函数的和、差、积、商的导数（含答案）

函数的和、差、积、商的导数

一、基础过关

1．下列结论不正确的是________．(填序号) ①若y＝3，则y′＝0；

②若f(x)＝3x＋1，则f′(1)＝3；

1

③若y＝－x＋x，则y′＝－＋1；

2x④若y＝sin x＋cos x，则y′＝cos x＋sin x. 2．已知f(x)＝x3＋3x＋ln 3，则f′(x)＝__________.

3．若函数f(x)＝ax4＋bx2＋c满足f′(1)＝2，则f′(－1)＝________.

x＋1

4．设曲线y＝在点(3,2)处的切线与直线ax＋y＋1＝0垂直，则a＝________.

x－15．已知a为实数，f(x)＝(x2－4)(x－a)，且f′(－1)＝0，则a＝________.

6．若某物体做s＝(1－t)2的直线运动，则其在t＝1.2 s时的瞬时速度为________． 7．求下列函数的导数： (1)y＝(2x2＋3)(3x－1)； (2)y＝(x－2)2；

xx

(3)y＝x－sin cos . 22二、能力提升

8．设函数f(x)＝g(x)＋x2，曲线y＝g(x)在点(1，g(1))处的切线方程为y＝2x＋1，则曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处切线的斜率为________．

9．曲线y＝x(x－1)(x－2)…(x－6)在原点处的切线方程为__________． 1

10．若函数f(x)＝x3－f′(－1)·x2＋x＋5，则f′(1)＝________.

3

11．设y＝f(x)是二次函数，方程f(x)＝0有两个相等实根，且f′(x)＝2x＋2，求f(x)的表达式．

b

12．设函数f(x)＝ax－，曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为7x－4y－12＝0.

x

(1)求f(x)的解析式；

(2)证明：曲线y＝f(x)上任一点处的切线与直线x＝0和直线y＝x所围成的三角形的面积为定值，并求此定值． 三、探究与拓展

13．已知曲线C1：y＝x2与曲线C2：y＝－(x－2)2，直线l与C1和C2都相切，求直线l的方

程．

答案

1．④ 2．3x2＋3x·ln 3 3．－2 4．－2 15. 26．0.4 m/s

7．解 (1)方法一 y′＝(2x2＋3)′(3x－1)＋(2x2＋3)(3x－1)′ ＝4x(3x－1)＋3(2x2＋3) ＝18x2－4x＋9.

方法二 ∵y＝(2x2＋3)(3x－1) ＝6x3－2x2＋9x－3， ∴y′＝(6x3－2x2＋9x－3)′ ＝18x2－4x＋9.

(2)∵y＝(x－2)2＝x－4x＋4，

111

∴y′＝x′－(4x)′＋4′＝1－4·x－＝1－2x－. 222

xx1

(3)∵y＝x－sin cos ＝x－sin x，

22211

∴y′＝x′－(sin x)′＝1－cos x.

228．4 9．y＝720x 10．6

11．解 设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，则f′(x)＝2ax＋b. 又已知f′(x)＝2x＋2，∴a＝1，b＝2.∴f(x)＝x2＋2x＋c. 又方程f(x)＝0有两个相等实根，∴判别式Δ＝4－4c＝0， 即c＝1.故f(x)＝x2＋2x＋1.

7

12．(1)解 由7x－4y－12＝0得y＝x－3.

4

11

当x＝2时，y＝，∴f(2)＝，①

22b7

又f′(x)＝a＋2，∴f′(2)＝，②

x4

b12a－＝，?a＝122?

由①，②得解之得?.

b7?b＝3?a＋＝.443

故f(x)＝x－. x

???

3

(2)证明 设P(x0，y0)为曲线上任一点，由y′＝1＋2知

x

曲线在点P(x0，y0)处的切线方程为

3

y－y0＝(1＋2)(x－x0)，

x033

即y－(x0－)＝(1＋2)(x－x0)．

x0x0

66

令x＝0得y＝－，从而得切线与直线x＝0的交点坐标为(0，－)．

x0x0

令y＝x得y＝x＝2x0，从而得切线与直线y＝x的交点坐标为(2x0,2x0)．

16

所以点P(x0，y0)处的切线与直线x＝0，y＝x所围成的三角形面积为|－||2x0|＝6.

2x0

故曲线y＝f(x)上任一点处的切线与直线x＝0，y＝x所围成的三角形的面积为定值，此定值为6.

13．解 设l与C1相切于点P(x1，x21)，与C2相切于点Q(x2，－(x2－2)2)． 对于C1：y′＝2x，则与C1相切于点P的切线方程为 y－x21＝2x1(x－x1)， 即y＝2x1x－x21.①

对于C2：y′＝－2(x－2)，则与C2相切于点Q的切线方程为 y＋(x2－2)2＝－2(x2－2)(x－x2)， 即y＝－2(x2－2)x＋x22－4.② 因为两切线重合，

??2x1＝－2?x2－2?，

所以由①②，得?

?－x21＝x22－4?

???x1＝0，?x1＝2，

?解得或? ?x2＝2???x2＝0.

所以直线l的方程为y＝0或y＝4x－4.

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