三角形的五心一次看个够

三角形的五心一次看个够

三角形中有许多重要的特殊点，特别是三角形的“五心”，在解题时有很多应用，在这里分别给予介绍．

一、三角形外心的性质

A 外心定理的证明：如图，设AB、BC的中垂线交于点O，则有

OA=OB=OC，故O也在A的中垂线上，因为O到三顶点的距离相等，故点O是ΔABC外接圆的圆心．因而称为外心．

O设⊿ABC的外接圆为☉G(R)，角A、B、C的对边分别为a、b、c，

BCp=(a+b+c)/2．

1：（1）锐角三角形的外心在三角形内；

（2）直角三角形的外心在斜边上，与斜边中点重合； （3）钝角三角形的外心在三角形外. 2：∠BGC=2∠A，（或∠BGC=2(180°-∠A).

3：点G是平面ABC上一点，那么点G是⊿ABC外心的充要条件是：

????????????????????????点G是?ABC的外心?GA?GB?GC (或GA2=GB2=GC2)(点G到三顶点距离相等)

?(GA+GB)·AB=(GB+GC)·BC=(GC+GA)·CA=0(G为三边垂直平分线的交点)

4：点G是平面ABC上一点，点P是平面ABC上任意一点，那么点G是⊿ABC外心的充要条件是：

????????????????????????????????????????????????????PG=((tanB+tanC) PA+(tanC+tanA) PB+(tanA+tanB) PC)/2(tanA+tanB+tanC). ????????????????或PG =(cosA/2sinBsinC)PA+(cosB/2sinCsinA)PB+(cosC/2sinAsinB)PC.

5：R=abc/4S⊿ABC.

正弦定理：2R=a/sinA=b/sinB=c/sinC。

6.外心坐标：

给定A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3)求外接圆心坐标O（x，y）

①. 首先，外接圆的圆心是三角形三条边的垂直平分线的交点，我们根据圆心到顶点的距离相等，可以列出以下方程：

(x1?x)2?(y1?y)2?(x2?x)2?(y2?y)2 (x3?x)2?(y3?y)2?(x2?x)2?(y2?y)2

②.化简得到：

222(x2?x1)x?2(y2?y1)y?x2?y2?x12?y12

2222 2(x2?x3)x?2(y2?y3)y?x2?y2?x3?y3 令A1

22?2(x2?x1)；B1?2(y2?y1);C1?x2?y2?x12?y12

2222 A2?2(x2?x3)；B2?2(y2?y3);C2?x2?y2?x3?y3 即 ③.最后根据克拉默法则： x?A1x?B1y?C1; A2x?B2y?C2; C1B2?C2B1AC?A2C1 ,y?12A1B2?A2B1A1B2?A2B1因此，x，y为最终结果； 7.若O是△ABC的外心，则S△BOC：S△AOC：S△AOB=sin∠BOC：sin∠AOC：sin∠AOB=sin

?????????????∠2A：sin∠2B：sin∠2C 故sin∠2A·OA+sin∠2B·OB+sin∠2C·OC=0 证明：设O点在?ABC内部，由向量基本定理，有

mOA?nOB?rOC?0m,n,r?R?，则S?BOC:S?COA:SAOB?m:n:r设：mOA?OD,nOB?OE,rOC?OF，则点O为△DEF的重心， 又S?BOC?111S?EOF，S?AOC?S?DOF，S?AOB?S?DOE，∴nrmrmn??S?BOC:S?COA:SAOB?m:n:r

若O是△ABC的外心，则S△BOC：S△AOC：S△AOB=sin∠BOC：sin∠AOC：sin∠AOB=sin∠2A：sin∠2B：sin∠2C

?????????????故sin∠2A·OA+sin∠2B·OB+sin∠2C·OC=0

二、三角形的内心

内心定理的证明：如图，设∠A、∠C的平分线相交于I、过I作ID⊥BC，IE⊥AC，IF⊥AB则有IE=IF=ID．因此I也在∠C的平分线上，即三角形三A内角平分线交于一点．上述定理的证法完全适用于旁心定理，请同学们自己完成． M设△ABC的内切圆为☉O(半径r)，角A、B、C的对边分别为a、b、c，p=(a+b+c)/2。 1、三角形的三个角平分线交于一点，该点即为三角形的内心。 2、三角形的内心到三边的距离相等，都等于内切圆半径r。 3、r=S/p。 证明：S△ABC=S△OAB+S△OAC+S△OBC=(cr+br+ar)/2=rp, 即得结论。 4、△ABC中，∠C=90°，r=(a+b-c)/2。 5、∠BOC=90°+∠A/2。 6、点O是平面ABC上任意一点，点O是△ABC内心的充要条件是： BFIDHEKC?????????????aOA?bOB?cOC?0。 7、点O是平面ABC上任意一点，点L是△ABC内心的充要条件是： ????????????????OL?(aOA?bOB?cOC) /(a+b+c)。 8、△ABC中，A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3)，那么△ABC内心L的坐标是： ?ax1?bx2?cx3ay1?by2?cy3?,??。 a?b?c??a?b?c9、(欧拉定理)△ABC中，R和r分别为外接圆为和内切圆的半径，O和I分别为其外心和内心，则OL2=R2-2Rr。 10、内角平分线分三边长度关系：如图：△ABC中，AD是∠A的角平分线，D在BC上，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边，d=AD。设R1是△ABD的外接圆半径，R2是△ACD的外接圆半径，则有：BD/CD=AB/AC 证明：由正弦定理得 b/sinB=c/sinC，d=2R1sinB=2R2sinC， ∴R1/R2=sinC/sinB=c/b. 又BD=2R1sinBAD， CD=2R2sinCAD， ∠CAD=∠BAD， ∴BD/CD=R1/R2=c/b=AB/AC 11、内切圆半径r= 三、三角形的重心

1.重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1。 2.重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。 3.重心到三角形3个顶点距离的平方和最小。 4.在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均，即其坐标为?FBDGCAE?x1?x2?x3y1?y2?y3?,?。 33??5.重心是三角形内到三边距离之积最大的点。 6.(莱布尼兹公式)三角形ABC的重心为G，点P为其内部任意一点，则 AP2?BP2?CP2AB2?BC2?CA2PG?? 3927.在三角形ABC中，过重心G的直线交AB、AC所在直线分别于P、Q，则 AB/AP+AC/AQ=3 8.从三角形ABC的三个顶点分别向以他们的对边为直径的圆作切线，所得的6个切点AB2?BC2?CA2为Pi，则Pi均在以重心G为圆心，r?为半径的圆周上 18四、三角形的垂心 证明垂心定理 分析 我们可以利用构造外心来进行证明。 证明 如图，AD、BE、CF为ΔABC三条高，过点A、B、C分别作对边的平行线相交成ΔA'B'C'，显然AD为B'C'的中垂线；同理BE、CF也分别为A'C'、A'B'的中垂线，由外心定理，它们交于一点，命题得证． 设△ABC的三条高为AD、BE、CF，其中D、E、F为垂足，垂心为H，角A、B、C的对边分别为a、b、c，p=(a+b+c)/2． 1、锐角三角形的垂心在三角形内；直角三角形的垂心在直角顶点上；钝角三角形的垂心在三角形外. 2、三角形的垂心是它垂足三角形的内心；或者说，三角形的内心是它旁心三角形的垂心； 3、 垂心H关于三边的对称点，均在△ABC的外接圆上。 4、 △ABC中，有六组四点共圆，有三组(每组四个)相似的直角三角形，且AH·HD=BH·HE=CH·HF。 5、 H、A、B、C四点中任一点是其余三点为顶点的三角形的垂心(并称这样的四点为一—垂心组)。 6、 △ABC，△ABH，△BCH，△ACH的外接圆是等圆。 7、 在非直角三角形中，过H的直线交AB、AC所在直线分别于P、Q，则 AB/AP·tanB+AC/AQ·tanC=tanA+tanB+tanC。 8、 设O，H分别为△ABC的外心和垂心，则∠BAO=∠HAC，∠ABH=∠OBC，∠BCO=∠HCA。 9、 锐角三角形的垂心到三顶点的距离之和等于其内切圆与外接圆半径之和的2倍。 10、 锐角三角形的垂心是垂足三角形的内心；锐角三角形的内接三角形(顶点在原三角形的边上)中，以垂足三角形的周长最短（施瓦尔兹三角形，最早在古希腊时期由海伦发现）。 11、西姆松定理（西姆松线）：从一点向三角形的三边所引垂线的垂足共线的充要条件是该点落在三角形的外接圆上。 12、 设锐角△ABC内有一点P，那么P是垂心的充分必要条件是PB*PC*BC+PB*PA*AB+PA*PC*AC=AB*BC*CA。 C'FAEB'BDCA'13、设H为非直角三角形的垂心，且D、E、F分别为H在BC，CA，AB上的射影，H1，H2，H3分别为△AEF，△BDF，△CDE的垂心，则△DEF≌△H1H2H3。

14、三角形垂心H的垂足三角形的三边，分别平行于原三角形外接圆在各顶点的切线。 15、三角形任一顶点到垂心的距离，等于外心到对边的距离的2倍。（垂心伴随外接圆，必有平行四边形）

推论（垂心余弦定理）：锐角三角形

ABC的垂心为H，则

AH/cosA=BH/cosB=CH/cosC=2R（可引入有向距，推广到任意三角形）

16、等边三角形的垂心把三角形的高分成2:1两段，靠近顶点的那段长度为高的三分之二。

17、垂心的重心坐标反而比外心简单一点。先计算下列临时变量（与外心一样）： d1,d2,d3分别是三角形三个顶点连向另外两个顶点向量的点乘。 c1=d2d3，c2=d1d3，c3=d1d2；c=c1+c2+c3。 垂心坐标：( c1/c，c2/c，c3/c )

△ABC中，A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3)，垂心H(m,n); 分别做高线: AH⊥BC;BH⊥AC;

y1?ny2?y3y?ny1?y3???1且2???1 x1?mx2?x3x2?mx1?x3解得:

2222x2x1y1?x3x2y2?x1x3y3?x1x3y1?x1x2y2?x2x3y3?y12y2?y2y3?y3y1?y2y1?y12y3?y3y2m?x1y3?x2y1?x3y2?x1y2?x2y3?x3y12222x1y1y2?x2y2y3?x3y3y1?x1y1y3?x2y2y1?x3y3y2?x12x2?x2x3?x3x1?x2x1?x12x3?x3x2n?x1y2?x2y3?x3y1?x1y3?x2y1?x3y2

五、三角形的旁心

1 ：三角形的一条内角平分线与其他两个角的外角平分线交于一点，该点即为三角形的旁心。

2：旁心到三角形三边的距离相等。

3：三角形有三个旁切圆，三个旁心。旁心一定在三角形外。

4：直角三角形斜边上的旁切圆的半径等于三角形周长的一半。

5:?ABC的内心为I，而

I3KAI2FIEBMDCNI1BC,CA,AB边外的旁心分别为I1,I2,I3；

11S?AOB??OA?OB?sinC??OA?OB?tanC?cosC

2211S?AOC??OA?OC?sinB??OA?OC?tanB?cosB

22因此只需证

OB?OC?cosA?OA?OB?cosC?OA?OC?cosB

先证第一个等式

OB?OC?cosA?OA?OB?cosC cosCcos?AOEOEOEOC????（E 、C、D、O四点共圆,?C,?AOE为?DOE的cosAcos?COEOAOCOA补角；E 、O、F、A四点共圆,?A,?COE为?FOE的补角）所以上式成立，即第一个等式成立。同理可证：该连等式成立，原题得证。 特别性质：3.三角形四心与面积关系

1.欧拉点：三个顶点到垂心连线的中点，又称费尔巴哈点。

2.欧拉圆：又称“九点圆”，即3个欧拉点、三边中点和三高垂足九点共圆。

3.欧拉线：三角形的外心、重心、九点圆圆心、垂心，依次位于同一直线上，这条直线就叫三角形的欧拉线。 证明：

作△ABC的外接圆，连结并延长BO，交外接圆于点D。连结AD、CD、AH、CH、OH。作中线AM，设AM交OH于点G’ ∵ BD是直径

∴ ∠BAD、∠BCD是直角 ∴ AD⊥AB，DC⊥BC ∵ CH⊥AB，AH⊥BC ∴ DA‖CH，DC‖AH

∴ 四边形ADCH是平行四边形 ∴ AH=DC

∵ M是BC的中点，O是BD的中点

∴ OM= 1/2DC ∴ OM= 1/2AH ∵ OM‖AH

∴ △OMG’ ∽△HAG’ ∴AG’/MG’=AH/MO=2/1 ∴ G’是△ABC的重心 ∴ G与G’重合

∴ O、G、H三点在同一条直线上

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