), AB

1

1

?3×x2+0×y2-3×z2=0,所以?取n=(1,0,1).

?0×x1+2×y1+0×z1=0,

m·n210

则cos?m,n?===,因为二面角C-AB1-A1为钝角,

|m||n|55×2

10

所以二面角C-AB1-A1的余弦值为-.

5

…10分

…12分

(20)解:

(Ⅰ)设AB的中点为M,切点为N,连OM,MN,则 |OM|+|MN|=|ON|=2,取A关于y轴的对称点A?, 连A?B,故|A?B|+|AB|=2(|OM|+|MN|)=4. 所以点B的轨迹是以A?,A为焦点,长轴长为4的椭圆.

y B M A? O N A x

其中,a=2,c=3,b=1,则

x22

曲线Γ的方程为+y=1. …5分

4

(Ⅱ)因为B为CD的中点,所以OB⊥CD, 则→OB⊥→AB.设B(x,y), 则x0(x0- …7分 2

x0222又+y0=1 解得x0=,y0=±. 4332

则kOB=±,kAB=2, …10分

2

则直线AB的方程为y=±2(x-3),即 2x-y-6=0或2x+y-6=0. …12分

00

2

3)+y0=0.

y D B O A x C (21)解:

(Ⅰ)令p(x)=f?(x)=ex-x-1,p?(x)=ex-1,

在(-1,0)内,p?(x)<0,p(x)单减;在(0,+∞)内,p?(x) >0,p(x)单增. 所以p(x)的最小值为p(0)=0,即f?(x)≥0,

所以f(x)在(-1,+∞)内单调递增,即f(x)>f(-1)>0. …4分

2 -

(Ⅱ)令h(x)=g(x)-(ax+1),则h?(x)=-ex-a,

x+1

2 1 2 -

令q(x)=-ex-a,q?(x)=x-.

e(x+1)2x+1

由(Ⅰ)得q?(x)<0,则q(x)在(-1,+∞)上单调递减. …6分 (1)当a=1时,q(0)=h?(0)=0且h(0)=0.

在(-1,0)上h?(x)>0,h(x)单调递增,在(0,+∞)上h'(x)<0,h(x)单调递减, 所以h(x)的最大值为h(0),即h(x)≤0恒成立. …7分 (2)当a>1时,h?(0)<0,

1-a 2 2 -

x∈(-1,0)时,h?(x)=-ex-a<-1-a=0,解得x=∈(-1,0).

x+1x+1a+1

1-a即x∈(,0)时h?(x)<0,h(x)单调递减,

a+1

又h(0)=0,所以此时h(x)>0,与h(x)≤0恒成立矛盾. …9分 (3)当0<a<1时,h?(0)>0,

1-a 2 2 -

x∈(0,+∞)时,h?(x)=-ex-a>-1-a=0,解得x=∈(0,+∞).

x+1x+1a+1

1-a

即x∈(0, )时h?(x)>0,h(x)单调递增,

a+1

又h(0)=0,所以此时h(x)>0,与h(x)≤0恒成立矛盾. …11分 综上,a的取值为1. …12分 (22)解:

(Ⅰ)证明:因为 ∠EDC=∠DAC, ∠DAC=∠DAB, ∠DAB=∠DCB,

所以∠EDC=∠DCB, 所以BC∥DE. …4分 (Ⅱ)解:因为D,E,C,F四点共圆,所以

∠CFA=∠CED,由(Ⅰ)知∠ACF=∠CED,所以 ∠CFA=∠ACF.设∠DAC=∠DAB=x, 因为⌒AC=⌒BC,所以∠CBA=∠BAC=2x,

所以∠CFA=∠FBA+∠FAB=3x,

E D F A B

C π

在等腰△ACF中,π=∠CFA+∠ACF+∠CAF=7x,则x=,

7

所以∠BAC=2x=. …10分

7(23)解:

?x=2cosθ,

(Ⅰ)C:?(θ为参数),l:x-3y+9=0.

?y=3sinθ

…4分

(Ⅱ)设P(2cosθ,3sinθ),

则|AP|=(2cosθ-1)2+(3sinθ)2=2-cosθ,

|2cosθ-3sinθ+9|2cosθ-3sinθ+9

P到直线l的距离d==.

22

3 4 由|AP|=d得3sinθ-4cosθ=5,又sin2θ+cos2θ=1,得sinθ=,cosθ=-.

55

8 33 故P(-,). …10分

55

(24)解:

??-x+2,-1≤x≤ 1 ;2 (Ⅰ)因为f(x)=|2x-1|+|x+1|=? 1

?3x, x≥?2

且f(1)=f(-1)=3,所以,f(x)<3的解集为{x|-1<x<1};

…4分

a a a a

(Ⅱ)|2x-a|+|x+1|=|x-|+|x+1|+|x-|≥|1+|+0=|1+|

2222

a a

当且仅当(x+1)(x-)≤0且x-=0时,取等号.

22

a

所以|1+|=1,解得a=-4或0.

2

-3x, x≤-1;

…10分

本文来源:https://www.bwwdw.com/article/9oh5.html

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