07线性代数练习题(含答案)

习题

线性代数练习题

一、单项选择题

11101101

1． 行列式 ( )

1011

0111

A. 1

B. 3 C. －1 D. －3

a10

２．行列式

b4

0a2b30

0b2a30

b10

（ ） 0a4

A. a1a2a3a4 b1b2b3b4 B.a1a2a3a4 b1b2b3b4

C. (a1a2 b1b2)(a3a4 b3b4) D. (a1a4 b1b4)(a2a3 b2b3) ３、在下列矩阵中，可逆的是（ ）

000 A. 010 001 110 011C. 121

110

B. 220 001 100 111D. 101

４、A是n阶方阵，且A 0，则A中（ ）

A．必有一列元素全为0 B．必有两列元素成比例

C．必有一列向量是其余列向量的线性组合D．任一列向量是其余列向量的线性组合 ５．对任意n阶方阵A、B总有（ ）

A.AB=BA B.|AB|=|BA|

TTT222

C.(AB)=AB D.(AB)=AB ６、设n阶方阵A、B、C满足关系式ABC=En，则必有（）

（A）ACB=En (B)BCA=En (C)CBA=En (D)BAC=En ７、设有m维向量组(I)： 1, 2, , n，则（ ）

A.当m<n时，(I)一定线性相关 B.当m>n时，(I)一定线性相关 C.当m<n时，(I)一定线性无关 D.当m>n时，(I)一定线性相关

８．设A是m n矩阵，则齐次线性方程组Ax=0仅有零解的充分必要条件是（ ） A.A的行向量组线性无关 B.A的行向量组线性相关 C.A的列向量组线性无关 D.A的列向量组线性相关

-1

９．设A是3阶方阵，且|A|=-2，则|A|等于（ ）

习题

A.-2

B.

11

C. 22

D.2

* 1

１０．设A,B均是n阶方阵， 2,B 3，则2AB （ ）

2n 1

22n 12n 12nn2 （A） （B）( 1) （C） （D） 333 3

（A是A的伴随矩阵）

*

1 11

1 的秩为2，则 =（ ） １１．设矩阵A= 12

23 1

A.2

C.0

B.1 D.-1

１２．设A是三阶矩阵，有特征值1，-1，2，则下列矩阵中可逆矩阵是（ ） A. E-A B. E+A C. 2E-A D. 2E+A

222

１３．二次型f(x1,x2,x3) x1 3x2 4x3 6x1x2 10x2x3的矩阵是（ C ）

135

A. 330 50 4 130

C. 335 05 4

160

B. 0310 00 4 0 16 D. 6310 010 4

二、填空题（每小题4分，共20分）

012１．行列式123的值为 .

234

２、=

x+1 -1 1 -1

1

3.设A 0

2

2

x

12

3 4 1

,已知矩阵A的秩r(A)=2,则x

1

４． 已知A 2A 2E 0,则(A E) (其中E是n阶单位阵)

习题

1 1 0 1

５、初等矩阵A 0 1 0 ,A

0 0 1

00F

６．设 A G13

G24H

2

I

, 则 A0JJ0K

1

等 于

1 1 1 1

1 1 1 1 ,A的非零特征值为 ７、A

1 1 1 1 1 1 1 1

T

８、向量组 1 1 -1 2 4 , 2 (0 3 1 2),

T

3 (3 0 7 14)T，

4 (1 -1 2 0)T, 5 (2 1 5 6)T的秩为。

1 0 2

９、A是4 3矩阵，R（A）=2，B 0 2 0 ，则R（AB）= 。

-1 0 3

提示：R(B)=3,R可逆，一个矩阵乘以可逆矩阵后秩不变,R(AB)=R(A)=2

1*

１０．设A是三阶可逆矩阵，且A 3,则4A 2A

12 362222

１1．设A (aij)4 4 Aij是aij的代数余子式,

21073418

则A41 A42 A43 A44

001

１４．设矩阵A 010 ，则A的全部特征值为 .

100

121 100

2x00 10１５．A= ，相似于对角阵 ,则x 002 002

提示：A有特征值-1,2

三、计算题（共52分）

101

1．设A= 020 ，矩阵X满足方程AX+E=A2+X，求矩阵X. （8分）

101 解：（法一） AX+E=A+X (A E)X A E (A E)(A E) (4分)

2

2

习题

001 201

X A E 030 (4分) A E 010 可逆，

100 102

（法二）AX+E=A+X

2

(A E)X 001

010 100

001 20

A2 E (A E)(A E) 010 03

100 10

102 100201 2

030 ～ 010030 X 0

1201 001102 1 102

0 030 （4分）

2 201 01

30 （4分） 02

010 1 1

２、解矩阵方程AX B X，其中A 111 ,B 20 （8分）

10 1 5 3

解：AX B X (A E)X B

1 0 1 x1 y1 0 1

３、解方程组：-1 1 1x2 y2 1 1

2 -1 1 -1 0 x3 y3

解：x1 0,x2 1,x3 0,y1 1,y2 2,x3 0,

４．求矩阵X满足

1

1 21 1 22 2 40 1 10

1 1 1 1 1

21 1 14 022解： X 40 1 27 1 10

５．求下列矩阵的秩

1

4 X 07 1

1

01 1 12 02 2 20 A=

0 1111 1101 1

01 1 12 1

02 2 200 解：A ~ 0 1111 0 1101 1 0

R(A)=3

101 1

1 1 12 0001

0000

x3 a x1

６．a取何值时，线性方程组 4x1 x2 2x3 a 2有解，并写出解的通解。

6x x 4x 2a 3

23 1

（8分）

习题

a 101a 101a 101

解： A, 412a 2 ～ 01 22 3a ～ 01 22 3a

6142a 3 01 23 4a 01 23 4a a 101

～ 01 22 3a 要使方程有解，须使R(A) R(A, ) 1 a 0（4分）

0001 a a 1011 101

x1 x3 1

则a＝1．此时 A, 412a 2 ～ 01 2 1 即

6142a 3 000 x2 2x3 10

1 1

令x3＝c的方程的通解为X c 2 1 ,c R（4分）

1 0

x x x x 0R|x x x 3x 0 的 通 解。（8分）

７．求 方 程 组S

|x x 2x 3x 0T

1OL1OL1 10 1OLM1PM0PMPPMP解：A 001 2 X kM kMPM0PM2PMP0000PMPNQM01NQNQ

111

222

3

4

3

43

4

2

８．求下述列向量组

性表出。（8分）

1, 2, 3, 4的秩、最大无关组，并将其余向量用这个最大无关组线

1 1 2 3 24

1 2 4

1 3 3 1 2 3 4

1 1 4 1 13 ， ， ，

41 1 12

1 3 3 1 0 , , , 1234解：（）＝ ～1142 0 1 13 3 01 1241 10 124

010 1010 1 01～ ～～

00 7 7 0011 00

00 1 1 0000 00

（2分） 1, 2, 3为最大无关组，

且有 4 1 2 3 （2分）

1

5 7 2

101

3 1 2 0 1

0 1 1, 2, 3, 4）＝3（4

则R（

11

00

分）

９．当t取何值时，向量组(1,2,-1,1)，(2,0,t,0)，(0,-4,5,-2)线性相关，并求出一

TTT

习题

个线性表达式。（8分）

1

2

解： A

1 1 20 120 12

0 4 0 4 4 01

～～

t5 0t 25 0t 2

0 2 0 2 2 0 00 12

1 01～

5 0t 3 0 0 00

1

（3分） 0 0

当t－3＝0，即t＝3 时R（A）=2<3,向量组线性相关（2分）

120 120 10 2

01120 4011

此时A 1, 2, 3 ～～ 000 1t5000

10 2 000 000

可得 3 2 1 2, （3分）

１１、 1, 2, , m 1(m 3)线性相关，向量组 2, 3 , m线性无关，

讨论：（1） 1能否由 2, 3 , m 1线性表示？ （2） m能否由 1, 2 , m 1线性表示？ 解：（1）不能.

设 1能否由 2, 3 , m 1线性表示，则 1, 2, 3 , m线性相关， 则 2, 3 , m线性相关，与已知矛盾， 因此 1不能否由 2, 3 , m 1线性表示. （2）不能.

证明过程与第一小题类似。

1 0 1 １２、求可逆矩阵P，将矩阵A 0 1 0化为对角阵 1 0 1

解：|A- E|=0

1

01- 0

1

0 (1 )( 2) 1-

1 0, 2 1, 3 2

1

由 1 0,解方程Ax=0,得基础解系 1 0

1

习题

0 由

2 1,解方程(A-E)x=0,得基础解系2 1

0 由 1

3 2,解方程(A-2E)x=0,得基础解系 3 0

1 101 P 010

101

１３、设二次型f(x1,x2,x3) x1x2 x1x3 x2x3，用配方法化此二次型为标准形，并写出所用的可逆线性变换。 提示：参考135页例16.

222

１４、设有二次型

f(x1,x2,x3) x1 x2 x3 4x1x2 4x1x3 4x2x3

（1） 给出它的系数矩阵 A；（2分）（2）求 A的特征值和特征向量 （3） 求正交变换 x Py，将二次型化为标准型。（6分）

12

2 解（1）A 2 1 2 (2分)

2 2 1

（2）由

1

22 1 22

1 2A E

2 1 2

2 1

2 (1 )

2 1 2 2 1 0

1 1

1

1

42

(1 )

2 3 2 ( 1)2( 5)，得特征值 1 5, 2 3 1

1

（4分）

2 211 101 当 1 5时A 5E 42

24 2 ～ 03 3 ～ 01 1

2 24 0 33 000

2 21

习题

1 1

得基础解系 1 1 即得对应于 1 5的特征向量 1 1 （4分）

1 1 2 1 1 1 22

0 ，得基础解系 当 2 3 1时A E 2 2 2 ～ 00

2 2 2 000 1 1 1 1

2 1 , 3 0 。得对应于 2 3 1的特征向量 2 1 , 3 0 （4分）

0 1 0 1 1 1 1

, 111 23

P 1 1, (3)令1 ，令2 3 1 12322

2 2 0 1 2

1

1 1

1 1 1

得P2 1 ,P3 1 ，令P＝ P1,P2,P3

32 6 02 1 3

则P为正交阵，且作正交变换 x Py

使得f 5y1 y2 y3 （2分） 三、证明题（共8分） １．设向量

2

2

2

12120

1 6 1 ,（4分）

6 2 6

, 2, 3, 4线性无关,且

1

证明向量组 1, 2, 3, 4线性无关. (8分)

1 1 2 3 4, 2 1 2 3 4, 3 1 2 3 4, 4 1 2 3 4

1 1 1 1 11 1 1

证明 由题意可得 1, 2, 3, 4 1, 2, 3, 4 1 11 1

1 1 11

1 1 1 1111 11 1 0200

记为A＝BK，而K （4分） 2 16 0,所以K可逆，

1 11 0020 1 1 110002

, 2, 3, 4线性无关，所以R(B) R(A) 4（2分）

从而R(A) R(B),因为1

习题

即B的三个列向量组 1, 2, 3, 4线性无关。（2分） ４．设 1, 2, , s线性无关，且

1 1

2 k21 1 2

3 k31 1 k32 2 3

其中kij都是数，证明 1, 2, , s线性无关。

2 ks,s 1 s 1 s

s ks1 1 ks2

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