控制系统的综合与校正

第六章 控制系统的综合与校正

6．1引 言

步进电机

控制器

气动卡盘

绕线电机

转子

电枢线

图6－1 自动绕线机

图6－1为一自动绕线机的原理图，当其正常工作时，要求绕线电机以较快的转速将电枢线绕到转子上，而由绕线电机及测速器构成的单位负反馈系统的开环传递函数为

G0?k0

s(0.1s?1)(0.2s?1)

其中，k0为开环增益。为了保证绕线速度，k0的取值不能太少，一般取k0?10。由此，可以画出绕线电机的Bode如图6－2所示，其相位裕度为???0.2?，不能满足系统稳定的要求。由于绕线电机及测速器的特性不可改变，所以只有通过设计适当的控制器来实现自动绕线机的正常工作。自动控制系统中控制器的设计又叫做系统的综合与校正。

20lgG0 20 dec -40dB/dec 0 1 5 .1 图6－2 绕线电机的Bode图

-20dB/710 ?

-60dB/dec

本章主要介绍控制系统的综合与校正。所谓综合或校正，就是在系统中不可变部分的基础上，加入一些元件（称校正元件），使系统满足要求的各项性能指标。一般情况下，控制系统的固有部分即不可变部分由已知的元件组成，因而其特性也是已知的。固有部分的参数除了增益以外，其余大多数参数是不可改变的，因而也叫不可变部分。通常，提高系统的性能指标，仅仅靠提高增益是不能完成的。所以，提高系统的性能指标往往需要引入新的元件来校正系统的特性。

控制系统中通常有两种校正方式，即串联校正和反馈校正。校正元件可以串联在前向通道之中，形成串联校正，如图6－3所示。也可接在系统的局部反馈通道之中，形成并联校正或反馈校正，如图6－4所示。

R(s) Gc(s) G0(s) C(s) H(s) 图6－3 串联校正系统方框图

R(s) G1(s) G2(s) C(s) Gc(s) H(s) 图6－4 反馈校正系统方框图

串联校正的方法中，根据校正环节的相位变化情况，可分为超前校正、滞后校正、滞后超前校正。按照运算规律，串联校正又可分为比例控制、积分控制、微分控制等基本控制规律以及这些基本控制规律的组合。

经典控制理论中系统校正的方法主要有根轨迹法和频率特性法。本章主要介绍频率特性法。频率特性设计法根据系统性能指标的要求，以系统的开环对数频率特性（Bode图）为设计对象，使系统的开环对数幅频特性图满足系统性能指标的要求。具体来说就是：1，系统的低频段具有足够大的放大系数，有时候也要求具有足够大的斜率以满足系统对稳态误差的要求。2，系统的中频段以－20dB/dec的斜率通过0dB线，并且保证足够的中频段宽度以满足性能指标对相位裕度的要求。3，高频段一般不作特殊设计，而是根据被控对象自身特性进行高频衰减。

6．2 基本控制规律

站在系统设计的角度，控制系统的校正又可以看成是控制系统的控制器设计。控制系统

的控制器通常采用比例、微分、积分等基本控制规律，以及这些基本控制规律的组合，如比例微分、比例微分、比例积分微分，来实现对被控对象的控制。

6．2．1 比例（P）控制规律

具有比例控制规律的控制器称为P控制器。它实际上是一个增益可调的放大器，如图6－5所示。P控制器的输出信号m(t)与输入信号?(t)成比例关系，即

m(t)?KP?(t)

其中，KP为P控制器的比例系数，又称为P控制器的增益。在串联校正中，提高P控制器的增益就是提高控制系统的开环放大系数，可以减小系统的稳态误差，提高控制精度。但是会降低系统的相对稳定性，开环放大系数过大还会造成系统的不稳定。因此在控制系统的设计中，很少单独使用比例控制规律。

（6－1）

R(s) E(s) KP M(s)

C(s) 图6－5 比例（P）控制器

6．2．2 比例微分（PD）控制规律

具有比例加微分控制规律的控制器称为PD控制器，如图6－6所示。PD控制器的输出信号m(t)即与输入信号?(t)的成比例关系，又与输入信号?(t)的导数成比例关系，即

m(t)?KP?(t)?KP?其中，KP为可调比例系数，?为可调微

d?(t) dt （6－2）

分时间常数。

R(s) E(s) M(s) PD控制器由于采用了微分控制规律，可KP(1??s) 以反应输入信号的变化趋势，引入早期修正信号，从而增加系统的阻尼程度，提高系统

C(s) 的稳定性。

但是，微分控制规律只有在输入信号变图6－6 比例微分（PD）控制器 化时才有效，所以单一的D控制器不能单独使用。另外由于微分控制规律具有预见信号变化趋势的特点，所以容易放大变化剧烈的噪声。

6．2．3 积分（I）控制规律

具有积分控制规律的控制器称为I控制器，如图6－7所示。I控制器的输出信号m(t)与输入信号?(t)的积分成比例关系，即

m(t)?KI??(t)dt

0I （6－3）

其中，KI为可调的比例系数。由于

R(s) PI控制器的积分作用，当输入信号变化零 s以后，其输出信号可能仍保持为一个非零

的常量。 C(s) I控制器可以提高系统的型别，从而

图6－7 积分（I）控制器 消除或减小稳态误差，提高系统的稳态性

能指标。但是I控制器引入了－90°的相

移，会降低系统的稳定性，甚至可能造成系统的不稳定。

E(s) KM(s)

6．2．4 比例积分（PI）控制规律

具有比例积分控制规律的控制器称为PI控制器，如图6－8所示。PI控制器的输出信号

m(t)即与输入信号?(t)成比例关系，也与输入信号?(t)的积分成比例关系，即

Km(t)?KP?(t)?PTI其中，KP为可调放大系数，TI为可调积分时间常数。

PI控制器引入的位于原点的极点可以提高系统型别，从而消除或减小稳态误差，提高系统的稳态性能指标。同时，只要保证积分时间常数TI足够大，可以减弱I环节对系统稳定性的不利影响。PI主要

用来提高控制系统的稳态性能。

例 6－1 如图6－9所示，某单位负反馈系统的不可变部分传递函数为

??(t)dt

0I （6－4）

R(s) E(s) M(s) 1KP(1?) TIsC(s) 图6－8 比例积分（PI）控制器

R(s) E(s) 1KP(1?) TIsM(s) K0 s(Ts?1)C(s) 图6－9 PI控制系统

G0(s)?K0

s(Ts?1)试分析PI控制器对系统稳态性能的改善作用。

解 由图可知，系统的开环传递函数为

G(s)?KPK0(Ts?1) 2TIs(Ts?1)可见，系统型别由原来的I型提高为II型。由第二章学习的内容很容易计算出，对于斜坡输入r(t)?R1t，在无PI控制器作用时，系统的稳态误差为R1/K0；接入PI控制器以后，系统的稳态误差为零。由此可见，PI控制器可以改善控制系统的稳态性能。

引入PI控制器后，系统的特征方程为

TITs?TIs?KPK0TIs?KPK0?0

其中，参数T，TI，KP，K0都是正数，满足系统稳定的必要条件。并且只要合理的选择上述各参数，就可以保证系统的稳定性。

通过上面的分析可知，采用PI控制器可以提高型别，消除或消除稳态误差，同时又可以保证系统的稳定性。

6．2．5 比例积分微分（PID）控制规律

R(s) E(s) KP(1?1??s) TIsM(s) C(s) 图6－10 比例积分微分（PID）控制器

具有比例积分微分控制规律的控制器称为PID控制器，如图6－10所示。PID控制器具有比例、积分和微分三种控制规律各自特点，其输出信号m(t)与输入信号?(t)关系为，

m(t)?KP?(t)?KPTI?t0?(t)dt?KP?d?(t) dt （6－5）

由（6－5）式可知，PID控制器的传递函数为

M(s)1?KP(1???s) ?(s)TIsPID控制器的传递函数还可以写成

（6－6）

M(s)KPTI?s2?TIs?1 ???(s)TIs若4?/TI?1，式（6－7）还可以改写成

（6－7）

M(s)KP(?1s?1)(?2s?1)?? ?(s)TIs其中

（6－8）

1?4??? ?1?TI?1?1??2?TI??1?4??? ?2?TI?1?1??2?TI??由（6－8）式可知，PID控制器可使系统的型别提高一级，并且还引入两个负实零点。

与PI控制器相比，不但保留了改善系统稳态性能的特点，还多提供一个负实零点，在提高系统动态性能上更加优越。因而，PID控制器在控制系统中得到了广泛的应用。

6．3 串联超前校正

本节首先介绍串联超前校正的特点，然后介绍采用频率响应法确定超前校正参数的方法。

6．3．1 超前校正网络

超前校正就是利用超前校正环节引入正的相移，增加系统的相位裕度，从而提高系统的动态性能。常用的超前校正环节有PD控制器和带惯性的PD控制器。

PD控制器的传递函数为

Gc?KP(1??s)

(6－9)

?为微分时间常数。KP为比例系数，其中，

当KP?1时，PD控制器的频率相应特性如图6－11所示。可见，当?由0变到??时，幅频特性由0dB变到??，而相频特性由0°变到90°。显然，PD控制器是超前校正元件。从相频特性可以看出，采用PD控制器可以为控制系统引入最大至90°的超前相移，然而从幅频特性可以看出，采用PD控制器会增加控制系统的幅频特性高频段斜率，不利于抑制噪声。因而，在超前校正中，带惯性的PD控制器比PD控制器更常用。

带惯性的PD控制器的传递函数为

dB 20lgGc 0 90 ??20dB/dec

? 1/? ?Gc 45? 0? ? 1/? 图6－11 PD控制器的频率响应

Gc?若令??aT1??s(??T)

1?Ts （6－10）

(a?1)，则带惯性的PD控制器的频率响应为

Gc(j?)?其相频特性为

1?jaT?1?jT?(a?1)

（6－11）

?Gc(j?)??(?)?tg?1aT??tg?1T??tg?1dB 20lgGc 20lga aT??T?

1?aT2?2（6－12）

10lga ?20dB/dec 0 ?Gc ? 1/? ?m 1/T 90? ?m 0? ? 1/? ?m 1/T 图6－12 带惯性的PD控制器的频率响应

带惯性的PD控制器的频率响应如图6－12所示，结合（6－12）式可以看出，当?由0增加到??时，?m会在?m处出现极值，由d?(?)/d??0可以求得

?m?1aT （6－13）

?m??Gc(j?)?tg?1a?12a?sin?1a?1 a?1 （6－14）

由（6－14）式可以看出，?m的值随着a值的增大而增大，图6－13为在不同a值的情况下，带惯性的PD控制器的相频特性。由（6－14）式可以计算出不同的a值所对应的?m的值，如表6－1所示，图6－14则以曲线的方式表示出了a与?m之间的关系。从表6－1和图6－14可以看出，当a的取值介于5～20之间的时候，?m的取值介于41. 8°～64.8°

?Gc 80? 60? 40? 20? 0? 0.01

30 10 5 3 T?

1.0

10

0.1

图6－13 带惯性的PD控制器的相频特性

之间。而当a较小时，?m值过小；a较大时，?m随a增大的变化较小。故通常在超前校正中取a值在5～20的范围内。

表6－1 ?m－a关系表

a 3 30°

5 8 10 55° 15 61° 20 30 40 50 74° 100 ? ?m 41. 8° 51° 64.8° 69.3° 72° 78.6° 90°

?m 90? 45? 0? 1

10 100 1000

a 图6－14

?m－a关系曲线

将（6－13）式的结果代入带惯性的PD控制器的幅频特性20lgGc(j?)，得到

20lgGc(j?m)?10lga（dB）

（6－15）

?带惯性的PD控制器所能提供的最大超前相移?m?90，与PD控制器相比较小，但由

于引入了一个惯性，带惯性的PD控制器不会提高控制系统幅频特性高频段的斜率，在抑制系统高频噪声的能力上优于PD控制器。

6．3．2 基于频率响应法的串联超前校正

基于频率响应的校正方法是一种简便的校正方法，它是通过引入校正装置改变控制系统的开环频率特性，使系统达到要求的性能指标。控制系统的开环频率特性的形状反应了系统的性能指标。通常，开环频率特性的低频段反应了闭环系统的稳态性能；中频段反应了闭环系统的动态性能；高频段反应了闭环系统的阶次和抑制噪声的能力。基于频率响应校正的目标就是使校正后的系统的频率特性低频段具有足够的斜率和增益，以满足稳态性能指标的要求；频率特性的中频段以－20dB/dec穿越0dB线并具有足够的宽度，以满足动态性能指标的要求；高频段具有足够的斜率以满足抑制噪声的要求。

超前校正可以为控制系统引入超前相移，通常采用带惯性的PD控制器进行超前校正。由图6－12可以看出，带惯性的PD控制器在??1/?时的幅频特性为0dB，因此它不会改变待校正系统的低频段特性。而在??1/T时的幅频特性斜率为0，因此它不会改变待校正系统高频段斜率。当1/????1/T时，带惯性的PD控制器斜率为20dB/dec，引入控制系统后，将提高控制系统在1/?~1/T之间的斜率，改善系统的动态性能。从相频特性看，带惯性的PD控制器在1/?~1/T之间引入正的相移，能够提高系统的相位裕度。在?m处，引入的正的相移达到最大值，因而采用带惯性的PD控制器进行超前校正，通常将校正后系统的穿越频率选在?m处。具体步骤如下：

1) 绘制系统固有部分的开环幅频特性，根据稳态性能指标确定开环增益K。 2) 根据确定好的开环增益K，计算系统固有部分的相位裕度?和穿越频率

?c。

3) 根据动态性能指标的要求，确定系统校正后的相位裕度?和穿越频率4) 根据?和

???c。

????c???c，计算超前网络参数a和T。通常选择m，充分利用网络的超前特??c为校正后系统的穿越频率，即校正后系统在该频率点的幅频特性为0dB，

性。而因为故有

?)?10lga?0 20lgG0(j?c

（6－16）

其中，G0为系统固有部分开环传递函数，由上式可求出a值。然后根据式（6－13）可求出

T?1?ma （6－17）

?，?，5) 验证校正后的相位裕度??是否满足要求。若不满足要求，则重新选择?c通常增大?c重复步骤4）和5）直至满足要求。

例 6－2 设有一单位负反馈系统固有部分的传递函数为

G0?K

s(0.5s?1)?1要求校正后系统的性能指标为：开环放大系数K?20s，相位裕度???50?，设计超前校正网络。

解

1) 根据开环放大系数的要求，系统固有部分的传递函数为：

G0?

20

s(0.5s?1)绘制其幅频特性图，如图6－15中ABC段所示。由图可知20lgG0的幅值穿越频率：

?c?6.3rad/s

校正前系统的相位裕度：

??180??90??tg?1(0.5?6.3)?18?

20lgG －20 A 0dB 2 B D 20dB/dec 20lgGc?c ?2 E －40 ? ?1 －20 20lgGe －40 F C 20lgG0 图6－15 例6－2的Bode图

2) 根据系统性能指标要求相位裕度???50?，采用带惯性的PD超前校正网络

1aTs?1?1Gc(s)??1Ts?1s?1

?2s?13) 求超前校正网络参数。通常校正后的系统Bode图以－20dB/dec穿越0dB线并具有足够

的宽度，就可以满足上述的相位裕度的要求。在2～6.3之间取?1?4rad/s，对应系统Bode图中的D点，过D点做－20dB/dec的直线，交0dB线于??10，可知校正后

??10。由带惯性环节的PD控制器的特性可知，令?c???m，可得系统的穿越频率?c到

?2/?1?102/4?25rad/s ?2??c故超前校正网络参数为

Gc(s)?校正后系统开还传递函数为

0.25s?1

0.04s?1Ge(s)?20(0.25s?1)

s(0.5s?1)(0.04s?1)4) 检验。系统开环放大系数为20，，满足要求。相位裕度为

???180??90??tg?1(0.25?10)?tg?1(0.5?10)?tg?1(0.05?10)?57.7?

后系统的形式，取?4?10rad/s。从Bode图中可以看出在引入了超前网络后，系统的幅频特性变成了ABE，根据滞后校正方法，可以计算出a?3.5/60，取

??0.35，则?1?a?2?1.225/60。故滞后超前网络为 ?2?0.1?c1s?1s?1Gc(s)?0.35?

600.1s?1s?11.2253) 计算校正后系统的相位裕度

???180??90??tg?1(1?3.5)?tg?1(0.1?3.5) ?tg?1(160?3.5)?tg?1(?3.5)?tg?1(1?3.5)?tg?1(0.1?3.5)?46.04? 0.351.225满足系统性能指标要求，校正方案可行。

6．6 反馈校正

反馈校正也是一种使用广泛的校正方法，反馈校正不仅可以实现串联校正的功能，还可

以减弱和消除系统元部件参数变化对系统性能指标的影响

6．6．1 反馈校正的原理

1．比例负反馈可以减小环节的时间常数 设有惯性环节传递函数为

G(s)?R(s) K Ts?1K Ts?1C(s) Hc 图6－18 比例负反馈系统方框图

当采用如图6－18所示的比例负反馈时，其传递函数为

KK1?KHcC(s)K?Ts?1 ???KT?R(s)Ts?11??Hcs?1Ts?11?KHc （6－25）

式中，K??KT；T??。可以看出，惯性环节在引入比例负反馈以后，

1?KHc1?KHc其动态特性仍然由惯性环节描述，但是时间常数T??T。从T?的表达式可以看出，比例负

反馈越强，时间常数T?越小，惯性就越小。同时比例负反馈的引入会降低环节增益，可以通过提高放大环节的增益来补偿，以保持系统开环增益不变。

2．负反馈可以减弱参数变化对系统性能的影响

在控制系统中，通常采用负反馈减弱元部件参数变化对系统性能的影响。如图6－19所示，设系统传递函数为G(s)，而参数变化使得传递函数改变了?G(s)，相应的输出C?(s)的变化量为?C?(s)。则在参数发生变化时的输出为

C?(s)??C?(s)?[G(s)??G(s)]R(s)

所以

（6－26）

?C?(s)??G(s)R(s)

（6－27）

R?(s) G(s) C?(s) R(s) G(s) C(s)

图6－19 负反馈校正的原理

在引入单位负反馈以后，系统的输出为

C(s)??C(s)?通常G(s)???G(s)，故

G(s)??G(s)R(s)

1?G(s)??G(s) （6－28）

?C(s)??G(s)R(s)

1?G(s) （6－29）

可以看出，当1?G(s)??1时，?C(s)???C?(s)。所以引入负反馈可以大大降低系统元部件参数变化对系统性能的影响。

3．反馈校正可以消除待校正系统中不希望有的特性

设系统结构如图6－20所示，图中G0(s)?G1(s)G2(s)G3(s)H(s)为系统固有部分，称为主回路。系统的性能指标主要受到G2(s)的影响而达不到设计要求，希望用另一个环节

Gexc(s)来代替G2(s)，此时可以采用反馈校正的方案。如图所示，引入校正网络Hc(s)与G2(s)构成一个负反馈闭合回路，称为附回路。反馈校正的目的就是使G2(s)与Hc(s)构成的回路代替G2(s)，从而满足系统的要求。可知附回路的传递函数为

Gexc(s)?G2(s)

1?G2(s)Hc(s) （6－30）

R(s) G1(s) G2(s) G3(s) Hc(s) H(s) 图6－20 反馈校正系统方框图

其频率特性为

Gexc(j?)?G2(j?)1?G(j?)H(j?)

2c当

G2(j?)Hc(j?)??1

有

Gexc(j?)?1/Hc(j?)

可见，当满足（6－32）要求时，系统中原有的G2(s)环节被1/Hc(j?)代替。当

G2(j?)Hc(j?)??1

有

Gexc(j?)?G2(j?)

当满足（6－34）时，反馈校正不起作用。

C(s) （6－31）（6－32）（6－33）（6－34）（6－35）

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