2011年北京高考数学文科试题及答案

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2011年普通高等学校招生全国统一考试

数学（文）（北京卷）

本试卷共5页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试

结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第一部分（选择题 共40分）

一、选择题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1．已知全集U=R,集合P=｛x︱x2≤1｝,那么CUP?

A．(-∞, -1] B．[1, +∞） C．[-1，1] D．（-∞，-1] ∪[1，+∞）

2．复数

i?2? 1?2i4343?i D．??i 5555 A．i B．-i C．?

3．如果log1x?log1y?0,那么

22 A．y< x<1 B．x< y<1 C．1< x

4．若p是真命题，q是假命题，则

A．p∧q是真命题 B．p∨q是假命题 C．﹁p是真命题 D．﹁q是真命题

5．某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥的表面积是

A．32 B．16+162 C．48 D．16+322

6．执行如图所示的程序框图，若输入A的值为2，则输入的P值为

A．2 B．3 C．4 D．5

7．某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元.若每批生产x件，则平均仓储时间为

x天，且8每件产品每天的仓储费用为1元.为使平均没见产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品件数 A．60件 B．80件 C．100件 D．120件

8．已知点A（0,2），B（2,0）．若点C在函数y = x的图像上，则使得ΔABC的面积为2的点C的个数为

A．4 B．3 C．2 D．1

第二部分（非选择题 共110分）

二、填空题共6小题，每小题5分，共30分.

9．在?ABC中.若b=5，?B?

?4，sinA=

1，则a=_____________. 3y210．已知双曲线x?2?1（b＞0）的一条渐近线的方程为y?2x，则b= .

b2

11．已知向量a=（3，1），b=（0，-1），c=（k，3）.若a-2b与c共线，则k=________.

12．在等比数列{an}中，a1=

1，a4=4，则公比q=_________；a1?a2?2?an?_________.

?2x?2?,13．已知函数f(x)??x若方程f（x）=k有两个不同的实根，则实数k的取值范围是______

?(x?1)3,x?2?

14．设A（0,0）,B（4,0）,C（t+4,3），D（t,3）（t?R）.记N（t）为平行四边形ABCD内部（不含边界）的整点的个数，其中整点是指横、纵坐标都是整数的点，则N（0）= ，N（t）的所有可能取值为 。

三、解答题6小题，共80分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 15．（本小题共13分）已知函数f(x)?4cosxsin(x?（Ⅰ）求f(x)的最小正周期：

?6)?1.

（Ⅱ）求f(x)在区间??????,?上的最大值和最小值. 64??

16．（本小题共13分）以下茎叶图记录了甲、乙两组各四名同学的植树棵树.乙组记录中有一个数据模糊，无法确认，在图中以X表示.

（1）如果X=8，求乙组同学植树棵树的平均数和方差；

（2）如果X=9，分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，求这两名同学的植树总棵数为19的概率. （注：方差s?

21[(x1?x)2?(x2?x)2??(xn?x)2],其中x为x1,x2,?,xn的平均数） n17．（本小题共14分）如图，在四面体PABC中，PC⊥AB，PA⊥BC,点D,E,F,G分别是棱AP,AC,BC,PB的中点.（Ⅰ）求证：DE∥平面BCP； （Ⅱ）求证：四边形DEFG为矩形； （Ⅲ）是否存在点Q，到四面体PABC六条棱的中点的距离相等？说明理由.

18．（本小题共13分）已知函数f(x)?(x?k)ex. （Ⅰ）求f(x)的单调区间；（Ⅱ）求f(x)在区间[0,1]上的最小值.

x2y2619．（本小题共14分）已知椭圆G:2?2?1(a?b?0)的离心率为，右焦点为（22,0），斜率为

ab3I的直线l与椭圆G交与A、B两点，以AB为底边作等腰三角形，顶点为P（-3,2）.

（I）求椭圆G的方程；（II）求?PAB的面积.

20．（本小题共13分）若数列An:a1,a2,???,an(n?2)满足ak?1?ak?1(k?1,2,???,n?1)，则称An为E数列，记S(An)?a1?a2?????an.（Ⅰ）写出一个E数列A5满足a1?a3?0； （Ⅱ）若a1?12，n=2000，证明：E数列An是递增数列的充要条件是an=2011； （Ⅲ）在a1?4的E数列An中，求使得S?An?=0成立得n的最小值.

参考答案

一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分）

（1）D （2）A （3）D （4）D （5）B （6）C （7）B （8）A 二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分） （9）

152n?1 （10）2 （11）1 （12）2 2? （13）（0，1） （14）6 6，7，8，

23三、解答题（共6小题，共80分）

（15）（共13分）解：（Ⅰ）因为f(x)?4cosxsin(x?

?6)?1?4cosx(31sinx?cosx)?1 22?3sin2x?2cos2x?1?3sin2x?cos2x?2sin(2x?所以f(x)的最小正周期为?

?6)

（Ⅱ）因为?

?6?x??42,所以??6?2x??6?2?. 3于是，当2x?当2x??6??,即x??6时，f(x)取得最大值2；

?6???,即x??时,f(x)取得最小值—1． 66?（16）（共13分）解（1）当X=8时，由茎叶图可知，乙组同学的植树棵数是：8，8，9，10，

8?8?9?1035?;

441352352352112. 方差为s?[(8?)?(9?)?(10?)]?444416所以平均数为x?（Ⅱ）记甲组四名同学为A1，A2，A3，A4，他们植树的棵数依次为9，9，11，11；乙组四名同学为

B1，B2，B3，B4，他们植树的棵数依次为9，8，9，10，分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，所有可能的结果有16个，它们是： （A1，B1），（A1，B2），（A1，B3），（A1，B4）， （A2，B1），（A2，B2），（A2，B3），（A2，B4）， （A3，B1），（A2，B2），（A3，B3），（A1，B4）， （A4，B1），（A4，B2），（A4，B3），（A4，B4）， 用C表示：“选出的两名同学的植树总棵数为19”这一事件，则C中的结果有4个，它们是：（A1，B4），

（A2，B4），（A3，B2），（A4，B2），故所求概率为P(C)?41?. 164（17）（共14分）5明：（Ⅰ）因为D，E分别为AP，AC的中点，

所以DE//PC。又因为DE?平面BCP，所以DE//平面BCP。 （Ⅱ）因为D，E，F，G分别为AP，AC，BC，PB的中点，

所以DE//PC//FG，DG//AB//EF。所以四边形DEFG为平行四边形， 又因为PC⊥AB，所以DE⊥DG，所以四边形DEFG为矩形。 （Ⅲ）存在点Q满足条件，理由如下： 连接DF，EG，设Q为EG的中点

由（Ⅱ）知，DF∩EG=Q，且QD=QE=QF=QG=

1EG. 2分别取PC，AB的中点M，N，连接ME，EN，NG，MG，MN。

与（Ⅱ）同理，可证四边形MENG为矩形，其对角线点为EG的中点Q， 且QM=QN=

1EG， 所以Q为满足条件的点. 2（18）（共13分）解：（Ⅰ）f?(x)?(x?k?1)e3.令f??x??0，得x?k?1．

f(x)与f?(x)的情况如下：

x （??,k?k） —— ↗ k?1 0 （(k?1,??) + ↗ f?(x) f(x)

?ek?1 所以，f(x)的单调递减区间是（??,k?1）；单调递增区间是(k?1,??) （Ⅱ）当k?1?0，即k?1时，函数f(x)在[0，1]上单调递增， 所以f（x）在区间[0，1]上的最小值为f(0)??k;

当0?k?1?1,即1?k?2时，由（Ⅰ）知f(x)在[0,k?1]上单调递减，在(k?1,1]上单调递增，所以f(x)在区间[0，1]上的最小值为f(k?1)??ek?1；

当k?1?t,即k?2时，函数f(x)在[0，1]上单调递减，所以f(x)在区间[0，1]上的最小值为f(1)?(1?k)e.

（19）（共14分）解：（Ⅰ）由已知得c?22,c6?.解得a?23. a3

x2y2??1. 又b?a?c?4.所以椭圆G的方程为

124222?y?x?m?（Ⅱ）设直线l的方程为y?x?m.由?x2得4x2?6mx?3m2?12?0. y2?1???124设A、B的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2)(x1?x2),AB中点为E(x0,y0)， 则x0?x1?x2m3m??,y0?x0?m? 因为AB是等腰△PAB的底边，

424m4??1. 解得m=2。 所以PE⊥AB. 所以PE的斜率k?3m?3?42?此时方程①为4x?12x?0. 解得x1??3,x2?0. 所以y1??1,y2?2. 所以|AB|=32.

2此时，点P（—3，2）到直线AB：x?y?2?0的距离d?|?3?2?2|2?32, 2所以△PAB的面积S=

19|AB|?d?. 22（20）（共13分）解：（Ⅰ）0，1，0，1，0是一具满足条件的E数列A5.

（答案不唯一，0，—1，0，1，0；0，±1，0，1，2；0，±1，0，—1，—2；0，±1，0，—1，

—2，0，±1，0，—1，0都是满足条件的E的数列A5）

（Ⅱ）必要性：因为E数列A5是递增数列，所以ak?1?ak?1(k?1,2,?,1999)． 所以A5是首项为12，公差为1的等差数列．所以a2000=12+（2000—1）×1=2011． 充分性，由于a2000—a1000≤1，a2000—a1000≤1……a2—a1≤1

所以a2000—at≤19999，即a2000≤a1+1999．又因为a1=12，a2000=2011,所以a2000=a1+1999． 故an?1?an?1?0(k?1,2,?,1999),即An是递增数列．综上，结论得证.

（Ⅲ）对首项为4的E数列Ak，由于a2?a1?1?3,a3?a2?1?2,……a5?a7?1??3.……

所以a1?a2???ak?0(k?2,3,?,8) 所以对任意的首项为4的E数列Am，若S(Am)?0, 则必有n?9. 又a1?4的E数列A1:4,3,2,1,0,?1,?2,?3,?4满足S(A1)?0, 所以n是最小值是9.

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